Đề thi giữa kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THCS&THPT Tạ Quang Bửu (Hà Nội) có đáp án

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đạo hàm \(y{\rm{'}}\) đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm \(x = 2\). Do đó, hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x = 2\).

Chọn C.

Vì \[\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( {x - 1} \right)} \right] = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to \pm \infty } \left( { - \frac{2}{{x + 1}}} \right) = 0\], nên đường thẳng \(y = x - 1\) là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Chọn D.

Hàm số \(f\left( x \right) = - {x^3} - x + 2\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - 2;0} \right]\).

Ta có đạo hàm: \(f'\left( x \right) = - 3{x^2} - 1\).

Vì \( - 3{x^2} \le 0\) với mọi \(x \in \left[ { - 2;0} \right]\) nên \(f'\left( x \right) = - 3{x^2} - 1 < 0,\forall x \in \left[ { - 2;0} \right]\).

Do đó, hàm số nghịch biến trên đoạn \(\left[ { - 2;0} \right]\).

Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 2;0} \right]\) đạt được tại đầu mút \(x = 0\):

\(\mathop {{\rm{min}}}\limits_{\left[ { - 2;0} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = - {0^3} - 0 + 2 = 2\).

Chọn A.

Ta có công thức biểu diễn vectơ theo các vectơ đơn vị: \(\overrightarrow {OA} = x\vec i + y\vec j + z\vec k \Rightarrow A\left( {x;y;z} \right)\).

Từ giả thiết: \(\overrightarrow {OA} = 6\vec j + 4\vec i - 3\vec k = 4\vec i + 6\vec j - 3\vec k\).

Suy ra tọa độ điểm \(A\) là \(\left( {4;6; - 3} \right)\).

Chọn A.

Ta có: \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to \pm \infty } y = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{x - 2}}{{x + 1}} = 1\).

Do đó, đường thẳng \(y = 1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Chọn A.

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy \[\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to - {2^ - }} y = - \infty \] và \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to - {2^ + }} y = + \infty \).

Do đó, đường thẳng \(x = - 2\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Chọn D.

Xét đáp án A: Trong hình vuông \(ABCD\), hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \) là hai vectơ đối nhau (\(\overrightarrow {AB} = - \overrightarrow {CD} \)), chúng ngược hướng nên \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \) là Sai.

Xét đáp án B: Đúng theo quy tắc hình bình hành áp dụng cho hình vuông \(ABCD\).

Xét đáp án C: Đúng theo quy tắc hình hộp.

Xét đáp án D: Đúng vì các cạnh của hình lập phương đều bằng nhau nên độ dài \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {CD} } \right|\).

Chọn A.

Dựa vào đồ thị hàm số trên đoạn \(\left[ {1;5} \right]\), điểm cao nhất của đồ thị có tọa độ là \(\left( {2;4} \right)\), tương ứng với giá trị lớn nhất \(y = 4\) đạt được tại \(x = 2\).

Chọn C.

Tính từng tọa độ của vectơ \(\vec d = \left( {{x_d};{y_d};{z_d}} \right)\):

\({x_d} = 1 - 2 + 2 \cdot 4 = 7\); \({y_d} = 2 - 2 + 2 \cdot 0 = 0\); \({z_d} = 3 - \left( { - 1} \right) + 2 \cdot \left( { - 4} \right) = 3 + 1 - 8 = - 4\).

Vậy \(\vec d = \left( {7;0; - 4} \right)\).

Chọn A.

Vì \(A\left( {0;0;0} \right)\) và độ dài các cạnh bằng \(1\):

\(A'\) nằm trên trục \(Oz\) nên \(A'\left( {0;0;1} \right)\).

\(C'\) có hình chiếu xuống mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) là điểm \(C\left( {1;1;0} \right)\) và cao độ bằng \(1\), nên \(C'\left( {1;1;1} \right)\).

Tọa độ vectơ \(\overrightarrow {A'C'} \) là: \(\overrightarrow {A'C'} = \left( {1 - 0;1 - 0;1 - 1} \right) = \left( {1;1;0} \right)\).

Chọn D.

Tập xác định: Vì \({x^2} - 2x + 3 = {\left( {x - 1} \right)^2} + 2 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\) nên tập xác định là \(D = \mathbb{R}\).

