Đề thi Học kì 2 Toán 11 có đáp án (Đề 4)
35 câu hỏi
Phần I: Trắc nghiệm
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tâm O. Gọi I là tâm hình bình hành ABCD. Đặt AC'→=u→, CA'→=v→, BD'→=x→, DB'→=y→ . Khẳng định nào sau đây đúng?
2OI→=12u→+v→+x→+y→
2OI→=-12u→+v→+x→+y→
2OI→=14u→+v→+x→+y→
2OI→=-14u→+v→+x→+y→
Chọn D.
- Ta phân tích:
lim3n+n2+181-n2 bằng
3
18
-1
1
Đáp án C
Tính đạo hàm của hàm số y=4x+1x2+2
-xx2+2x2+2
x+8x2+2x2+2
-x+8x2+3x2+2
-x+8x2+2x2+2
Đáp án D
Hãy viết số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng một phân số. α = 34,121212… (chu kỳ 12)
112633
126334
131135
141137
Đáp án A
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi I và K lần lượt là tâm của hình bình hành ABB’A’ và BCC’B’. Khẳng định nào sau đây sai?
IK→=12AC→=12A'C'→
Bốn điểm I,K,C,A đồng phẳng
BD→+2IK→=2BC→
Ba vecto BD→, IK→, B'C'→ không đồng phẳng
Đáp án D
+) A đúng do tính chất đường trung bình trong ΔB'AC và tính chất của hình bình hành ACC'A'.
+) B đúng do IK // AC nên bốn điểm I, K, C, A đồng phẳng.
+) C đúng do việc ta phân tích:
+) D sai do giá của ba vectơ 
đều song song hoặc trùng với mặt phẳng (ABCD). Do đó, theo định nghĩa sự đồng phẳng của các vectơ, ba vectơ trên đồng phẳng.
Cho tứ diện ABCD với AC=23AD, ∠CAB=∠DAB=60°, CD=AD .Gọi là góc giữa AB và CD. Chọn khẳng định đúng?
cosφ=14
φ=60°
φ=30°
cosφ=34
Đáp án A
- Phương pháp: Sử dụng công thức 
- Cách giải:
Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) và ΔABC vuông ở B, AH là đường cao của ΔSAB. Khẳng định nào sau đây sai ?
SA ⊥ BC
AH ⊥ BC
AH ⊥ AC
AH ⊥ SC
Đáp án C
- Do SA ⊥ (ABC) nên câu A đúng.
- Do BC ⊥ (SAB) nên câu B và D đúng.
- Vậy câu C sai.
Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s=t3–3t2+5t+2, trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động khi t= 3 là:
24 m/s2
17 m/s2
14 m/s2
12 m/s2
Đáp án D
- Ta có gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t bằng đạo hàm cấp hai của phương trình chuyển động tại thời điểm t.
- Ta có:
- Suy ra, phương trình gia tốc của chuyển động là:
- Do đó, gia tốc của chuyển động khi t = 3 là: a(3) = 12 m/s2
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 là f'x0. Khẳng định nào sau đây sai?
f'x0=limx→x0fx-fx0x-x0
f'x0=lim∆x→0fx0+∆x-fx0∆x
f'x0=limh→0fx0+h-fx0h
f'x0=limx→x0fx+x0-fx0x-x0
Đáp án D
- A. Đúng (theo định nghĩa đạo hàm tại một điểm).
- B. Đúng vì:
- C. Đúng vì:
+ Đặt:
Đạo hàm của hàm số f(x)=(x2+1).(2x-x2) tại x = 0 là:
-4
4
2
1
Đáp án C
- Ta có:
Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) và AB ⊥ BC. Số các mặt của tứ diện S.ABC là tam giác vuông là:
1
3
4
2
Đáp án C
- Ta có:
là các tam giác vuông.
- Ta có: 
vuông tại B.
- Vậy hình chóp đã cho có cả 4 mặt đều là tam giác vuông.
