Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 có lời giải (Đề 8)

Phương pháp:

Đường thẳng $\left(d\right):\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$ có 1 vecto chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(a;b;c\right).$

Cách giải:

Đường thẳng $\left(d\right):\frac{x-1}{2}=\frac{y-3}{-4}=\frac{z-7}{1}$ có 1 vecto chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(2;-4;1\right).$

$\Rightarrow \overrightarrow{u\text{'}}=\left(-2;4;-1\right)$ cũng là 1 VTCP của đường thẳng d.

Chọn B.

Phương pháp:

Đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ có TCN $y=\frac{a}{c}.$

Cách giải:

Đồ thị hàm số $y=\frac{4-3x}{4x+5}=\frac{-3x+4}{4x+5}$ có TCN $y=-\frac{3}{4}.$

Chọn C.

Phương pháp:

Mặt cầu $\left(S\right):{\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2+{\left(z-c\right)}^2=R^2$ có bán kính R.

Cách giải:

Mặt cầu $\left(S\right):{\left(x-5\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2+{\left(z+2\right)}^2=9$ có bán kính R = 3.

Chọn D.

Phương pháp:

Sử dụng hoán vị.

Cách giải:

Từ các số 1, 5, 6, 7 có thể lập được 4! = 24 số có 4 chữ số đôi một khác nhau.

Chọn B.

Phương pháp:

Sử dụng tính chất tích phân: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{a}{\overset{c}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{c}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx.$

Cách giải:

$\underset{3}{\overset{4}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{3}{\overset{0}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{0}{\overset{4}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{0}{\overset{4}{\int }}f\left(x\right)dx-\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx=3-2=1.$

 

Chọn D.

Phương pháp:

Giải bất phương trình mũ $a^{f\left(x\right)}>a^{g\left(x\right)}\iff f\left(x\right)>g\left(x\right)\left(a>1\right)$

Cách giải:

$3^{2x+1}>3^{3-x}\Rightarrow 2x+1>3-x\iff 3x>2\iff x>\frac{2}{3}.$

Chọn B.

Phương pháp:

Giải phương trình bậc hai với hệ số thực.

Cách giải:

Ta có $z^2+2z+5=0\Rightarrow \left[\begin{array}{l}z=-1+2i\\ z=-1-2i\end{array}\right..$

Vậy nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình $z^2+2z+5=0$ là z = -1 + 2i.

Chọn D.

Phương pháp:

Điểm biểu diễn số phức liên hợp của z = a + bi trong mặt phẳng tọa độ Oxy là điểm M(a; b).

Cách giải:

Ta có: $z=1+2i\Rightarrow \overline{z}=1-2i.$

Điểm biểu diễn số phức liên hợp của $\overline{z}=1-2i$ trong mặt phẳng tọa độ Oxy là điểm Q(1; -2).

Chọn A.

Phương pháp:

Dựa vào đồ thị hàm số để loại các đáp án.

Cách giải:

Đồ thị hàm số là hàm bậc 4, có chiều hương xuống dưới nên chỉ có đáp án A thỏa mãn.

Chọn D.

Phương pháp:

Áp dụng công thức tính tọa độ vecto: $\overrightarrow{AB}=\left(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A\right)$.

Cách giải:

Ta có $A\left(0;1;-1\right),B\left(2;3;2\right)\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left(2;2;3\right).$

Chọn D.

Phương pháp:

Xác định các khoảng nghịch biến của hàm số là khoảng ứng với mũi tên đi xuống.

Cách giải:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số nghịch biến trong khoảng $\left(-\infty ;-1\right)$ và (0; 1).

Chọn A.

Phương pháp:

Dựa vào đồ thị để xác định GTLN của hàm số trên một đoạn.

Cách giải:

Dựa vào đồ thị ta thấy trên [-1; 3] ta thấy $\underset{\left[1;3\right]}{\max }y=y\left(2\right)=1.$

Chọn B.