Đạo hàm: \(y' = \frac{{{{\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)}^\prime }}}{{\left( {{x^2} - 2x + 3} \right){\rm{ln}}3}} = \frac{{2x - 2}}{{\left( {{x^2} - 2x + 3} \right){\rm{ln}}3}}\).

Hàm số đồng biến khi và chỉ khi \(y' > 0 \Leftrightarrow 2x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > 1\).

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Chọn D.

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy \(f'\left( x \right) > 0\) trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\). Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right)\).

Chọn A.

a) Sai. Doanh thu từ việc bán \(x\) tấn sản phẩm là:

\(R\left( x \right) = x \cdot P\left( x \right) = x\left( {45 - 0,001{x^2}} \right) = 45x - 0,001{x^3}\) (triệu đồng).

Số tiền nhà máy A thu được khi bán 10 tấn sản phẩm chính là doanh thu \(R\left( {10} \right)\):

\(R\left( {10} \right) = 45 \cdot 10 - 0,001 \cdot {10^3} = 450 - 1 = 449\) (triệu đồng).

Do đó khẳng định 600 triệu đồng là sai.

b) Đúng. Chi phí sản xuất 10 tấn sản phẩm là: \(C\left( {10} \right) = 100 + 30 \cdot 10 = 400\) (triệu đồng).

d) Đúng. Hàm lợi nhuận thu được:

\(H\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right) = \left( {45x - 0,001{x^3}} \right) - \left( {100 + 30x} \right) = - 0,001{x^3} + 15x - 100\) (triệu đồng).

c) Đúng. Tìm giá trị lớn nhất của \(H\left( x \right) = - 0,001{x^3} + 15x - 100\) với \(x \in \left[ {0;100} \right]\).

Ta có \(H'\left( x \right) = - 0,003{x^2} + 15\);

\(H'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - 0,003{x^2} + 15 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 5000 \Leftrightarrow x = \sqrt {5000} = 50\sqrt 2 \approx 70,71\) (tấn).

Vì \(H'\left( x \right)\) đổi dấu từ dương sang âm tại \(x = 50\sqrt 2 \) nên hàm số đạt cực đại (và cũng là giá trị lớn nhất trên đoạn) tại \(x \approx 70,7\) tấn.

a) Sai. Thực hiện phép chia đa thức: \(\frac{{ - {x^2} + x + 1}}{{x + 1}} = \frac{{ - x\left( {x + 1} \right) + 2x + 1}}{{x + 1}} = - x + \frac{{2\left( {x + 1} \right) - 1}}{{x + 1}} = - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}}\).

Do đó, tiệm cận xiên là đường thẳng \(\left( d \right):y = - x + 2\).

Thay tọa độ điểm \(A\left( {1;2} \right)\) vào phương trình tiệm cận xiên: \(2 = - 1 + 2 \Leftrightarrow 2 = 1\) (vô lý). Vậy tiệm cận xiên không đi qua \(A\left( {1;2} \right)\).

b) Sai. Điều kiện xác định là \(x + 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne - 1\). Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

c) Đúng. Ta có đường thẳng \(x = - 1\) là tiệm cận đứng.

d) Sai. Tính đạo hàm: \(y' = \frac{{\left( { - 2x + 1} \right)\left( {x + 1} \right) - \left( { - {x^2} + x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - 2{x^2} - x + 1 + {x^2} - x - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} - 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\).

\(y' = 0 \Leftrightarrow - {x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = - 2\).

Xét dấu \(y'\) cho thấy \(y' > 0\) khi \(x \in \left( { - 2;0} \right)\backslash \left\{ { - 1} \right\}\). Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\). Do đó, khẳng định hàm số đồng biến trên \(\left( { - 3;6} \right)\) là sai.

a) Đúng. Từ điểm cực đại \(x = 2\), đồ thị đi xuống về phía bên phải (\(x > 2\)), nghĩa là hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\). Vì \(3 > 2\) nên \(f\left( 3 \right) < f\left( 2 \right)\).

b) Đúng. Đồ thị hàm số có một điểm cực tiểu tại \(x = 0\) và một điểm cực đại tại \(x = 2\). Vậy hàm số có 2 điểm cực trị.

c) Đúng. Trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\), đồ thị đi lên từ điểm cực tiểu \(\left( {0; - 1} \right)\) đến điểm cực đại \(\left( {2;3} \right)\). Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn này chính là \(f\left( 2 \right) = 3\).

d) Sai. Trên khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\), đồ thị hàm số đi xuống (hàm số nghịch biến). Chỉ trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\) hàm số mới đồng biến. Do đó khẳng định đồng biến trên cả khoảng \(\left( { - 1;2} \right)\) là sai.

a) Đúng. Ta có: \(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AA'} \) và \(\overrightarrow {A'C} = \overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {AC} = - \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AC} \).

