Đề thi giữa kì 1 Toán 12 năm 2024-2025 THPT Minh Hà (Hà Nội) có đáp án

Hàm số nghịch biến khi và chỉ khi: \(f'\left( x \right) \le 0 \Leftrightarrow x + 2 \le 0 \Leftrightarrow x \le - 2\).

Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\).

Chọn B.

Dựa vào đồ thị hàm số trên đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\):

Điểm cao nhất của đồ thị trên đoạn này có tung độ bằng \(2\) tại vị trí \(x = - 1\) (hoặc nhìn vào đường nét đứt ở góc trái, điểm biên tại \(x = - 1\) đạt \(y = 2\), và tại \(x = 3\) đạt \(y = 1\)). Vậy giá trị lớn nhất \(M = 2\).

Điểm thấp nhất của đồ thị có tung độ bằng \( - 4\) tại vị trí \(x = 2\). Vậy giá trị nhỏ nhất \(m = - 4\).

Do đó: \(M + m = 2 + \left( { - 4} \right) = - 2\).

Chọn D.

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung \(Oy\) là điểm có hoành độ \(x = 0\).

Thay \(x = 0\) vào công thức hàm số ta được: \(y = \frac{{ - {0^2} + 1}}{{0 - 2}} = - \frac{1}{2}\).

Vậy tọa độ giao điểm là \(\left( {0; - \frac{1}{2}} \right)\).

Chọn B.

Ta biến đổi phương trình về dạng: \(2f\left( x \right) - 1 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = \frac{1}{2}\).

Số nghiệm thực của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng nằm ngang \(y = \frac{1}{2}\).

Dựa vào hình vẽ đồ thị hàm số, ta thấy đường thẳng \(y = \frac{1}{2}\) nằm giữa \( - 1\) và \(3\) (tức là \( - 1 < \frac{1}{2} < 3\)). Đường thẳng này cắt đồ thị tại \(3\) điểm phân biệt.

Vậy phương trình có 3 nghiệm thực phân biệt.

Chọn B.

Xét hàm số \(y = - {x^3} + 3x + 1\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Ta có đạo hàm: \(y' = - 3{x^2} + 3\); \(y' = 0 \Leftrightarrow - 3{x^2} + 3 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow x = 1{\rm{\;(do\;}}x \in \left( {0; + \infty } \right){\rm{)}}\).

Với \(x \in \left( {0;1} \right)\), \(y' > 0 \Rightarrow \) hàm số đồng biến.

Với \(x \in \left( {1; + \infty } \right)\), \(y' < 0 \Rightarrow \) hàm số nghịch biến.

Do đó, hàm số đạt giá trị lớn nhất tại \(x = 1\) và \(\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} y = y\left( 1 \right) = - {1^3} + 3 \cdot 1 + 1 = 3\).

Chọn D.

Tập xác định của hàm số yêu cầu mẫu số khác 0: \({x^2} + x \ne 0 \Leftrightarrow x\left( {x + 1} \right) \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 0{\rm{\;và \;}}x \ne - 1\).

Ta phân tích tử số và mẫu số thành nhân tử: \(y = \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{x - 3}}{x}\).

Tại \(x = 0\): \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{x - 3}}{x} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{x - 3}}{x} = + \infty \).

Do đó, đường thẳng \(x = 0\) là tiệm cận đứng.

Tại \(x = - 1\): \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{x - 3}}{x} = \frac{{ - 1 - 3}}{{ - 1}} = 4\).

Vì giới hạn là một số thực cụ thể nên đường thẳng \(x = - 1\) không phải là tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận đứng là \(x = 0\).

Chọn A.

Tập xác định: \(\mathbb{D} = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

Ta tính đạo hàm: \(y' = \frac{{{{\left( {{x^2} + 3} \right)}^\prime }\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} + 3} \right){{\left( {x + 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{2x\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} + 3} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\).

Cho \(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1\) hoặc \(x = - 3\).

Qua nghiệm \(x = - 3\), \(y'\) đổi dấu từ dương sang âm \( \Rightarrow x = - 3\) là điểm cực đại.

Qua nghiệm \(x = 1\), \(y'\) đổi dấu từ âm sang dương \( \Rightarrow x = 1\) là điểm cực tiểu.

Vậy điểm cực tiểu của hàm số là \(x = 1\).

Chọn D.

