Đề thi thử đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội năm 2024 có đáp án (Đề 23)

Giải thích

Đọc nội dung nhan đề và đoạn [1] của văn bản, chú ý một số từ khóa: “cảm hứng”, “tạo động lực”, “nâng cao giá trị”, “bứt phá nền kinh tế”, từ đó có thể thấy, bài viết tập trung thể hiện kết quả mà các doanh nghiệp đạt được sau khi được truyền cảm hứng từ khẩu hiệu “Make in Viet Nam”. → Chọn C.

Giải thích

Căn cứ vào nội dung của đoạn [1] xác định các thông tin quan trọng: Quá trình chuyển đổi số diễn ra trên nhiều lĩnh vực (Chính phủ số, kinh tế số và xã hội số), nhưng vai trò trung tâm là “các doanh nghiệp ICT”. 

 Chọn B

Căn cứ vào cụm từ “bứt phá với nền kinh tế số” xác định thông tin cần tìm nằm trong đoạn [1]. Trong bài viết có nhắc tới: “các doanh nghiệp ICT (công nghệ thông tin và truyền thông) được đặt vào vai trò trung tâm” nên Từ khóa là C.

 Chọn C

Đáp án

Khẩu hiệu “Make in Viet Nam” cổ vũ cộng đồng doanh nghiệp phát triển trong công cuộc chuyển đổi số và nâng cao giá trị đất nước trong chuỗi giá trị toàn cầu với yêu cầu: Nghiên cứu tại Việt Nam, sáng tạo tại Việt Nam và sản xuất tại Việt Nam.

Giải thích

Căn cứ vào từ khóa “nghiên cứu tại Việt Nam, sáng tạo tại Việt Nam và sản xuất tại Việt Nam” xác định nội dung cần tìm ở đoạn [2]: “số lượng doanh nghiệp số, sản phẩm/ứng dụng số Make in Viet Nam lần lượt ra đời” là sự “phát triển” của các doanh nghiệp; “Không “Make in Viet Nam” thì Việt Nam không thể trở thành nước phát triển. Không “Make in Viet Nam” thì Việt Nam không thể hùng cường thịnh vượng” cho thấy việc “nâng cao giá trị đất nước”; “xác định rõ nội hàm khái niệm cho các sản phẩm công nghệ số phải hướng tới là…” tương đương với “yêu cầu”.

Đáp án

Dựa vào bài viết, hãy tìm một cụm từ không quá năm tiếng để hoàn thành nhận định sau: 

Theo Bộ trưởng Nguyễn Mạnh Hùng, trong năm 2020, hiệu quả của khẩu hiệu “Make in Viet Nam” đã được thể hiện qua (1) số lượng doanh nghiệp số và sản phẩm/ứng dụng số.

Giải thích

HS đọc lướt để tìm từ khoá tên riêng, xác định các đoạn [2] xuất hiện lời nói của Bộ trưởng Nguyễn Mạnh Hùng. Trong đó, thông tin cần sử dụng nằm ở câu cuối cùng của đoạn [2]: “Do đó, “Make in Viet Nam” đã không dừng lại ở khẩu hiệu mà thể hiện bằng chính số lượng doanh nghiệp số, sản phẩm/ứng dụng số Make in Viet Nam lần lượt ra đời””. Như vậy, các từ được điền vào chỗ trống là: “Số lượng doanh nghiệp số”.

Đọc đoạn [3] và xác định thông tin quan trọng: “từ khi “Make in Viet Nam” ra đời, số lượng doanh nghiệp số Việt Nam đã tăng trưởng cả về lượng và chất”; “tăng hơn 11,4 tỷ USD so với năm 2020”; “tăng trưởng trên 10% so với năm 2021”. Các số liệu đưa ra đều thể hiện sự tăng trưởng của các doanh nghiệp số từ khi “Make in Viet Nam” ra đời. Vậy Từ khóa đúng là D.

 Chọn D

Đọc đoạn [4] và xác định thông tin: “mục tiêu phát triển 100.000 doanh nghiệp công nghệ số Việt Nam theo Nghị quyết số 52/2019… đang dần trở thành hiện thực”; “Mục tiêu 100.000 doanh nghiệp công nghệ số vào năm 2030 hoàn toàn có thể đạt được trước năm 2025”. Chỉ tiêu đề ra đang dần được hoàn thành chứ chưa đạt được tại thời điểm hiện tại. Vậy nhận xét trên chưa chính xác.

 Chọn B

Căn cứ vào thông tin của đoạn [4], bộ trưởng Nguyễn Mạnh Hùng có chia sẻ: “những nhà quản lí đã không đánh giá hết sức mạnh của dân Việt Nam”, chọn A. 

HS đọc đoạn [5], [6], đọc các câu chủ đề nằm ở đầu đoạn: “Năm 2014, Thủ tướng Ấn Độ khởi xướng chính sách “Make in India” với hy vọng biến nước này trở thành công xưởng thứ 2 của thế giới sau Trung Quốc.” và “Trước đó, từ thập niên 1980, Trung Quốc đã cải cách mạnh mẽ và nhanh chóng vươn lên trở thành công xưởng của thế giới ở nhiều lĩnh vực.”, như vậy, Từ khóa A phù hợp với thông tin được nêu do thời điểm Trung Quốc bắt đầu cải cách được tính là “Trước đó” – trước Ấn Độ. Thành tựu của hai nước được đề cập trong câu: “thu hút được một lượng lớn vốn FDI” và “nhanh chóng vươn lên” nên Từ khóa B tương ứng với nội dung 2 đoạn. Căn cứ vào thông tin trong đoạn [6]: “…chương trình “Make in India” đã thu hút được một lượng lớn vốn FDI, trong đó có cả các nhà đầu tư đến từ đối thủ Trung Quốc (năm 2015, các nhà đầu tư Trung Quốc đã đầu tư vào Ấn Độ tăng gấp sáu lần so với năm 2014…)”, suy ra các Trung Quốc đã đầu tư vào Ấn Độ trong cả 2 năm 2014 và 2015, Từ khóa C tương ứng với nội dung trong bài. Như vậy, Từ khóa đúng trong câu là D.

Chọn D

HS đọc kĩ nội dung đoạn [6] và kết hợp với thông tin từ các câu hỏi để lựa chọn câu trả lời đúng: “Make in Viet Nam” - “trở thành động lực”, “trở thành nguồn cảm hứng”; Cộng đồng các doanh nghiệp số - “đưa hoạt động của người dân và doanh nghiệp lên môi trường số”, “thúc đẩy Chính phủ số, kinh tế số, xã hội số”, “trở thành trụ cột gánh vác nền kinh tế”. Xác định Từ khóa đúng là A, do khẩu hiệu – phong trào “Make in Viet Nam” đem lại hiệu quả về kinh tế, phát triển đất nước, từ đó, nhấn mạnh vai trò của các doanh nghiệp số.

 Chọn A

Đọc nội dung nhan đề và phần Sapo đoạn [0], xác định nội dung “bất bình đẳng giới trở thành vấn đề nan giải, làm suy giảm lợi ích và là một dạng bất công trong xã hội”. Vậy mục đích của bài viết là trình bày ảnh hưởng của bất bình đẳng giới lên nền kinh tế.

 Chọn A

Đáp án

Để thúc đẩy kinh tế Việt Nam tăng trưởng, không chỉ dừng lại ở việc xây dựng các chiến lược, kế hoạch vĩ mô mà còn cần chú trọng tới vấn đề bình đẳng giới, đảm bảo tính (1) công bằng trong mọi khía cạnh của đời sống xã hội.

Giải thích

Căn cứ vào từ khóa “thúc đẩy kinh tế Việt Nam tăng trưởng” xác định nội dung cần tìm ở đoạn [1]: “bình đẳng giới vừa là mục tiêu, vừa là cơ sở thúc đẩy tăng trưởng kinh tế, xây dựng xã hội ổn định”. Xác định từ cần điền tương đương với “bình đẳng” là “công bằng”.

Đọc lại nội dung văn bản, kết hợp với phương pháp loại trừ, chú ý các thông tin quan trọng: “đạt mức tăng trưởng khá và ổn định”, “chuyển vị trí từ nhóm nước nghèo nhất sang nhóm nước có thu nhập trung bình thấp”, chọn A. 

Đọc lại nội dung văn bản để xác định đúng ý nghĩa của từ: “nữ giới có xu hướng đầu tư cao hơn trong y tế và giáo dục cho con cái, tăng vốn nhân lực cho thế hệ tiếp theo và thúc đẩy tăng trưởng kinh tế”, từ đó cho thấy xu hướng: gia tăng các khoản đầu tư (tiền bạc, giáo dục chất lượng cao, kĩ năng…) vào con cái khi phụ nữ có thu nhập tốt hơn, chọn B. 

Việc đầu tư phát triển cho con cái không đồng nhất với việc tìm kiếm cơ hội cạnh tranh trên thị trường lao động trong tương lai nên C, D không đúng. 

