Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 có lời giải (Đề 3)
50 câu hỏi
Có bao nhiêu cách chọn ra 9 học sinh từ một nhóm có 14 học sinh?
A149
149
C149
14!
Mỗi cách chọn 9 học sinh từ 14 học sinh là một tổ hợp chập 9 của 14 phần tử, nên có cách chọn.
Chọn C.
Cho hàm số y = f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm f'(x)như sau:
Hàm số f(x) có bao nhiêu điểm cực trị?
1
2
3
0
Ta thấy f'(x) đổi dấu 2 lần nên hàm số y = f(x) có 2 điểm cực trị.
Chọn B.
Nếu ∫122f(x)−1dx=3 thì ∫12f(x)dxbằng
1
-2
0
2
∫122fx−1dx=3⇔2∫12fx−∫12dx=3
⇔2∫12fx−x21=3⇔2∫12fx−2−1=3
⇔∫12fx=2.
Chọn D.
Họ nguyên hàm của hàm số f(x)=cos3x+π6 là
∫f(x)dx=13sin3x+π6+C
∫f(x)dx=−13sin3x+π6+C
∫f(x)dx=sin3x+π6+C
∫f(x)dx=16sin3x+π6+C
Áp dụng công thức ∫cosaxdx=1asinax+C
Chọn A.
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):(x−1)2+(y+2)2+(z+2)2=1 và điểm M thay đổi trên mặt cầu. Giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng OM bằng
2
3
1
4
Mặt cầu (S) có tâm I(1; -2; -2) và bán kính R = 1.
OM lớn nhất khi và chỉ khi OM=OI+R=12+−22+−22+1=4.
Chọn D.
Đạo hàm của hàm số y=7x là:
y'=6x.
y'=7x.ln7.
y'=7x−1ln7.
y'=x.7x−1.
Theo công thức đạo hàm của hàm số mũ: ax'=axlna.
Do đó, ta có: y'=7xln7.
Chọn B.
Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 6 chữ số phân biệt được lấy từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, xác suất chọn được số chứa đúng 3 chữ số lẻ là
2342
1021
1642
1621
+ Số tự nhiên có 6 chữ số phân biệt được lấy từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có nΩ=A96 (số)
+ Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có 6 chữ số phân biệt chứa đúng 3 số lẻ.
Chọn 3 số lẻ trong số 1,3,5,7,9 và chọn 3 số chẵn trong số 2,4,6,8 sau đó sắp xếp chúng thành một số tự nhiên gồm 6 chữ số, do đó nA=C53.C43.6! (số).
Vậy PA=nAnΩ=C53.C43.6!A96=1021.
Chọn B.
Cho hình trụ (T)có chiều cao h, độ dài đường sinh l, bán kính đáy r. Ký hiệu V(T) là thể tích khối trụ (T). Công thức nào sau đây là đúng?
V(T)=2πr2h
V(T)=13πrh
V(T)=πrl2
V(T)=πr2h
Thể tích khối trụ: VT=B.h với B là diện tích đáy, h là chiều cao của khối trụ.
Do đó VT=πr2h.
Chọn D.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình của đường thẳng đi qua A(1;−2;3)và vuông góc với mặt phẳng (P):x+2y−2z+1=0?
x=1+ty=−2+2tz=−3−2t.
x=ty=−4+2tz=5−2t.
x=1+ty=2tz=1−2t.
x=1+ty=2+2tz=3−2t.
Phương trình đường thẳng vuông góc với mặt phẳng P:x+2y−2z+1=0 nên vectơ chỉ phương của đường thẳng chính là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) tức là u→=nP→=1;2;−2.
Phương trình đường thẳng đi qua A1;−2;3 và vuông góc với mặt phẳng P:x+2y−2z+1=0 cũng đi qua điểm B0;−4;5, có vectơ chỉ phương u→=1;2;−2 có phương trình là x=tx=−4+2tx=5−2t.