Phương pháp:

Thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x), các đường thẳng x = a, x = b quanh trục hoành là $V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f^2\left(x\right)-g^2\left(x\right)\right|dx.$

Cách giải:

Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình (D) quanh trục Ox được tính theo công thức $V=\pi \underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{x}{4}\right)}^{2}dx.$

Chọn C.

Phương pháp:

- Tính diện tích tam giác vuông $ABC:S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB.AC.$

- Tính thể tích khối chóp $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}SA.S_{\Delta ABC}.$

Cách giải:

Ta có $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}.2a.a=a^2$

$\Rightarrow V_{S.ABC}=\frac{1}{3}.SA.S_{ABC}=\frac{1}{3}.3a.a^2=a^3.$

Chọn D.

Phương pháp:

Thực hiện phép chia số phức.

Cách giải:

Ta có $\left(1-i\right)z+i=0\Rightarrow z=\frac{-i}{1-i}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i.$

Chọn D.

Chọn D.

Phương pháp:

- Dựa tính chất hai mặt phẳng song song xác định dạng phương trình mặt phẳng cần tìm.

- Thay điểm A(1; 0; -1) vào phương trình mặt phẳng tìm hằng số tự do.

Cách giải:

Mặt phẳng song song với mặt phẳng $x-y+z+2=0$ có dạng $x-y+z+c=0\left(\alpha \right).$

Vì $A\left(1;0;-1\right)\in \left(\alpha \right)$ nên $1-0-1+c=0\iff c=0.$

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là $x-y+z=0.$

Chọn D.

Phương pháp:

Số giao điểm là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.

Cách giải:

Hoành độ giao điểm hai đồ thị hàm số đã cho là nghiệm của phương trình:

                                         $x+1=x^3-3x+1\iff x^3-4=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=2\\ x=-2\end{array}\right.$

Vậy số giao điểm của đường thẳng y = x + 1 và đồ thị hàm số $y=x^3-3x+1$ là 3.

Chọn A.

Phương pháp:

Mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2+2ax+2by+2cz+d=0$ có tâm I(-a; -b; -c), bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}.$

Cách giải:

Mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2-8x+2y+1=0$ có tâm I(4; -1; 0) và bán kính $R=\sqrt{4^2+{\left(-1\right)}^2+0^2-1}=4.$

Chọn D.

Phương pháp:

- Quay tam giác ABC vuông tại A quanh trục AB ta được hình nón có chiều cao h = AB, bán kính đáy r = AC.

- Thể tích nón có chiều cao h bán kính đáy r là $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h.$

Cách giải:

Tam giác ABC vuông cân đỉnh A có cạnh huyền là $\sqrt{2}$ nên AB = AC = 1

Quay tam giác ABC quanh trục AB ta được khối nón có chiều cao AB = 1 và bán kính đáy AC = 1.

Khi đó thể tích hình nón là $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi .A{C}^2.AB=\frac{\pi }{3}.$

Chọn B.

Phương pháp:

Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số.

Cách giải:

Ta có $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}x\sqrt{3x^2+1}dx$

Đặt $u=\sqrt{3x^2+1}\Rightarrow du=\frac{3x}{\sqrt{3x^2+1}}dx\Rightarrow xdx=\frac{\sqrt{3x^2+1}du}{3}=\frac{udu}{3}.$

Đổi cận: $\left\{\begin{array}{l}x=0\Rightarrow u=1\\ x=1\Rightarrow u=2\end{array}\right..$

Vậy $I=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{u^2}{3}du=\frac{1}{3}\underset{1}{\overset{2}{\int }}{u}^{2}du.$

Chọn A.

Phương pháp:

Sử dụng tính chất tích phân: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx-\underset{a}{\overset{b}{\int }}g\left(x\right)dx.$

Cách giải:

Ta có $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left[4f\left(x\right)-2x\right]dx=1$

$\iff 4.\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx-2.\underset{1}{\overset{2}{\int }}xdx=1$

$\iff 4.\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx-x^2\left|\begin{array}{l}2\\ 1\end{array}\right.=1$

$\iff 4.\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx-3=1$

$\iff \underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=1$

Chọn A.

Phương pháp:

Xác định các điểm cực đại của hàm số là điểm mà qua đó đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm.