Cộng hai vế lại: \(\overrightarrow {AC'} + \overrightarrow {A'C} = \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AA'} } \right) + \left( { - \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AC} } \right) = 2\overrightarrow {AC} \).

b) Sai. Ta có \(\overrightarrow {BD} \cdot \overrightarrow {A'B} = \left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right) \cdot \left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AA'} } \right) = - {\overrightarrow {AB} ^2} = - {a^2}\).

\({\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {A'B} } \right) = \frac{{ - {a^2}}}{{a\sqrt 2 \cdot a\sqrt 2 }} = - \frac{1}{2} \Rightarrow \left( {\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {A'B} } \right) = 120^\circ \).

c) Sai. Vì \(\overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {DD'} \) nên \(\overrightarrow {AD'} \cdot \overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {AD'} \cdot \overrightarrow {DD'} = \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DD'} } \right) \cdot \overrightarrow {DD'} = \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {DD'} + {\overrightarrow {DD'} ^2} = 0 + {a^2} = {a^2}\).

d) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {DB} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) + \left( {\overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CD} } \right) = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {AB} \).

\(\overrightarrow {BA'} + \overrightarrow {C'D} = \left( {\overrightarrow {AA'} - \overrightarrow {AB} } \right) - \left( { - \overrightarrow {C'C} - \overrightarrow {CD} } \right) = \overrightarrow {AA'} - \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AA'} - \overrightarrow {AB} = - 2\overrightarrow {AB} \).

Tổng lại: \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BA'} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {C'D} = 2\overrightarrow {AB} + \left( { - 2\overrightarrow {AB} } \right) = \vec 0\).

Giả sử cạnh của tứ diện đều bằng \(1\). Khi đó \(AB = 1\).

Vì \(ABCD\) là tứ diện đều nên tất cả các mặt là tam giác đều cạnh 1.

\(DM\) là đường cao trong tam giác đều \(BCD\) cạnh 1 \( \Rightarrow DM = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Ta tính tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {DM} \):

\(\overrightarrow {DM} = \overrightarrow {BM} - \overrightarrow {BD} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BD} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) - \overrightarrow {BD} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} \).

Nhân vô hướng với \(\overrightarrow {AB} \): \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {DM} = \overrightarrow {AB} \cdot \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}{\overrightarrow {AB} ^2} - \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} \).

Vì các mặt là tam giác đều góc \(60^\circ \) nên \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 1 \cdot 1 \cdot {\rm{cos}}60^\circ = \frac{1}{2}\); \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} = 1 \cdot 1 \cdot {\rm{cos}}60^\circ = \frac{1}{2}\); \({\overrightarrow {AB} ^2} = 1\).

Thay vào ta được \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {DM} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\).

Áp dụng công thức côsin góc giữa hai vectơ: \({\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DM} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {DM} }}{{AB \cdot DM}} = \frac{{\frac{1}{4}}}{{1 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{1}{{2\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{6} \approx 0,28867\).

Làm tròn đến hàng phần trăm ta được 0,29.

Đáp số: 0,29.

Ta viết lại hàm số dưới dạng: \(y = \frac{1}{m}x + \frac{b}{m} + \frac{c}{{mx}}\).

Khi \(x \to \infty \), phần \(\frac{c}{{mx}} \to 0\), nên tiệm cận xiên là đường thẳng \(y = \frac{1}{m}x + \frac{b}{m}\).

Theo giả thiết, hệ số góc của tiệm cận xiên bằng \( - \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{m} = - \frac{1}{2} \Rightarrow m = - 2\).

Hàm số trở thành: \(y = \frac{{{x^2} + bx + c}}{{ - 2x}}\).