Chọn B.
Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SB hợp với mặt phẳng đáy một góc 60°. Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC) bằng
a3.
a2.
a32.
a22.
Ta có SB∩ABCD=B
Có SA⊥ABCD
Nên SB,ABCD=SB,BA=SBA^=600.
Xét tam giác vuông SAB có SA=AB.tan600=a3.
Ta có AD//BC⇒AD//SBC⇒dD,SBC=dA,SBC
Chọn C.
Cho cấp số cộng un có u6=9 và u7=15. Giá trị của u8 bằng
6
24
21
-6
Ta có u6=u1+5du7=u1+6d⇔u1+5d=9u1+6d=15⇔u1=−21d=6
Giá trị của u8=u1+7d=−21+7.6=21.
Chọn C.
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; c] và a < b < c. Biết ∫abf(x)dx=10, ∫bcf(x)dx=5. Tính ∫acf(x)dx
-15
15
5
-5
Do hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; c] và a < b < c nên ta có:
∫acfxdx=∫abfxdx+∫bcfxdx=10+5=15.
Chọn B.
Với a là số thực dương tùy ý, aabằng
a12
a54
a14
a34
Ta có aa=a.a12=a32=a34.
Chọn D.
Tập nghiệm S của bất phương trình 12x2−4x<8 là
S=(−∞;1)∪(3;+∞)
S=(1;+∞)
S=(1;3)
S=(−∞;3)
Ta có 12x2−4x<8⇔2−x2+4x<23⇔−x2+4x<3⇔−x2+4x−3<0⇔x<1x>3.
Tập nghiệm của bất phương trình 12x2−4x<8 là S=−∞;1∪3;+∞.
Chọn A.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 1; 0) và B(0; 1; 2). Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB?
c→=(−1;1;2)
d→=(−1;0;−2)
b→=(1;2;2)
a→=(−1;0;2)
Ta có AB→=−1;0;2 là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.
Chọn D.
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:
Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là:
x = 2
x = 0
x = 1
x = 5
Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là x = 0.
Chọn B.
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng (P):3x+2y−13=0.
I(3;2;−13)
N(−2;−3;1)
Q(13;2;3)
M(1;2;−2)
Thay tọa độ từng điểm của phương án A vào phương trình mặt phẳng (P) ta thấy 3.3 + 2.2 -13 = 0 (thỏa mãn). Vậy điểm I(3; 2; -13) thuộc mặt phẳng (P).
Chọn A.
Tính tích phân I=∫0142x+1dx
I = 4ln2
I = 2ln3
I = 4ln3
I = 2ln2
I=∫0142x+1dx=4∫0112x+1dx=4.12ln2x+110=2ln3−ln1=2ln3.
Chọn B.
Anh A vay trả góp ngân hàng số tiền 500 triệu đồng với lãi suất 0,8%/tháng. Mỗi tháng trả 10 triệu đồng. Hỏi sau bao nhiêu tháng thì Anh A trả hết nợ, giả định trong khoảng thời gian này lãi suất ngân hàng và số tiền trả hàng tháng của anh A là không thay đổi.
61
60
63
65
Đây là bài toán vay vốn trả góp.
Áp dụng công thức tính số tiền còn lại sau n tháng vay n∈ℕ* là:
Sn=A1+rn−X1+rn−1r.
Trong đó số tiền vay là A = 500 triệu đồng, lãi suất r = 0,8%tháng, số tiền trả hàng tháng là X = 10 triệu đồng. Ta có Sn=5001+0,8%n−10.1+0,8%n−10,8%
Để sau đúng n tháng hết nợ thì Sn=0⇔5001+0,8%n−10.1+0,8%n−10,8%=0.
⇔1+0,8%n500−100,8%=−100,8%
⇔1+0,8%n=53
⇔n=log1,00853≃64,11
Vậy sau 65 tháng, anh A trả hết nợ ngân hàng.
Chọn D.