 Chọn B

Căn cứ vào từ khóa “mô hình kinh tế”, “phát triển bền vững và lâu dài” xác định nội dung cần tìm ở đoạn [3] và [4]: “bất bình đẳng giới còn liên quan tới vấn đề thu nhập của lao động”, “cần lưu tâm tới vấn đề tăng trưởng tức thời và sự phát triển bền vững, lâu dài”, “khoảng cách ở khía cạnh này sẽ dẫn tới khoảng cách giới ở một khía cạnh, lĩnh vực khác như một hệ quả kéo theo”. Để giúp nền kinh tế phát triển bền vững, lâu dài cần có giải pháp đồng bộ, chọn C.

Đáp án

Bất bình đẳng giới thể hiện trên nhiều khía cạnh khác nhau như: giáo dục, việc làm và tiền lương, các mặt đó tồn tại và tác động lẫn nhau gây ra nhiều hệ quả, gia tăng khoảng cách giới.

Giải thích

Dựa vào các từ khóa “giáo dục”, “việc làm”, “tiền lương” xác định nội dung cần tìm ở đoạn [4]. Đọc đoạn [4] và tìm thông tin: “các mô hình đều chỉ ra rằng khoảng cách ở khía cạnh này sẽ dẫn tới khoảng cách giới ở một khía cạnh, lĩnh vực khác như một hệ quả kéo theo”. Chú ý “dẫn tới”, “kéo theo” là kết quả của việc các khía cạnh tác động đến nhau.

Câu hoàn chỉnh: Bất bình đẳng giới thể hiện trên nhiều [khía cạnh] khác nhau như: giáo dục, việc làm và tiền lương. Các mặt đó tồn tại và [tác động] lẫn nhau gây ra nhiều [hệ quả], gia tăng [khoảng cách] giới.

Đọc đoạn [4] xác định thông tin: “Khi tồn tại… khoảng cách thu nhập”, “có thể dẫn tới việc giảm nhu cầu đối với giáo dục cho nữ giới”, “dẫn tới khoảng cách về giới trong giáo dục”. Vậy thu nhập tác động đến khoảng cách giáo dục. Đoạn [5] có thông tin: “mức tăng trưởng về thu nhập thu hút nữ giới tham gia vào lực lượng lao động, giảm thiểu những rủi ro liên quan tới vấn đề chênh lệch giáo dục”. Việc tăng thu nhập cho nữ giới chỉ giúp giảm thiểu rủi ro chứ không giải quyết được vấn đề một cách triệt để. Nhận định trên không chính xác.

 Chọn B

Đáp án

Một trong những phương pháp để thúc đẩy kinh tế phát triển chính là đảm bảo yếu tố bình đẳng trong phân phối (1) thu nhập, tạo động lực thu hút nữ giới tham gia vào thị trường lao động.

Giải thích

Căn cứ vào từ khóa “thu hút nữ giới tham gia vào thị trường lao động” xác định nội dung cần tìm ở đoạn [5]: “mức tăng trưởng về thu nhập thu hút nữ giới tham gia vào lực lượng lao động”. Xác định được từ cần điền là “thu nhập” hoặc “tiền lương”.

Đáp án

Trong những nghiên cứu về tăng trưởng kinh tế, các mô hình đều chỉ ra vai trò của việc đảm bảo tính công bằng trong xã hội, bất bình đẳng giới và những quan điểm văn hóa có thể trở thành rào cản cho sự phát triển chung của Quốc gia. 

Giải thích

Đọc lại nội dung văn bản, chú ý các thông tin quan trọng để xác định từ chính xác: “những công trình nghiên cứu vĩ mô chỉ ra rằng khoảng cách giới trong giáo dục tại Việt Nam có tác động đến tăng trưởng kinh tế”, “Những định kiến xã hội liên quan tới giới là yếu tố quan trọng”, “Cần tiếp tục đẩy mạnh việc bình đẳng giới”. Chú ý “công bằng” tương đương với “bình đẳng”; “quan điểm văn hóa” tương đương với “định kiến xã hội”.

Câu hoàn chỉnh: Trong những nghiên cứu về [tăng trưởng] kinh tế, các mô hình đều chỉ ra vai trò của việc đảm bảo tính [công bằng] trong xã hội, bất bình đẳng giới và những quan điểm [văn hóa] có thể trở thành rào cản cho sự phát triển chung của Quốc gia.

Căn cứ vào từ khóa “những quan điểm tiêu cực về nữ giới” tương đương với “những định kiến xã hội liên quan tới giới” và “ảnh hưởng đến hiệu quả lao động” tương đương với “giảm năng suất” xác định được nội dung cần tìm ở đoạn [6]. Vậy nhận định trên là đúng.

Chọn B

Sai. Vì môi trường nuôi cấy liên tục phải luôn được bổ sung chất dinh dưỡng, đồng thời lấy đi lượng dịch nuôi cấy tương đương. Mà trong hai thí nghiệm trên thì không có sự bổ sung dinh dưỡng, cũng không lấy ra lượng dịch nuôi cấy nào, quần thể vi khuẩn phát triển trên môi trường dinh dưỡng ban đầu, cho đến khi sử dụng hết chất dinh dưỡng – đây là dạng nuôi cấy không liên tục.

 Chọn B

Theo đoạn thông tin: “..., biết rằng độ đục càng tăng thì lượng vi khuẩn phát triển càng mạnh và giá trị đo được càng lớn.”

 Chọn C

Nhóm 1 thí nghiệm trong điều kiện: pH = 6 với các nhiệt độ khác nhau.

Nhóm 2 thí nghiệm trong điều kiện: nhiệt độ 37℃ với độ pH khác nhau.

→ Nhóm vi khuẩn được nuôi cấy trong cùng điều kiện là có độ pH = 6 và nhiệt độ 37℃.

 Chọn B

Đáp án

Điền từ/cụm từ vào chỗ trống sau đây:

Khi cạn kiệt chất dinh dưỡng, vi khuẩn sẽ bắt đầu pha (1) suy vong.

Giải thích

Trong môi trường nuôi cấy không liên tục, quần thể vi khuẩn sẽ trải qua 4 pha: tiềm phát, lũy thừa, cân bằng, suy vong. Khi cạn kiệt chất dinh dưỡng, vi khuẩn sẽ bắt đầu pha suy vong, làm cho số lượng vi khuẩn giảm xuống nhanh chóng.

Nhìn vào số liệu bảng 2, ta thấy tại môi trường dinh dưỡng có độ pH = 3 và pH = 9 thì không thấy sự thay đổi của giá trị độ đục ↔ không có sự sinh trưởng của quần thể vi khuẩn.

 Chọn C

Nhìn vào số liệu bảng 1, ta thấy S. Aureus phát triển nhanh nhất để đạt độ đục cao nhất tại 37℃ (0,800) cao hơn nhiều so với các nhóm khác nên tại 37℃ chủng vi khuẩn này phát triển tối ưu.

 Chọn B

Đúng. Nhìn vào số liệu bảng 1 ở nhiệt độ 37℃, ta thấy ở giai đoạn 600 phút (= 10 giờ) trở đi thì số lượng vi khuẩn có xu hướng chững lại, không tăng (duy trì ở mức cân bằng). Do lượng dinh dưỡng bắt đầu cạn kiệt, chất độc hại tích lũy nhiều, tỉ lệ vi khuẩn sinh ra cân bằng với tỉ lệ vi khuẩn chết đi. 

 Chọn A

Theo phần dẫn, ta có: Nước có thể tích xác định là do lực tương tác giữa các phân tử nước là lực hút.

 Chọn B

Theo đồ thị, ta thấy tại nhiệt độ T1, mẫu (1) có động năng lớn hơn mẫu (2) nên mẫu (1) có số phân tử chuyển động nhiều hơn mẫu (2).

 Chọn B

Theo hình vẽ, tại nhiệt độ T1 thì ta thu được chỉ số động năng là cao nhất.

 Chọn B

Đáp án

Khi nhiệt độ trong nước tăng lên đến một giới hạn nào đó thì sẽ xảy ra quá trình chuyển pha từ chất lỏng sang (1) chất khí.

Giải thích

Theo đoạn thứ hai của phần dẫn: Khi nhiệt độ trong nước tăng lên thì lực liên kết giữa các phân tử giảm dẫn đến một số phân tử sẽ bay hơi và thoát khỏi dưới dạng khí.

Đáp án

Các hạt (nguyên tử hoặc phân tử) của chất lỏng (1) chuyển động không ngừng. Vận tốc của một hạt là thước đo động năng của nó. Các phân tử (2) chuyển động càng nhanh thì động năng càng lớn.

Giải thích

Các hạt (nguyên tử hoặc phân tử) của chất lỏng chuyển động không ngừng. Vận tốc của một hạt là thước đo động năng của nó. Vận tốc càng nhanh thì động năng càng lớn.

Khi nước xảy ra quá trình chuyển pha từ thể lỏng sang thể khí thì:

+ khi nhiệt độ tăng dẫn đến động năng tăng.

+ Động năng tăng lên làm suy yếu lực hấp dẫn liên phân tử trong nước

+ Một số phân tử thoát ra khỏi chất lỏng dưới dạng khí.