Cách giải:

Dựa vào BXD ta thấy hàm số có 2 điểm cực đại x = 0, x = 3.

Chọn B.

Phương pháp:

- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.

- Sử dụng tính chất tam giác vuông cân.

Cách giải:

Ta có $SA\perp \left(ABCD\right)\Rightarrow AC$ là hình chiếu vuông góc của SA lên (ABCD).

$\Rightarrow \angle \left(SC;\left(ABCD\right)\right)=\angle \left(SC;AC\right)=\angle SCA.$

Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên $AC=a\sqrt{2}=SA\Rightarrow \Delta SAC$ vuông cân tại $A\Rightarrow \angle SCA={45}^0$.

Vậy $\angle \left(SC;\left(ABCD\right)\right)={45}^0.$

Chọn C.

Phương pháp:

- Tính số phần tử của không gian mẫu.

- Gọi A là biến cố: “2 người được chọn đều là nữ”, tính số phần tử của biến cố A.

- Tính xác suất của biến cố.

Cách giải:

Chọn 2 người trong 10 bạn là $C_{10}^2\Rightarrow$ Số phần tử của không gian mẫu là $n\left(\Omega \right)=C_{10}^2=45.$

Gọi A là biến cố: “2 người được chọn đều là nữ” $\Rightarrow n\left(A\right)=C_3^2=3.$

Vậy xác suất của biến cố A là: $P\left(A\right)=\frac{3}{45}=\frac{1}{15}.$

Chọn B.

Phương pháp:

- Đường thẳng đi qua hai điểm P, Q nhận $\overrightarrow{PQ}$ là 1 VTCP.

- Phương trình đường thẳng đi qua $P\left(x_0;y_0;z_0\right)$ và có 1 VTCP $\overrightarrow{u}=\left(a;b;c\right)$ là: $d:\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}.$

Cách giải:

Ta có $P\left(1;1;-1\right),Q\left(2;3;2\right)\Rightarrow \overrightarrow{PQ}=\left(1;2;3\right).$

Khi đó phương trình đường thẳng PQ có dạng $\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+1}{3}.$

Chọn C.

Phương pháp:

- Xét phương trình hoành độ, dựa vào số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm xác định chính xác f(x) - g(x)

- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) đường thẳng x = a, x = b là $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|dx.$

Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm $f\left(x\right)-g\left(x\right)=a{x}^3+\left(b-d\right)x^2+\left(c-e\right)x-\frac{3}{2}=0$ có 3 nghiệm lần lượt là -3; -1; 1 nên ta có

$a{x}^3+\left(b-d\right)x^2+\left(c-e\right)x-\frac{3}{2}=a\left(x+3\right)\left(x+1\right)\left(x-1\right)$

$\iff a{x}^3+\left(b-d\right)x^2+\left(c-e\right)x-\frac{3}{2}=a\left(x^3+3x^2-x-3\right)$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}b-d=3a\\ c-e=-a\\ -\frac{3}{2}=-3a\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{2}\\ b-e=\frac{3}{2}\\ c-e=-\frac{1}{2}\end{array}\right.$

Nên $f\left(x\right)-g\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^3+\frac{3}{2}{x}^2-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}$

Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số có diện tích bằng

$S=\underset{-3}{\overset{-1}{\int }}\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx-\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx$

$=\underset{-3}{\overset{-1}{\int }}\left(\frac{1}{2}{x}^3+\frac{3}{2}{x}^2-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}\right)dx-\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left(\frac{1}{2}{x}^3+\frac{3}{2}{x}^2-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}\right)dx$

= 2 - (-2) = 4.

Chọn C.

Phương pháp:

- Hàm số bậc nhất trên bậc nhất đơn điệu trên từng khoảng xác định của nó.

- Hàm số bậc nhất trên bậc nhất đạt GTNN trên các đoạn mà hàm số xác định tại các điểm đầu mút.

