Đề thi giữa kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Củ Chi (TP.HCM) có đáp án

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số đổi dấu của đạo hàm \(f'\left( x \right)\) từ dương (+) sang âm (-) khi đi qua điểm \(x = - 1\). Do đó, hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = - 1\).

Đáp án đúng: D.

Đạo hàm: \(f'\left( x \right) = 4{x^3} - 24x\).

Cho \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 4x\left( {{x^2} - 6} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = \sqrt 6 \) (loại \(x = - \sqrt 6 \) vì không thuộc \(\left[ {0;9} \right]\)).

Tính các giá trị tại các điểm đầu mút và điểm cực trị:

\(f\left( 0 \right) = - 4\);

\(f\left( {\sqrt 6 } \right) = {\left( {\sqrt 6 } \right)^4} - 12{\left( {\sqrt 6 } \right)^2} - 4 = 36 - 72 - 4 = - 40\);

\(f\left( 9 \right) = {9^4} - 12 \cdot {9^2} - 4 = 6561 - 972 - 4 = 5585\).

So sánh các giá trị trên, ta thấy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ {0;9} \right]\) là \( - 40\) tại \(x = \sqrt 6 \).

Đáp án đúng: B.

Thực hiện phép chia đa thức ở tử số cho mẫu số: \( - 4{x^2} - 2x - 5 = \left( {4x + 10} \right)\left( { - x + 2} \right) - 25\).

Do đó biểu thức hàm số có dạng: \(y = 4x + 10 - \frac{{25}}{{ - x + 2}}\).

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{ - 25}}{{ - x + 2}} = 0\), đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là đường thẳng \(y = 4x + 10\).

Đáp án đúng: D.

Theo quy tắc hiệu véctơ trong tam giác \(ABC\), ta có: \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \).

Thay các vectơ đại diện theo đề bài vào hệ thức: \(\vec d = \vec c - \vec b \Leftrightarrow \vec b - \vec c + \vec d = \vec 0\).

Đáp án đúng: D.

Nhìn vào đồ thị, ta thấy đường tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = 1\). Do đó mẫu số phải có nghiệm \(x = 1\). Ta loại các phương án C và D (có mẫu số là \(x + 1\)).

Đồ thị có đường tiệm cận ngang là \(y = - 1\). Xét hai phương án còn lại:

Phương án A: \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\) có tiệm cận ngang \(y = 1\) (loại).

Phương án B: \(y = \frac{{ - x - 1}}{{x - 1}}\) có tiệm cận ngang \(y = \frac{{ - 1}}{1} = - 1\) (thỏa mãn).

Đáp án đúng: B.

Hàm số đạt cực tiểu tại những điểm mà tại đó đạo hàm \[f'\left( x \right)\] đổi dấu từ âm (-) sang dương (+). Dựa vào bảng xét dấu, khi đi qua các điểm \(x = 0,x = 4\), đạo hàm \[f'\left( x \right)\] đổi dấu từ âm sang dương (từ \( - \) sang \( + \)). Do đó hàm số có 2 điểm cực tiểu.

Đáp án đúng: A.

Tiệm cận ngang: Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 1\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 3\) nên đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang là \(y = 1\) và \(y = 3\).

Tiệm cận đứng: Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = - \infty \), đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng là \(x = 0\).

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là: \(2 + 1 = 3\).

Đáp án đúng: B.

Xét hàm số \(y = - {x^3} + 150{x^2}\) trên đoạn \(\left[ {0;200} \right]\).

Đạo hàm: \(y' = - 3{x^2} + 300x\).

Cho \(y' = 0 \Leftrightarrow - 3x\left( {x - 100} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 100\).

Tính giá trị tại các mút và điểm tới hạn: \(y\left( 0 \right) = 0\); \(y\left( {100} \right) = 500.000\); \(y\left( {200} \right) = - 2.000.000\).

Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại \(x = 100\). Vậy doanh nghiệp cần sản xuất 100 sản phẩm.

Đáp án đúng: B.

Theo tính chất trọng tâm của tam giác \(ABC\), ta luôn có hệ thức véctơ: \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \vec 0\). Khi mở rộng với một điểm \(S\) bất kỳ trong không gian, ta có công thức: \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} = 3\overrightarrow {SG} \). Do đó khẳng định C đúng.

Đáp án đúng: C.

Chọn hệ trục tọa độ có gốc \(A\left( {0;0;0} \right)\). Các tia \[\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AD} ,\,\,\overrightarrow {AA'} \] lần lượt trùng với các chiều dương của trục \(Ox,Oy,Oz\).

Từ các kích thước đề bài cho, ta xác định được tọa độ của điểm \(A'\) và điểm \(C\):

Điểm \(A'\) nằm trên trục \(Oz\) và cách gốc \(A\) một khoảng bằng \(8 \Rightarrow A'\left( {0;0;8} \right)\).

Điểm \(C\) nằm trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có hoành độ bằng \(AB = 10\) và tung độ bằng \(AD = 16 \Rightarrow C\left( {10;16;0} \right)\).

Tọa độ vectơ \(\overrightarrow {A'C} = \left( {10 - 0;16 - 0;0 - 8} \right) = \left( {10;16; - 8} \right)\).

Đáp án đúng: D.

Sắp xếp lại biểu thức của vectơ \(\vec a\) theo đúng thứ tự các vectơ đơn vị hệ trục \(\left( {\vec i,\vec j,\vec k} \right)\):

\(\vec a = - 1\vec i + 2\vec j - 3\vec k\).

Suy ra tọa độ các thành phần tương ứng của vectơ \(\vec a\) là \(\left( { - 1;2; - 3} \right)\).

Đáp án đúng: D.

Hàm số nhất biến có thể quy đồng về dạng chuẩn: \(y = \frac{{2\left( {x - 1} \right) - 1}}{{x - 1}} = \frac{{2x - 3}}{{x - 1}}\).

Đồ thị hàm số này có đường tiệm cận đứng là \(x = 1\) và đường tiệm cận ngang là \(y = 2\).

Giao điểm của hai đường tiệm cận này chính là tâm đối xứng của đồ thị hàm số, có tọa độ là \(\left( {1;2} \right)\).

Đáp án đúng: B.

Tâm đối xứng \(I\) là giao điểm của tiệm cận đứng \(x = - 1\) và tiệm cận xiên \(y = - x + 2 \Rightarrow I\left( { - 1;3} \right)\). Khi đó \(a = - 1,b = 3\). Ta tính biểu thức: \(b - 2a = 3 - 2 \cdot \left( { - 1} \right) = 5\). Do đó ý d) đúng.

Phương trình hoành độ giao điểm với \(Ox\): \( - {x^3} - 3{x^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right){\left( {x + 2} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 1\) hoặc \(x = - 2\). Đồ thị chỉ cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt. Do đó ý a) sai.

Đạo hàm: \(y' = - 3{x^2} - 6x = - 3x\left( {x + 2} \right)\). Cho \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = - 2\).

Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\), đồng biến trên \(\left( { - 2;0} \right)\). Do đó ý b) đúng.

Tọa độ hai điểm cực trị:

Với \(x = 0 \Rightarrow y = 4 \Rightarrow A\left( {0;4} \right)\).

Với \(x = - 2 \Rightarrow y = 0 \Rightarrow B\left( { - 2;0} \right)\).

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị \(A\) và \(B\) là: \(y = 2x + 4\). Do đó ý c) đúng.

Giá trị nhỏ nhất trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\): Ta so sánh \(y\left( { - 1} \right) = 2\), \(y\left( 0 \right) = 4\), \(y\left( 2 \right) = - 16\). Vậy giá trị nhỏ nhất trên đoạn này là \( - 16\). Do đó ý d) sai.

