Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội phần Toán có đáp án - Đề số 29
50 câu hỏi
Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm \(B\left( {1;5} \right),C\left( {5;4} \right)\), điểm \(A\) luôn di động trên đường tròn có phương trình \({\left( {x - 6} \right)^2} + {y^2} = 25\). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\), khi đó điểm \(G\) luôn di động trên đường tròn tâm \(I\left( {a;b} \right)\). Giá trị của biểu thức \(T = a + b\) bằng:
6.
7.
8.
9.
Gọi \(A\left( {m;n} \right)\).
Do \(A\) di động trên đường tròn \({\left( {x - 6} \right)^2} + {y^2} = 25\) nên \({\left( {m - 6} \right)^2} + {n^2} = 25\).
Do \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\), gọi \(G\left( {u;v} \right)\), khi đó
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{u = {x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \frac{{m + 1 + 5}}{3} = \frac{{m + 6}}{3}}\\{v = {y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \frac{{n + 5 + 4}}{3} = \frac{{n + 9}}{3}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 3u - 6}\\{n = 3v - 9}\end{array}} \right.} \right.\).
Do \({\left( {m - 6} \right)^2} + {n^2} = 25 \Rightarrow {\left( {3u - 12} \right)^2} + {\left( {3v - 9} \right)^2} = 25 \Leftrightarrow {\left( {u - 4} \right)^2} + {\left( {v - 3} \right)^2} = \frac{{25}}{9}\) .
\( \Rightarrow G\) di động trên đường tròn tâm \(I\left( {4;3} \right)\), bán kính \(R = \frac{5}{3}\).
Vậy \(a + b = 3 + 4 = 7\). Chọn B.
Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 6 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ \(S\). Xác suất để số được chọn có tích các chữ số bằng 1400 là
\(\frac{1}{{500}}\).
\(\frac{{18}}{{{{10}^5}}}\).
\(\frac{4}{{3 \cdot {{10}^3}}}\).
\(\frac{1}{{1500}}\).
Số phần tử của không gian mẫu: \(n\left( {\rm{\Omega }} \right) = 9 \cdot {10^5}\).
Gọi \(a\) là số có tích các chữ số bằng 1400.
A là biến cố "chọn được một số có tích các chữ số bằng 1400 từ \(S\)".
Ta có: \(1400 = 7 \cdot {5^2} \cdot {2^3}\). Do đó, \(a\) phải được cấu tạo từ 6 chữ số:
Trường hợp 1: \(\left\{ {7;5;5;2;2;2} \right\}\). Khi đó, số lượng các số a là: \(\frac{{6!}}{{2! \cdot 3!}} = 60\).
Trường hợp 2: \(\left\{ {7;5;5;1;1;8} \right\}\). Khi đó, số lượng các số a là: \(\frac{{6!}}{{2! \cdot 2!}} = 180\).
Trường hợp 3: \(\left\{ {7;5;5;1;4;2} \right\}\). Khi đó, số lượng các số a là: \(\frac{{6!}}{{2!}} = 360\).
Xác suất cần tìm là: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( {\rm{\Omega }} \right)}} = \frac{{60 + 180 + 360}}{{9 \cdot {{10}^5}}} = \frac{1}{{1500}}\). Chọn D.
Tìm hệ số của số hạng chứa \({x^2}\) trong khai triển của nhị thức \({\left( {x + 3} \right)^4}\)(nhập đáp án vào ô trống).
___
Ta có \({\left( {x + 3} \right)^4} = {x^4} + 4{x^3} \cdot 3 + 6{x^2} \cdot {3^2} + 4x \cdot {3^3} + {3^4}\).
Vậy hệ số của số hạng chứa \({x^2}\) là \(6 \cdot {3^2} = 54\).
Đáp án cần nhập là: \(54\).
Gọi \(I\)là tâm của đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 4\). Số các giá trị nguyên của \(m\) để đường thẳng \(x + y - m = 0\) cắt đường tròn \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A,B\) sao cho tam giác \(IAB\) có diện tích lớn nhất là
\(1\).
\(3\).
\(2\).
\(0\).
Đường tròn \(\left( C \right)\)có tâm \(I\left( {1;1} \right)\), \(r = 2\).
Để đường thẳng \(d\) cắt đường tròn \(\left( C \right)\) tại 2 điểm phân biệt.
Khi đó: \(0 \le d\left( {I,d} \right) < 2 \Leftrightarrow 0 \le \frac{{\left| {2 - m} \right|}}{{\sqrt 2 }} < 2\) \( \Leftrightarrow 2 - 2\sqrt 2 < m < 2 + 2\sqrt 2 \).
Xét \(\Delta IAB\) có \({S_{\Delta AIB}} = \frac{1}{2} \cdot IA \cdot IB \cdot \sin \widehat {AIB} = \frac{1}{2} \cdot {R^2} \cdot \sin \widehat {AIB} \le \frac{1}{2}{R^2}\).
Dấu “=” xảy ra khi \(\sin \widehat {AIB} = 1 \Leftrightarrow \widehat {AIB} = 90^\circ \Rightarrow AB = 2\sqrt 2 \).
Suy ra\(d\left( {I,d} \right) = \sqrt 2 \Leftrightarrow \frac{{\left| {2 - m} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 4\end{array} \right.\) (thỏa mãn).
Vậy có 2 giá trị nguyên của m. Chọn C.
Cho parabol \(\left( P \right):y = 3{x^2} - \left( {m - 1} \right)x + {m^2} - 5m - 6\) (\(m\) là tham số). Tìm số giá trị nguyên của \(m\) để \(\left( P \right)\) cắt trục hoành tại hai điểm nằm khác phía đối với trục tung (nhập đáp án vào ô trống).
__
Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và trục hoành là: \(3{x^2} - \left( {m - 1} \right)x + {m^2} - 5m - 6 = 0\) (*).
Để \(\left( P \right)\) cắt trục hoành tại hai điểm nằm khác phía đối với trục tung thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt trái dấu.
\( \Leftrightarrow ac < 0 \Leftrightarrow 3\left( {{m^2} - 5m - 6} \right) < 0 \Leftrightarrow - 1 < m < 6\).
Vậy có 6 giá trị nguyên của tham số \(m\) thỏa yêu cầu bài toán.
Đáp án cần nhập là: \(6\).
Có bao nhiêu số nguyên dương \(a\) sao cho ứng với mỗi \(a\) có đúng hai số nguyên \(b\) thỏa mãn \(\left( {{5^b} - 1} \right)\left( {a \cdot {2^b} - 5} \right) < 0\) (nhập đáp án vào ô trống).
___
Ta có \(\left( {{5^b} - 1} \right)\left( {a \cdot {2^b} - 5} \right) < 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{5^b} - 1 < 0}\\{a \cdot {2^b} - 5 > 0}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{5^b} - 1 > 0}\\{a \cdot {2^b} - 5 < 0}\end{array}} \right.\end{array} \right.\).
Trường hợp 1: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{5^b} - 1 < 0}\\{a \cdot {2^b} - 5 > 0}\end{array}} \right.\).
Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{5^b} - 1 < 0}\\{a \cdot {2^b} - 5 > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b < 0}\\{b > {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {\frac{5}{a}} \right)}\end{array}} \right.} \right.\).
Để ứng với mỗi \(a\) có đúng hai số nguyên \(b\) thỏa mãn bất phương trình đã cho, thì \( - 3 \le {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {\frac{5}{a}} \right) < - 2 \Leftrightarrow \frac{1}{8} \le \frac{5}{a} < \frac{1}{4} \Leftrightarrow 20 < a \le 40\).