Cách giải:

TXĐ: $D=ℝ\backslash \left\{2\right\}\Rightarrow$ Hàm số xác định trên [-1; 1]

Ta có $f\left(x\right)=\frac{2x-m}{x+2}\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=\frac{4+m}{{\left(x+2\right)}^2}.$

TH1: Nếu $m>-4\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)>0\forall x\ne -2,$ do đó hàm số đồng biến trên [-1; 1]

$\Rightarrow \underset{x\in \left[-1;1\right]}{\min }f\left(x\right)=f\left(-1\right)=\frac{-2-m}{1}$

Theo bài ra ta có: $\frac{-2-m}{1}=\frac{1}{3}\iff m=-\frac{7}{3}\left(tm\right).$

$\Rightarrow a=-7,b=3$ nên $a+b=-7+3=-4.$

TH2: Nếu $m<-4\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)<0\forall x\ne -2,$ do đó hàm số nghịch biến trên [-1; 1]

$\Rightarrow \underset{x\in \left[-1;1\right]}{\min }f\left(x\right)=f\left(1\right)=\frac{2-m}{3}$

Theo bài ra ta có: $\frac{2-m}{3}=\frac{1}{3}\iff m=1\left(ktm\right).$

TH3: Nếu $m=-4\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=0\forall x\ne -2,$ do đó hàm số là hàm hằng [-1; 1]

$\Rightarrow \underset{x\in \left[-1;1\right]}{\min }f\left(x\right)=f\left(x\right)=\frac{2x+4}{x+2}=2\Rightarrow a=-4,b=1\Rightarrow a+b=-3.$

Dựa vào các đáp án ta thấy chỉ có đáp án D đúng.

Chọn D.

Phương pháp:

- Gọi M là trung điểm của AB sử dụng định lí $\left\{\begin{array}{l}\left(P\right)\perp \left(Q\right)=d\\ a\subset \left(P\right),a\perp d\end{array}\right.\Rightarrow a\perp \left(Q\right)$ chứng minh $SM\perp \left(ABCD\right)$.

- Đổi $d\left(A;\left(SCD\right)\right)$ sang $d\left(M;\left(SCD\right)\right)$.

- Đặt độ dài cạnh đáy bằng x tính $d\left(M;\left(SCD\right)\right)$ theo x, từ đó tìm x theo a

- Tính thể tích khối chóp $S_{ABCD}=\frac{1}{3}SM.S_{ABCD}.$

Cách giải:

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD.

Vì $\Delta SAB$ đều nên $SM\perp AB.$

Ta có $\left\{\begin{array}{l}\left(SAB\right)\perp \left(ABCD\right)=AB\\ SM\subset \left(SAB\right),SM\perp AB\end{array}\right.\Rightarrow SM\perp \left(ABCD\right).$

Vì $AM//CD\Rightarrow AM//\left(SCD\right)\Rightarrow d\left(A;\left(SCD\right)\right)=d\left(M;\left(SCD\right)\right).$

Trong (SMN) kẻ $MK\perp SN$ ta có:

$\left\{\begin{array}{l}CD\perp MN\\ CD\perp SM\end{array}\right.\Rightarrow CD\perp \left(SMN\right)\Rightarrow CD\perp MK,\left\{\begin{array}{l}MK\perp SN\\ MK\perp CD\end{array}\right.\Rightarrow MK\perp \left(SCD\right)$

$\Rightarrow d\left(M;\left(SCD\right)\right)=MK=\frac{3\sqrt{7}a}{7}.$

Đặt $AB=x\Rightarrow MN=AD=x,SM=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{x\sqrt{3}}{2}.$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác SMN ta có:

$\frac{1}{M{K}^2}=\frac{1}{S{M}^2}+\frac{1}{M{H}^2}\Rightarrow \frac{1}{{\left(\frac{3a\sqrt{7}}{7}\right)}^2}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{{\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)}^2}\iff \frac{7}{9a^2}=\frac{7}{3x^2}\iff x=a\sqrt{3}.$

Vậy thể tích hình chóp S.ABCD là $V=\frac{1}{3}SM.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}.\sqrt{3}}{2}.{\left(a\sqrt{3}\right)}^2=\frac{3a^3}{3}.$

Chọn B.