Họ nguyên hàm của hàm số: y=x2−3x+1x là
∫f(x)dx=x33−32x2+lnx+C
∫f(x)dx=x33−32x2+lnx+C
∫f(x)dx=x33+32x2+lnx+C
∫f(x)dx=2x−3−1x2+C
∫x2−3x+1xdx=∫x2dx−∫3xdx+∫1xdx=x33−32x2+lnx+C.
Chọn B.
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số: y=2x−3x−2 là đường thẳng:
y = 2
x=32
x = -2
x = 2
Tập xác định của hàm số: D=ℝ\2.
Ta có: limx→2+2x−3x−2=+∞, limx→2−2x−3x−2=−∞.
Vậy đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số có phương trình là x = 2.
Chọn D.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu có phương trình (x–1)2+(y+2)2+(z+1)2=4. Tọa độ tâm của mặt cầu là
(1; -2; 1)
(1; 2; 2)
(1; -2; -1)
(-1; 2; 1)
Tọa độ tâm mặt cầu là (1; -2; -1)
Chọn C.
Cho hình chóp S.ABC đáy là tam giác ABC có diện tích bằng 2, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = 4. Thể tích của khối chóp là
8
163
12
83
Thể tích của khối chóp V=13B.h=13.2.4=83.
Vậy thể tích của khối chóp đã cho bằng 83.
Chọn D.
Số phức liên hợp của số phức: z = -1 + 2i là số phức:
z¯=−1−2i
z¯=1−2i
z¯=−2+i
z¯=2−i
Số phức z = -1 + 2i có số phức liên hợp là z¯=−1−2i.
Chọn B.
Nghiệm của phương trình log3(2x)=2 là:
x=92
x = 3
x = 6
x=52
Ta có: log32x=2⇔2x=32⇔x=92.
Chọn A.
Cho số phức z = 6 + 7i. Số phức liên hợp của z có điểm biểu diễn là:
P(-6; 7)
P(6; 7)
P(6; -7)
(-6; -7)
Ta có: z=6+7i⇒z¯=6−7i
Vậy điểm biểu diễn của z¯ là: (6; -7).
Chọn C.
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên BB'=a6 . Hình chiếu vuông góc H của A trên mặt phẳng (A'B'C') trùng với trọng tâm của tam giác A'B'C' (tham khảo hình vẽ). Côsin của góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng
26 .
36 .
23 .
1515 .
Gọi M là trung điểm của B'C'⇒A'M=a32.
Ta có: AA',A'B'C'^=AA',A'H^=AA'H^
Xét tam giác vuông AA'H có: A'H=23AM=23.a32=a33.
cosAA'H=A'HAA'=a33:a6=26.
Chọn A.
Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A, AC = a và BC = 2a. Tính diện tích xung quanh của hình nón, nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB.
4πa2
2πa2
2πa23
πa2
Diện tích xung quanh của hình nón là Sxq=πrl=π.AC.BC=π.a.2a=2πa2.
Chọn B.
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên sau
Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng nào, trong các khoảng dưới đây?
(0;+∞)
(0;+∞)
(−1;0)
(−∞;0)
Theo lý thuyết.
Chọn B.
Cho số phức z thỏa mãn z−1=z−18z−2 và có phần ảo âm. Mô đun của số phức z+4iz¯−2i bằng
32
12
52
22
z−1=z−18z−2⇔z−1z−2=z−18⇔z2−4z+20=0⇔z−22=−16⇔z=2+4iz=2−4i.
Do số phức cần tìm có phần ảo âm nên z = 2 - 4i. Suy ra z+4iz¯−2i=22+2i=12−12i.
Như vậy z+4iz¯−2i=22.
Chọn D.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho A(1; −1; 3), B(-1; 2; 1), C(-3; 5; -4). Khi đó tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là
G(−1; 2; 0).
G−32; 3; 0.
G(-3; 6; 0)
G−13; 23; 0.
Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là: x=xA+xB+xC3=1y=yA+yB+yC3=2z=zA+zB+zC3=0
Chọn A.
Nghiệm của phương trình 32x+4=9 là:
x = 3
x = -1
x = 1
x = 2
Ta có 32x+4=9⇔32x+4=32⇔2x+4=2⇔x=−1.
Chọn B.
Cho hình hộp chữ nhật có ba kích thước là 3cm, 4cm, 5cm. Thể tích của khối hộp chữ nhật là
15cm3
20cm3
60cm3
12cm3
V=a.b.c=3.4.5=60cm3.
Chọn C.
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?
y=x3−3x2+2 .
y=−x4+2x2+2 .
y=x4−2x2+2 .
y=−x3+3x2+2 .
Đồ thị hàm số có dạng là: y=ax4+bx2+c và có hệ số a < 0 nên loại A, C, D.
Chọn B.
Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y=−x3+3x+2 trên đoạn [0; 1]. Khi đó giá trị biểu thức P=2M−3m là:
P = 38
P = -38
P = -52
P = 2
Ta có: y'=−3x2+3. Cho y'=0⇔x=1∉0;1x=−1∉0;1
y0=2;y1=4.
Vậy maxx∈0;1y=4=M; minx∈0;1y=2=m
P=2M−3m=2
Chọn D.
Với a là số thực dương tùy ý, log525a bằng
2log5a.
3−log5a.
2−log5a.
2+log5a.
log525a=log525−log5a=2−log5a.
Chọn C.
Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên ℝ?
y=4x+1x+2
y=x3+1
y=x4+x2+1
y=tan x
Xét B:y=x3+1⇒y'=3x2≥0∀x
Vậy hàm số y=x3+1 luôn đồng biến trên ℝ.
Chọn B.
Cho số phức z = 6 - 8i. Mô đun của số phức (3 - 4i)z bằng
105
510
50
10
3−4iz=3−4i6−8i=−14−48i⇒−14−48i=−142+−482=50.
Chọn C.
Phần ảo của số phức z =(2+3i)(2−3i) bằng
13i
13
0
-9i
z=2+3i2−3i=13
Vậy phần ảo của z bằng 0.
Chọn C.
Đồ thị hàm số y=x+2−x+2 cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng?
-2
0
2
1
Đồ thị hàm số cắt trục tung ⇔ thay x=0⇒y=0+2−0+2=1.
Chọn D.
Cho hàm số y=f(x)=x2 khi x≥22+x khi x<2. Tính tích phân ∫05f3x+13x+1dx.
1339
563
599
379
Dễ thấy, hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên ℝ.
Ta có: 3x+1=2⇔3x+1=4⇔x=1.
Nhận xét: 3x+1>0∀x∈0;5, khi đó I=∫05f3x+13x+1dx=∫012+3x+13x+1dx+∫153x+1dx.
Xét I1=∫012+3x+13x+1dx.
Đặt t=3x+1⇒2tdt=3dx.
Khi x = 0 thì t = 1, khi x = 1 thì t = 2
Khi đó: I1=∫122+tt.23tdt=23∫122+tdt=232t+t2221=232.2−2.1+222−12=73.
Xét I2=∫153x+1dx=∫153x+112d3x+13=133x+1323251=293x+13x+151
=293.5+13.5+1−3.1+13.1+1=1129.
Vậy: I=I1+I2=73+1129=1339.
Chọn A.
Tứ diện ABCD có AB=AC=AD=a,BAC^=1200,BAD^=600 và tam giác BCD là tam giác vuông tại D. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
a324.
a323.
a326.
a3212.
Gọi H là hình chiếu của A lên (BCD).
Dễ thấy: ΔAHB=ΔAHC=ΔAHD⇒HB=HC=HD
Do đó, H là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔBCD⇒H là trung điểm của BC.