Đạo hàm nào sau đây đúng?
(cotx)'=-1sin2x
(sinx)' = -cosx
(cosx)' = sinx
(tamx)'=-1cos2x
Đáp án A
- Phương pháp: Sử dụng các công thức tính đạo hàm của hàm lượng giác.
- Cách giải: Dễ thấy chỉ có đáp án A đúng.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=x4+2x2-1 tại điểm có tung độ tiếp điểm bằng 2 là:
y = 8x-6; y = -8x-6
y = 8x-6; y = -8x+6
y = 8x-8; y = -8x+8
y = 40x-57
Đáp án A
- Tập xác định: D = R.
- Đạo hàm: y’=4x3+4x.
- Tung độ tiếp điểm bằng 2 nên hoành độ tiếp điểm là nghiệm phương trình:
+) Tại M(1; 2) thì y’(1) = 8. Phương trình tiếp tuyến là:
y = 8(x-1) +2 hay y = 8x – 6
+) Tại N(-1; 2) thì y’ (-1) = - 8. Phương trình tiếp tuyến là:
y = - 8(x + 1) + 2 hay y = -8x - 6.
- Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài là: y = 8x – 6 và y = -8x – 6.
Đạo hàm của hàm số y = 2+tanx+1x là
y' = 122+tanx+1x
y' = 1+tan2x+1x22+tanx+1x
y' = 1+tan2x+1x22+tanx+1x1-1x2
y' = 1+tan2x+1x22+tanx+1x1+1x2
Đáp án C
Tìm vi phân của các hàm số y = 3x+2
dy = 33x+2dx
dy = 123x+2dx
dy = 13x+2dx
dy = 323x+2dx
Đáp án D
- Ta có : 
- Do đó, vi phân của hàm số đã cho là: 
Giới hạn nào sau đây có kết quả bằng 0.
limn2+nn2+10n
lim2n+700n3+1
lim10-3n
lim1-nn2+10n
Đáp án B
Cho hàm số y=x2+2x-3x+2. Đạo hàm của hàm số là:
y'=x2+6x+7x+22
y'=x2+8x+7x+22
y'=x2+4x+7x+22
y'=x2+6x+5x+22
Chọn C.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết SA = SC và SB = SD. Khẳng định nào sau đây sai?
SO⊥ABCD
CD⊥SBD
AB⊥SAC
CD⊥AC
Đáp án B
+) Tam giác SAC cân tại S có SO là trung tuyến
⇒ SO cũng là đường cao ⇒ SO ⊥ AC.
+) Tam giác SBD cân tại S có SO là trung tuyến
⇒ SO cũng là đường cao ⇒ SO ⊥ BD.
- Từ đó suy ra SO ⊥ (ABCD).
→ Do ABCD là hình thoi nên CD không vuông góc với BD. Do đó CD không vuông góc với (SBD).
Cho hàm số fx=x2-ax-2khi x≠22b+1khi x=2 Biết a, b là các giá trị thực để hàm số liên tục tại x = 2. Khi đó a + 2b nhận giá trị bằng:
7
8
11
4
Đáp án A
- Phương pháp:
+ Hàm số y = f(x) liên tục tại điểm x = x0
- Cách giải:
Ta có: 
TH1: a = 4.
- Để hàm số liên tục tại x = 2
TH2: a ≠ 4.
Cho hàm số g(x) = x.f(x) + x với f(x) là hàm số có đạo hàm trên R. Biết g'(3) = 2, f'(3) = -1 Giá trị của g(3) bằng:
-3
3
20
15
Đáp án D
- Phương pháp: Sử dụng công thức tính đạo hàm của tích 
- Cách giải:
+ Ta có:
Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, BC, BD bằng nhau và vuông góc với nhau từng đôi một. Khẳng định nào sau đây đúng?
Góc giữa AC và (BCD) là góc ACB.
Góc giữa AD và (ABC) là góc ADB.