Theo tính chất trung điểm hình học phẳng vì \(O\) là trung điểm của \(BC\) nên ta luôn có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AO} \). Do đó ý a) sai.

Lập hệ trục tọa độ với gốc \(O\left( {0;0;0} \right)\) đặt tại trung điểm \(BC\). Trục \(Ox\) chứa đoạn \(OC\), trục \(Oy\) chứa đoạn \(OA\), trục \(Oz\) vuông góc với mặt đáy tại \(O\).

Độ dài đường cao tam giác đều \(ABC\): \(AO = \frac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \).

Tọa độ các điểm trong không gian: \(O\left( {0;0;0} \right)\), \(C\left( {a;0;0} \right)\), \(B\left( { - a;0;0} \right)\), \(A\left( {0;a\sqrt 3 ;0} \right) \to \) Ý c) đúng.

Vì \(SA{\rm{//}}Oz\) và \(SA = a\) nên điểm \(S\) có tọa độ: \(S\left( {0;a\sqrt 3 ;a} \right)\).

Tọa độ trung điểm \(M\) của cạnh \(SC\) được tính bằng trung bình cộng tọa độ \(S\) và \(C\): \(M\left( {\frac{a}{2};\frac{{a\sqrt 3 }}{2};\frac{a}{2}} \right)\). Đề bài ghi hoành độ âm nên ý b) sai.

Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {SB} \cdot \overrightarrow {SC} \):

Ta có \(\overrightarrow {SB} = \left( { - a; - a\sqrt 3 ; - a} \right)\) và \(\overrightarrow {SC} = \left( {a; - a\sqrt 3 ; - a} \right)\).

\(\overrightarrow {SB} \cdot \overrightarrow {SC} = \left( { - a} \right) \cdot a + \left( { - a\sqrt 3 } \right) \cdot \left( { - a\sqrt 3 } \right) + \left( { - a} \right) \cdot \left( { - a} \right) = - {a^2} + 3{a^2} + {a^2} = 3{a^2}\). Do đó ý d) đúng.

Viết lại hàm số dưới dạng: \(y = \frac{{ - 2x + 1}}{{x + 1}}\).

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng \(y = - 2\). Do đó ý a) sai.

Đạo hàm: \(y' = \frac{{ - 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} < 0\), hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định. Trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\), hàm số giảm liên tục từ trái sang phải nên giá trị nhỏ nhất sẽ đạt tại đầu mút bên phải là \(x = 3\). Do đó ý b) đúng.

Tâm đối xứng \(I\) là giao điểm của hai đường tiệm cận \(x = - 1\) và \(y = - 2 \Rightarrow I\left( { - 1; - 2} \right)\). Do đó ý c) đúng.

Hình chữ nhật giới hạn bởi hai tiệm cận (\(x = - 1,y = - 2\)) và hai trục tọa độ (\(x = 0,y = 0\)) có chiều dài bằng 2 và chiều rộng bằng 1. Diện tích hình chữ nhật này bằng \(2 \cdot 1 = 2\). Do đó ý d) sai.

Tính đạo hàm: \(y' = - 3{x^2} - 6x + 9\).

Giải phương trình đạo hàm bằng 0: \( - 3\left( {{x^2} + 2x - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1\) hoặc \(x = - 3\).

Phân tích dấu đạo hàm bậc hai hoặc lập bảng biến thiên với hệ số \(a = - 1 < 0\), ta suy ra:

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x = - 3 \Rightarrow {x_2} = - 3\).

Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = 1 \Rightarrow {x_1} = 1\).

Thay vào biểu thức: \(T = {x_2} - 3{x_1} = - 3 - 3 \cdot 1 = - 6\).

Đáp số: -6.

Đạo hàm: \(y' = 3{x^2} - 6x - 9\).

