Đề thi Học kì 1 Toán 10 Cánh diều có đáp án - Đề 1
36 câu hỏi
Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC. Hỏi cặp vectơ nào sau đây cùng hướng?
AB⇀ và MB⇀
MN⇀ và CB⇀;
MA⇀ và MB⇀;
AN⇀ và CA⇀.
Ta có hình vẽ:
+) Hai vectơ AB⇀ và MB⇀ có cùng giá là đường thẳng AB và cùng chiều hướng xuống dưới nên hai vec tơ này cùng hướng. Do đó A đúng.
+) Hai vectơ MN⇀ và CB⇀ có giá là hai đường thẳng song song (theo tính chất đường trung bình) nhưng khác hướng. Do đó B sai.
+) Hai vectơ MA⇀ và MB⇀ là hai vectơ đối nhau nên không cùng hướng. Do đó C sai.
+) Hai vectơ AN⇀ và CA⇀ có cùng giá là đường thẳng AC nhưng ngược hướng. Do đó D sai.
Trong các câu sau, câu nào không là mệnh đề ?
12 là số nguyên tố;
nkhông chia hết cho 2;
x2 là số thực không âm;
10 là số nguyên tố.
Đáp án đúng là: B
Câu “n không chia hết cho 2” là mệnh đề chứa biến tính đúng sai phụ thuộc vào biến n.
Cặp số (x;y) nào sau đây không là nghiệm của bất phương trình 4x−9y−3≥0 ?
0;49;
−1;−79;
4;169
−2;−59
Đáp án đúng là: B
+) Thay x = 0 và y = −49 vào bất phương trình ta được: 4.0−9.49−3≥0 ⇔ −7≥0 là mệnh đề sai. Do đó A sai.
+) Thay x = – 1 và y = −79 vào bất phương trình ta được: 4.−1−9.−79−3≥0 ⇔ 0≥0 là mệnh đề đúng. Do đó B đúng.
+) Thay x = 4 và y = 169 vào bất phương trình ta được: 4.4−9.169−3≥0 ⇔ −3≥0 là mệnh đề sai. Do đó C sai.
+) Thay x = – 2 và y = −59 vào bất phương trình ta được: 4.−2−9.−59−3≥0 ⇔ −6≥0 là mệnh đề sai. Do đó D sai.
Cách viết nào sau đây là đúng?
(1; 2] ∈ℝ;
{1; 2} ∈ℝ;
1 ∈ℝ;
[1; 2] ∈ℝ.
Đáp án đúng là: C
Ta có: (1; 2], {1; 2}, [1; 2] là các tập hợp nên ta có quan hệ tập con (1; 2] ⊂ ℝ, {1; 2} ⊂ ℝ, [1; 2] ⊂ ℝ. Do đó A, B, D sai.
Còn 1 là một số thực nên 1 là một phần tử của tập hợp ℝ, ta viết: 1 ∈ ℝ. Do đó C đúng.
Cho hình vẽ sau:
Tích vô hướng của hai vectơ nào bằng 0?
AB→và BC→;
AC→và BC→;
AB→và BD→;
AC→ và BD→.
Đáp án đúng là: D
Ta có: AB ⊥ BD nên AC→.BD→=0.
Cho hình thoi ABCD cạnh a và ABD^=60°. Độ dài vectơ BD→ là
BD→=a32
BD→=a2
BD→=a3
BD→=a
Đáp án đúng là: D
Xét tam giác ABC, có: AB = AD = a nên tam giác ABC cân tại A mà ABD^=60° do đó ABC đều.
Vì vậy BD→=a.
Tính AD→−AC→+DC→
2DC→;
AC→;
DA→;
0→
Đáp án đúng là: D
Ta có: AD→−AC→+DC→=CD→+DC→=CD→−CD→=0→.
Với α∈ (120°; 270°) thì giá trị lượng giác nào dưới đây nhận giá trị âm?
A. sinα;
B. cosα;
C. tanα;
D. cotα.
sinα;
cosα;
tanα;
cotα.
Đáp án đúng là: B
Ta có α ∈ (120°; 270°) nên cosα < 0, còn sinα có thể âm hoặc dương. Do đó cotα, tanα có thể âm hoặc dương.
Vậy với α ∈ (120°; 270°) thì cosα nhận giá trị âm.