Xét tam giác ABC có BC2=AB2+AC2−2AB.AC.cosBAC^=a2+a2−2a.a.cos1200=3a2.
⇒BC=a3⇒BH=a32.
Xét ΔAHB vuông tại H có AH=AB2−BH2=a2−a322=a2.
Xét ΔABD, có AB = AD = a và BAD^=600⇒ΔABD là tam giác đều cạnh a⇒BD=a.
Xét ΔBDC vuông tại D, có CD=BC2−BD2=3a2−a2=a2.
⇒SΔBDC=12.a.a2=a223. (đvtt).
Vậy VABCD=13AH.SΔBCD=13.a2.a222=a3212 (đvtt).
Chọn D.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 3a tam giác SBC vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, đường thẳng SD tạo với mặt phẳng (SBC) một góc 600. Thể tích của khối chóp đã cho bằng
2a36.
a36.
3a32.
a33.
Kẻ SH⊥BH,H∈BC.
Ta có SBC⊥ABCDSBC∩ABCD=BCSH⊥BC⇒SH⊥ABCD.
Mà CD⊥BCCD⊥SH⇒CD⊥SBC và SD∩SBC=S.
Suy ra SC là hình chiếu của SD lên (SBC).
Khi đó SD,SBC^=SD,SC^=CSD^=600.
Tam giác SCD vuông tại C có SC=CDtan600=3a3=a3.
Tam giác SBC vuông tại S có SB=BC2−SC2=a6.
Mà SH=SB.SCBC=a6.a33a=a2.
Vậy thể tích của khối chóp đã cho là V=13SH.SABCD=13.a2.3a2=3a32 (đvtt).
Chọn C.
Cho hàm số y = f(x) là hàm số chẵn và xác định trên ℝ, sao cho f(0)≠0 và phương trình 5x−5−x=f(x) có đúng 5 nghiệm phân biệt. Khi đó số nghiệm của phương trình 5x+5−x=f2x2+2 là
5
15
10
20
Ta có 5x+5−x=f2x2+2⇔f2x2=5x+5−x−2=5x2−5−x2
⇔fx2=5x2−5−x2fx2=5−x2−5x2⇔ft=5t−5−tft=5−t−5t (với t=x2).
Do f(x) là hàm số chẵn và xác định trên ℝ nên fx=f−x,∀x∈ℝ
Khi đó từ phương trình 5x−5−x=fx, thay x bởi -x ta được f−x=fx=5−x−5x.
Vì phương trình 5x−5−x=fx có đúng 5 nghiệm phân biệt nên phương trình fx=5−x−5x cũng có đúng 5 nghiệm phân biệt.
Suy ra phương trình ft=5t−5−t có 5 nghiệm phân biệt t1,t2,...t5 và phương trình ft=5−t−5t cũng có 5 nghiệm phân biệt t6,t7,...,t10 *.
Giả sử phương trình 5x−5−x=fx và 5−x−5x=fx có nghiệm chung x=x0
Khi đó fx0=5x0−5−x0 1fx0=5−x0−5x0 2.
Lấy (1) - (2) ta được 25x0−5−x0=0⇔5x0=5−x0⇔x0=0
Lấy (1) + (2) ta được 2fx0=0⇔fx0=0.
Suy ra x0=0 là nghiệm của phương trình f(x) = 0 hay f(0) = 0 (mâu thuẫn với giả thiết).
Suy ra hai phương trình ft=5t−5−t và ft=5−t−5t không có nghiệm chung (**).
Từ (*) và (**) ta suy ra phương trình 5x+5−x=f2x2+2 có tổng cộng 10 nghiệm phân biệt.
Chọn C.
Trong không gian tọa độ Oxyz cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có S(5; 4; 6), A(-1; 4; 3), B(5; -2; 3). K là trung điểm của AC và H là trực tâm của tam giác SAB. Tính độ dài đoạn thẳng KH
332.
325.
23.
352.
Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Dễ thấy H∈SM (do tam giác SAB cân tại S mà là trung điểm của đoạn AB.
Theo giả thiết suy ra SK⊥ABCD⇒SK⊥AB;SM⊥AB.
Như vậy AB⊥SMK nên AB⊥SH 1.
Mặt khác, có AK⊥BD;AK⊥SK nên AK⊥SBD⇒AK⊥SB.
Lại có AH⊥SB (do H là trực tâm của tam giác SAB) nên SB⊥AKH⇒SB⊥KH 2.
Từ (1) và (2) suy ra SAB⊥KH⇒KH⊥SM.
Khi đó, tam giác SKM có KH là đường cao. Mà tam giác SKM vuông tại K nên có:
1KH2=1SK2+1KM2⇒KH=SK.KMSK2+KM2
Ta có K là trung điểm của AC nên K(2; 1; 3) nên SK=2−52+1−42+3−62=33.
Vì ABCD là hình vuông có AC=5+12+−2−42+3−32=62 suy ra KM=AC22=6222=3.
Vậy KH=33.3332+32=332.
Chọn A.
Trong không gian tọa độ Oxyz cho A(2;1;0), B(1;2;2), C(1;1;0) và mặt phẳng (P):x+y+z−32=0. D là một điểm thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P).Phương trình nào dưới đây là phương trình của đường thẳng CD
x=1+3ty=2−tz=3−2t.
x=4+3ty=1−tz=1−2t.
x=1+3ty=−tz=1+2t.
x=4+3ty=−tz=−2−2t.
Cách 1:
(P) nhận n→=1;1;1 làm vectơ pháp tuyến.
Ta có: AB→−1;1;2
Đường thẳng AB qua A và nhận AB→=−1;1;2 làm vectơ chỉ phương nên có phương trình là: x=2−ay=1+ay=2a,a∈ℝ.
Vì D∈AB⇒D2−a;1+a;2a⇒CD→=1−a;a;2a.
Mặt khác, CD//P⇒n→.CD→=0⇔1−a+a+2a=0⇔a=−12⇒CD→=32;−12;−1.
Đường thẳng CD nhận u→=3;−1;−2 làm vectơ chỉ phương nên loại đáp án C.
Thay tọa độ điểm C vào phương trình các đường thẳng còn lại thấy tọa độ điểm C thỏa mãn đáp án D.
Cách 2:
(P) nhận n→=1;1;1 làm vectơ pháp tuyến. Để CD//P⇒uCD→.n→=0C∈CD.
- Kiểm tra đáp án A: Đường thẳng có vectơ chỉ phương u1→=3;−1;−2, có u1→.n→=0.
Thay tọa độ C vào phương trình đường thẳng được: t=0t=1t=32⇒ không thỏa mãn.
- Kiểm tra đáp án B: Đường thẳng có vectơ chỉ phương u1→=3;−1;−2, có u1→.n→=0.
Thay tọa độ C vào phương trình đường thẳng được: t=−1t=0t=12⇒ không thỏa mãn.
- Kiểm tra đáp án C: Đường thẳng có vectơ chỉ phương u1→=3;−1;2, có u1→.n→=4≠0⇒ không thỏa mãn.
- Kiểm tra đáp án D: Đường thẳng có vectơ chỉ phương u1→=3;−1;−2, có u1→.n→=0.
Thay tọa độ C vào phương trình đường thẳng được: t=−1t=−1t=−1⇒t=−1⇒ thỏa mãn.
Chọn D.
Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số f(x)=x3−x2+m2+1x−4m−7 trên đoạn [0; 2] đạt giá trị nhỏ nhất khi m=m0.Khẳng định nào sau đây đúng?
m0∈(−2;−1).
m0∈[−3;−2].
m0∈[−1;0].
m0∈(0;3).
Xét hàm số y=x3−x2+m2+1x−4m−7 trên đoạn [0; 2]
Ta có: y'=3x2−2x+m2+1
Δ'=−12−3m2+1=1−3m2−3=−3m2−2<0 với ∀m.