Từ thông tin trên, ta thấy Từ khóa B,C và D sai

 Chọn A

Ánh sáng khả kiến là các bức xạ điện từ có bước sóng nằm trong vùng quang phổ nhìn thấy được bằng mắt thường của con người.

 Chọn D

Nhìn vào hình 1, ta thấy ở bước sóng 440 nm, có sự hấp thụ lớn đối với cả 3 sắc tố quang hợp.

 Chọn B

Nhìn vào hình 1, ta thấy diệp lục a và diệp lục b có độ hấp thụ thấp nhất ở phần quang phổ từ 525 đến 625 nm, tương ứng với độ phản xạ lớn nhất.

 Chọn C

Đáp án

Sắc tố có độ hấp thụ cao nhất trong vùng ánh sáng đỏ của quang phổ là (1) chlorophyll a.

Giải thích

Ánh sáng đỏ có bước sóng 620 – 750 nm, nhìn vào hình 1, trong phạm vi bước sóng đó, diệp lục a có độ hấp thụ cao nhất.

Nhìn vào hình 1, ta thấy quang hợp xảy ra ở miền ánh sáng đỏ và miền ánh sáng xanh tím.

 Chọn A

Mắt người có khả năng nhìn thấy màu xanh của diệp lục vì ở vùng ánh sáng màu xanh lá của quang phổ khả kiến, diệp lục gần như không hấp thụ chúng và phản xạ toàn bộ lại môi trường, phản lại mắt ta khiến ta nhìn thấy lá có màu xanh.

 Chọn B

Chọn đáp án A

Chọn đáp án A

Salbutamol thể hiện tính bazơ của nhóm amin bậc 2 bằng phản ứng với (1) axit HBr.

Chọn đáp án B

Chọn đáp án C

Chọn đáp án A

Theo bảng màu cung cấp những dịch có môi trường acid (pH < 7) làm nước bắp cải tím chuyển sang màu đỏ, hồng hay tím. Đối chiếu với kết quả màu sắc trong bảng thì thấy có 3 mẫu dịch lỏng có môi trường acid là: giấm ăn, sữa, nước sprite.

 Chọn A

Dựa vào hình ở trên, với pH = 1,0 - 2,0 nước bắp cải tím sẽ chuyển sang màu đỏ. Do đó kết luận là sai.

 Chọn B

Đáp án

Bắp cải tím là chất chỉ thị acid – base tự nhiên vì trong dịch chiết bắp cải tím có chứa hợp chất  (1) Anthocyanin.

Giải thích

Học sinh tìm thấy thông tin ở dòng 9 của văn bản dẫn.

Đáp án

Nước lau bếp >  Baking soda > Nước tinh khiết  > Sữa > Nước sprite > Giấm ăn

Giải thích

Dựa vào thông tin trong bảng và hình ta có khoảng giá trị pH của các dịch lỏng: Nước lau bếp: pH = 10 - 12; Baking soda: pH = 8 - 9; Nước tinh khiết: pH = 7; Sữa: pH = 6; Nước sprite: pH = 4; Giấm ăn: pH = 2 - 3.

Đáp án

Trộn 10,0 mL dung dịch HCl 0,05M với 10,0 mL dung dịch NaOH 0,03M thu được dung dịch A. Cho nước bắp cải tím vào dung dịch A thì dung dịch có màu (1) _Đỏ_ do dung dịch A có pH bằng (2) _2_ .

Giải thích

Lý do lựa chọn phương án: 

Số mol HCl = 0,5 mmol; số mol NaOH là 0,3 mmol; 

HCl + NaOH = NaCl + H2O 

Sau phản ứng HCl dư 0,2mmol; nồng độ HCl = 0,01M; pH = 2 do đó khi cho bắp cải tím vào dung dịch A dung dịch sẽ có màu đỏ. 

- Giấm ăn có môi trường acid sẽ có phản ứng trung hòa với những dung dịch có tính base. 

- Dung dịch baking soda và nước lau bếp có môi trường base, nên sẽ xảy ra phản ứng trung hòa với giấm ăn.

- Nước sprite có môi trường acid nên không phản ứng với giấm ăn.

- Nước tinh khiết có môi trường trung tính không phản ứng với giấm ăn.

 Chọn B

Đáp án

Cho nước bắp cải tím vào dung dịch baking soda được dung dịch X có màu xanh nước biển. Cho từ từ dung dịch giấm ăn vào dung dịch X thì màu của dung dịch X sẽ nhạt dần do xảy ra phản ứng trung hòa, giá trị pH của dung dịch giảm dần. Đến khi dư giấm ăn thì màu của dung dịch sẽ chuyển sang màu đỏ.

Theo đoạn thông tin: “Virus nhận ra các tế bào chủ của nó theo nguyên tắc “chìa và khóa” giữa các protein bề mặt của virus với các phân tử thụ thể đặc hiệu trên bề mặt ngoài của tế bào chủ”, tức là không phải virus nào cũng xâm nhập được vào hết các loại tế bào, mà cần có sự liên kết đặc hiệu với tùy từng loại thụ thể trên bề mặt tế bào.

 Chọn B

Đáp án

Hấp phụ → Xâm nhập → Sinh tổng hợp → Lắp ráp → Giải phóng.

Giải thích

Theo đoạn thông tin, ta có thể sơ đồ hóa lại quá trình nhân lên của virus theo trình tự: Hấp phụ → Xâm nhập → Sinh tổng hợp → Lắp ráp → Giải phóng.

Theo bài: “Chúng là các dạng sống ký sinh nội bào bắt buộc”, sử dụng hệ enzyme của vật chủ để nhân lên, nên dù ở trong hay ngoài vật chủ thì virus đều không có sự sinh trưởng.

 Chọn D

Virus cần tự mã hóa một số loại enzyme nhất định phục vụ cho nhu cầu nhân lên của chúng, do tế bào chủ không cần thiết phải có những enzyme đó trong quá trình hoạt động của mình.

 Chọn A

Đáp án: “4”

Giải thích

4 phương thức trên đều phù hợp:

Ức chế hòa màng/xâm nhập: ngăn chặn virus xâm nhập vào tế bào.

Ức chế enzyme sao chép ngược: không tạo đủ vật chất di truyền cho các thế hệ virus.

Ức chế protease: ức chế sự tổng hợp protein, lắp ráp các vật chất virus.

Ức chế sự tích hợp vật chất di truyền của virus: ngăn chặn virus gắn hệ gene vào hệ gene tế bào.

Thụ thể CD4 đặc hiệu với protein bề mặt của virus. Nếu đưa hồng cầu có thụ thể CD4 vào bệnh nhân HIV thì virus sẽ xâm nhập vào nhưng không nhân lên được do hồng cầu không có nhân, không có bộ máy sao chép nucleic acid.

 Chọn B

Đáp án

Giải thích

(1), (3) đúng.

(2) sai vì kết quả của quá trình nhân lên là từ một virus ban đầu tạo ra vô số virus mới giống hệt nhau và giống virus ban đầu.

Đáp án : “46”

Giải thích

Đặt \(z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\).

Ta có: \(\left| {z - 3 - 4i} \right| = \sqrt 5  \Leftrightarrow {(a - 3)^2} + {(b - 4)^2} = 5\left( 1 \right)\).

Mặt khác, \(P = \left| {z + 2{|^2} - } \right|z - i{|^2} = {(a + 2)^2} + {b^2} - \left[ {{a^2} + {{(b - 1)}^2}} \right] = 4a + 2b + 3 \Rightarrow b = \frac{{P - 4a - 3}}{2}\)(2)

Từ (1) và \(\left( 2 \right)\) ta có \(20{a^2} + \left( {64 - 8P} \right)a + {P^2} - 22P + 137 = 0\left( {\rm{*}} \right)\).

Phương trình \(\left( {\rm{*}} \right)\) có nghiệm khi \({\rm{\Delta '}} =  - 4{P^2} + 184P - 1716 \ge 0\).

\( \Leftrightarrow 13 \le P \le 33 \Rightarrow M + m = 33 + 13 = 46\).

Đáp án

Tại \(x = 2\sqrt 7 \) thì \(f\left( x \right)\) bằng 3 .

Số giá trị nguyên thuộc \(\left[ { - 5;5} \right]\) để hàm số có nghĩa là 8 .

Phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có nghiệm bằng 0 .

Giải thích

Vị trí thả 1: 3

Vị trí thả 2: 8

Vị trí thả 3: 0

Ta có:

Nhập  ta được \(f\left( {2\sqrt 7 } \right) = 3\).

Điều kiện xác định \({x^2} - 1 > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 1}\\{x <  - 1}\end{array}} \right.\). Vì \(x\) nguyên thuộc \(\left[ { - 5;5} \right]\) nên \(x \in \left\{ { - 5; - 4; - 3; - 2;2;3;4;5} \right\}\).

Vậy có 8 giá trị nguyên thỏa mãn.

\(f'\left( x \right) = \frac{{2x}}{{\left( {{x^2} - 1} \right){\rm{.ln}}3}};f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0\).

Kẻ đường kính \(AD\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) ta có \(\widehat {ABD} = \widehat {ACD} = {90^ \circ }\).

