Đề thi giữa kì 1 Toán 12 năm 2024-2025 THPT Yên Viên (Hà Nội) có đáp án

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 3} \right\}\).

Đạo hàm: \(y' = \frac{{\left( {4x + 6} \right)\left( {x + 3} \right) - \left( {2{x^2} + 6x + 50} \right)}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} = \frac{{4{x^2} + 18x + 18 - 2{x^2} - 6x - 50}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} = \frac{{2{x^2} + 12x - 32}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\).

Giải phương trình \(y' = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} + 12x - 32 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{x = - 8}\end{array}} \right.\).

Xét dấu \(y'\): Hàm số nghịch biến khi \(y' < 0 \Leftrightarrow 2{x^2} + 12x - 32 < 0 \Leftrightarrow - 8 < x < 2\).

Kết hợp điều kiện \(x \ne - 3\), hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - 8; - 3} \right)\) và \(\left( { - 3;2} \right)\). Đối chiếu các phương án, khoảng \(\left( { - 3;2} \right)\) thỏa mãn. Chọn A.

Dựa vào bảng biến thiên, trên khoảng \(\left( { - 6;2} \right)\), đạo hàm \(y'{\kern 1pt} > 0\) và hàm số liên tục trên khoảng này. Do đó hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 6;2} \right)\). Chọn D.

Ta có \(y = \frac{{ - 6{x^2} - 4x - 2}}{{3x - 4}} = - 2x - 4 - \frac{{18}}{{3x - 4}}\), do đó đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận xiên là đường thẳng \[y = - 2x - 4\] và tiệm cận đứng là đường thẳng \[x = \frac{4}{3}\]. Vậy tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm có tọa độ \(\left( {\frac{4}{3}; - \frac{{20}}{3}} \right)\). Chọn B.

Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\) nên loại phương án C. Nhánh cuối cùng đi xuống khi \(x \to + \infty \) suy ra hệ số bậc cao nhất \(a < 0\), loại phương án A. Đồ thị có điểm cực đại nằm ở phía bên phải trục tung (\(x > 0\)), thử nghiệm với \(y = - {x^3} + 2{x^2}\) có \(y' = - 3{x^2} + 4x = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = \frac{4}{3} > 0\) (hoàn toàn phù hợp). Chọn B.

Ta có \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = - 6\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 4\). Do đó đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang riêng biệt là \(y = - 6\) và \(y = 4\). Chọn D.

Dựa vào đồ thị hàm số bậc ba, ta thấy đồ thị đi xuống từ trái sang phải trên khoảng của biến \(x\) từ \( - 1\) đến \(1\). Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\). Chọn D.

Đạo hàm: \(y' = 3{x^2} - 3x - 6\).

Giải \(y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 3x - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1}\\{x = 2}\end{array}} \right.\).

Lập bảng biến thiên trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\), ta thấy hàm số đồng biến từ \( - \infty \) tăng lên đến giá trị tại điểm biên \(x = - 1\).

Tại \(x = - 1 \Rightarrow y = {\left( { - 1} \right)^3} - \frac{{3 \cdot {{\left( { - 1} \right)}^2}}}{2} - 6 \cdot \left( { - 1} \right) - 4 = - 1 - \frac{3}{2} + 6 - 4 = - \frac{1}{2}\). Do đó \(\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left( { - \infty ; - 1} \right)} y = - \frac{1}{2}\). Chọn C.

Ta biến đổi phương trình: \(4f\left( x \right) + 3 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = - \frac{3}{4}\).

Số nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng nằm ngang \(y = - \frac{3}{4}\). Dựa vào hình vẽ, đường thẳng này nằm dưới trục hoành và chỉ cắt đồ thị tại đúng \(1\) điểm duy nhất ở nhánh bên phải, do đó phương trình có \(1\) nghiệm. Chọn B.

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 6 \right\}\).

Đạo hàm: \(y' = \frac{{\left( {4x - 12} \right)\left( {x - 6} \right) - \left( {2{x^2} - 12x + 8} \right)}}{{{{\left( {x - 6} \right)}^2}}} = \frac{{4{x^2} - 36x + 72 - 2{x^2} + 12x - 8}}{{{{\left( {x - 6} \right)}^2}}} = \frac{{2{x^2} - 24x + 64}}{{{{\left( {x - 6} \right)}^2}}}\).