Giải phương trình đạo hàm bằng 0: \(3\left( {{x^2} - 2x - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x = - 1\) hoặc \(x = 3\) (cả hai giá trị này đều thuộc đoạn \(\left[ { - 4;4} \right]\)).

Tính giá trị của hàm số tại các điểm biên và điểm tới hạn:

\(y\left( { - 4} \right) = {\left( { - 4} \right)^3} - 3 \cdot {\left( { - 4} \right)^2} - 9 \cdot \left( { - 4} \right) + 35 = - 41\);

\(y\left( { - 1} \right) = {\left( { - 1} \right)^3} - 3 \cdot {\left( { - 1} \right)^2} - 9 \cdot \left( { - 1} \right) + 35 = 40\);

\(y\left( 3 \right) = {3^3} - 3 \cdot {3^2} - 9 \cdot 3 + 35 = 8\);

\(y\left( 4 \right) = {4^3} - 3 \cdot {4^2} - 9 \cdot 4 + 35 = 15\).

Từ các kết quả trên, ta xác định được:

Giá trị lớn nhất trên đoạn là \(M = 40\) (đạt tại \(x = - 1\)).

Giá trị nhỏ nhất trên đoạn là \(n = - 41\) (đạt tại \(x = - 4\)).

Giá trị biểu thức yêu cầu: \[2M + 3n = 2 \cdot 40 + 3 \cdot \left( { - 41} \right) = 80 - 123 = - 43\].

Đáp số: -43.

Điểm \(B\) thuộc trục hoành nên có tọa độ \(B\left( {t;0} \right)\) với \(t > 3\).

Đường thẳng \(BC\) đi qua hai điểm \(B\left( {t;0} \right)\) và \(A\left( {3;2} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {BA} = \left( {3 - t;2} \right)\). Vectơ pháp tuyến tương ứng là \(\vec n = \left( {2;t - 3} \right)\).

Phương trình tổng quát của đường thẳng \(BC\): \(2\left( {x - t} \right) + \left( {t - 3} \right)\left( {y - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + \left( {t - 3} \right)y - 2t = 0\).

Tìm tọa độ giao điểm \(C\) với trục tung (\(x = 0\)): Thay vào phương trình đường thẳng ta có

\(\left( {t - 3} \right)y = 2t \Rightarrow y = \frac{{2t}}{{t - 3}} \Rightarrow C\left( {0;\frac{{2t}}{{t - 3}}} \right)\).

Diện tích tam giác vuông \(OBC\) tại gốc tọa độ \(O\): \(S = \frac{1}{2} \cdot OB \cdot OC = \frac{1}{2} \cdot t \cdot \frac{{2t}}{{t - 3}} = \frac{{{t^2}}}{{t - 3}}\).

Khảo sát hàm số diện tích \(S\left( t \right) = \frac{{{t^2}}}{{t - 3}}\) trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right)\):

\(S'\left( t \right) = \frac{{2t\left( {t - 3} \right) - {t^2}}}{{{{\left( {t - 3} \right)}^2}}} = \frac{{{t^2} - 6t}}{{{{\left( {t - 3} \right)}^2}}}\);

Cho \(S'\left( t \right) = 0 \Rightarrow {t^2} - 6t = 0 \Rightarrow t = 6\) (vì điều kiện \(t > 3\)).

Lập bảng biến thiên, từ đó suy ra hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm \(t = 6\).

Đáp số: 6.

Tính đạo hàm: \(y' = 3{x^2} + 2bx + c\).

Dựa vào dữ kiện bài toán, ta lập hệ phương trình gồm 3 phương trình:

Đồ thị đi qua điểm cực đại \(\left( { - 1;7} \right) \Rightarrow {\left( { - 1} \right)^3} + b \cdot {\left( { - 1} \right)^2} + c \cdot \left( { - 1} \right) + d = 7 \Leftrightarrow b - c + d = 8\) (1).