Khi đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BD \bot AB}\\{BD \bot SA}\end{array} \Rightarrow BD \bot \left( {SAB} \right)} \right.\) hay \(BD \bot AM\) và \(AM \bot SB\), từ đó ta có \(AM \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow AM \bot SD\).

Chứng minh tương tự ta có \(AN \bot SD\). Từ đó suy ra \(SD \bot \left( {AMN} \right)\), mà \(SA \bot \left( {ABC} \right)\).

Suy ra \(\left( {\left( {ABC} \right),\left( {AMN} \right)} \right) = \left( {SA,SD} \right) = \widehat {DSA}\).

Ta có \(BC = 2R{\rm{sin}}A = AD.\frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow SA = 2BC = AD\sqrt 3 \).

Vậy tan \(\widehat {ASD} = \frac{{AD}}{{SA}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \widehat {ASD} = {30^ \circ }\).

 Chọn C

Đáp án

Số bi đỏ trong bình là \(75 - 35 = 40\) (viên bi) trong đó có \(40 - 30 = 10\) (viên bi) chưa qua sử dụng.

Số bi xanh trong bình chưa qua sử dụng là \(35 - 25 = 10\) (viên bi)

Vậy có \(C_{10}^1\).\(C_{10}^1 = 100\) cách chọn 2 viên bi khác màu chưa qua sử dụng.

Để chọn được 3 viên bi khác màu, ta xét các trường hợp sau:

TH1. 3 viên bi được chọn gồm 2 viên bi xanh và 1 viên bi đỏ có \(C_{35}^2.C_{40}^1\) cách chọn.

- Có \(C_{10}^2\).\(C_{10}^1\) cách chọn 3 viên bi gồm 2 viên bi xanh và 1 viên bi đỏ đều chưa qua sử dụng.

- Có \(C_{25}^2\).\(C_{30}^1\) cách chọn 3 viên bi gồm 2 viên bi xanh và 1 viên bi đỏ đều đã qua sử dụng.

\( \Rightarrow \) Có \(C_{35}^2.C_{40}^1 - \left( {C_{10}^2.C_{10}^1 + C_{25}^2.C_{30}^1} \right) = 14350\) cách chọn 3 viên bi (gồm 2 viên bi xanh, 1 viên bi đỏ) và có cả viên bi chưa sử dụng và đã qua sử dụng.

TH2. 3 viên bi được chọn gồm 1 viên bi xanh và 2 viên bi đỏ có \(C_{35}^1.C_{40}^2\) cách chọn.

- Có \(C_{10}^1\).\(C_{10}^2\) cách chọn 3 viên bi gồm 1 viên bi xanh và 2 viên bi đỏ đều chưa qua sử dụng.

- Có \(C_{25}^1\).\(C_{30}^2\) cách chọn 3 viên bi gồm 1 viên bi xanh và 2 viên bi đỏ đều đã qua sử dụng.

\( \Rightarrow \) Có \(C_{35}^1.C_{40}^2 - \left( {C_{10}^1.C_{10}^2 + C_{25}^1.C_{30}^2} \right) = 15975\) cách chọn 3 viên bi (gồm 1 viên bi xanh, 2 viên bi đỏ) và có cả viên bi chưa sử dụng và đã qua sử dụng.

Vậy có \(14350 + 15975 = 30325\) cách chọn 3 viên bi khác màu và có cả viên bi chưa sử dụng và đã qua sử dụng.

Khi thêm 2 viên bi đã qua sử dụng vào bình thì xác suất để chọn được một viên bi chưa qua sử dụng là: \(P = \frac{{C_{10}^1 + 10}}{{C_{75}^1 + 2}} = \frac{{20}}{{77}} \ne \frac{2}{7}\).

Đáp số: “2024”

Giải thích

Giả sử \({2^{2023}}\) có \(m\) chữ số và \({5^{2023}}\) có \(n\) chữ số. Khi đó hai số \({2^{2023}}\) và \({5^{2023}}\) viết liền nhau tạo thành một số có \(m + n\) chữ số.

Vì \({2^{2023}}\) có \(m\) chữ số nên \({10^{m - 1}} < {2^{2023}} < {10^m}\left( 1 \right)\).

Vì \({5^{2023}}\) có \(n\) chữ số nên \({10^{n - 1}} < {5^{2023}} < {10^n}\left( 2 \right)\).

Nhân từng vế của (1) và (2) ta được: \({10^{m + n - 2}} < {10^{2023}} < {10^{m + n}} \Leftrightarrow m + n - 2 < 2023 < m + n\)

Mà \(m,n \in \mathbb{N}\) nên \(m + n - 1 = 2023 \Leftrightarrow m + n = 2024\).

Đáp án

Giải thích

Góc giữa hai mặt phẳng \((\alpha )\) và \((\beta )\) là góc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c} = 1}\\{\frac{1}{a} = \frac{2}{b} = \frac{3}{c}}\\{a + b + c = {{(1 + 2 + 3)}^2}}\end{array} \Leftrightarrow } \right.\left\{ \begin{array}{l}a = 6\\b = 12\\c = 18\end{array} \right.\) . Khi đó

\(sin\varphi  = \frac{{d(A;\alpha )}}{{d(A;\Delta )}}.\)

Gọi \(O = AC \cap BD\).

Gọi điểm \(G\) là trọng tâm , kéo dài tia \(BM\) cắt \(AD\) tại \(F\).

Ta có \(\left( {SAC} \right) \cap \left( {BEF} \right) = EG\)

Khi đó góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {BME} \right)\) là góc \(\varphi \) có \({\rm{sin}}\varphi  = \frac{{d\left( {A;\left( {BEF} \right)} \right)}}{{d\left( {A;EG} \right)}}\).

Trong \(\left( {SAC} \right)\), kẻ \(AK \bot EG\left( {K \in EG} \right)\).

Ta có: \(AE = SA - SE = 2a;AG = AC - GC = AC - \frac{2}{3}OC = \frac{2}{3}AC = \frac{{2a\sqrt 5 }}{3}\)

\( \Rightarrow d\left( {A,EG} \right) = AK = \frac{{AE.AG}}{{\sqrt {A{E^2} + A{G^2}} }} = \frac{{a\sqrt {70} }}{7}\)

Gọi \(h = d\left( {A;\left( {BEF} \right)} \right)\).

Ta có: \(\frac{{FD}}{{FA}} = \frac{{DM}}{{AB}} = \frac{1}{2} \Rightarrow FA = 2a\)

Vì \(AE,AB,AF\) đôi một vuông góc nên

\(\frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{A{E^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{F^2}}} = \frac{1}{{{{(2a)}^2}}} + \frac{1}{{{{(2a)}^2}}} + \frac{1}{{{{(2a)}^2}}} = \frac{3}{{4{a^2}}} \Rightarrow h = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\)

\( \Rightarrow {\rm{sin}}\varphi  = \frac{{d\left( {A;\left( {BEF} \right)} \right)}}{{d\left( {A;EG} \right)}} = \frac{{\sqrt {14} }}{{\sqrt {15} }} \Rightarrow {\rm{cos}}\varphi  = \frac{1}{{\sqrt {15} }}\).

Đáp án: “8”

Giải thích

Gọi bán kính khối cầu là \(r\) thì đường kính khối cầu là \(2r\).

Thể tích ban đầu của khối cầu là \(V = \frac{4}{3}\pi {r^3}\).

Khi đường kính khối cầu giảm đi 2 lần thì bán kính khối cầu là \(\frac{r}{2}\).

Thể tích của khối cầu sau khi giảm là \(V' = \frac{4}{3}\pi {\left( {\frac{r}{2}} \right)^3} = \frac{1}{8}.\frac{4}{3}\pi {r^2} = \frac{1}{8}V\).

Vậy thể tích khối cầu giảm đi 8 lần.

Đáp án

Giải thích

Ta có: \(z_1^2 + z_2^2 = {z_1}{z_2} \Leftrightarrow z_1^2 - {z_1}{z_2} + z_2^2 = 0\)

\( \Rightarrow z_1^3 + z_2^3 = \left( {{z_1} + {z_2}} \right)\left( {z_1^2 - {z_1}{z_2} + z_2^2} \right) = 0 \Leftrightarrow z_1^3 =  - z_2^3 \Rightarrow \left| z \right._1^3\left| { = \left| z \right._2^3} \right| \Rightarrow {\left| z \right._1}\left| { = \left| {{z_2}} \right.} \right| \Rightarrow OA = OB\)

Mặt khác \[\left. {{{\left. {\left( {{z_1} - {z_2}} \right.} \right)}^2} = \left( {z_1^2 - {z_1}{z_2} + z_2^2} \right.} \right) - {z_1}{z_2} =  - {z_1}{z_2} \Rightarrow {\left| {{z_1} - \left. {{z_2}} \right|} \right.^2} = \left| {{z_1}} \right.\left| {.\left| {{z_2}} \right.} \right| \Rightarrow A{B^2} = OA.OB = O{A^2}\]

 đều.

Đáp án

Giá trị của \(x\) bằng -7.

Số hạng thứ 8 của cấp số nhân trên là 384.