Mà \(a\) là số nguyên dương nên có 20 giá trị của \(a\) thỏa yêu cầu bài toán.
Trường hợp 2: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{5^b} - 1 > 0}\\{a \cdot {2^b} - 5 < 0}\end{array}} \right.\).
Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{5^b} - 1 > 0}\\{a \cdot {2^b} - 5 < 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b > 0}\\{b < {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {\frac{5}{a}} \right)}\end{array}} \right.} \right.\).
Để ứng với mỗi \(a\) có đúng hai số nguyên \(b\) thỏa mãn bất phương trình đã cho, thì \(2 < {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {\frac{5}{a}} \right) \le 3 \Leftrightarrow 4 \le \frac{5}{a} < 8 \Leftrightarrow \frac{5}{8} < a \le \frac{5}{4}\).
Mà \(a\) là số nguyên dương nên có 1 giá trị của \(a\) thỏa yêu cầu bài toán.
Vậy có 21 giá trị của a thỏa yêu cầu bài toán.
Đáp án cần nhập là: \(21\).
Cho cấp số nhân \(\left\{ {{u_n}} \right\}\) thoả mãn tất cả các điều kiện sau:
i. \(\frac{{{u_4}}}{{{u_1}}} > 1\)
ii. \({u_3},{u_5},{u_6}\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.
Giá trị của biểu thức \(S = \frac{{{u_7} - {u_6}}}{{{u_5}}}\) bằng:
\(\frac{1}{2}\).
1.
2.
\(1 + \sqrt 5 \).
Gọi công bội của cấp số nhân đã cho là \(q\).
Có \(\frac{{{u_4}}}{{{u_1}}} = \frac{{{u_1} \cdot {q^3}}}{{{u_1}}} > 1 \Leftrightarrow {q^3} > 1 \Leftrightarrow q > 1\).
Có \({u_3},{u_5},{u_6}\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng \( \Leftrightarrow {u_3} + {u_6} = 2{u_5}\)
\( \Leftrightarrow {u_3} + {u_3}{q^3} = 2{u_3}{q^2} \Leftrightarrow {u_3}\left( {{q^3} - 2{q^2} + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow {q^3} - 2{q^2} + 1 = 0\) (do \(\left. {{u_n} \ne 0} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left( {q - 1} \right)\left( {{q^2} - q - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{q = 1}\\{q = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}}\\{q = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}}\end{array}} \right.\). Vì \(q > 1\) nên \(q = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\).
Khi đó, ta có \(S = \frac{{{u_7} - {u_6}}}{{{u_5}}} = \frac{{{u_5}\left( {{q^2} - q} \right)}}{{{u_5}}} = {q^2} - q = 1\). Chọn B.
Giải phương trình \(\frac{{2{\rm{sin}}x}}{{{\rm{cot}}x}} - \frac{{{\rm{tan}}x}}{{{\rm{sin}}x}} = 2\left( {{\rm{sin}}x - {\rm{cos}}x} \right)\) ta được họ nghiệm \(x = \frac{\pi }{a} + \frac{{k\pi }}{b},k,a,b \in \mathbb{Z}\). Tính \(P = 2a + 3b\) (nhập đáp án vào ô trống).
___
Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{sin}}x \ne 0}\\{{\rm{cos}}x \ne 0}\end{array}} \right.\).
\(\frac{{2{\rm{sin}}x}}{{{\rm{cot}}x}} - \frac{{{\rm{tan}}x}}{{{\rm{sin}}x}} = 2\left( {{\rm{sin}}x - {\rm{cos}}x} \right) \Leftrightarrow 2{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x - {\rm{tan}}x{\rm{cot}}x\) \( = 2\left( {{\rm{sin}}x - {\rm{cos}}x} \right){\rm{sin}}x{\rm{cot}}x\)
\( \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x - 1 = 2\left( {\sin x - \cos x} \right)\cos x \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x - 1 = 2\sin x{\rm{cos}}x - 2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x\)
\( \Leftrightarrow 2{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x + 2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x - 1 = {\rm{sin}}2x \Leftrightarrow {\rm{sin}}2x = 1 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Đối chiếu điều kiện, nghiệm phương trình là \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 4}\\{b = 1}\end{array} \Rightarrow P = 2a + 3b = 2 \cdot 4 + 3 \cdot 1 = 11} \right.\).
Đáp án cần nhập là: \(11\).
Cho đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) có tâm \({I_1}\), bán kính \({R_1} = 128\left( {{\rm{cm}}} \right)\) và một điểm \(A\) nằm trên \(\left( {{C_1}} \right)\). Đường tròn \(\left( {{C_2}} \right)\) có tâm \({I_2}\) và đường kính \({I_1}A \ldots \) Cứ như vậy đường tròn \(\left( {{C_n}} \right)\) có đường kính \({I_n}A\). Gọi \({P_1},{P_2},{P_3} \ldots {P_n}\) lần lượt là chu vi của các đường tròn \(\left( {{C_1}} \right),\left( {{C_2}} \right),\left( {{C_3}} \right) \ldots \left( {{C_n}} \right)\). Tính \(P = {P_1} + {P_2} + {P_3} + \ldots + {P_n}\).
1072.
1670.
1608.
1760.
Ta có các bán kính của các đường tròn lần lượt là
\({R_1} = 128;{R_2} = \frac{1}{2}{R_1};{R_3} = \frac{1}{{{2^2}}}{R_1}; \ldots ;{R_n} = \frac{1}{{{2^{n - 1}}}}{R_1}\).
Suy ra ta có chu vi của các đường tròn lần lượt là
\({P_1} = 2\pi {R_1};{P_2} = \pi {R_1}; \ldots ;{P_n} = \frac{\pi }{{{2^{n - 2}}}}{R_1}\).
Vậy \(P = 2\pi {R_1}\left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \ldots + \frac{1}{{{2^{n - 1}}}}} \right) = 2\pi R\frac{1}{{1 - \frac{1}{2}}} \approx 1608\left( {{\rm{cm}}} \right)\). Chọn C.
\(P = 15{\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}b\).
\(P = 6{\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}b\).
\(P = 8{\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}b\).
\(P = 10{\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}b\).
\(P = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}{b^3} + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{{a^2}}}{b^{10}} = 3{\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}b + \frac{{10}}{2}{\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}b = 8{\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}b\). Chọn C.
Tìm số nghiệm của bất phương trình \(\left[ {1 - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {x + 6} \right)} \right]\sqrt {2 \cdot {4^{x + 1}} - 17 \cdot {2^x} + 2} \ge 0\) (nhập đáp án vào ô trống)
__
Điều kiện xác định:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 6 > 0}\\{2 \cdot {4^{x + 1}} - 17 \cdot {2^x} + 2 \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > - 6}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^x} \le \frac{1}{8}}\\{{2^x} \ge 2}\end{array}} \right.}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 6 < x \le - 3}\\{x \ge 1}\end{array}} \right.} \right.} \right.\).
Trường hợp 1: \(2 \cdot {4^{x + 1}} - 17 \cdot {2^x} + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{2^x} = 2}\\{{2^x} = \frac{1}{8}}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x = - 3}\end{array}} \right.} \right.\) (thỏa mãn).
Trường hợp 2: \(1 - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {x + 6} \right) \ge 0 \Leftrightarrow x \le - 3\).