Trong các bất phương trình sau, bất phương trình bậc nhất hai ẩn là
1x−y+4>0;
x−12y2−2<0;
x−y<0
32x−y>−12
Đáp án đúng là: D
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng ax + by ≥ c (ax + by ≤ c, ax + by > c, ax + by < c ) với a, b, c là các số thực.
Do đó chỉ có bất phương trình 32x−y>−12 là thỏa mãn.
Cho đồ thị hàm số sau:
Đồ thị hàm số trên là của hàm số nào dưới đây?
x2 – 4x – 2;
– x2 + 4x – 2;
– x2 – 4x + 2;
x2 – 4x + 2.
Đáp án đúng là: D
Gọi hàm số bậc hai cần tìm là y = ax2 + bx + c (a ≠ 0).
Ta có giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là (0; 2) suy ra c = 2.
Đồ thị hàm số có điểm điểm I(2; – 2) nên ta có:
xI=−b2a=2yI=−Δ4a=−b2−4ac4a=−2⇔b=−4a−−4a2−4a.24a=−2⇔b=−4a16a2−16a=0
⇔b=−4aa=0a=1⇔a=1b=−4 (loại a = 0 vì không thỏa mãn điều kiện).
Vì vậy hàm số cần tìm là y = x2 – 4x + 2.
Cho tam giác ABC, có G là trọng tâm tam giác, M là điểm bất kì. Biểu thức nào sau đây là đúng?
MA→+MB→+MC→=0→
MA→+MB→+MC→=MG→
MA→+MB→+MC→=GM→
MA→+MB→+MC→=3MG→
Đáp án đúng là: D
Ta có: MA→+MB→+MC→=MG→+GA→+MG→+GB→+MG→+GC→=3MG→.
Cho đồ thị hàm số:
Hàm số đồng biến trên khoảng
(– 4; 1);
(– 2; 0);
(– 4; – 2);
(– 4; +∞).
Đáp án đúng là: C
Hàm số đi lên (đồng biến) trên khoảng (– ∞; – 2) và (0; +∞).
Mà (– 4; – 2) ⊂ (– ∞; – 2) nên hàm số cũng đồng biến (– 4; – 2). Do đó C đúng.
Hàm số f(x) = x2 – 2x + 1 nhận giá trị dương khi
x ∈ℝ;
x ∈ℝ;
x > 1;
x ≠ 1.
Đáp án đúng là: D
Ta có: x2 – 2x + 1 = (x – 1)2 ≥ 0 với mọi x nên để f(x) > 0 thì x – 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ 1.
Cặp số (0; 1) là nghiệm của hệ bất phương trình nào sau đây?
x−2y<0x+3y>−2.
x−2y>0x+3y<−2.
x−2y≥0x−3y≤−2.
x−2y≤0x−3y≥−2.
Đáp án đúng là: A
+) Thay x = 0 và y = 1 vào lần lượt các bất phương trình trong hệ ta được:
0 – 2.1 = – 2 < 0
0 + 3.1 = 3 > – 2
Là những mệnh đề đúng nên (0; 1) là nghiệm của hệ bất phương trình x−2y<0x+3y>−2.
Do đó A đúng.
+) Thay x = 0 và y = 1 vào lần lượt các bất phương trình trong hệ ta được:
0 – 2.1 = – 2 > 0
0 + 3.1 = 3 < – 2
Là những mệnh đề sai nên (0; 1) không là nghiệm của hệ bất phương trình x−2y≥0x−3y≤−2. Do đó B sai.
+) Thay x = 0 và y = 1 vào lần lượt các bất phương trình trong hệ ta được:
0 – 2.1 = – 2 ≥ 0 là mệnh đề sai
0 – 3.1 = – 3 ≤ – 2 là mệnh đề đúng
Suy ra (0; 1) không là nghiệm của hệ bất phương trình x−2y≥0x−3y≤−2. Do đó C sai.
+) Thay x = 0 và y = 1 vào lần lượt các bất phương trình trong hệ ta được:
0 – 2.1 = – 2 ≤ 0 là mệnh đề đúng
0 – 3.1 = – 3 ≥ – 2 là mệnh đề sai
Suy ra (0; 1) không là nghiệm của hệ bất phương trình x−2y≤0x−3y≥−2. Do đó D sai.
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên sau:
Tập giá trị của hàm số f(x) là:
[– 3; 5];
[– 3; +∞);
(– ∞; 5];
(– ∞; +∞).
Đáp án đúng là: D
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, hàm số nhận giá trị trên tập (– ∞; +∞).