Tổng của 10 số hạng đầu của cấp số nhân trên bằng 1023.

Giải thích

Ba số \(x + 4;6;x - 5\) theo thứ tự lập thành một cấp số nhân

\( \Leftrightarrow \left( {x + 4} \right)\left( {x - 5} \right) = {6^2} \Leftrightarrow {x^2} - x - 56 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 8\left( L \right)}\\{x =  - 7\left( {tm} \right)}\end{array}} \right.\)

Vậy 3 số hạng đầu tiên của cấp số nhân là \( - 3;6; - 12\), công bội là \(q = 6:\left( { - 3} \right) =  - 2\).

Số hạng thứ 8 là \({u_8} = {u_1}.{q^7} = \left( { - 3} \right).{( - 2)^7} = 384\).

Tổng 10 số hạng đầu là \({S_{10}} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^{10}}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{ - 3.\left( {1 - {{( - 2)}^{10}}} \right)}}{{1 - \left( { - 2} \right)}} = 1023\).

Giải thích

Phương trình đã cho tương đương với:

\(\left( {m - 1} \right){\rm{log}}_3^2\left( {x - 1} \right) + m{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {x - 1} \right) - 5m + 3 = 0\) (1).

Đặt \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {x - 1} \right) = t\). Do \(x \in \left[ {10;82} \right]\) suy ra \(t \in \left[ {2;4} \right]\).

Phương trình (1) trở thành: \(\left( {m - 1} \right){t^2} + mt - 5m + 3 = 0,t \in \left[ {2;4} \right]\) (2)

\( \Leftrightarrow m = \frac{{{t^2} - 3}}{{{t^2} + t - 5}} = f\left( t \right)\left( {} \right.\) vì \(t \in \left[ {2;4} \right]\) nên \(\left. {{t^2} + t - 5 \ne 0} \right)\)

\(f'\left( t \right) = \frac{{{t^2} - 4t + 3}}{{{{\left( {{t^2} + t - 5} \right)}^2}}},f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{{t^2} - 4t + 3}}{{{{\left( {{t^2} + t - 5} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow t = 3(\)vì \(t \in \left[ {2;4} \right]\)).

\(f\left( t \right)\) luôn xác định với mọi \(t \in \left[ {2;4} \right]\).

Ta có: \(f\left( 2 \right) = 1,f\left( 3 \right) = \frac{6}{7},f\left( 4 \right) = \frac{{13}}{{15}}\).

Do đó \(\mathop {{\rm{min}}}\limits_{\left[ {2;4} \right]} f\left( t \right) = f\left( 3 \right) = \frac{6}{7},\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ {2;4} \right]} f\left( t \right) = f\left( 2 \right) = 1\).

Phương trình đã cho có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {10;82} \right]\) khi phương trình (2) có nghiệm \(t \in \left[ {2;4} \right]\) nên với

\(m \in \left[ {\frac{6}{7};1} \right]\) thì phương trình đã cho có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {10;82} \right]\). Mà \(m\) là số nguyên nên \(m = 1\).

 Chọn D

Đáp án: “294”

Giải thích

Bán kính \(R\) của hình tròn ban đầu chính là đường sinh của hình nón.

Độ dài cung lớn \(AB\) chính là chu vi của đường tròn đáy hình nón và bằng . Vậy bán kính đáy của hình nón là .

Khi đó thể tích phễu hình nón là

\(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi \frac{{{R^2}{x^2}}}{{{{360}^2}}}\sqrt {{R^2} - {{\left( {\frac{{Rx}}{{360}}} \right)}^2}}  = \frac{{{R^3}{x^2}\pi }}{{{{3.360}^3}}}\sqrt {{{360}^2} - {x^2}} \).

Yêu cầu bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của \(V\) với \(x \in \left( {0;360} \right)\).

Ta có \(V = \frac{{{R^3}{x^2}\pi }}{{{{3.360}^3}}}\sqrt {{{360}^2} - {x^2}}  = \frac{{{R^3}\pi }}{{3\sqrt 2 {{.360}^3}}}\sqrt {{x^4}\left( {{{2.360}^2} - 2{x^2}} \right)} \).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: \({x^2}{x^2}\left( {{{2.360}^2} - 2{x^2}} \right) \le {\left( {\frac{{{x^2} + {x^2} + {{2.360}^2} - 2{x^2}}}{3}} \right)^3} = \frac{{{{8.360}^6}}}{{27}}\).

Suy ra \(V \le \frac{{{R^3}\pi }}{{3\sqrt 2 {{.360}^3}}}.\frac{{2\sqrt 2 }}{{3\sqrt 3 }}{360^3} = \frac{{2\sqrt 3 {R^3}\pi }}{{27}}\).

Dấu bằng xảy ra khi \({x^2} = {2.360^2} - 2{x^2} \Leftrightarrow x = \frac{{360\sqrt 6 }}{3} \approx {294^ \circ }\).

Đáp án

Giải thích

Ta có: \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 2}&{{\rm{ khi }}x > 1}\\a&{{\rm{ khi }}x = 1}\\{2 - x}&{{\rm{ khi }}x < 1}\end{array}} \right.\)

a) Để \(f\left( x \right)\) liên tục trái tại \(x = 1 \Leftrightarrow \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right)\) tồn tại và \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\).

Ta có:  và \(f\left( 1 \right) = a\).

Vậy với \(a = 1\) hàm số liên tục trái tại \(x = 1\).

b) Để \(f\left( x \right)\) liên tục phải tại  tồn tại và .

Ta có:  và \(f\left( 1 \right) = a\).

Vậy với \(a =  - 1\) hàm số liên tục phải tại \(x = 1\).

c) Do  nên hàm số không liên tục tại \(x = 1\).

Giải thích

Số các số thuộc \(M\) là \(A_5^3 + A_5^4 + A_5^5 = 300\).

Các tập con của \(E\) có tổng các phần tử bằng 10 gồm \({E_1} = \left\{ {1;2;3;4} \right\},{E_2} = \left\{ {2;3;5} \right\},{E_3} = \left\{ {1;4;5} \right\}\).

Gọi \(A\) là tập con của \(M\) sao cho mỗi số thuộc \(A\) có tổng các chữ số bằng 10 .

Từ \({E_1}\) lập được số các số thuộc \(A\) là 4!.

Từ mỗi tập \({E_2}\) và \({E_3}\) lập được các số thuộc \(A\) là 3!.

Suy ra số phần tử của \(A\) là \(4! + 2.3! = 36\).

Xác suất cần tìm là \(P = \frac{{36}}{{300}} = \frac{3}{{25}}\).

 Chọn B

Đáp án

Giá trị của \({y_0}\) bằng -2023.

Giá trị của \({z_0}\) bằng 0.

Khoảng cách \(AB\) nhỏ nhất bằng \(2\sqrt a \) với \(a\) bằng 30.

Giải thích

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {2;2; - 1} \right)\).

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {3;2;5} \right)\) và bán kính \(R = 6 \Rightarrow \overrightarrow {EI}  = \left( {1;1;2} \right)\)

\( \Rightarrow IE = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {2^2}}  = \sqrt 6  < R \Rightarrow \) điểm \(E\) nằm trong mặt cầu \(\left( S \right)\).

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(I\) trên mặt phẳng \(\left( P \right),A\) và \(B\) là hai giao điểm của \({\rm{\Delta }}\) với \(\left( S \right)\).

Khi đó, \(AB\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow d{(H;AB)_{{\rm{max}}}} \Leftrightarrow AB \bot HE\), mà \(AB \bot IH\) nên \(AB \bot \left( {HIE} \right) \Rightarrow AB \bot IE\).

Suy ra \(\overrightarrow {{u_{\rm{\Delta }}}}  = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ;\overrightarrow {EI} } \right] = \left( {5; - 5;0} \right)\parallel \left( {1; - 1;0} \right)\) là một vectơ chỉ phương của \({\rm{\Delta }}\).

Suy ra \(\vec u = \left( {2023; - 2023;0} \right)\) là một vectơ chỉ phương của \({\rm{\Delta }}\), do đó \({y_0} =  - 2023,{z_0} = 0\).

Ta có: \(IH = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.3 + 2.2 - 5 - 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{2}{3}\).

\(\Delta IHE\) vuông tại \(H:HE = \sqrt {I{E^2} - I{H^2}}  = \sqrt {6 - {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2}}  = \frac{{5\sqrt 2 }}{3}\).

\({\rm{\Delta }}IHB\) vuông tại \(H:HB = \sqrt {I{B^2} - I{H^2}}  = \sqrt {36 - {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2}}  = \frac{{8\sqrt 5 }}{3}\).

\(\Delta HEB\) vuông tại \(E:BE = \sqrt {H{B^2} - H{E^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{{8\sqrt 5 }}{3}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{5\sqrt 2 }}{3}} \right)}^2}}  = \sqrt {30} \).

\( \Rightarrow AB = 2BE = 2\sqrt {30} \).

Giải thích

Gọi \(I\left( {x;y;z} \right)\) là tâm mặt cầu \(\left( S \right)\) đi qua 3 điểm \(A,B,C\).