Giải \(y' = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} - 24x + 64 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 8}\\{x = 4}\end{array}} \right.\).

Lập bảng xét dấu đạo hàm \(y'\):

Qua điểm \(x = 4\), \(y'\) đổi dấu từ dương sang âm nên \(x = 4\) là điểm cực đại.

Qua điểm \(x = 8\), \(y'\) đổi dấu từ âm sang dương nên \(x = 8\) là điểm cực tiểu của hàm số. Chọn A.

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{4}{9}} \right\}\).

Đạo hàm: \(y' = \frac{{ - 7 \cdot 4 - 6 \cdot 9}}{{{{\left( {9x + 4} \right)}^2}}} = \frac{{ - 82}}{{{{\left( {9x + 4} \right)}^2}}} < 0,\forall x \in D\).

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định là \(\left( { - \infty ; - \frac{4}{9}} \right)\) và \(\left( { - \frac{4}{9}; + \infty } \right)\). Do khoảng \(\left( {3; + \infty } \right)\) là tập con của khoảng \(\left( { - \frac{4}{9}; + \infty } \right)\) nên hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right)\). Chọn A.

Xét phương trình mẫu số: \({x^2} - 15x + 54 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 9}\\{x = 6}\end{array}} \right.\).

Với \(x = 6\), thế vào tử số ta được \(2 \cdot 6 - 12 = 0\). Khử dạng vô định:

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 6} \frac{{2\left( {x - 6} \right)}}{{\left( {x - 6} \right)\left( {x - 9} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 6} \frac{2}{{x - 9}} = \frac{2}{{6 - 9}} = - \frac{2}{3} \ne \pm \infty \].

(vậy \(x = 6\) không phải tiệm cận đứng).

Với \(x = 9\), tử số bằng \(2 \cdot 9 - 12 = 6 \ne 0\), do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 9} y = \pm \infty \). Vậy đồ thị hàm số chỉ có duy nhất \(1\) đường tiệm cận đứng là \(x = 9\). Chọn B.

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x = 8\) (giá trị cực tiểu của hàm số là \(y = 18\)). Chọn C.

Từ BBT, ta rút ra các nhận xét sau:

Đồ thị có một đường tiệm cận đứng tại điểm hàm số không xác định là \(x = 3\). Do đó, mẫu số \(mx + n = 0\) tại \(x = 3 \Rightarrow 3m + n = 0 \Rightarrow n = - 3m\).

Tại \(x = 1\), ta có \(y = 1\) và \(y' = 0\).

Tại \(x = 5\), ta có \(y = - 7\) và \(y' = 0\).

Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty \). Mà \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{a{x^2}}}{{mx}} = {\rm{l}}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{a}{m}x\). Để giới hạn này ra \( - \infty \) khi \(x \to + \infty \) thì \(\frac{a}{m} < 0\), nghĩa là \(a\) và \(m\) trái dấu.

a) Sai.Từ BBT, đường tiệm cận xiên là đạo hàm khi chia tử cho mẫu: \(y = \frac{a}{m}x + \ldots \). Đường thẳng nối hai điểm cực trị \(\left( {1;1} \right)\) và \(\left( {5; - 7} \right)\) có phương trình là \(y = - 2x + 3\). Trong hàm bậc hai trên bậc nhất, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị chính là \(y = \frac{{{{\left( {a{x^2} + b,x + c} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {mx + n} \right)}^\prime }}} = \frac{{2ax + b}}{m}\).

Từ hệ phương trình các cực trị, ta tìm được một bộ số cụ thể thỏa mãn BBT (nhánh đồ thị đi xuống, tiệm cận đứng \(x = 3\)): Chọn \(m = 1 \Rightarrow n = - 3\). Khi đó \(a < 0\), giải ra hàm số cụ thể là \(y = \frac{{ - {x^2} + 4x - 1}}{{x - 3}}\). Lúc này \(c = - 1\) và \(n = - 3\) cùng dấu. Do đó phát biểu “luôn trái dấu” là Sai.