Dựa vào đồ thị hàm số:

Đồ thị đi xuống (hàm số nghịch biến) trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\).

Đồ thị đi lên (hàm số đồng biến) trên khoảng \(\left( { - 1;2} \right)\).

Đồ thị đi xuống (hàm số nghịch biến) trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\).

Do đó, khoảng \(\left( { - 1;2} \right)\) chứa khoảng \(\left( {0;1} \right)\). Vì hàm số đồng biến trên \(\left( { - 1;2} \right)\) nên nó cũng đồng biến trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\).

Chọn D.

Ta xét giới hạn của hàm số khi \(x\) dần tới vô cực: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x + 3}}{{x - 3}} = 2\,{\rm{v\`a }}\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x + 3}}{{x - 3}} = 2\).

Vậy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng \(y = 2\).

Chọn B.

Theo định nghĩa tọa độ của vectơ trong không gian: Nếu \(\vec u = x\vec i + y\vec j + z\vec k\) thì tọa độ của \(\vec u\) là \(\left( {x;y;z} \right)\).

Ở đây \(\vec u = 2\vec i + 1\vec j - 3\vec k \Rightarrow \vec u = \left( {2;1; - 3} \right)\).

Chọn D.

Dựa vào bảng biến thiên, tại điểm \(x = 0\) đạo hàm \(f'\left( x \right)\) đổi dấu từ dương sang âm, hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\).

Giá trị cực đại tương ứng của hàm số là \(y = f\left( 0 \right) = 3\).

Chọn B.

Hình chiếu vuông góc của một điểm \(A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) trên mặt phẳng tọa độ \(\left( {Oxy} \right)\) sẽ giữ nguyên tọa độ \(x,y\) và có cao độ \(z = 0\).

Do đó, hình chiếu của \(A\left( {8;3; - 13} \right)\) lên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) là điểm \(A'\left( {8;3;0} \right)\).

Chọn C.

a) ĐÚNG: Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{x - 1}}{{x - 2}} = 1\), nên đường thẳng \(y = 1\) là tiệm cận ngang.

b) SAI: Tập xác định \(\mathbb{D} = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\). Đạo hàm \(y' = \frac{{1.\left( { - 2} \right) - \left( { - 1} \right).1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} < 0,\forall x \ne 2\). Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định \(\left( { - \infty ;2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\), không thể kết luận nghịch biến trên cả \(\mathbb{R}\).

c) ĐÚNG: Trên đoạn \(\left[ {3;4} \right]\), hàm số liên tục và có \(y' < 0\) nên nghịch biến trên đoạn này. Do đó, giá trị lớn nhất đạt được tại đầu mút trái, tức là \(\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ {3;4} \right]} f\left( x \right) = f\left( 3 \right)\).

d) SAI: Đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{x - 2}}\) có tiệm cận đứng là \(x = 2\), tiệm cận ngang là \(y = 1\), nghịch biến trên từng khoảng xác định và cắt trục tung tại \(\left( {0;\frac{1}{2}} \right)\), cắt trục hoành tại \(\left( {1;0} \right)\). Đồ thị đã cho không đáp ứng yêu cầu cắt trục tung tại \(\left( {0;\frac{1}{2}} \right)\) nên không phải đồ thị của hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{x - 2}}\).

Dựa vào hình vẽ đồ thị đã cho ta thấy đồ thị hàm số có điểm cực đại tại \(\left( {0;3} \right)\) và điểm cực tiểu tại \(\left( {1;2} \right)\).

a) SAI: Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) vì đồ thị đi lên từ trái sang phải.

b) SAI: Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = 0\) (giá trị cực đại là \(y = 3\)).

c) SAI: Trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\), đồ thị hàm số đi lên, tức hàm số đồng biến.

Do \(1 < 2 \Rightarrow f\left( 1 \right) < f\left( 2 \right) \Rightarrow f\left( 2 \right) - f\left( 1 \right) > 0\).

d) ĐÚNG: Tâm đối xứng của đồ thị hàm số bậc ba chính là điểm uốn \(I\left( {{x_I};{y_I}} \right)\), với \({x_I}\) là trung điểm của hoành độ hai điểm cực trị: ; .

Vậy tâm đối xứng là \(I\left( {\frac{1}{2};\frac{5}{2}} \right)\).