⇒y'>0 với mọi ∀m.
⇒ hàm số y=x3−x2+m2+1x−4m−7 luôn đồng biến trên đoạn [0; 2]
⇒max0;2fx=maxf0;f2=max4m+7;2m2−4m−1.
Bất phương trình: 4m+7≥2m2−4m−1⇔4m+72≥2m2−4m−12
⇔4m+72−2m2−4m−12≥0⇔4m+7−2m2+4m+14m+7+2m2−4m−1≥0
⇔−2m2+8m+82m2+6≥0⇔−2m2+8m+8≥0 (vì 2m2+6>0 với m)
⇔m2−4m−4≤0⇔2−22≤m≤2+22.
Ta xét hai trường hợp sau:
* Trường hợp 1: Nếu 2−22≤m≤22 thì max0;2fx=4m+7.
Ta có: min4m+7=42−22+7=15−82 khi m=2−22.
* Trường hợp 2: Nếu m≤2−22 hoặc m≥2+22 thì max0;2fx=2m2−4m−1.
Xét hàm số hm=2m2−4m−1 trên D=−∞;2−22∪2+22;+∞.
Ta có: h'm=4m−4=0⇔4m=4⇔m=1.
Bảng biến thiên:
⇒minDhm=minh2−22;h2+22=h2−22=15−82 khi m=2−22.
Vậy m0=2−22∈−1;0
Chọn C.
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên ℝ. Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình bên. Giá trị lớn nhất của hàm số g(x)=f(2x)−2x trên đoạn −12;1 bằng
f(0)
f(-1) + 1
f(2) - 2
f(-2) + 2
Xét hàm số gx=f2x−2x trên đoạn −12;1.
Ta có: g'x=2f'2x−2=0⇔2.f'2x=2⇔f'2x=1
Từ đồ thị của hàm số y = f'(x) suy ra f'2x=1⇔2x=−12x=12x=2⇔x=±12x=1.
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên suy ra max−12;1gx=g−12=f2.−12−2.−12=f−1+1.
Chọn B.
Xét các số phức z1,z2 thỏa mãn z1−12−z1+2i2=1; z2−3−i=5. Giá trị nhỏ nhất của P=z1−z2 bằng
5.
355.
25.
255.
Gọi z1=x1+iy1,x1,y1∈ℝ,z2=x2+iy2x2,y2∈ℝ khi đó Mx1;y1,Nx2;y2 là điểm biểu diễn của số phức z1,z2 trong mặt phẳng Oxy
Ta có z1−12−z1+2i2=1⇔x1−1+iy12−x1+iy1+22=1⇔x1+2y1+2=0. Suy ra M thuộc đường thẳng ⇔Δ:x+2y+2=0.
Mặt khác z2−3−i=5 suy ra N thuộc đường tròn tâm I(3; 1) bán kính R=5.
Ta có dI,Δ=755⇒Δ không cắt đường tròn.
Khi đó P=z1−z2=MN≥AH⇒MNmin=AH=IH−IA=dI,Δ−R=755−5=255.
Chọn D.
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m < 30 để bất phương trình sau có nghiệm ∀x∈ℝ
log3x2+24x2+2x+m−2≤x2+2x+m−9
21
24
25
22
Ta có
log3x2+24x2+2x+m−2≤x2+2x+m−9
⇔log33x2+6−log34x2+2x+m−2≤4x2+2x+m−2−3x2+6 *
Xét hàm số ft=log3t+t,t≥6
Ta có f't=1tln3+1>0,∀t≥6⇒ft đồng biến với mọi t≥6.
Từ *⇒3x2+6≤4x2+2x+m−2⇔m≥−x2−2x+8=gx,∀x∈ℝ⇔m≥Maxgxx∈ℝ=9
Vì m < 30 nên có tất cả 21 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn A.