Kết hợp điều kiện và hai trường hợp ta có \( - 6 < x \le - 3\) hoặc \(x = 1\).
Vậy phương trình có 4 nghiệm nguyên \(x \in \left\{ { - 5; - 4; - 3;1} \right\}\)
Đáp án cần nhập là: \(4\).
Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy bằng \(a\), thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) là \(\frac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{8}\). Tính số đo góc nhị diện \(\left[ {C',AB,C} \right]\).
\(30^\circ \).
\(45^\circ \).
\(60^\circ \).
\(90^\circ \).
Chiều cao khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) là \(CC' = \frac{{{V_{ABC.A'B'C'}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{\frac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{8}}}{{\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}}} = \frac{{3a}}{2}\).
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(C\) trên \(AB\).
Suy ra \(C'H \bot AB\). Khi đó góc nhị diện \(\left[ {C',AB,C} \right]\) là \(\widehat {CHC'}\).
Ta có \(CH = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
\({\rm{tan}}\widehat {CHC'} = \frac{{CC'}}{{CH}} = \frac{{\frac{{3a}}{2}}}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {CHC'} = 60^\circ \). Chọn C.
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB,AC,AD\) đôi một vuông góc với nhau và \(AB = AC = AD = a\). Có \(M\) là trung điểm của \(BC\). Tính góc giữa hai đường thẳng \(AM\) và DC (nhập đáp án vào ô trống, đơn vị độ).
___
Gọi \(E\) là trung điểm của \(BD\).
Ta có \(EM//CD \Rightarrow \left( {AM,CD} \right) = \left( {AM,EM} \right)\)
Ta có \(AM = \frac{1}{2}BC = \frac{{\sqrt 2 }}{2}a;AE = \frac{1}{2}BD = \frac{{\sqrt 2 }}{2}a;EM = \frac{1}{2}CD = \frac{{\sqrt 2 }}{2}a\).
Suy ra \(\Delta AEM\) là tam giác đều
Vậy góc giữa \(AM\) và \(CD\) bằng \(\widehat {AME} = 60^\circ \).
Đáp án cần nhập là: \(60\).
Cho hình lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy bằng \(a\). Đường thẳng \(AB'\) tạo với mặt phẳng \(\left( {BCC'B'} \right)\) một góc \(30^\circ \). Biết thể tích khối lăng trụ đã cho là \(\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{k}\), tính giá trị của biểu thức \(T = {k^2}\) (nhập đáp án vào ô trống).
___
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) trên \(BC\).
Khi đó \(AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) và \(AH \bot \left( {BCC'B'} \right)\) nên góc giữa \(AB'\) và \(\left( {BCC'B} \right)\) là \(\widehat {AB'H} = 30^\circ \).
\({\rm{\Delta }}AHB'\) vuông tại \(H\) có \(B'H = \frac{{AH}}{{{\rm{tan}}\widehat {AB'H}}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{{\rm{tan}}30^\circ }} = \frac{{3a}}{2}\).
Do đó \(BB' = \sqrt {B'{H^2} - B{H^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{3a}}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = a\sqrt 2 \).
Thể tích của khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) là:
\(V = S \cdot h = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} \cdot \sqrt 2 a = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{4}\).
Do đó \(k = 4 \Rightarrow T = {4^2} = 16\).
Đáp án cần nhập là: \(16\).
120.
231.
1952.
66.
Có:
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{(x - 2)\left( {{x^9} + 2{x^8} + \ldots + {2^8}x + {2^9}} \right) + (x - 2)\left( {{x^7} + 2{x^6} + \ldots + {2^6}x + {2^7}} \right)}}{{(x - 2)\left( {{x^{10}} + 2{x^9} + \ldots + {2^9}x + {2^{10}}} \right) + (x - 2)\left( {{x^6} + 2{x^5} + \ldots + {2^5}x + {2^6}} \right)}}\]
\( = \frac{{10 \cdot {2^9} + 8 \cdot {2^7}}}{{11 \cdot {2^{10}} + 7 \cdot {2^6}}} = \frac{{32}}{{61}}\).
Khi đó, \(P = ab = 32 \cdot 61 = 1952\). Chọn C.
Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp các số tự nhiên thuộc đoạn \(\left[ {40;70} \right]\). Xác suất để chọn được số có chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục bằng
\(\frac{{12}}{{31}}\).
\(\frac{2}{5}\).
\(\frac{{13}}{{30}}\).
\(\frac{1}{3}\).
\(n\left( {\rm{\Omega }} \right) = 31\).
Số có chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục
Đoạn \(\left[ {40;49} \right]\) có 5 số thỏa mãn, đoạn \(\left[ {50;59} \right]\) có 4 số thỏa mãn, đoạn \(\left[ {60;69} \right]\) có 3 số thỏa mãn.
Vậy có 12 số thỏa mãn.
Khi đó xác suất để chọn được số có chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục bằng \(\frac{{12}}{{31}}\). Chọn A.
Kết quả khảo sát chiều cao của nam sinh lớp 10A được cho ở bảng sau:
Cân nặng | \(\left[ {150;155} \right)\) | \(\left[ {155;160} \right)\) | \(\left[ {160;165} \right)\) | \(\left[ {165;170} \right)\) | \(\left[ {170;175} \right)\) |
Số học sinh | 1 | 3 | 7 | 10 | 4 |
Nhóm chứa mốt là nhóm nào?
\(\left[ {150;155} \right)\).
\(\left[ {155;160} \right)\).
\(\left[ {160;165} \right)\).
\(\left[ {165;170} \right)\).
Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là nhóm có tần số lớn nhất.
Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên là nhóm \(\left[ {165;170} \right)\). Chọn D.
Một công ty cung cấp nước sạch thống kê lượng nước các hộ gia đình tại một khu chung cư tiêu thụ trong một tháng ở bảng sau:
Lượng nướctiêu thụ \(\left( {{m^3}} \right)\) | \(\left[ {3;6} \right)\) | \(\left[ {6;9} \right)\) | \(\left[ {9;12} \right)\) | \(\left[ {12;15} \right)\) | \(\left[ {15;18} \right)\) |
Số hộ gia đình | 24 | 55 | 44 | 29 | 8 |
Công ty muốn gửi thông báo khuyến nghị tiết kiệm nước đến \(25{\rm{\% }}\) các hộ gia đình có lượng nước tiêu thụ cao nhất. Hỏi công ty nên gửi đến các hộ tiêu thụ từ bao nhiêu mét khối nước/ tháng trở lên?
11,5.
11,8.
12,1.
11,2.
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{120}} + {x_{121}}} \right)\) thuộc nhóm \(\left[ {9;12} \right)\)
Nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là \({Q_3} = 9 + \frac{{\frac{3}{4} \cdot 160 - 79}}{{44}} \cdot \left( {12 - 9} \right) \approx 11,8\). Chọn B.
Một nhóm gồm 10 học sinh trong đó có 7 học sinh nam và 3 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh từ nhóm 10 học sinh đó đi lao động. Tính xác suất để trong 3 học sinh được chọn có ít nhất một học sinh nữ.
\(\frac{2}{3}\).
\(\frac{{17}}{{48}}\).
\(\frac{{17}}{{24}}\).
\(\frac{4}{9}\).
Chọn 3 học sinh trong 10 học sinh có \(C_{10}^3\) cách \( \Rightarrow n\left( {\rm{\Omega }} \right) = C_{10}^3 = 120\).