Ta xét dấu của \(f'\left( x \right)\):

Vì \({\left( {3 - x} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x\), dấu của \(f'\left( x \right)\) phụ thuộc vào tích \(\left( {x + 5} \right)\left( {x - 2} \right)\).

\(f'\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ; - 5} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\)

\(f'\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - 5;2} \right)\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = - 5,x = 2,x = 3\) (trong đó \(x = 3\) là nghiệm kép).

a) ĐÚNG: Trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\), ta thấy \(\left( {0;2} \right) \subset \left( { - 5;2} \right)\) tại đó \(f'\left( x \right) < 0\). Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\).

b) SAI: Đạo hàm chỉ đổi dấu qua \(x = - 5\) (từ dương sang âm \( \Rightarrow \) cực đại) và qua \(x = 2\) (từ âm sang dương \( \Rightarrow \) cực tiểu). Qua \(x = 3\), \(f'\left( x \right)\) không đổi dấu. Vậy hàm số chỉ có 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu.

c) SAI: Trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\), hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ; - 5} \right)\) và nghịch biến trên \(\left( { - 5;2} \right)\). Do đó tại \(x = - 5\) hàm số đạt cực đại, giá trị nhỏ nhất trên đoạn này không thể khẳng định là \(f\left( { - 2} \right)\).

d) ĐÚNG: Tính đạo hàm \(g'\left( x \right) = {\left( {3 - {2^x}} \right)^\prime } \cdot f'\left( {3 - {2^x}} \right) = - {2^x}{\rm{ln}}2 \cdot f'\left( {3 - {2^x}} \right)\).

Để hàm số đồng biến thì \(g'\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow f'\left( {3 - {2^x}} \right) \le 0\) (vì \( - {2^x}{\rm{ln}}2 < 0\)).

Từ điều kiện \(f'\left( t \right) \le 0 \Leftrightarrow - 5 \le t \le 2\), ta thay \(t = 3 - {2^x}\):

\( - 5 \le 3 - {2^x} \le 2 \Leftrightarrow - 8 \le - {2^x} \le - 1 \Leftrightarrow 1 \le {2^x} \le 8 \Leftrightarrow 0 \le x \le 3\).

Hàm số \(g\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;3} \right)\) là đúng theo lý thuyết tập nghiệm \(\left[ {0;3} \right]\).

a) SAI: Ta có \(A{B_1}\) và \({C_1}D\) là hai đường chéo của hai mặt bên đối diện nhau (\(AB{B_1}{A_1}\) và \(CD{D_1}{C_1}\)). Do \(ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) là hình hộp chữ nhật nên hai mặt bên này song song và bằng nhau, suy ra tứ giác \(A{B_1}{C_1}D\) là hình bình hành. Thực tế \(\overrightarrow {A{B_1}} \) và \(\overrightarrow {D{C_1}} \) mới là cặp vectơ bằng nhau, còn \(\overrightarrow {{C_1}D} = - \overrightarrow {D{C_1}} = - \overrightarrow {A{B_1}} \), nên chúng đối nhau chứ không bằng nhau.

b) ĐÚNG: Ta có \(\overrightarrow {{B_1}{A_1}} + \overrightarrow {{A_1}{D_1}} = \overrightarrow {{B_1}{D_1}} \).

Khi đó vế trái bằng \(\overrightarrow {{C_1}C} + \overrightarrow {{B_1}{D_1}} \). Mà \(\overrightarrow {{C_1}C} = \overrightarrow {{D_1}D} \) nên: \(\overrightarrow {{D_1}D} + \overrightarrow {{B_1}{D_1}} = \overrightarrow {{B_1}{D_1}} + \overrightarrow {{D_1}D} = \overrightarrow {{B_1}D} \).

c) SAI: Áp dụng quy tắc hình hộp: \(\overrightarrow {{B_1}B} + \overrightarrow {{B_1}{A_1}} + \overrightarrow {{B_1}{C_1}} = \overrightarrow {{B_1}D} \) (vì \(\overrightarrow {{A_1}{D_1}} = \overrightarrow {{B_1}{C_1}} \)).