Cho các bất phương trình sau:
– 2x + 1 < 0; 12y2−2y−1≤0; x2−x>0; y2 + x2 – 2x < 0.
Có bao nhiêu bất phương trình không là bất phương trình bậc hai một ẩn?
0;
1;
2;
3.
Đáp án đúng là: D
– 2x + 1 < 0 không là bất phương trình bậc hai một ẩn vì đây là bất phương trình bậc nhất.
12y2−2y−1≤0⇔12y2−2y+2≤0 có dạng bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
x2−x>0 không có dạng của bất phương trình bậc hai một ẩn.
y2 + x2 – 2x < 0 là bất phương trình bậc hai nhưng có hai ẩn x và y.
Hàm số bậc hai y = 2x2 – 13x có trục đối xứng là
x=16
x=112
x=13
x=−172
Đáp án đúng là: B
Hàm số bậc hai y = 2x2 – 13x có a = 2, b = 13
Khi đó trục đối xứng của hàm số đã cho là: x=−b2a=−−132.2=112.
Tập nghiệm của bất phương trình x2 – 5x + 6 < 0 là
A. S = (2; 3);
B. S = (– ∞; 2);
C. S = (3; +∞);
D. S = (– ∞; 2) ∪ (3; +∞).
S = (2; 3);
S = (– ∞; 2);
S = (3; +∞);
S = (– ∞; 2) ∪ (3; +∞).
Đáp án đúng là: A
Xét tam thức f(x) = x2 – 5x + 6, có a = 1 > 0, ∆ = (– 5)2 – 4.1.6 = 1 > 0 nên f(x) có hai nghiệm phân biệt x1 = 2 và x2 = 3.
Áp dụng định lí về dấu tam thức bậc hai ta được:
f(x) < 0 khi x ∈ (2; 3).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = (2; 3).
Để giải phương trình: 3x−1=x2−1 cần điều kiện:
x≥13;
x ≤ – 1 hoặc x ≥ 1;
x ≥ 1;
x ≤ – 1.
Đáp án đúng là: B
Điều kiện xác định của phương trình là: x2 – 1 ≥ 0 ⇔ x2 ≥ 1 ⇔ |x| ≥ 1
⇔ x ≥ 1 hoặc x ≤ – 1.
Lớp 10B có 45 học sinh, trong đó có 25 em thích môn Văn, 20 em thích môn Toán, 18 em thích môn Sử, 6 em không thích môn nào, 6 em thích cả Sử và Toán, 8 em thích cả Văn và Toán, 5 em thích cả ba môn. Số học sinh thích cả Văn và Sử là
5;
10;
12;
15.
Đáp án đúng là: B
Gọi V là tập hợp số học sinh thích môn Văn;
T là tập hợp số học sinh thích môn Toán;
S là tập hợp số học sinh thích môn Sử;
V ∩ T là tập hợp số học sinh vừa thích Văn vừa thích Toán;
S ∩ T là tập hợp số học sinh vừa thích Sử vừa thích Toán;
V ∩ S là tập hợp số học sinh vừa thích Văn vừa thích Sử;
T ∩ V ∩ S là tập hợp số học sinh vừa thích Văn vừa thích Toán, vừa thích Sử;
T ∪ V ∪ S là tập hợp số học sinh thích ít nhất một trong ba môn Toán, Văn, Sử.
Khi đó: |T ∪ V ∪ S| = 45 – 6 = 39, |V| = 25, |T| = 20, |S| = 18, |V ∩ T| = 8, |S ∩ T| = 6, |T ∩ V ∩ S| = 5.
Ta có: |T ∪ V ∪ S| = |V| + |T| + |S| – |V ∩ T| – |S ∩ T| – |V ∩ S| + |T ∩ V ∩ S|
⇔ 39 = 25 + 20 + 18 – 8 – 6 – |V ∩ S| + 5
⇔ |V ∩ S| = 15
Vậy có 15 học sinh vừa thích Văn vừa thích Sử.
Tam giác ABC có AB=3, AC=6 và A^=60°. Bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là
R=33
R=3
R=3
R=6
Đáp án đúng là: B
Xét tam giác ABC:
Áp dụng định lí cosin ta được:
BC2 = AB2 + AC2 – 2.AB.AC.cosA
= 32 + 62 – 2.3.6.cos60°
= 27
⇔ BC = 33
Áp dụng định lí sin ta được:
BCsinA=2R⇔R=BC2sinA=332.sin60°=3.