b) Đúng. Ta có \(3m + n = 0 \Rightarrow n = - 3m\), suy ra \(n\) và \(m\) trái dấu. Mà từ giới hạn, ta đã chứng minh \(a\) và \(m\) trái dấu. Do đó, \(a\) và \(n\) bắt buộc phải cùng dấu.

c) Đúng. Nhìn vào hàng \(y'\), ta thấy \(y' = 0\) tại hai điểm phân biệt là \(x = 1\) và \(x = 5\).

d) Đúng. Tại \(x = 1\), giá trị của hàm số là \(y\left( 1 \right) = 1\). Thay \(x = 1\) vào công thức hàm số:

\(y\left( 1 \right) = \frac{{a \cdot {1^2} + b \cdot 1 + c}}{{m \cdot 1 + n}} = \frac{{a + b + c}}{{m + n}} = 1 \Rightarrow a + b + c = m + n\).

a) Đúng.Trên khoảng \(\left( { - 2;0} \right)\), ta thấy \(f'\left( x \right) > 0\), do đó hàm số đồng biến.

b) Sai. Đặt \(g\left( x \right) = f\left( {5 - 5x} \right) \Rightarrow g'\left( x \right) = {\left( {5 - 5x} \right)^\prime } \cdot f'\left( {5 - 5x} \right) = - 5 \cdot f'\left( {5 - 5x} \right)\).

Để hàm số đồng biến thì \(g'\left( x \right) > 0 \Rightarrow - 5 \cdot f'\left( {5 - 5x} \right) > 0 \Rightarrow f'\left( {5 - 5x} \right) < 0\).

Dựa vào bảng xét dấu, \[f'\left( t \right) < 0\] khi \(t \in \left( { - 5; - 2} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\).

Trường hợp 1: \( - 5 < 5 - 5x < - 2 \Rightarrow - 10 < - 5x < - 7 \Rightarrow \frac{7}{5} < x < 2\).

Trường hợp 2: \(5 - 5x > 0 \Rightarrow - 5x > - 5 \Rightarrow x < 1\).

Khoảng đề bài cho là \(\left( {1;\frac{7}{5}} \right)\) không nằm trong các khoảng làm cho hàm số đồng biến (thực tế trên khoảng này \(f'\left( {5 - 5x} \right) > 0 \Rightarrow g'\left( x \right) < 0\) nên hàm số nghịch biến). Do đó phát biểu này Sai.

c) Sai. Tại \(x = - 5\), \(f'\left( x \right)\) đổi dấu từ \(\left( + \right)\) sang \(\left( - \right)\) khi đi qua điểm này, nên \(x = - 5\) là điểm cực đại.

d) Sai. Hàm số đạt cực trị khi \(g'\left( x \right) = 0 \Rightarrow f'\left( {5 - 5x} \right) = 0\).

Từ bảng xét dấu, \(f'\left( t \right) = 0\) tại \(t = - 5,t = - 2,t = 0\).

Xét \(5 - 5x = - 2 \Rightarrow - 5x = - 7 \Rightarrow x = \frac{7}{5}\).

Xét \(5 - 5x = - 5 \Rightarrow x = 2\).

Xét \(5 - 5x = 0 \Rightarrow x = 1\).

Giá trị \(x = \frac{{17}}{{10}} = 1,7\) không phải là nghiệm của phương trình \(g'\left( x \right) = 0\). Do đó phát biểu này Sai.

Ta có \(y = \frac{{4 - 4x}}{{ - 8x - 4}} = \frac{{ - 4x + 4}}{{ - 8x - 4}} = \frac{{x - 1}}{{2x + 1}}\).

Tiệm cận đứng (TCĐ): Mẫu số \(2x + 1 = 0 \Rightarrow x = - \frac{1}{2}\).

Tiệm cận ngang (TCN): Hệ số của \(x\) ở tử chia mẫu: \(y = \frac{1}{2}\).

a) Đúng. Tâm đối xứng của hàm phân thức bậc nhất/bậc nhất là giao điểm của hai đường tiệm cận:

.

b) Đúng.

c) Sai.

Các đường thẳng tạo nên hình chữ nhật là: hai trục tọa độ (\(x = 0,y = 0\)) và hai tiệm cận (\(x = - \frac{1}{2},y = \frac{1}{2}\)).