Ta có: \[IA = IB = IC \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{I{A^2} = I{B^2}}\\{I{B^2} = I{C^2}}\end{array}} \right.\]

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{(x - 1)^2} + {y^2} + {z^2} = {(x - 2)^2} + {y^2} + {(z - 1)^2}\\{(x - 2)^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = {(x - 1)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 1)^2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2x + 1 =  - 4x + 4 - 2z + 1}\\{ - 4x + 4 =  - 2x + 1 - 2y + 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + z = 2}\\{x - y = 1}\end{array}} \right.} \right.\)

Vì \(I \in \left( P \right)\) nên ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{r}}{x + z = 2}\\{x - y = 1}\\{x + y + z - 6 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 5}\\{y = 4}\\{z =  - 3}\end{array} \Rightarrow I\left( {5;4; - 3} \right)} \right.} \right.\)

Bán kính của mặt cầu \(\left( S \right)\) là \(R = IA = \sqrt {41} \)

\( \Rightarrow \left( S \right):{(x - 5)^2} + {(y - 4)^2} + {(z + 3)^2} = 41\).

 Chọn B

Đáp án

Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {\left( {4 + 3i} \right)z + 7 - i} \right| = 10\) là một đường tròn tâm \(I\)(-1; 1) và bán kính R = 2.

Giải thích

Ta có: \(\left| {\left( {4 + 3i} \right)z + 7 - i} \right| = 10 \Leftrightarrow \frac{{\left| {\left( {4 + 3i} \right)z + 7 - i} \right|}}{{\left| {4 + 3i} \right|}} = \frac{{10}}{{\left| {4 + 3i} \right|}} \Leftrightarrow \left| {z + 1 - i} \right| = 2\)

Vậy tập hợp điểm điểm biểu diễn các số phức \(z\) là đường tròn tâm \(I\left( { - 1;1} \right)\) và bán kính \(R = 2\)

Giải thích

Ta có \(f'\left( x \right) = {x^3}{(x - 1)^2}\left( {x - 2} \right)\) do đó \(f'\left( x \right) = 0\) tại các điểm \(x = 0\) (nghiệm bội ba), \(x = 1\) (nghiệm bội hai) và \(x = 2\) (nghiệm đơn).

Ta có bảng xét dấu:

 Chọn A

Đáp án

Giải thích

Ta có \({x^4} - \left( {3m + 1} \right){x^2} + 2{m^2} + m = 0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - m} \right)\left( {{x^2} - 2m - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} = m}\\{{x^2} = 2m + 1}\end{array}} \right.\)

Để phương trình có 4 nghiệm phân biệt thì \(\left[ \begin{array}{l}m > 0\\2m + 1 > 0\\m \ne 2m + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 0\).

Khi đó phương trình có 4 nghiệm là \( - \sqrt m ,\sqrt m , - \sqrt {2m + 1} ,\sqrt {2m + 1} \).

Do \(m > 0\) nên \(2m + 1 > m\) do đó \( - \sqrt {2m + 1}  <  - \sqrt m  < \sqrt m  < \sqrt {2m + 1} \). Để 4 nghiệm này tạo thành một cấp số cộng thì \(2\sqrt m  = \sqrt {2m + 1}  - \sqrt m  \Leftrightarrow m = \frac{1}{7}\) (thỏa mãn).

Giải thích

Tổng số điểm vừa lấy bằng: \(3 + 4 + 5 + 6 = 18\) (điểm).

Mỗi cách chọn ra 3 điểm không nằm trên một cạnh cho ta một tam giác.

Số cách chọn 3 điểm từ 18 điểm là: \(C_{18}^3 = 816\) (cách chọn).

Số cách chọn 3 điểm cùng nằm trên một cạnh là: \(C_3^3 + C_4^3 + C_5^3 + C_6^3 = 35\) (cách chọn).

Vậy số tam giác cần tìm bằng: \(816 - 35 = 781\) (tam giác).

 Chọn D

Đáp án

Diện tích xung quanh của hình nón \(\left( S \right)\) bằng \(9\sqrt 2 \pi \).

Thể tích của khối nón \(\left( S \right)\) bằng \(9\pi \).

Giải thích

Giả sử ta có khối nón \(\left( S \right)\) như hình vẽ.

Vì  vuông cân nên

+)\(h = SH = HA = HB = R = 3\);

+),\(l = SA = SB = \frac{{AB}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{2R}}{{\sqrt 2 }} = 3\sqrt 2 \).

Vậy:

+) Diện tích xung quanh của hình nón \(\left( S \right)\) là: \({S_{xq}} = \pi Rl = 9\sqrt 2 \pi \).

+) Thể tích của khối nón \(\left( S \right)\) là: \(V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = 9\pi \).

Đáp án

Giải thích

 TXĐ: \(D = \mathbb{R} \setminus \left\{ 2 \right\}\).

\(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  - \infty } \frac{{2x - 3}}{{2 - x}} = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2x - 3}}{{2 - x}} =  - 2 \Rightarrow y =  - 2\) là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ta có \(y = \frac{{2x - 3}}{{2 - x}} = \frac{{2x - 3}}{{ - x + 2}} \Rightarrow y' = \frac{1}{{{{(2 - x)}^2}}} > 0,\forall x \in D\).

\( \Rightarrow \) Hàm số luôn đồng biến trên các khoảng của tập xác định

Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \(x =  - 1\) là \(k = y'\left( { - 1} \right) = \frac{1}{9}\).

Giải thích

Ta có: \({x^2} + 2{y^2} - 1 = {\rm{ln}}\left( {\frac{{1 - {y^2}}}{{{x^2} + {y^2}}}} \right)\)

\( \Leftrightarrow {\rm{ln}}\left( {1 - {y^2}} \right) + \left( {1 - {y^2}} \right) = {\rm{ln}}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + \left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( 1 \right)\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {\rm{ln}}x + x{\rm{\;}}(x > 0)\).

Ta có: \(f'\left( x \right) = \frac{1}{x} + 1 > 0,\forall x > 0 \Rightarrow f\left( x \right)\) luôn đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) (2).

Theo (1) ta có: \(f\left( {1 - {y^2}} \right) = f\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\) kết hợp với (2) suy ra \(1 - {y^2} = {x^2} + {y^2} \Leftrightarrow {x^2} + 2{y^2} = 1\).

Sử dụng bất đẳng thức \({\rm{AM}} - {\rm{GM}}\) đối với các số dương, ta có:

\(\frac{{{x^4}}}{{{x^2}.{y^2}.{y^2}}} \ge \frac{{{x^4}}}{{\frac{{{{\left( {{x^2} + {y^2} + {y^2}} \right)}^3}}}{{27}}}} = \frac{{{x^4}}}{{\frac{1}{{27}}}} \Rightarrow \frac{{{x^2}}}{{{y^4}}} \ge 27{x^4} \Rightarrow \frac{x}{{{y^2}}} \ge 3\sqrt 3 {x^2}\).

\(\frac{{16{y^4}}}{{2{y^2}.\left( {{x^2} + {y^2}} \right).\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}} \ge \frac{{16{y^4}}}{{\frac{{{{\left( {2{y^2} + {x^2} + {x^2} + {y^2} + {y^2}} \right)}^3}}}{{27}}}} = \frac{{16{y^4}}}{{\frac{{{2^3}}}{{27}}}} \Rightarrow \frac{{16{y^2}}}{{{{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}^2}}} \ge 54{y^4} \Rightarrow \frac{{4y}}{{{x^2} + {y^2}}} \ge 3\sqrt 6 {y^2}\)

\( \Rightarrow \frac{x}{{{y^2}}} + \sqrt 2 .\frac{{4y}}{{{x^2} + {y^2}}} \ge 3\sqrt 3 {x^2} + 6\sqrt 3 {y^2}\)

\( \Leftrightarrow P \ge 3\sqrt 3 \left( {{x^2} + 2{y^2}} \right) = 3\sqrt 3  = 1.\sqrt {27} \).

Vậy có 2 bộ số \(\left( {m;n} \right)\) thỏa mãn.

 Chọn C

Giải thích

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).

Ta có: \(y = \frac{{1 - m{\rm{sin}}x}}{{{\rm{cos}}x + 2}} \Leftrightarrow y{\rm{cos}}x + m{\rm{sin}}x = 1 - 2y\).

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi: \({y^2} + {m^2} \ge 1 - 4y + 4{y^2} \Leftrightarrow 3{y^2} - 4y + 1 - {m^2} \le 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{2 - \sqrt {1 + 3{m^2}} }}{3} \le y \le \frac{{2 + \sqrt {1 + 3{m^2}} }}{3}\).

Theo đề bài, ta có: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\mathop {\min }\limits_{x \in \mathbb{R}} y = \frac{{2 - \sqrt {1 + 3{m^2}} }}{3} <  - 2}\\{m \in [0;10]}\\{m \in \mathbb{Z}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {1 + 3{m^2}}  > 8}\\{m \in [0;10]}\\{m \in \mathbb{Z}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3{m^2} > 63}\\{m \in [0;10]}\\{m \in \mathbb{Z}}\end{array}} \right.} \right.} \right.\]

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{m^2} > 21}\\{m \in [0;10]}\\{m \in \mathbb{Z}}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow m \in \left\{ {5,6,7,8,9,10} \right\}\).