Gọi \(X\) là biến cố trong 3 học sinh được chọn có ít nhất một học sinh nữ
Ta xét các trường hợp sau:
TH1. Chọn 1 học sinh nữ và 2 học sinh nam \( \Rightarrow \) có \(C_7^2 \cdot C_3^1 = 63\) cách.
TH2. Chọn 2 học sinh nữ và 1 học sinh nam \( \Rightarrow \) có \(C_7^1 \cdot C_3^2 = 21\) cách.
TH3. Chọn 3 học sinh nữ và 0 học sinh nam \( \Rightarrow \) có \(C_3^3 = 1\) cách.
Suy ra số kết quả thuận lợi cho biến cố X là \(n\left( X \right) = 63 + 21 + 1 = 85\).
Vậy xác suất cần tính là \(P = \frac{{n\left( X \right)}}{{n\left( {\rm{\Omega }} \right)}} = \frac{{85}}{{120}} = \frac{{17}}{{24}}\). Chọn C.
Một chiếc máy có hai động cơ là động cơ I và động cơ II hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để động cơ I và động cơ II chạy tốt lần lượt là 0,9 và 0,85. Chiếc máy chỉ không thể hoạt động nếu cả hai động cơ đều chạy không tốt. Tính xác suất để chiếc máy có thể hoạt động.
0,985.
0,765.
0,875.
0,885.
Gọi \(A\) là biến cố "động cơ I chạy tốt".
Gọi \(B\) là biến cố "động cơ II chạy tốt".
Theo đề ta có: \(P\left( A \right) = 0,9,\,\,P\left( B \right) = 0,85\).
Xác suất để động cơ I chạy không tốt là \(P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = 1 - 0,9 = 0,1\).
Xác suất để động cơ II chạy không tốt là \(P\left( {\overline B } \right) = 1 - P\left( B \right) = 1 - 0,85 = 0,15\).
Xác suất để chiếc máy không thể hoạt động là
\(P\left( {\overline {AB} } \right) = P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {\overline B } \right) = 0,1 \cdot 0,15 = 0,015\).
Xác suất để chiếc máy có thể hoạt động là \(1 - P\left( {\overline {AB} } \right) = 1 - 0,015 = 0,985\). Chọn A.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = - {x^3} + 3{x^2} + 1\). Gọi \(M,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\). Giá trị của biểu thức \(T = {M^2} - {m^2}\) là
6.
26.
4.
24.
Xét hàm số \(f\left( x \right) = - {x^3} + 3{x^2} + 1\) trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\).
\(f'\left( x \right) = - 3{x^2} + 6x\).
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - 3{x^2} + 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\).
Ta có \(f\left( 1 \right) = 3;f\left( 2 \right) = 5;f\left( 3 \right) = 1\). Do đó , .
Vậy \(T = {M^2} - {m^2} = {5^2} - {1^2} = 24\). Chọn D.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2x - m \cdot {\rm{ln}}x\) và \(g\left( x \right) = x + \frac{4}{x}\). Số giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = f\left( {g\left( x \right)} \right)\) có đúng 3 điểm cực trị trên \(\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\) là:
0.
8.
10.
9.
Có \(f'\left( x \right) = 2 - \frac{m}{x};g'\left( x \right) = 1 - \frac{4}{{{x^2}}}\).
Có \(y' = {\left[ {f\left( {g\left( x \right)} \right)} \right]^\prime } = g'\left( x \right) \cdot f'\left( {g\left( x \right)} \right) = \left( {1 - \frac{4}{{{x^2}}}} \right) \cdot f'\left( {g\left( x \right)} \right)\).
Cho \(y' = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{g'\left( x \right) = 0}\\{f'\left( {g\left( x \right)} \right) = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 - \frac{4}{{{x^2}}} = 0}\\{x + \frac{4}{x} = \frac{m}{2}}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{x = - 2\left( l \right)}\\{x + \frac{4}{x} = \frac{m}{2}\left( 2 \right)}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)
Khi đó, phương trình \(y' = 0\) có một nghiệm \(x = 2\) trong khoảng \(\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\).
Để hàm số đã cho có đúng 3 điểm cực trị trên \(\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\) thì phương trình (2) có đúng 2 nghiệm phân biệt khác 2 trên \(\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\).
Ta có bảng biến thiên của \(g\left( x \right)\) như sau:
Từ bảng biến thiên, ta suy ra để phương trình (2) có đúng 2 nghiệm phân biệt khác 2 trên \(\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\) thì \(4 < \frac{m}{2} < \frac{{17}}{2} \Leftrightarrow 8 < m < 17\).
Vậy có 8 giá trị nguyên của \(m\) thoả mãn yêu cầu bài toán. Chọn B.
Số tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3x + 2005\) song song với đường thẳng \(y = 9x + 2021\) là:
1.
2.
3.
0.
Gọi tiếp tuyến \(\left( d \right)\) có dạng: \(y = 9x + m\) (với \(m \ne 2021\)).
Để \(\left( d \right)\) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3x + 2005\) thì \(3{x^2} - 3 = 9\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{x = - 2}\end{array}} \right.\).
Với \(x = 2\) thì \(y = 2007\)\( \Rightarrow m = 1989\) (thỏa mãn). Khi đó: \(\left( d \right):y = 9x + 1989\).
Với \(x = - 2\) thì \(y = 2003\)\( \Rightarrow m = 2021\) (loại). Chọn A.
Để thiết kế một chiếc bể nuôi cá trong sân vườn hình hộp chữ nhật không nắp có chiều cao \(100\left( {{\rm{cm}}} \right)\) và thể tích chứa \(400\left( {{{\rm{m}}^3}} \right)\). Biết giá thành để làm mặt bên là 3 triệu đồng/m2 và làm mặt đáy là 4 triệu đồng/m2. Tính chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá (nhập đáp án vào ô trống, làm tròn theo đơn vị triệu đồng).
_____
Gọi \(x,y\) lần lượt là chiều rộng và chiều dài của đáy hình hộp.
Điều kiện: \(x > 0;y > 0\left( m \right)\).
Ta có thể tích của khối hộp: \(V = 1xy = 400 \Rightarrow xy = 400 \Rightarrow y = \frac{{400}}{x}\left( {{m^3}} \right)\).
Diện tích mặt đáy: \({S_d} = xy = x \cdot \frac{{400}}{x} = 400\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Giá tiền để làm mặt đáy là: \(400 \cdot 4 = 1600\) (triệu đồng).
Diện tích xung quanh của bể cá: \({S_{xq}} = 2 \cdot x \cdot 1 + 2 \cdot y \cdot 1 = 2 \cdot \left( {x + y} \right) = 2 \cdot \left( {x + \frac{{400}}{x}} \right)\).
Giá tiền để làm mặt bên là: \(2 \cdot \left( {x + \frac{{400}}{x}} \right) \cdot 3 = 6 \cdot \left( {x + \frac{{400}}{x}} \right)\) (triệu đồng)
Tổng chi phí để xây dựng bể cá là:
\(T\left( x \right) = 6 \cdot \left( {x + \frac{{400}}{x}} \right) + 1600 \ge 6 \cdot 2\sqrt {x \cdot \frac{{400}}{x}} + 1600 = 1840{\rm{\;}}\) (triệu đồng).
Đáp án cần nhập là: \(1840\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{a{x^2} + 2x + 3}}{{x + b}}\left( {a \ne 0;a,b \in \mathbb{R}} \right)\). Đồ thị hàm số đã cho có đường tiệm cận xiên là\(y = 2x - 5\). Khi đó giá trị của \(b - a\) bằng bao nhiêu (nhập đáp án vào ô trống).