Góc giữa AC và (ABD) là góc CAB.
Góc giữa CD và (ABD) là góc CBD.
Đáp án A
- Từ giả thiết ta có 
- Do đó 
Tìm giới hạn C=limx→3 2x+3-xx2-4x+3
+∞
-∞
-13
1
Đáp án C
- Ta có:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền BC = a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điểm BC. Biết SB = a. Tính số đo của góc giữa SA và(ABC).
30°
45°
60°
75°
Đáp án C
- Gọi H là trung điểm của BC suy ra:
- Ta có:
Tìm m để hàm số sau có giới hạn khi x → 1.
fx=x2+x-21-x+mx+1khi x<13mx+2m-1khi x≥1
23
25
32
12
Đáp án D
→ Hàm số có giới hạn khi x → 1 khi và chỉ khi:
Cho hàm số f(x)=x+x2+1. Tập các giá trị của x để 2x.f'(x) - f(x) ≥ 0 là:
13;+∞
-∞;13
[23;+∞)
[13;+∞)
Đáp án D
- Phương pháp: Sử dụng công thức 
và 
tính f'(x). Từ đó giải bất phương trình.
- Cách giải:
+ Ta có: 
+ Theo đề bài ta có: 2x.f'(x) - f(x) ≥ 0.
+ Thử các đáp án:
+ Với 
thuộc tập nghiệm của BPT.
⇒ Loại đáp án A, B và C.
Phần II: Tự luận
Tính các giới hạn sau: C=lim3.2n-3n2n+1+3n+1
Ta có:
Tính các giới hạn sau: limx→-∞9x2+1-4x3-2x
Ta có:
Tính các giới hạn sau: limx→-2+xx2+5x+6
Ta có:
Chứng minh phương trình sau luôn luôn có nghiệm:f(x)=(m2-2m+2)x3+3x-3
Xét hàm số f(x)=(m2-2m+2)x3+3x-3. Đây là hàm đa thức nên f(x) liên tục trên R.
- Suy ra: phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c ∈ (0;1)
Tìm m để các hàm số f(x)=x2+mx+2m+1x+1khi x≥02x+3m-11-x+2khi x<0có giới hạn khi x → 1
Ta có:
- Hàm số có giới hạn khi x → 1 khi và chỉ khi:
Trên đồ thị của hàm số y =1x-1 có điểm M sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2. Tìm tọa độ M?
Ta có: 
- Lấy điểm M(x0;y0) ∈ (C).
- Phương trình tiếp tuyến tại điểm M là:
+ Giao với trục hoành: 
+ Giao với trục tung: 
- Ta có:
- Theo giả thiết tam giác OAB có diện tích bằng 2 nên:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA ⊥ (ABCD) và SA =a15 Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và CD: Chứng minh (SAC) ⊥ (SBD).
Ta có:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA ⊥ (ABCD) và SA =a15 Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và CD: Tính góc giữa SM và (ABCD).
AM là hình chiếu của SM trên (ABCD).
- Xét tam giác vuông ABM ta có: 
- Xét tam giác vuông SAM ta có: 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA ⊥ (ABCD) và SA =a15 Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và CD: Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SMN)?
Gọi I = AC ∩ MN ⇒ I là trung điểm của OC, ta có:
- Ta có: MN// BD mà BD ⊥ (SAC)(cmt) ⇒ MN ⊥ (SAC).
- Trong (SAC) kẻ AH ⊥ SI (H ∈ SI) ⇒ MN ⊥ AH.
- Ta có:
- Xét tam giác vuông SAI ta có:
Gọi S là tập các số nguyên của a sao cho lim4n2+2017n-2018-an có giá trị hữu hạn. Tính tổng các phần tử của S.
S = 4
S = 0
S = 2
S = 1
Chọn C.
- Ta có:
- Vì:
- Suy ra: 
có giá trị hữu hạn nếu 2 - a = 0 hay a = 2.