Vậy có 6 giá trị nguyên của tham số \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

 Chọn D

Giải thích

Gọi \(x\) là số hạng thứ ba của cấp số cộng đã cho với công sai \(d\) khác 0 .

Theo đề bài ta có: \(x - 2d,x,x - d\) theo thứ tự lập thành một cấp số nhân có công bội \(q\).

\( \Rightarrow {x^2} = \left( {x - d} \right)\left( {x - 2d} \right) \Leftrightarrow 3dx - 2{d^2} = 0 \Leftrightarrow d\left( {3x - 2d} \right) = 0 \Leftrightarrow d = \frac{3}{2}x\) (vì \(d \ne 0\))

Mặt khác: \(x = \left( {x - 2d} \right).q \Leftrightarrow x = \left( {x - 3x} \right).q \Leftrightarrow x =  - 2xq \Leftrightarrow q =  - \frac{1}{2}\).

 Chọn B

Đáp án: “90”

Giải thích

Để tổng các số trong mỗi hàng và tổng các số trong mỗi cột đều bằng 0 thì trên mỗi hàng, mỗi cột phải có hai số 1 và hai số -1 .

Ta sẽ xếp theo hàng.

Ta có các khả năng của các hàng như sau:

(1) \(1,1, - 1, - 1\)

(2) \( - 1, - 1,1,1\)

(3) \(1, - 1, - 1,1\)

(4) \( - 1,1,1, - 1\)

(5) \( - 1,1, - 1,1\)

(6) \(1, - 1,1, - 1\)

Hàng 1 ta điền một hàng bất kì, giả sử hàng 1 ta điền bộ (1). Ta có các trường hợp sau:

TH1. Hàng 2 điền bộ (1), khi đó hàng 3 , hàng 4 ta phải điền bộ (2).

TH2. Hàng 2 điền bộ để tổng 2 số trong tất cả các cột của hàng 1 và 2 bằng 0 , khi đó ta điền bộ (2). Hàng 3 và hàng 4 khi đó cũng phải điền sao cho tổng các cột trong hai hàng bằng 0 . Ta có \(6.1 = 6\) cách điền như vậy.

TH3. Hàng 2 điền bộ để tổng 2 cột trong 4 cột của hàng 1 và 2 bằng 0 . Ta có 4 cách điền (trừ bộ (1), (2)). Khi đó điền hàng 3 có 2 cách, điền hàng 4 có 1 cách.

Vậy có \(6.\left( {1 + 6 + 4.2.1} \right) = 90\) cách.

Giải thích

Điều kiện \(x > 0\).

\({\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {{3^{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_6}x}} + x} \right) = \frac{1}{2}{\rm{lo}}{{\rm{g}}_6}{x^2}\)

\( \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {{3^{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_6}x}} + x} \right) = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_6}x\).

Đặt \(t = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_6}x \Rightarrow x = {6^t}\) ta được phương trình

\({\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {{3^t} + {6^t}} \right) = t \Leftrightarrow {3^t} + {6^t} = {2^t} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{2}} \right)^t} + {3^t} = 1{\rm{\;}}\left( {\rm{*}} \right)\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^t} + {3^t}\)

\(f'\left( t \right) = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^t}{\rm{ln}}\frac{3}{2} + {3^t}{\rm{ln}}3 > 0\forall t \in \mathbb{R} \Rightarrow f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

Phương trình \(\left( {\rm{*}} \right)\) trở thành \(f\left( t \right) = f\left( { - 1} \right)\) mà \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) nên \(\left( {\rm{*}} \right)\) có nghiệm duy nhất \(t =  - 1\).

Suy ra phương trình đã cho có nghiệm \(x = {6^{ - 1}} = \frac{1}{6}\).

 Chọn B

Đáp án

Giá trị của \(k\) bằng 7 .

Giá trị của \(p\) bằng  -4 .

Giá trị của \(q\) bằng 3 .

Giải thích

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(\left( {Oxyz} \right)\), gọi điểm \(M\left( {x;y;z} \right)\), điểm \(N\left( {a;b;c} \right)\).

Khi đó \(M\) thuộc mặt cầu tâm \(I\left( {0;1;1} \right)\), bán kính \(R = 1\) và \(N\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z - 4 = 0\).

Suy ra \(P = {(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = M{N^2}\left( 1 \right)\).

Ta có \(\left| {IN - MI} \right| \le MN\) suy ra \(MN\) nhỏ nhất khi \(M,N,I\) thẳng hàng.

Do vậy \(MN\) nhỏ nhất khi \(N\) là hình chiếu của \(I\) lên \(\left( P \right)\) và \(M\) là giao của \(IN\) và mặt cầu.

Khi đó \(MN = IN - R\).

Mà \(IN = {\rm{d}}\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {0 + 1 + 1 - 4} \right|}}{{\sqrt {1 + 1 + 1} }} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\).

Suy ra \({P_{{\rm{min}}}} = {(IN - R)^2} = {\left( {\frac{{2\sqrt 3 }}{3} - 1} \right)^2} = \frac{{7 - 4\sqrt 3 }}{3}\).

Vậy \(k = 7;{\rm{\;}}p =  - 4;q = 3\).

Giải thích

Đạo hàm hai vế \(f\left( x \right)\) ta có:

\(3n{(1 + 3x)^{n - 1}} = {a_1} + 2{a_2}x +  \ldots  + n{a_n}{x^{n - 1}}\)

\( \Rightarrow f'\left( 1 \right) = 3n{.4^{n - 1}} = {a_1} + 2{a_2} +  \cdots  + n{a_n} = 49152n \Rightarrow {4^{n - 1}} = 16384 \Leftrightarrow n = 8\)

Số hạng tổng quát thứ \(k + 1\) trong khai triển thành đa thức của \({(1 + 3x)^8}\) là \({T_{k + 1}} = C_8^k{3^k}{x^k}\)

\( \Rightarrow {a_3} = C_8^3{3^3} = 1512\).

 Chọn D

Đáp án: “5121000”

Giải thích

Số tiền mỗi lần du khách mua số lượt ném vòng là một số hạng của một cấp số nhân có \({u_1} = 1000\) và công bội \(q = 2\).

Du khách thua trong 10 lần đầu tiên nên tổng số tiền du khách đã bỏ ra mua lượt ném vòng là

\({S_{10}} = {u_1} + {u_2} +  \ldots  + {u_{10}} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^{10}}} \right)}}{{1 - q}} = 1023000\) (đồng).

Giá trị phần thưởng mà du khách thắng trong 2 lần cuối (lần thứ 11 và 12) là

\(2{u_{11}} + 2{u_{12}} = 2{u_1}\left( {{q^{10}} + {q^{11}}} \right) = 6144000\) (đồng).

Ta có \(2{u_{11}} + 2{u_{12}} - {S_{10}} = 5121000\) nên du khách nhận được 5121000 đồng.

Đáp án

Diện tích của hình 2 bằng \(3\sqrt 3 \).

Thể tích khối tròn xoay khi quay hình 2 xung quanh trục \(d\) là \(\frac{{5\sqrt 3 }}{3}\)\(\pi \).

Giải thích

Diện tích của hình 2 bằng tổng diện tích của tam giác đều (hình 1) và 3 tam giác đều cạnh bằng 1 được vẽ thêm. \( \Rightarrow \) Diện tích hình 2 bằng: \(S = \frac{{{3^2}\sqrt 3 }}{4} + 3.\frac{{{1^2}\sqrt 3 }}{4} = 3\sqrt 3 \).

Ta có thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng 2 lần thể tích nửa trên khi cho hình \(SIABK\) quay quanh trục \(SK\).

Tam giác \(SIH\) quay quanh trục \(SK\) tạo thành khối nón có \({r_1} = IH = \frac{1}{2};{h_1} = SH = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Thể tích khối nón này bằng \({V_1} = \frac{1}{3}\pi {r_1}{\;^2}{h_1} = \frac{1}{3}\pi .\frac{1}{4}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt 3 \pi }}{{24}}\)

Hình thang vuông \(HABK\) quay quanh trục \(HK\) tạo thành hình nón cụt có \(R = AH = \frac{3}{2};r = BK = 1\);

\(h = HK = SH = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Thể tích khối nón cụt này bằng \({V_2} = \frac{{\pi h}}{3}.\left( {{R^2} + {r^2} + R.r} \right) = \frac{\pi }{3}.\frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {\frac{9}{4} + 1 + \frac{3}{2}} \right) = \frac{{19\pi \sqrt 3 }}{{24}}\).

Suy ra thể tích khối tròn xoay đã cho bằng \(V = 2\left( {{V_1} + {V_2}} \right) = \frac{{5\sqrt 3 \pi }}{3}\).

Đáp án

Giải thích

Parabol có đỉnh \(I(2;5)\) và đi qua điểm \(\left( {0;1} \right)\) có phương trình \(y =  - {x^2} + 4x + 1\).