Trong các công thức dưới đây, công thức nào tính diện tích tam giác ABC là đúng?
A. SABC = 12b.c.cosA;
B. SABC = abc4R;
C. SABC = pR;
D. SABC = a.ha.
SABC = 12b.c.cosA;
SABC = abc4R;
SABC = pR;
SABC = a.ha.
Đáp án đúng là: B
Các công thức tính diện tích tam giác là:
SABC = 12b.c.sinA=12a.b.sinC=12a.c.sinB. Do đó A sai.
SABC = abc4R. Do đó B đúng.
SABC = pr. Do đó C sai.
SABC = 12a.ha = 12b.hb = 12c.hc. Do đó D sai.
Tính giá trị biểu thức: cos20° + cos40° + cos60° + ... + cos160° + cos180°.
– 1;
1;
2;
0.
Đáp án đúng là: A
cos20° + cos40° + cos60° + ... + cos160° + cos180°
= (cos20° + cos160°) + (cos40° + cos140°) + ... + (cos80° + cos100°) + cos180°
= (cos20° – cos20°) + (cos40° – cos40°) + ... + (cos80° – cos80°) + cos180°
= 0 + 0 + ... + 0 + (– 1)
= – 1.
Cho hàm số f(x)=2x+4x−x−2. Tập xác định D của hàm số là
D = [0; +∞) \ {1; 4};
D = [0; +∞) \ {4};
D = [– 2; +∞) \ {1; 4};
D = [– 2; +∞) \ {1}.
Đáp án đúng là: B
Điều kiện xác định của hàm số: 2x+4≥0x≥0x−x−2≠0⇔x≥−2x≥0x≠2x≥0⇔x≥−2x≥0x≠4
Vậy tập xác định của hàm số là: D = [0; +∞) \ {4}.
Cho tam giác ABC có AB=5, BC=7, CA=8 . Tam giác ABC là
tam giác nhọn
tam giác tù;
tam giác vuông;
tam giác đều.
Đáp án đúng là: A
Ta có AB < BC < AC nên C^<A^<B^.
Áp dụng hệ quả của định lí cosin ta được:
cosB=AC2+BC2−AB22.AC.BC=52+72−822.5.7=17
⇒B^≈81°47' < 90°.
Suy ra góc lớn nhất của tam giác ABC là góc nhọn nên hai góc còn lại cũng nhọn. Vì vậy tam giác ABC nhọn.
Cho tam giác ABC có M là trung điểm của AC, N là trung điểm của BC và AB = a. Độ dài vectơ CM→−NB→ bằng
a;
32a;
12a;
23a.
Đáp án đúng là: C
Vì NB→=CN→ (N là trung điểm của BC)
⇒CM→−NB→=CM→−CN→=NM→
⇒CM→−NB→=NM→=MN
Xét tam giác ABC, có:
M là trung điểm của AC
N là trung điểm của BC
Suy ra MN là đường trung bình của tam giác ABC
⇒MN=12AB=12a
Vì vậy CM→−NB→=12a.
Cho 90° <α< 180°. Xác định dấu của biểu thức M = sin(90° – α).cot(180° + α).
A. M ≥ 0;
B. M ≤ 0;
C. M > 0;
D. M < 0.
M ≥ 0;
M ≤ 0;
M > 0;
M < 0.
Đáp án đúng là: C
Ta có: M = sin(90° – α).cot(180° + α)
= cosα . (– cotα)
= cosα . −cosαsinα
= −cos2αsinα
Vì 90° < α < 180° nên sinα > 0
Mà cos2α ≥ 0 với mọi 90° < α < 180°
Do đó −cos2αsinα≤0 hay M ≤ 0.
Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a, AH là đường cao. Tính AB→.AH→
34a2
32a2
12a2
a2
Đáp án đúng là: A
Xét tam giác đều ABC, có: AB = a, AH = a32
Ta lại có AH là đường cao nên cũng là đường phân giác của BAC^⇒BAH^=CAH^=12BAC^=12.60°=30°
⇒AB→.AH→=AB.AH.cosBAH^=a.a32.cos30°=34a2.
Cho tứ giác ABCD, có I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Ta có IJ→=aAC→+bBD→. Khi đó a – b bằng
0;
1;
14;
12.
Đáp án đúng là: A
Ta có: IJ→=12ID→+IC→=12IB→+BD→+IA→+AC→=12IB→+IA→+BD→+AC→=12BD→+AC→
⇒ a = 12 và b = 12
⇒ a – b = 12−12 = 0.