Độ dài của tổng vectơ chính là độ dài đường chéo \({B_1}D\) của hình hộp chữ nhật:

\({B_1}D = \sqrt {{B_1}{B^2} + {B_1}A_1^2 + {B_1}C_1^2} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {2a} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt 3 a} \right)}^2}} = \sqrt {{a^2} + 4{a^2} + 3{a^2}} = \sqrt {8{a^2}} = 2\sqrt 2 a\).

d) ĐÚNG: Ta phân tích vectơ \(\overrightarrow {{B_1}D} = \overrightarrow {{B_1}B} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AD} \).

Khi đó: \(\overrightarrow {{B_1}D} \cdot \overrightarrow {C{C_1}} = \left( {\overrightarrow {{B_1}B} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AD} } \right) \cdot \overrightarrow {C{C_1}} \).

Vì \(ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) là hình hộp chữ nhật nên đường cao \(C{C_1}\) vuông góc với tất cả các cạnh thuộc mặt đáy như \(BA\) và \(AD\), do đó \(\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {C{C_1}} = 0\) và \(\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {C{C_1}} = 0\). Do đó, \(\overrightarrow {{B_1}D} \cdot \overrightarrow {C{C_1}} = \overrightarrow {{B_1}B} \cdot \overrightarrow {C{C_1}} \).

Mà \(\overrightarrow {{B_1}B} \) và \(\overrightarrow {C{C_1}} \) là hai vectơ cùng độ dài nhưng ngược hướng (\(\overrightarrow {{B_1}B} \) hướng xuống, \(\overrightarrow {C{C_1}} \) hướng lên), suy ra \(\overrightarrow {{B_1}B} = - \overrightarrow {C{C_1}} \).

Do đó, \(\overrightarrow {{B_1}D} \cdot \overrightarrow {C{C_1}} = - \overrightarrow {C{C_1}} \cdot \overrightarrow {C{C_1}} = - CC_1^2 = - {a^2}\).

Thực hiện phép chia đa thức tử số cho mẫu số:

\({x^2} + 2x - 2 = x\left( {x - 1} \right) + 3x - 2 = x\left( {x - 1} \right) + 3\left( {x - 1} \right) + 1 = \left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right) + 1\).

Do đó ta viết lại hàm số dưới dạng: \(y = x + 3 + \frac{1}{{x - 1}}\).

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{1}{{x - 1}} = 0\), nên đường thẳng \(y = x + 3\) là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Suy ra \(a = 1\) và \(b = 3\).

Giá trị của biểu thức cần tính là: \(a - 2b = 1 - 2 \cdot 3 = - 5\).

Đáp số: −5.

Với \({x_1}\) là số sản phẩm phân phối đến cửa hàng thứ nhất (\(0 \le {x_1} \le 100,{x_1} \in \mathbb{N}\)) thì số sản phẩm phân phối đến cửa hàng thứ hai là \({x_2} = 100 - {x_1}\).

Đổi tất cả các đơn vị chi phí về cùng đơn vị nghìn đồng:

Chi phí sản xuất 1 sản phẩm: 1 triệu đồng = 1000 nghìn đồng.

Lợi nhuận tại cửa hàng 1: \({P_1}\left( {{x_1}} \right) = \left( { - 6x_1^2 + 2000{x_1}} \right) - \left( {1000 + 14} \right){x_1} = - 6x_1^2 + 986{x_1}\).

Lợi nhuận tại cửa hàng 2: \({P_2}\left( {{x_2}} \right) = \left( { - 6x_2^2 + 1800{x_2}} \right) - \left( {1000 + 30} \right){x_2} = - 6x_2^2 + 770{x_2}\).

Thay \({x_2} = 100 - {x_1}\) vào \({P_2}\) ta được

\({P_2} = - 6{\left( {100 - {x_1}} \right)^2} + 770\left( {100 - {x_1}} \right)\)\( = - 6\left( {10000 - 200{x_1} + x_1^2} \right) + 77000 - 770{x_1}\)\( = - 6x_1^2 + 430{x_1} + 17000\).

Tổng lợi nhuận toàn công ty:

\(P\left( {{x_1}} \right) = {P_1}\left( {{x_1}} \right) + {P_2}\left( {{x_1}} \right) = \left( { - 6x_1^2 + 986{x_1}} \right) + \left( { - 6x_1^2 + 430{x_1} + 17000} \right)\)\( = - 12x_1^2 + 1416{x_1} + 17000\).

Đây là một hàm số bậc hai có đồ thị là một parabol quay bề lõm xuống dưới, đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh:

\({x_1} = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{1416}}{{2 \cdot \left( { - 12} \right)}} = \frac{{1416}}{{24}} = 59\).