____
Vì \(y = 2x - 5\) là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{a{x^2} + 2x + 3}}{{x + b}}\)
Khi đó
Ta có \(\frac{{a{x^2} + 2x + 3}}{{x + b}} - 2x + 5 = \frac{{{x^2}\left( {a - 2} \right) + x\left( {7 - 2b} \right) + 5b + 3}}{{x + b}}\)
Mà khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a - 2 = 0}\\{7 - 2b = 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = 3,5}\\{a = 2}\end{array}} \right.} \right.\).
Vậy \(b - a = 1,5\).
Đáp án cần nhập là: \(1,5\).
\(\left( {0;1} \right)\).
\(\left( { - \infty ;1} \right)\).
\(\left( {0;2} \right)\).
\(\left( {1; + \infty } \right)\).
Xét hàm số \(y = {\left( {{x^2} - 2x} \right)^3}\) có \(y' = 3\left( {2x - 2} \right){\left( {{x^2} - 2x} \right)^2} = 6{x^2}\left( {x - 1} \right){(x - 2)^2}\).
Bảng xét dấu của \(y'\)
Dựa theo bảng xét dấu của \(y'\) thì hàm số đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\). Chọn D.
Giả sử . Tính giá trị của a - b (nhập đáp án vào ô trống).
_
Ta có .
Suy ra \(a = b = \frac{1}{3}\). Vậy \(a - b = 0\).
Đáp án cần nhập là: \(0\).
\(\mathop \smallint \nolimits^ f\left( x \right)dx = {\rm{cos}}\left( {2x + 1} \right) + C\).
\(\mathop \smallint \nolimits^ f\left( x \right)dx = - {\rm{cos}}\left( {2x + 1} \right) + C\).
\(\mathop \smallint \nolimits^ f\left( x \right)dx = \frac{1}{2}{\rm{cos}}\left( {2x + 1} \right) + C\).
\(\mathop \smallint \nolimits^ f\left( x \right)dx = - \frac{1}{2}{\rm{cos}}\left( {2x + 1} \right) + C\).
\(\mathop \smallint \nolimits^ {\rm{sin}}\left( {2x + 1} \right)dx = - \frac{1}{2}{\rm{cos}}\left( {2x + 1} \right) + C\). Chọn D.
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\), gọi \(F\left( x \right),G\left( x \right)\) là hai nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(F\left( 8 \right) + G\left( 8 \right) = 11\) và \(F\left( 2 \right) + G\left( 2 \right) = 5\). Khi đó bằng (nhập đáp án vào ô trống).
__
Ta có \(I = \int\limits_1^3 {f\left( {3x - 1} \right)dx} \). Ta đặt \(t = 3x - 1 \Rightarrow dt = 3dx \Rightarrow \frac{{dt}}{3} = dx\)
Khi đó .
Vì \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) nên ta có \(3I = \left. {F\left( x \right)} \right|_2^8 \Leftrightarrow 3I = F\left( 8 \right) - F\left( 2 \right)\).
Vì \(G\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) nên ta có \(3I = \left. {G\left( x \right)} \right|_2^8 \Leftrightarrow 3I = G\left( 8 \right) - G\left( 2 \right)\).
Cộng hai vế lại ta có \(6I = F\left( 8 \right) + G\left( 8 \right) - \left( {F\left( 2 \right) + G\left( 2 \right)} \right) \Leftrightarrow 6I = 11 - 5 \Leftrightarrow I = 1\).
Đáp án cần nhập là: \(1\).
\(\frac{3}{2}\).
\(\frac{1}{2}\).
\(\frac{2}{3}\).
\(\frac{3}{4}\).
\(A\) là điểm thuộc \(\left( P \right)\) có hoành độ bằng 4 nên \(A\left( {4;4} \right)\).
\(B,C\) lần lượt là hình chiếu của \(A\) trên các trục tọa độ \(Ox,Oy\) nên \(B\left( {4;0} \right);C\left( {0;4} \right)\).
\({S_1}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right)\), \(AB\) và trục hoành nên .
\({S_2}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right)\), \(AC\) và trục tung nên \({S_2} = {4^2} - \frac{{16}}{3} = \frac{{32}}{3}\).
Vậy \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{\frac{{16}}{3}}}{{\frac{{32}}{3}}} = \frac{1}{2}\). Chọn B.
\(\mathop \smallint \nolimits^ \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x = \mathop \smallint \nolimits^ f\left( x \right){\rm{d}}x - \mathop \smallint \nolimits^ g\left( x \right){\rm{d}}x\).
\(\mathop \smallint \nolimits^ f\left( x \right)g\left( x \right){\rm{d}}x = \mathop \smallint \nolimits^ f\left( x \right){\rm{d}}x \cdot \mathop \smallint \nolimits^ g\left( x \right){\rm{d}}x\).
\(\mathop \smallint \nolimits^ 2f\left( x \right){\rm{d}}x = 2\mathop \smallint \nolimits^ f\left( x \right){\rm{d}}x\).
\(\mathop \smallint \nolimits^ \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x = \mathop \smallint \nolimits^ f\left( x \right){\rm{d}}x + \mathop \smallint \nolimits^ g\left( x \right){\rm{d}}x\).
Không có tính chất tích phân nhân tích phân nên B sai. Chọn B.
104.
73.
31.
42.
Gọi . Khi đó, ta có:
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( x \right) = 3x + a}\\{a = \left. {\left( {\frac{3}{2}{t^2} + at - {t^3}} \right)} \right|_0^2 - 2}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( x \right) = 3x + a}\\{a = \frac{3}{2} \cdot {2^2} + 2a - 8 - 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( x \right) = 3x + 4}\\{a = 4}\end{array}} \right.} \right.\).
Khi đó, . Chọn B.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 2x + 3}}{{x - 1}}\), \(y = x\) và hai đường thẳng \(x = 2;x = 3\) bằng \(a\ln 2 + b\). Giá trị của \(a + b\) bằng
\(2\).
\(1\).
\( - 1\).
\(3\).
Diện tích hình phẳng cần tìm là
\(S = \int\limits_2^3 {\left| {\frac{{{x^2} - 2x + 3}}{{x - 1}} - x} \right|dx} \)\( = \int\limits_2^3 {\left| {\frac{{ - x + 3}}{{x - 1}}} \right|dx} \)\( = \int\limits_2^3 {\frac{{ - x + 3}}{{x - 1}}dx} \)\( = \int\limits_2^3 {\frac{{ - x + 1 + 2}}{{x - 1}}dx} \)\( = - \int\limits_2^3 {dx} + \int\limits_2^3 {\frac{2}{{x - 1}}dx} \)
\( = \left. { - x} \right|_2^3 + \left. {\left( {2\ln \left| {x - 1} \right|} \right)} \right|_2^3\)\( = - 1 + 2\ln 2\).
Suy ra \(a = 2;b = - 1\). Do đó \(a + b = 1\). Chọn B.
Có 10 người bao gồm cả Ánh và Bình sống trong vài thành phố. Ánh nhận ra rằng khi cộng tất cả khoảng cách từ thành phố của cô ấy đến 9 người bạn còn lại thì được 100 km. Nếu Bình cũng làm như cô ấy thì khoảng cách tối đa Bình nhận được là bao nhiêu km? ( giả sử tất cả các thành phố là các điểm trên mặt phẳng, nếu hai người cùng một thành phố thì thì khoảng cách của họ là 0) (nhập đáp án vào ô trống).