Điểm \(x = - 1\) là điểm cực trị nên \(y'\left( { - 1} \right) = 0 \Rightarrow 3 \cdot {\left( { - 1} \right)^2} + 2b \cdot \left( { - 1} \right) + c = 0 \Leftrightarrow - 2b + c = - 3\) (2).

Đồ thị đi qua điểm \(\left( {2; - 20} \right) \Rightarrow {2^3} + b \cdot {2^2} + c \cdot 2 + d = - 20 \Leftrightarrow 4b + 2c + d = - 28\) (3).

Lấy phương trình (3) trừ đi phương trình (1) theo vế:

\(\left( {4b + 2c + d} \right) - \left( {b - c + d} \right) = - 28 - 8 \Rightarrow 3b + 3c = - 36 \Leftrightarrow b + c = - 12\).

Kết hợp với phương trình (2) tạo thành hệ 2 ẩn ta tính được \(b = - 3\) và \(c = - 9\).

Thay \(b = - 3\) và \(c = - 9\) vào phương trình (1): \( - 3 - \left( { - 9} \right) + d = 8 \Rightarrow d = 2\).

Hàm số hoàn chỉnh là: \(y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 2\).

Giá trị biểu thức \(P = b - 2c + d = - 3 - 2 \cdot \left( { - 9} \right) + 2 = 17\).

Đáp số: 17.

Ta có \(\vec u = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {C'B} + \overrightarrow {C'C} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC'} + \overrightarrow {C'C} = \overrightarrow {AC'} + \overrightarrow {C'C} = \overrightarrow {AC} \).

Do đó, \(\left| {\vec u} \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC\).

Với hình lập phương có cạnh bằng 3, mặt đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng 3. Độ dài đường chéo hình vuông là: \(AC = 3\sqrt 2 \).

Đồng nhất với dạng thức đề bài: \(3\sqrt 2 = a\sqrt b \Rightarrow a = 3\) và \(b = 2\).

Tính giá trị của \(T = 2a + b = 2 \cdot 3 + 2 = 8\).

Đáp số: 8.

Gọi hình chiếu vuông góc của vectơ lực \(\vec F\) lên mặt phẳng đáy \(\left( {Oxy} \right)\) là vectơ \({\vec F_{xy}}\).

Dựa theo mô tả trực quan từ hình vẽ, vectơ lực tạo với mặt đáy \(\left( {Oxy} \right)\) góc \(60^\circ \). Do đó, thành phần cao độ song song với trục đứng \(Oz\) là: \(z = \left| {\vec F} \right| \cdot \sin 60^\circ = 100 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 50\sqrt 3 \).

Độ lớn của vectơ hình chiếu trên mặt phẳng đáy là: \(\left| {{{\vec F}_{xy}}} \right| = \left| {\vec F} \right| \cdot \cos 60^\circ = 100 \cdot \frac{1}{2} = 50\).

Phân tích vectơ hình chiếu đáy \({\vec F_{xy}}\) lên hai trục tọa độ \(Ox\) và \(Oy\), góc hợp với trục \(Ox\) là \(45^\circ \), nằm ở vùng hoành độ dương và tung độ âm:

Hoành độ: \(x = \left| {{{\vec F}_{xy}}} \right| \cdot \cos 45^\circ = 50 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = 25\sqrt 2 \)

Tung độ: \(y = - \left| {{{\vec F}_{xy}}} \right| \cdot \sin 45^\circ = - 50 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = - 25\sqrt 2 \)

Tọa độ vectơ lực thu được là \(\vec F = \left( {25\sqrt 2 ; - 25\sqrt 2 ;50\sqrt 3 } \right)\).

Tính giá trị biểu thức: \(x + y + z\sqrt 3 = 25\sqrt 2 + \left( { - 25\sqrt 2 } \right) + \left( {50\sqrt 3 } \right) \cdot \sqrt 3 = 0 + 50 \cdot 3 = 150\).

Đáp số: 150.