Quãng đường vật đi được trong 1 giờ đầu là:

.

Quãng đường vật đi được từ thời điểm \(t = 0,5\) giờ đến \(t = 2\) giờ là:

\(\mathop \smallint \nolimits^ _{0,5}^1\left( { - {x^2} + 4x + 1} \right)dx + 4.1 = \frac{{137}}{{24}}\left( {km} \right)\)

Quãng đường vật đi được trong 2 giờ sau là \({S_2} = 2.4 = 8{\rm{\;}}\left( {{\rm{km}}} \right)\)

Vậy trong ba giờ vật đi được quãng đường là \(S = {S_1} + {S_2} = \frac{8}{3} + 8 = \frac{{32}}{3}{\rm{\;}}\left( {{\rm{km}}} \right)\).

Giải thích

Cách 1:

Từ giả thiết suy ra \(f\left( {1 - x} \right) + \frac{2}{{{x^2}}}f\left( {\frac{{2x - 2}}{x}} \right) = \frac{{ - {x^4} + {x^3} + 4x - 4}}{{{x^3}}}\)

Cách 2:

Ta có: \({x^2}f\left( {1 - x} \right) + 2f\left( {\frac{{2x - 2}}{x}} \right) = \frac{{ - {x^4} + {x^3} + 4x - 4}}{x},\forall x \ne 0,x \ne 1\)

\( \Leftrightarrow {x^2}f\left( {1 - x} \right) + 2f\left( {\frac{{2x - 2}}{x}} \right) = \frac{{ - {x^4} + {x^3}}}{x} + \frac{{4x - 4}}{x},\forall x \ne 0,x \ne 1\)

\( \Leftrightarrow {x^2}f\left( {1 - x} \right) + 2f\left( {\frac{{2x - 2}}{x}} \right) = {x^2}\left( {1 - x} \right) + 2\left( {\frac{{2x - 2}}{x}} \right),\forall x \ne 0,x \ne 1\)

Chọn fx=x⇒∫​−11fx.dx=∫​−11x.dx=0

 Chọn D

Đáp án

Giải thích

Gọi hình trụ có chiều cao \(h\), bán kính đáy \(r\).

Ta có: \(V = \pi {r^2}h \Rightarrow h = \frac{{64\pi }}{{\pi {r^2}}} = \frac{{64}}{{{r^2}}}\).

Để tốn ít nguyên liệu nhất thì diện tích toàn phần của hình trụ nhỏ nhất.

Ta có: \({S_{tp}} = 2\pi {r^2} + 2\pi rh = 2\pi {r^2} + 2\pi r.\frac{{64}}{{{r^2}}} = 2\pi {r^2} + \frac{{128\pi }}{r}\)

\( = 2\pi {r^2} + \frac{{64\pi }}{r} + \frac{{64\pi }}{r} \ge 3\sqrt[3]{{2\pi {r^2}.\frac{{64\pi }}{r}.\frac{{64\pi }}{r}}} \approx 189,99\).

Số tiền nguyên liệu tối thiểu cần dùng là \(T \approx 189,99.105000 \approx 19949000\) (đồng).

Giải thích

Gọi \(I,J\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\).

Kẻ \(SH \bot IJ\). Ta có \(SH \bot \left( {ABCD} \right);IJ = a;SI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2};SJ = \sqrt {S{C^2} - C{J^2}}  = \frac{{a\sqrt {11} }}{2}\).

Theo định lí \({\rm{cos}}:{\rm{cos}}\widehat {SJI} = \frac{{3\sqrt {11} }}{{11}}\) suy ra \({\rm{sin}}\widehat {SJI} = \frac{{\sqrt {22} }}{{11}}\).

Suy ra \(SH = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\). Vậy \({V_{S.ABCD}} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\).

 Chọn D

Chọn A

Đáp án: “28,28”

Giải thích

Giả sử đã tìm được điểm \(C \in d\).

Gọi \(A'\) là ảnh của \(A\) qua phép đối xứng trục \(d\).

Khi đó \(AC = A'C\), do đó \(AC + BC = A'C + BC \ge A'B\)

\( \Rightarrow {\rm{min}}\left( {AC + BC} \right) = A'B\), dấu " =" xảy ra khi \(A',B,C\) thẳng hàng.

Gọi \(H,K\) lần lượt là hình chiếu của \(B,A\) trên \(d\). Đặt hình vẽ vào hệ trục tọa độ với gốc tọa độ \(O \equiv C,Ox \equiv d\) (hoành độ điểm \(A\) dương), 1 đơn vị trên mỗi trục là \(1{\rm{\;km}}\).

Khi đó \(A\left( {x; - 20} \right) \Rightarrow A'\left( {x;20} \right)\) với \(x = CK{\rm{\;}}(0 < x < 50)\).

\(B\left( { - \left| {50 - x} \right|; - 30} \right) \Rightarrow B\left( {x - 50; - 30} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {CA'}  = \left( {x;20} \right),\overrightarrow {CB}  = \left( {x - 50; - 30} \right)\).

Vì \(A',C,B\) thẳng hàng nên \(\overrightarrow {CA'} ,\overrightarrow {CB} \) cùng phương \( \Leftrightarrow \frac{x}{{x - 50}} = \frac{{20}}{{ - 30}} \Leftrightarrow x = 20\left( {{\rm{tm}}} \right)\)

\( \Rightarrow A\left( {20; - 20} \right) \Rightarrow CA = 20\sqrt 2  \approx 28,28\).

Vậy khoảng cách từ \(C\) đến khu đô thị \(A\) là \(28,28{\rm{\;km}}\) để tổng các khoảng cách từ \(C\) đến hai khu đô thị \(A,B\) là ngắn nhất.

Giải thích

Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > 0}\\{y > 0}\\{x - 4y - 1 > 0}\end{array}} \right.\)

Ta có \({\rm{log}}_2^2\left( {xy} \right) = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {\frac{x}{4}} \right){\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {4y} \right) \Leftrightarrow {\left( {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}x + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}y} \right)^2} = \left( {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}x - 2} \right)\left( {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}y + 2} \right){\rm{\;}}\) (1).

Đặt \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}x = a;{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}y = b\), ta có (1) trở thành :

\({(a + b)^2} = \left( {a - 2} \right)\left( {b + 2} \right) \Leftrightarrow {a^2} + ab - 2a + {b^2} + 2b + 4 = 0\)

\( \Leftrightarrow 2{a^2} + 2ab - 4a + 2{b^2} + 4b + 8 = 0 \Leftrightarrow {(a + b)^2} + {(a - 2)^2} + {(b + 2)^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + b = 0}\\{a - 2 = 0}\\{b + 2 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 2}\\{b =  - 2}\end{array}} \right.} \right.\)

Với \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 2}\\{b =  - 2}\end{array}} \right.\), ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}x = 2}\\{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}y =  - 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 4}\\{y = \frac{1}{4}}\end{array}} \right.} \right.\) (thỏa mãn điều kiện).

Khi đó \(P = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {4 + 4.\frac{1}{4} + 4} \right) + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {4 - 4.\frac{1}{4} - 1} \right) = 3\).

 Chọn A

Giải thích

Số đường thẳng đi qua 2 điểm bất kì từ \(n\) đỉnh của đa giác là \(C_n^2\).

Mà đa giác có \(n\) cạnh nên số đường chéo của đa giác là: \(C_n^2 - n\).

Theo bài ra ta có: \(C_n^2 - n = n \Leftrightarrow \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} = 2n \Leftrightarrow {n^2} - 5n = 0 \Leftrightarrow n = 5\).

Vậy đa giác có 5 cạnh.

Giao điểm của 2 đường chéo trong đa giác lồi là giao điểm của 2 đường chéo trong tứ giác mà 4 đỉnh của nó là 4 đỉnh của đa giác lồi.

Khi đó, số giao điểm của các đường chéo bằng số tứ giác với các đỉnh là các đỉnh của đa giác lồi \(n\) cạnh.

Vậy số giao điểm cần tìm là \(C_n^4 = C_5^4 = 5\).

 Chọn B

Đáp án: “200/3”

Giải thích

Xét hệ trục tọa độ như hình vẽ với trục đối xứng của Parabol trùng với trục tung, trục hoành trùng với đường tiếp đất của cổng.

Khi đó Parabol có phương trình dạng \(y = a{x^2} + c\).

Vì \(\left( P \right)\) đi qua đỉnh \(I\left( {0;12,5} \right)\) nên ta có \(c = 12,5\).

\(\left( P \right)\) cắt trục hoành tại hai điểm \(A\left( { - 4;0} \right)\) và \(B\left( {4;0} \right)\) nên ta có \(0 = 16a + c \Rightarrow a = \frac{{ - c}}{{16}} =  - \frac{{25}}{{32}}\).

Do đó \(\left( P \right):y =  - \frac{{25}}{{32}}{x^2} + 12,5\).

Diện tích của cổng là: \(S = \int\limits_{ - 4}^4 {\left( { - \frac{{25}}{{32}}{x^2} + 12,5} \right)dx = \frac{{200}}{3}\left( {{m^2}} \right)} \).