____
Gọi thành phố Ánh và Bình đang sống lần lượt là A và B. Gọi thành phố mà một người bạn bất kì của Bình (có thể là Ánh) đang sống là \(X\).
Theo bất đẳng thức tam giác ta có \(BX \le AB + AX\).
Do tổng \(AB + AX \le 100\) nên khoảng cách từ Bình đến người bạn bất kì \( \le 100\).
Hơn nữa, Bình có 9 người bạn nên khoảng cách tối đa Bình nhận được là 900 km.
Dấu bằng xảy ra khi 9 người bạn của Bình sống chung một thành phố và cách Bình 100 km
Đáp án cần nhập là: \(900\).
\(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 3}} = \frac{{z + 3}}{6}\).
\(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 5}}{3} = \frac{{z + 1}}{2}\).
\(\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 3}} = \frac{{z + 3}}{4}\).
\(\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y - 5}}{3} = \frac{{z - 1}}{4}\).
Mặt phẳng \(\left( P \right):6x - 2y - 3z + 1 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {6; - 2; - 3} \right)\).
Gọi \(B\left( {4 + 3t;1 + 2t; - 2 - 5t} \right)\) là giao điểm của \({\rm{\Delta }}\) và \(d\).
Ta có \(\overrightarrow {{u_{\rm{\Delta }}}} = \overrightarrow {AB} = \left( {3t + 5;2t - 1; - 5t + 1} \right)\).
Điều kiện cần để đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\overrightarrow {{u_{\rm{\Delta }}}} \bot \overrightarrow {{n_P}} \).
Do đó \(\overrightarrow {{u_{\rm{\Delta }}}} \cdot \overrightarrow {{n_P}} = 0 \Leftrightarrow 6\left( {3t + 5} \right) - 2\left( {2t - 1} \right) - 3\left( { - 5t + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow t = - 1\). Suy ra \(\overrightarrow {{u_{\rm{\Delta }}}} = \left( {2; - 3;6} \right)\)
Đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) qua điểm \(A\left( { - 1;2; - 3} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_{\rm{\Delta }}}} = \left( {2; - 3;6} \right)\) nên phương trình của đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) là: \(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 3}} = \frac{{z + 3}}{6}\). Chọn A.
Để xác định vị trí của máy bay khi đang bay, người ta gắn một hệ trục toạ độ \(Oxyz\) với gốc toạ độ đặt tại một sân bay để xác định toạ độ của sân bay. Biết rằng cao độ của toạ độ máy bay chính là độ cao của máy bay đối với mặt đất. Đơn vị độ dài trên mỗi trục toạ độ là 100 m.
Một máy bay đang bay với quỹ đạo là một đường thẳng trong không gian với vận tốc bay không đổi. Tại một thời điểm nào đó, máy bay đang ở vị trí có toạ độ \(\left( {200;70;118} \right)\). Sau 50 giây, độ cao của máy bay so với mặt đất giảm 400 m. Hỏi sau 25 giây nữa, khoảng cách từ sân bay tới máy bay là bao nhiêu kilômét, biết rằng trong suốt quá trình bay này, máy bay có đi qua điểm có toạ độ \(\left( {80;105;113} \right)\) (nhập đáp án vào ô trống)?
_____
Do máy bay bay trên đường thẳng đi qua hai điểm \(\left( {200;70;118} \right)\) và \(\left( {80;105;113} \right)\) nên quỹ đạo bay của máy bay là đường thẳng có phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 200 - 24t}\\{y = 70 + 7t}\\{z = 118 - t}\end{array}} \right.\).
Sau 50 giây, độ cao của máy bay giảm 400 m, tức là cao độ của máy bay giảm đi 4. Do máy bay bay với vận tốc không đổi nên sau 25 giây, độ cao của máy bay sẽ giảm đi thêm 200 m, tức là cao độ giảm đi thêm 2. Khi đó, tại thời điểm này, cao độ của máy bay là \(118 - 4 - 2 = 112\).
Xét phương trình \(118 - t = 112 \Leftrightarrow t = 6\). Khi đó, sau 75 giây, toạ độ của máy bay là:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_0} = 200 - 24 \cdot 6 = 56}\\{{y_0} = 70 + 7 \cdot 6 = 112}\\{{z_0} = 118 - 6 = 112}\end{array}} \right.\).
Khoảng cách từ sân bay đến máy bay khi đó là \(S = \sqrt {{{5600}^2} + {{11200}^2} + {{11200}^2}} = 16800\left( {\rm{m}} \right) \approx 16,8\) km.
Đáp án cần nhập là: \(16,8\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):y - 4 = 0\). Có bao nhiêu đường thẳng \(d\) song song với ba mặt phẳng \(\left( {xOy} \right),\left( {zOx} \right),\left( P \right)\) đồng thời cách đều 3 mặt phẳng đó.
1.
2.
3.
4.
Ta thấy mặt phẳng \(\left( P \right):y - 4 = 0\) song song với mặt phẳng \(\left( {zOx} \right):y = 0\) và cùng vuông góc với mặt phẳng \(\left( {xOy} \right):z = 0\).
Đường thẳng \(d\) song song và cách đều \(\left( P \right)\) và \(\left( {zOx} \right)\) nên \(d\) nằm trên mặt phẳng \(\left( Q \right):y - 2 = 0\). Khi đó \(d\left( {d,\left( P \right)} \right) = d\left( {d,\left( {zOx} \right)} \right) = 2\).
Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {xOy} \right)\) nên trên \(\left( Q \right)\) có 2 đường thẳng song song và cách \(\left( {xOy} \right)\) một khoảng bằng 2.
Vậy có 2 đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B.
\(\left( \alpha \right):x - 2y - 5z - 11 = 0\).
\(\left( \alpha \right):x - 2y - 5z + 11 = 0\).
\(\left( \alpha \right):x - 2y - 5z - 9 = 0\).
\(\left( \alpha \right):x - 2y - 5z + 9 = 0\).
Ta có \(\left( \alpha \right) \bot d \Rightarrow \left( \alpha \right):x - 2y - 5z + d = 0\).
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;0; - 2} \right)\) và bán kính \(R = 3\).
\(\left( \alpha \right)\) cắt \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là đường tròn có \(r = 3 = R\)
Suy ra \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(I \Rightarrow d + 11 = 0 \Leftrightarrow d = - 11 \Rightarrow \left( \alpha \right):x - 2y - 5z - 11 = 0\). Chọn A.
\(E\left( {\frac{9}{5};\frac{{12}}{5};0} \right)\).
\(E\left( {\frac{3}{5};\frac{4}{5};0} \right)\).
\(E\left( {\frac{{12}}{5};\frac{{16}}{5};0} \right)\).
\(E\left( {\frac{{21}}{5};\frac{{28}}{5};0} \right)\).
Ta có \(d\left( {A,\left( {Oxy} \right)} \right) = 3\).
Mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 25\) có tâm \(I\left( {3;4;4} \right)\) và bán kính \(R = 5\).
Gọi \(H\) là hình chiếu của I trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\). Ta có \(H\left( {3;4;0} \right),IH = 4\).
Đường tròn giao tuyến \(\left( C \right)\) có tâm \(H\left( {3;4;0} \right)\) và bán kính \(r = \sqrt {{R^2} - I{H^2}} = \sqrt {25 - 16} = 3\).