Vì đồ thị \(\left( C \right)\) đi qua \(A\left( {1;1} \right)\) và \(B\left( {5;1} \right)\), ta có

\(1 = \frac{{{1^2} + b \cdot 1 + c}}{{ - 2 \cdot 1}} \Rightarrow 1 + b + c = - 2 \Rightarrow b + c = - 3\) (1) và \(1 = \frac{{{5^2} + b \cdot 5 + c}}{{ - 2 \cdot 5}} \Rightarrow 25 + 5b + c = - 10 \Rightarrow 5b + c = - 35\) (2).

Trừ phương trình (2) cho phương trình (1): \(4b = - 32 \Rightarrow b = - 8\).

Thay \(b = - 8\) vào (1): \( - 8 + c = - 3 \Rightarrow c = 5\).

Vậy hàm số hoàn chỉnh là: \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 8x + 5}}{{ - 2x}}\).

Tính \(f\left( { - 1} \right)\): \(f\left( { - 1} \right) = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^2} - 8 \cdot \left( { - 1} \right) + 5}}{{ - 2 \cdot \left( { - 1} \right)}} = \frac{{1 + 8 + 5}}{2} = \frac{{14}}{2} = 7\).

Đáp số: 7.

Phương trình vận tốc của vật là đạo hàm bậc nhất của phương trình quãng đường:

\(v\left( t \right) = S'\left( t \right) = - {t^2} + 3t - 2\).

Để vận tốc của vật giảm, tức là hàm số \(v\left( t \right)\) nghịch biến, ta xét đạo hàm của vận tốc (chính là gia tốc \(a\left( t \right)\)):

\(v'\left( t \right) = - 2t + 3\).

Vận tốc giảm khi \(v'\left( t \right) < 0 \Leftrightarrow - 2t + 3 < 0 \Leftrightarrow t > \frac{3}{2} = 1,5\) giây.

Vậy kể từ giây thứ \(1,5\) trở đi thì vận tốc của vật giảm.

Đáp số: 1,5.

Sơ đồ dây xích được treo từ hai điểm cố định (hai đầu thanh treo) xuống một điểm trên giá đỡ tạo thành mô hình dạng chữ Y ngược hoặc hai đoạn thẳng nối từ hai đầu thanh treo đến vật.

Từ hình vẽ, khoảng cách giữa 2 điểm treo cố định là \(3{\rm{\;m}}\). Khoảng cách thẳng đứng xuống thanh đỡ là \(1{\rm{\;m}}\). Do tính chất đối xứng, tổng chiều dài dây nhỏ nhất đạt được khi điểm móc ở chính giữa cấu trúc đối xứng.

Đoạn xích gồm 4 nhánh chéo nối từ thanh ngang dài \(3{\rm{\;m}}\) xuống trục giữa, và 2 đoạn thẳng đứng đi xuống vật trang trí.

Gọi chiều cao của tam giác cân tạo bởi 2 dây chéo là \(h\) (\(0 \le h \le 1\)). Khi đó phần dây thẳng đứng còn lại là \(1 - h\).

Độ dài một nhánh dây chéo (theo định lý Pythagore với nửa cạnh ngang là \(1,5{\rm{\;m}}\)):

\({d_{ch\'e o}} = \sqrt {{{\left( {1,5} \right)}^2} + {h^2}} = \sqrt {2,25 + {h^2}} \).

Tổng độ dài các đoạn xích là: \(L\left( h \right) = 2\left( {2\sqrt {2,25 + {h^2}} + 1 - h} \right) = 2\left( {\sqrt {9 + 4{h^2}} + 1 - h} \right)\).

Tìm giá trị nhỏ nhất của \(L\left( h \right)\) bằng đạo hàm: \(L'\left( h \right) = 2\left( {\frac{{4h}}{{\sqrt {9 + 4{h^2}} }} - 1} \right)\).

\(L'\left( h \right) = 0 \Leftrightarrow 4h = \sqrt {9 + 4{h^2}} \Leftrightarrow 16{h^2} = 9 + 4{h^2} \Leftrightarrow 12{h^2} = 9 \Leftrightarrow {h^2} = \frac{3}{4} \Rightarrow h = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Giá trị nhỏ nhất của \(L\): \(L\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = 2\left( {\sqrt {9 + 4 \cdot \frac{3}{4}} + 1 - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = 2\left( {\sqrt {12} + 1 - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = 2 + 3\sqrt 3 \).

Tức là \(a = 2,b = 3,c = 3 \Rightarrow a + b + c = 8\).