Cho phương trình: x2−5x+1=x−7. Số nghiệm của phương trình là
0;
1;
2;
vô số nghiệm.
Đáp án đúng là: A
x2−5x+1=x−7
Bình phương hai vế của phương trình trên, ta được:
x2 – 5x + 1 = x – 7
⇔ x2 – 6x + 8 = 0
⇔ x=4x=2
Thay x = 4 và x = 2 vào phương trình đã cho, ta thấy cả hai giá trị đều không thỏa mãn.
Vậy phương trình vô nghiệm.
Một rạp chiếu phim có sức chứa 1 000 người. Với giá vé là 40 000 đồng, trung bình sẽ có khoảng 300 người đến rạp xem phim mỗi ngày. Để tăng số lượng vé bán ra, rạp chiếu phim đã khảo sát thị trường và thấy rằng giá vé cứ giảm 10 000 đồng thì sẽ có thêm 100 người đến rạp mỗi ngày.
a) Tìm công thức của hàm số R(x) mô tả doanh thu từ tiền bán vé mỗi ngày của rạp chiếu phim khi giá vé là x nghìn đồng.
Hướng dẫn giải
a) Ta có x là giá vé nên x > 0.
Số tiền giảm giá so với giá vé cũ là: 40 – x (nghìn đồng).
Số người đến rạp tăng lên: [(40 – x) : 10] . 100 = 400 – 10x (người).
Tổng số người đến rạp sau giảm giá là: 300 + 400 – 10x = 700 – 10x (người).
Doanh thu từ tiền bán vé sau giảm giá là: (700 – 10x).x = – 10x2 + 700x (nghìn đồng).
Khi đó công thức của hàm số R(x) mô tả doanh thu từ tiền bán vé là:
R(x) = – 10x2 + 700x.
b) Tìm mức giá vé để doanh thu từ tiền bán vé mỗi ngày của rạp là lớn nhất.
b) Xét hàm số bậc hai R(x) = – 10x2 + 700x, có:
Tọa độ điểm đỉnh là: xI = −7002.−10=35, yI = −7002−4.−10.04.−10=12 250.
Ta có: a = – 10 < 0 nên ta có bảng biến thiên:
Suy ra hàm số đạt giá trị lớn nhất là 12 250 tại x = 35.
Vậy để doanh thu từ tiền bán vé mỗi ngày của rạp là lớn nhất thì rạp cần bán vé với giá 35 nghìn đồng.
a) Giải phương trình: x−2+3x2−2x−3=7.
Hướng dẫn giải
a) 3x2−2x−3=−x+9(*)
Điều kiện – x + 9 ≥ 0 ⇔ x ≤ 9
Bình phương hai vế của phương trình (*) ta được:
9(x2 – 2x – 3) = x2 – 18x + 81
⇔ 9x2 – 18x – 27 = x2 – 18x + 81
⇔ 8x2 = 108
⇔ x2 = 272
⇔ x = 362.
Vậy phương trình có nghiệm x = 362.
b) Tìm m để hàm số f(x) = x2 – 2(m + 3)x – 4m + 1 > 0 với mọi số thực x.
b) Xét hàm số f(x) = x2 – 2(m + 3)x – 4m + 1 có a = 1 > 0, ∆’ = (m + 3)2 – (– 4m + 1).1 = m2 + 6m + 9 + 4m – 1 = m2 + 10m + 8.
Để hàm số f(x) = x2 – 2(m + 3)x – 4m + 1 > 0 với mọi số thực x thì
a=1>0Δ'=m2+10m+8<0⇔−5−17<m<−5+17.
Vậy −5−17<m<−5+17.
Cho tam giác ABC, gọi I và J là hai điểm được xác định bởi IA→=2IB→, 3JA→+2JC→=0→.
a) Tính IJ→ theo AB→ và AC→.
a) Ta có: IJ→=IA→+AJ→=−2AB→+25AC→=2−AB→+15AC→
b) Chứng minh đường thẳng IJ đi qua trọng tâm G của tam giác ABC.
Ta có: IG→=IB→+BG→=−AB→+23BM→=−AB→+23.12BA→+BC→=−AB→−13AB→+13BC→
=−AB→−13AB→+13AC→−AB→=−53AB→+13AC→=53−AB→+15AC→.
⇒IG→=53:2IJ→=56IJ→.
Vậy I, J, G thẳng hàng hay IJ đi qua G.