\(E\) là trung điểm của \(MN\), suy ra \(ME = \frac{{MN}}{2} = \frac{{2\sqrt 5 }}{2} = \sqrt 5 \) và \(HE \bot MN\).
Ta có \(OH = 5,HE = \sqrt {{r^2} - M{E^2}} = 2\).
Gọi \(K\) là hình chiếu của \(O\) trên \(MN\). Khi đó:
\({S_{OMN}} = \frac{1}{2}OK \cdot MN = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt 5 \cdot OK \le \sqrt 5 \cdot OE \le \sqrt 5 \left( {OH + HE} \right) = \sqrt 5 \cdot \left( {5 + 2} \right) = 7\sqrt 5 \)
Nên \({V_{OAMN}} = \frac{1}{3}d\left( {A,\left( {Oxy} \right)} \right) \cdot {S_{OMN}} \le \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot 7\sqrt 5 = 7\sqrt 5 \).
Do đó, giá trị lớn nhất của \({V_{OAMN}}\) là \(7\sqrt 5 \), đạt được khi \(K \equiv E\) hay \(H\) nằm giữa \(O\) và \(E\).
Khi đó \(\overrightarrow {OE} = \frac{7}{5}\overrightarrow {OH} \Rightarrow \overrightarrow {OE} = \left( {\frac{{21}}{5};\frac{{28}}{5};0} \right) \Rightarrow E\left( {\frac{{21}}{5};\frac{{28}}{5};0} \right)\). Chọn D.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật, \(AB = 3,SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Tính tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {SC} \cdot \overrightarrow {AB} \) (nhập đáp án vào ô trống).
__
Ta có \(\overrightarrow {SC} \cdot \overrightarrow {AB} = \left( {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right)\overrightarrow {AB} \)\( = \overrightarrow {SA} \cdot \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {AB} = A{B^2} = 9\).
Đáp án cần nhập là: \(9\).
Trong không gian \(Oxyz\) cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):\left( {m + 1} \right)x + \left( {m - 1} \right)y + 6z - 4 = 0\) và \(\left( \beta \right):2x + y + 3z - 3 = 0\). Giá trị của \(m\) để hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) song song với nhau bằng
\(m = 2\).
\(m = 1\).
\(m = 3\).
\(m = - 1\).
Có \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {m + 1;m - 1;6} \right)\), \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;1;3} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right),\left( \beta \right)\).
Để \(\left( \alpha \right)//\left( \beta \right)\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_1}} = k\overrightarrow {{n_2}} \\ - 4 \ne k \cdot \left( { - 3} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 1 = 2k\\m - 1 = k\\6 = 3k\\ - 4 \ne k \cdot \left( { - 3} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 3\\k = 2\\ - 4 \ne 2 \cdot \left( { - 3} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow m = 3\). Chọn C.
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(M\left( {1;2;3} \right)\) và \(S\left( {1;3; - 4} \right)\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(M\) và cắt các trục tọa độ \(Ox,Oy,Oz\) lần lượt tại các điểm \(A,B,C\) sao cho \(M\) là trực tâm của tam giác \(ABC\). Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\)( nhập đáp án vào ô trống, làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
_____
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(M\) và cắt các trục tọa độ \(Ox,Oy,Oz\) lần lượt tại các điểm \(A,B,C\) sao cho \(M\) là trực tâm của tam giác \(ABC\), suy ra \(OABC\) là tứ diện vuông, tức là \(OM \bot \left( {ABC} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) qua \(M\left( {1;2;3} \right)\) có véctơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {OM} = \left( {1;2;3} \right)\) có phương trình \(x + 2y + 3z - 14 = 0\).
Giao điểm \(A\) với \(Ox:A\left( {14;0;0} \right)\).
Giao điểm \(B\) với \(Oy:B\left( {0;7;0} \right)\)
Giao điểm \(C\) với \(Oz:C\left( {0;0;\frac{{14}}{3}} \right)\)
\(\overrightarrow {AB} = \left( { - 14;7;0} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 14;0;\frac{{14}}{3}} \right)\), \(\overrightarrow {BC} = \left( {0; - 7;\frac{{14}}{3}} \right)\).
Suy ra \(AB = 7\sqrt 5 ;AC = \frac{{14\sqrt {10} }}{3};BC = \frac{{7\sqrt {13} }}{3}\).
\({S_{\Delta ABC}} = \sqrt {p\left( {p - AB} \right)\left( {p - AC} \right)\left( {p - BC} \right)} = \frac{{49\sqrt {14} }}{3}\).
\(d\left( {S,\left( P \right)} \right) = d\left( {S,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 6 - 12 - 14} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {3^2}} }} = \frac{{19}}{{\sqrt {14} }}\).
\({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}} \cdot d\left( {S,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{49\sqrt {14} }}{3} \cdot \frac{{19}}{{\sqrt {14} }} = \frac{{931}}{{81}} \approx 11,5\).
Đáp án cần nhập là: \(11,5\).
Có hai chuồng thỏ là chuồng I và chuồng II. Chuồng I có 5 con thỏ đen và 10 con thỏ trắng. Chuồng II có 7 con thỏ đen và 3 con thỏ trắng. Đầu tiên, từ chuồng II lấy ra ngẫu nhiên 1 con thỏ rồi cho vào chuồng I. Sau đó, từ chuồng I lấy ra ngẫu nhiên 1 con thỏ. Tính xác suất để con thỏ được lấy ra là con thỏ trắng.
\(\frac{{103}}{{160}}\).
0,4.
\(\frac{{130}}{{160}}\).
0,6.
Gọi \(A\) là biến cố "Con thỏ được lấy ra từ chuồng II để cho vào chuồng I là con thỏ trắng".
Gọi \(B\) là biến cố "Con thỏ được lấy ra từ chuồng I là con thỏ trắng".
Ta cần tính \(P\left( B \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {B\mid \overline A } \right)\).
Xác suất lấy được con thỏ trắng từ chuồng II để cho vào chuồng I là: \(P\left( A \right) = \frac{3}{{10}}\).
Do đó \(P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = 1 - \frac{3}{{10}} = \frac{7}{{10}}\).
Xác suất lấy được con thỏ trắng từ chuồng I với điều kiện đã lấy được con thỏ trắng từ chuồng II cho vào chuồng I là: \(P\left( {B\mid A} \right) = \frac{{10 + 1}}{{5 + 10 + 1}} = \frac{{11}}{{16}}\).
Xác suất lấy được con thỏ trắng từ chuồng I với điều kiện đã lấy được con thỏ đen từ chuồng II cho vào chuồng I là: \(P\left( {B\mid \overline A } \right) = \frac{{10}}{{5 + 10 + 1}} = \frac{5}{8}\).
Vậy xác suất để lấy được con thỏ trắng từ chuồng I là:
\(P\left( B \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{3}{{10}} \cdot \frac{{11}}{{16}} + \frac{7}{{10}} \cdot \frac{5}{8} = \frac{{103}}{{160}}\). Chọn A.
\(\frac{{x + 3}}{2} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 - 4t}\\{y = 4 - 2t}\\{z = 2 - 2t}\end{array}} \right.\).
\(\frac{{x + 1}}{{ - 2}} = \frac{{y - 3}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{1}\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 4 - 3t}\\{y = 2 + 2t}\\{z = - 2 + 4t}\end{array}} \right.\).
Có \(\overrightarrow {AB} \left( {4;2; - 2} \right) \Rightarrow \) một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AB\) là \(\vec u\left( { - 2; - 1;1} \right)\).
Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow I\left( { - 1;3;3} \right)\). Khi đó, điểm \(I\) nằm trên đường thẳng \(AB\).
Phương trình đường thẳng qua \(I\left( { - 1;3;3} \right)\) và nhận \(\vec u\left( { - 2; - 1;1} \right)\) làm vectơ chỉ phương là:
\(\frac{{x + 1}}{{ - 2}} = \frac{{y - 3}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{1}\). Chọn C.
\(P\left( {\overline M \mid N} \right) = \frac{{1 - P\left( M \right)}}{{P\left( N \right)}}\).
\(P\left( {\overline M \mid N} \right) = \frac{{1 - P\left( {MN} \right)}}{{P\left( N \right)}}\).
\(P\left( {\overline M \mid N} \right) = \frac{{P\left( M \right) - P\left( {MN} \right)}}{{P\left( N \right)}}\).
\(P\left( {\overline M \mid N} \right) = 1 - \frac{{P\left( {MN} \right)}}{{P\left( N \right)}}\).
Có \(P\left( {\overline M \mid N} \right) = \frac{{P\left( {\overline M N} \right)}}{{P\left( N \right)}} = \frac{{P\left( N \right) - P\left( {MN} \right)}}{{P\left( N \right)}} = 1 - \frac{{P\left( {MN} \right)}}{{P\left( N \right)}}\). Chọn D.
Cho hai dãy chỉ gồm các chữ số 1, 0 và mỗi dãy có 50 chữ số. Tại mỗi bước ta có thể chèn một số lượng tùy ý các chữ số giống nhau vào bất kì vị trí nào hoặc bỏ một số lượng tùy ý các chữ số giống nhau và liên tiếp nhau. Hỏi ta có thể biến dãy này thành dãy kia sau tối đa bao nhiêu bước?
\(30\).
\(40\).
\(50\).
\(60\).
Ta giải bài toán tương tự với mỗi dãy chỉ có hai chữ số.
Ta sẽ chứng minh có thể biến dãy này thành dãy kia sau tối đa hai bước.
Nếu hai dãy chỉ có một chữ số khác nhau thì ta xóa chữ số khác đó rồi thêm chữ số giống vào. Nếu mọi vị trí của hai dãy đều có chữ số khác nhau thì ta có hai trường hợp:
1) dãy đầu là 11, dãy sau là 00: Khi đó ta xóa hết dãy đầu sau đó ta thêm 00
2) dãy đầu là 10 dãy sau là 01: Khi đó ta xóa 1 ở dãy đầu đi và thêm 1 ở phía sau 0.
Vậy chỉ cần tối đa hai bước để chuyển một dãy có hai chữ số này thành một dãy có hai chữ số kia.
Ta chia hai dãy trong đề bài thành 50 dãy hai chữ số rồi ghép thành 25 cặp tương ứng nhau.
Mà mỗi cặp có tối đa hai bước biến dãy này thành dãy kia sau.
Vậy để chuyển dãy này thành dãy kia trong đề bài thì chỉ cần tối đa 50 bước. Chọn C.
Trong hộp có 20 nắp chai bia Tiger, trong đó có 2 nắp ghi "Chúc mừng bạn đã trúng thưởng 01 chiếc xe máy Honda Vison 2024". Bạn Minh được chọn lên rút thăm lần lượt hai nắp chai. Xác suất để cả hai nắp đều trúng thưởng là:
\(\frac{1}{{120}}\).
\(\frac{1}{{190}}\).
\(\frac{1}{{10}}\).
\(\frac{1}{{20}}\).
Gọi A là biến cố "nắp chai đầu trúng thưởng"
Gọi \(B\) là biến cố "nắp chai thứ hai trúng thưởng"
Ta cần tính \(P\left( {A \cap B} \right)\)
Ta có xác suất nắp đầu trúng thưởng là \(P\left( A \right) = \frac{2}{{20}} = \frac{1}{{10}}\).
Ta có nắp thứ hai trúng thưởng khi nắp đầu tiên đã trúng thưởng \(P\left( {B\mid A} \right) = \frac{1}{{19}}\)
Ta có \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right)}} \Rightarrow P\left( {A \cap B} \right) = \frac{1}{{19}} \cdot \frac{1}{{10}} = \frac{1}{{190}}\). Chọn B.
Bảng sau đây biểu diễn mẫu số liệu ghép nhóm về cân nặng của một số quả dưa bở thu hoạch được ở một khu vườn (đơn vị: gam).
Nhóm | \(\left[ {600;650} \right)\) | \(\left[ {650;700} \right)\) | \(\left[ {700;750} \right)\) | \(\left[ {750;800} \right)\) | \(\left[ {800;850} \right)\) |
Tần số | 14 | 40 | 13 | 10 | 3 |
Tìm phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
\(2613,25\).
\(2631,25\).
\(2631,52\).
\(2613,25\).
Bảng có giá trị đại diện
Nhóm | \(\left[ {600;650} \right)\) | \(\left[ {650;700} \right)\) | \(\left[ {700;750} \right)\) | \(\left[ {750;800} \right)\) | \(\left[ {800;850} \right)\) |
Giá trị đại diện | 625 | 675 | 725 | 775 | 825 |
Tần số | 14 | 40 | 13 | 10 | 3 |
Giá trị trung bình là \(\overline x = \frac{{625 \cdot 14 + 675 \cdot 40 + 725 \cdot 13 + 775 \cdot 10 + 825 \cdot 3}}{{14 + 40 + 13 + 10 + 3}} = 692,5\).
Phương sai của mẫu số liệu là
\({s^2} = \frac{1}{{80}} \cdot \left( {{{625}^2} \cdot 14 + {{675}^2} \cdot 40 + {{725}^2} \cdot 13 + {{775}^2} \cdot 10 + {{825}^2} \cdot 3} \right) - 692,{5^2} = 2631,25\). Chọn B.
Bảng sau đây cho biết chiều cao (đơn vị: cm) của hai nhóm học sinh
Chiều cao | \(\left[ {145;150} \right)\) | \(\left[ {150;155} \right)\) | \(\left[ {155;160} \right)\) | \(\left[ {160;165} \right)\) | \(\left[ {165;170} \right)\) | \(\left[ {170;175} \right)\) |
Nhóm 1 | 1 | 0 | 15 | 12 | 10 | 5 |
Nhóm 2 | 0 | 0 | 17 | 10 | 9 | 6 |
Gọi \({R_1};{R_2}\) lần lượt là khoảng biến thiên của nhóm 1 và nhóm 2. Phát biểu nào sau đây là đúng?
\({R_1} = \frac{2}{3}{R_2}\).
\({R_1} = {R_2}\).
\({R_1} = 2{R_2}\).
\({R_1} = \frac{3}{2}{R_2}\).
Ta có \({R_1} = 175 - 145 = 30\); \({R_2} = 175 - 155 = 20\).
Do đó \({R_1} = \frac{3}{2}{R_2}\). Chọn D.
Cho hình lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\). Vectơ \(\overrightarrow {AA'} - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \) bằng vectơ nào sau đây?
\(\overrightarrow {B'C} \).
\(\overrightarrow {BC'} \).
\(\overrightarrow {AB} \).
\(\overrightarrow {CA'} \).
Có \(\overrightarrow {AA'} - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \)\( = \overrightarrow {AA'} + \left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)\)\( = \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BC'} \). Chọn B.