Vì \(59 \in \left[ {0;100} \right]\) và là số nguyên, nên công ty nên phân phối 59 sản phẩm đến cửa hàng thứ nhất.

Đáp số: 59.

Ta có: \(y' = {x^2} + 2mx + 4\).

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\) khi và chỉ khi \(y' \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow {x^2} + 2mx + 4 \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow \Delta ' \le 0 \Leftrightarrow {m^2} - 4 \le 0 \Leftrightarrow - 2 \le m \le 2\).

Vì \(m\) là các giá trị nguyên nên \(m \in \left\{ { - 2; - 1;0;1;2} \right\}\).

Có tất cả 5 giá trị nguyên thỏa mãn.

Đáp số: 5.

Tính đạo hàm của hàm số: \(y' = 3{x^2} - 6x\).

Cho \(y' = 0 \Leftrightarrow 3x\left( {x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 2\).

Qua \(x = 0\), \(y'\) đổi dấu từ dương sang âm \( \Rightarrow {x_1} = 0\) là điểm cực đại.

Qua \(x = 2\), \(y'\) đổi dấu từ âm sang dương \( \Rightarrow {x_2} = 2\) là điểm cực tiểu.

Thay vào biểu thức cần tính: \({x_1} + 4{x_2} = 0 + 4 \cdot 2 = 8\).

Đáp số: 8.

Tốc độ bơm nước tại thời điểm \(t\) là đạo hàm bậc nhất của thể tích theo thời gian:

\(v\left( t \right) = V'\left( t \right) = \frac{2}{9}\left( {96{t^2} - 4{t^3}} \right)\).

Để biết tốc độ bơm nước tăng trong khoảng thời gian nào, ta xét đạo hàm của hàm vận tốc \(v\left( t \right)\) (tức là gia tốc bơm): \(v'\left( t \right) = \frac{2}{9}\left( {192t - 12{t^2}} \right)\).

Tốc độ bơm tăng khi và chỉ khi \(v'\left( t \right) > 0 \Leftrightarrow \)\(\frac{2}{9}\left( {192t - 12{t^2}} \right) > 0 \Leftrightarrow 12t\left( {16 - t} \right) > 0 \Leftrightarrow 0 < t < 16\).

Như vậy, kể từ lúc bắt đầu bơm (\(t = 0\)) cho đến phút thứ \(16\), tốc độ bơm liên tục tăng.

Vậy tốc độ bơm nước tăng trong 16 phút.

Đáp số: 16.

Dựa vào hệ trục tọa độ được thiết lập trong hình vẽ:

Mặt đáy của phòng nằm trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có kích thước dọc theo trục \(Ox\) là \(4\), dọc theo trục \(Oy\) là \(7\).

Trần nhà là mặt phẳng song song với \(\left( {Oxy} \right)\) và cách một khoảng bằng chiều cao căn phòng là \(4\), tức là mọi điểm trên trần nhà đều có cao độ \(z = 4\).

Điểm \(M\) nằm ở chính giữa trần nhà, do đó hình chiếu của \(M\) xuống đáy chính là tâm của hình chữ nhật đáy. Tọa độ hình chiếu này là \(\left( {\frac{4}{2};\frac{7}{2};0} \right) = \left( {2;\frac{7}{2};0} \right)\). Suy ra tọa độ của điểm \(M\) là: \(M\left( {2;\frac{7}{2};4} \right)\).

Điểm \(N\) nằm trên trục \(Oz\) và là điểm chính giữa góc tường với độ dài \(ON = 2\), suy ra tọa độ điểm \(N\) là:\(N\left( {0;0;2} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {MN} = \left( {{x_N} - {x_M};{y_N} - {y_M};{z_N} - {z_M}} \right) = \left( {0 - 2;0 - \frac{7}{2};2 - 4} \right) = \left( { - 2; - \frac{7}{2}; - 2} \right)\).

Do đó \(a = - 2\), \(b = - \frac{7}{2}\), \(c = - 2\).

Giá trị của biểu thức \(a + 2b + c\) là: \(a + 2b + c = - 2 + 2 \cdot \left( { - \frac{7}{2}} \right) + \left( { - 2} \right) = - 2 - 7 - 2 = - 11\).

Đáp số: −11.