Đáp số: 8.

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

Tính đạo hàm: \(y' = \frac{{\left( {2x - 4} \right)\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} - 4x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{2{x^2} - 2x - 4 - {x^2} + 4x - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2x - 5}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\).

Hai điểm cực trị \({x_1},{x_2}\) là nghiệm của phương trình tử số: \({x^2} + 2x - 5 = 0\).

Vì \(\Delta ' = {1^2} - \left( { - 5} \right) = 6 > 0\) và các nghiệm đều khác \( - 1\) (do \({\left( { - 1} \right)^2} + 2 \cdot \left( { - 1} \right) - 5 = - 6 \ne 0\)), phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Theo định lý Vi-ét, tổng hai nghiệm là: \({x_1} + {x_2} = - \frac{2}{1} = - 2\).

Đáp số: −2.

Quan sát hình vẽ trải phẳng của hình hộp chữ nhật:

Chiều rộng của tấm bìa ban đầu là \(0,9{\rm{\;m}}\). Theo trục dọc, tấm bìa được chia thành các phần gồm: 3 đoạn có độ dài bằng nhau là chiều rộng/chiều cao và 2 đoạn cắt góc \(x\). Nhìn vào sơ đồ: chiều dọc \(0,9{\rm{\;m}}\) gồm có 2 ô vuông cạnh \(x\) ở hai góc kẹp giữa một cạnh của hình hộp. Đoạn ở giữa là các mặt hình hộp.

Cụ thể, chiều rộng miếng bìa được chia thành: \(x\) + (chiều rộng đáy) + \(x = 0,9 \Rightarrow \) Chiều rộng đáy hộp là \(0,9 - 2x\).

Chiều dài của tấm bìa ban đầu là \(1,5{\rm{\;m}}\). Theo trục ngang, miếng bìa được xếp thành 4 mặt bên tuần hoàn của hình hộp chữ nhật có cùng chiều cao là \(x\). Cấu trúc gồm 4 đoạn gấp lại thành chu vi đáy: 2 lần chiều dài đáy và 2 lần chiều rộng đáy.

Do đó: 2 × (chiều dài đáy + chiều rộng đáy) = 1,5.

Biết chiều rộng đáy là \(0,9 - 2x\), ta tìm được chiều dài đáy bằng \(0,75 - \left( {0,9 - 2x} \right) = 2x - 0,15\).

Chiều cao của hình hộp chữ nhật chính là \(x\).

Điều kiện của \(x\): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > 0}\\{0,9 - 2x > 0}\\{2x - 0,15 > 0}\end{array} \Rightarrow 0,075 < x < 0,45} \right.\).

Thể tích của hình hộp chữ nhật tạo thành là:

\(V\left( x \right) = \left( {2x - 0,15} \right)\left( {0,9 - 2x} \right)x\)\( = \left( { - 4{x^2} + 2,1x - 0,135} \right)x = - 4{x^3} + 2,1{x^2} - 0,135x\).

Tìm \(x\) để \(V\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất bằng cách lấy đạo hàm:

\(V'\left( x \right) = - 12{x^2} + 4,2x - 0,135\).

Cho \(V'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - 12{x^2} + 4,2x - 0,135 = 0\).

Giải phương trình bậc hai này ta được hai nghiệm: \({x_1} = 0,225\) và \({x_2} = 0,12\).

So sánh giá trị hoặc lập bảng biến thiên:

Với \(x = 0,12\): \(V\left( {0,12} \right) = \left( {2 \cdot 0,12 - 0,15} \right)\left( {0,9 - 2 \cdot 0,12} \right) \cdot 0,12 = 0,09 \cdot 0,66 \cdot 0,12 = 0,007128{\rm{\;}}{{\rm{m}}^3}\).

Với \(x = 0,225\): \(V\left( {0,225} \right) = \left( {2 \cdot 0,225 - 0,15} \right)\left( {0,9 - 2 \cdot 0,225} \right) \cdot 0,225 = 0,3 \cdot 0,45 \cdot 0,225 = 0,030375{\rm{\;}}{{\rm{m}}^3}\).

Vì \(V\left( {0,225} \right) > V\left( {0,12} \right)\), hàm số đạt giá trị lớn nhất tại \(x = 0,225{\rm{\;m}}\).

Đáp số: 0,225.