Chiều rộng và chiều dài của hình chữ nhật lần lượt là: \(\left| { - \frac{1}{2}} \right| = \frac{1}{2}\) và \(\left| {\frac{1}{2}} \right| = \frac{1}{2}\).

Diện tích \(S = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\). Đề bài ghi \(\frac{1}{8}\) nên phát biểu này Sai.

d) Sai.Tiệm cận ngang đúng phải là \(y = \frac{1}{2}\).

Cho hàm số \(y = {x^3} - 12{x^2} + 45x - 2\).

Ta tính đạo hàm: \(y' = 3{x^2} - 24x + 45\).

Cho \(y' = 0 \Rightarrow 3{x^2} - 24x + 45 = 0 \Rightarrow x = 3\) hoặc \(x = 5\).

Xét dấu:

Khoảng \(\left( { - \infty ;3} \right)\): \(y' > 0\) (đồng biến)

Khoảng \(\left( {3;5} \right)\): \(y' < 0\) (nghịch biến)

Khoảng \(\left( {5; + \infty } \right)\): \(y' > 0\) (đồng biến)

Các giá trị cực trị:

\(y\left( 3 \right) = {3^3} - 12 \cdot {3^2} + 45 \cdot 3 - 2 = 52\) (Giá trị cực đại);

\(y\left( 5 \right) = {5^3} - 12 \cdot {5^2} + 45 \cdot 5 - 2 = 48\) (Giá trị cực tiểu).

Xét tính đúng sai:

a) Sai. Đạo hàm đúng phải là \(y' = 3{x^2} - 24x + 45\).

b) Đúng. Trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right)\), hàm số nghịch biến từ \(x = 3\) đến \(x = 5\) (giảm từ 52 xuống 48), sau đó đồng biến từ \(x = 5\) đến \( + \infty \) (tăng từ 48 lên \( + \infty \)). Do đó điểm thấp nhất trên nửa khoảng này đạt được tại \(x = 5\) với giá trị cực tiểu \(y = 48\).

c) Sai. Giá trị cực đại của hàm số là \(y = 52\) (tại \(x = 3\)). Giá trị \(48\) là giá trị cực tiểu.

d) Sai. Trên khoảng \(\left( { - \infty ;3} \right)\), \(y' > 0\) nên hàm số đồng biến.

Viết lại hàm số dưới dạng chuẩn: \(f\left( x \right) = \frac{{ - x + 2}}{{x - m}}\).

Đạo hàm: \(y' = \frac{{\left( { - 1} \right) \cdot \left( { - m} \right) - 2 \cdot 1}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}} = \frac{{m - 2}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}}\).

Để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {21; + \infty } \right)\) thì ta phải đồng thời thỏa mãn đạo hàm dương và điểm gián đoạn không thuộc khoảng xét, tức là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y' > 0}\\{m \notin \left( {21; + \infty } \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m - 2 > 0}\\{m \le 21}\end{array}} \right. \Leftrightarrow 2 < m \le 21\).

Do \(m\) là số nguyên và nằm trong khoảng \(\left( { - 160;160} \right)\) nên các giá trị thỏa mãn bao gồm: \(m \in \left\{ {3;4;5; \ldots ;21} \right\}\).

Số lượng các giá trị nguyên thu được là: \(21 - 3 + 1 = 19\) giá trị.

Đáp số: 19.

Từ đồ thị, ta thấy đồ thị hàm số đi qua các điểm \(\left( { - 1;0} \right),\left( {0;4} \right),\left( {1;2} \right),\left( {2;0} \right)\), lần lượt thay vào hàm số, ta được

\[\left\{ \begin{array}{l} - a + b - c + d = 0\\d = 4\\a + b + c + d = 2\\8a + 4b + 2c + d = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 3\\c = 0\\d = 4\end{array} \right.\].

Vậy \(T = a + 2b + 3c + 4d = 11\).

Đáp số: 11.

Đạo hàm: \(y' = - 3{x^2} - 27x - 60\).

Giải phương trình \(y' = 0 \Leftrightarrow - 3\left( {{x^2} + 9x + 20} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 4}\\{x = - 5}\end{array}} \right.\).

Vì hệ số bậc cao nhất \(a = - 1 < 0\) nên hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x = - 5\) và đạt cực đại tại điểm \(x = - 4\).

Giá trị cực tiểu: \({y_1} = y\left( { - 5} \right) = - {\left( { - 5} \right)^3} - \frac{{27 \cdot {{\left( { - 5} \right)}^2}}}{2} - 60 \cdot \left( { - 5} \right) + 1 = \frac{{177}}{2} = 88,5\).

Giá trị cực đại: \({y_2} = y\left( { - 4} \right) = - {\left( { - 4} \right)^3} - \frac{{27 \cdot {{\left( { - 4} \right)}^2}}}{2} - 60 \cdot \left( { - 4} \right) + 1 = 89\).

Vậy \(P = - 2{y_1} + 4{y_2} = - 2 \cdot 88,5 + 4 \cdot 89 = 179\).

Đáp số: 179.

Đường tiệm cận đứng là nghiệm của mẫu số: \(x = 3\).

Tìm tiệm cận xiên bằng cách chia tử số cho mẫu số: \(y = x + 4 + \frac{1}{{x - 3}}\). Vậy tiệm cận xiên là đường thẳng \(y = x + 4\).

Đa giác được giới hạn bởi các đường tiệm cận và hai trục tọa độ (\(x = 0\) và \(y = 0\)) tạo thành một hình thang vuông có bốn đỉnh tọa độ là \(O\left( {0;0} \right)\), \(A\left( {3;0} \right)\), \(B\left( {3;7} \right)\), \(C\left( {0;4} \right)\).

Tính diện tích hình thang vuông \(OABC\): \(S = \frac{{\left( {OC + AB} \right) \cdot OA}}{2} = \frac{{\left( {4 + 7} \right) \cdot 3}}{2} = \frac{{33}}{2} = 16,5\).

Đáp số: 16,5.

Đặt biến phụ \(x = {t^2}\), vì \(t \in \left[ {0;8} \right] \Rightarrow x \in \left[ {0;64} \right]\). Hàm số vận tốc đưa về dạng: \(f\left( x \right) = {x^2} - 24x + 263\).

Lấy đạo hàm theo biến \(x\): \(f'\left( x \right) = 2x - 24 = 0 \Leftrightarrow x = 12\) (thỏa mãn thuộc đoạn \(\left[ {0;64} \right]\)).

Tính giá trị tại điểm cực trị và các biên để so sánh:

\(f\left( 0 \right) = 263\);

\(f\left( {12} \right) = {12^2} - 24\left( {12} \right) + 263 = 144 - 288 + 263 = 119\);

\(f\left( {64} \right) = {64^2} - 24\left( {64} \right) + 263 = 2823\).

So sánh các giá trị trên, ta kết luận vận tốc nhỏ nhất thu được của chất điểm bằng \(119\) m/s.

Đáp số: 119.

Gọi số lượng máy phay nhà xưởng đưa vào vận hành là \(k\) máy (\(k \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\)).

Tổng năng suất sản xuất của tất cả các máy trong một giờ là: \(10k\) bo mạch/giờ.

Thời gian để hoàn thành toàn bộ khối lượng đơn hàng là: \(t = \frac{{31250}}{{10k}} = \frac{{3125}}{k}\) giờ.

Xác định tổng chi phí vận hành (quy đổi theo đơn vị triệu đồng):

\(C\left( k \right) = 3k + 0,6 \cdot t = 3k + 0,6 \cdot \frac{{3125}}{k} = 3k + \frac{{1875}}{k}\).

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho bộ hai số dương \(3k\) và \(\frac{{1875}}{k}\):

\(C\left( k \right) \ge 2\sqrt {3k \cdot \frac{{1875}}{k}} = 2\sqrt {5625} = 2 \cdot 75 = 150\).

Chi phí đạt giá trị nhỏ nhất bằng 150 triệu đồng khi và chỉ khi dấu đẳng thức xảy ra:

\(3k = \frac{{1875}}{k} \Leftrightarrow 3{k^2} = 1875 \Leftrightarrow {k^2} = 625 \Leftrightarrow k = 25\).

Vậy xưởng cần vận hành đúng \(25\) máy phay để tối ưu hóa chi phí thấp nhất.

Đáp số: 25.