Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề số 26)

Đáp án đúng là "600" 

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính tổng của một cấp số nhân lùi hạn.

\(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\). Trong đó \(S\) là tổng của một cấp số nhân, \({u_1}\) là số hạng đầu, \(q\) là công bội.

Lời giải

Ta có số hạng đầu tiên là \({u_1} = 150\), công bội \(q = \frac{3}{5}\).

Tổng quãng đường khi bóng đi xuống là \(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = 375\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Khi đó tổng quãng đường quả bóng đi là \(2S - 150 = 600\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Tính chất của hàm số mũ.

Lời giải

\({\left( {\frac{1}{{64}}} \right)^{{a^2} + 4ab}} = {(\sqrt[3]{{256}})^{3{a^2} - 10ab}} \Leftrightarrow {4^{ - 3\left( {{a^2} + 4ab} \right)}} = {4^{\frac{4}{3}\left( {3{a^2} - 10ab} \right)}}\)

\( \Leftrightarrow - 3{a^2} - 12ab = 4{a^2} - \frac{{40}}{3}ab \Leftrightarrow 7{a^2} - \frac{4}{3}ab = 0\)

\( \Leftrightarrow 7a = \frac{4}{3}b \Leftrightarrow \frac{b}{a} = \frac{{21}}{4}\).

Đáp án đúng là "4"

Phương pháp giải

Giải bất phương trình hàm mũ.

Lời giải

Điều kiện xác định:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 6 > 0}\\{{{2.4}^{x + 1}} - {{17.2}^x} + 2 \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x >  - 6}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^x} \le \frac{1}{8}}\\{{2^x} \ge 2}\end{array}} \right.}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 6 < x \le  - 3}\\{x \ge 1}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Trường hợp 1: \({2.4^{x + 1}} - {17.2^x} + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{2^x} = 2}\\{{2^x} = \frac{1}{8}}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x =  - 3}\end{array}} \right.} \right.\) (thỏa mãn).

Trường hợp 2: \(1 - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {x + 6} \right) \ge 0 \Leftrightarrow x \le  - 3\)

Kết hợp điều kiện và hai trường hợp ta có \( - 6 < x \le  - 3\) hoặc \(x = 1\).

Vậy phương trình có 4 nghiệm nguyên \(x \in \left\{ { - 5; - 4; - 3;1} \right\}\)

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Giải phương trình logarit.

Lời giải

Ta có \({P_A} = \frac{3}{7}{P_B}\)

\({h_A} - {h_B} = - 19,4.\log \frac{{{P_A}}}{{{P_0}}} + 9,4.\log \frac{{{P_A}}}{{{P_0}}} = - 19,4.\log \frac{{\frac{{{P_A}}}{{{P_0}}}}}{{\frac{{{P_B}}}{{{P_0}}}}} = - 19,4\log \frac{{{P_A}}}{{{P_B}}} = - 19,4\log \frac{4}{7} \approx 4,71\).

Vậy điểm \(A\) cao hơn điểm \(B\) \(4,71{\rm{\;km}}\)

Đáp án đúng là "-12"

Phương pháp giải

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

Lời giải

Giả thiết cho \({2^{x - 2y}}.\left( {2x + 1} \right) = 4y + 2x + 4\)

\( \Leftrightarrow {2^x}.\left( {2x + 1} \right) = 2\left( {2y + x + 2} \right){2^{2y}} \Leftrightarrow {2^x}.\left( {2x + 1} \right) = {2^{2y + 1}}\left( {2y + x + 2} \right)\)

\( \Leftrightarrow {2^{2x}}.\left( {2x + 1} \right) = {2^{2y + x + 1}}\left( {2y + x + 1 + 1} \right)\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {2^t}.\left( {t + 1} \right)\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\); suy ra

\(f'\left( t \right) = {2^t}.\left( {t + 1} \right){\rm{ln}}2 + {2^t} > 0,\forall t \in \left( {0; + \infty } \right)\)

Vậy hàm số \(f\left( t \right)\) luôn đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) nên ta có:

\( \Leftrightarrow {2^{2x}}.\left( {2x + 1} \right) = {2^{2y + x + 1}}\left( {2y + x + 1 + 1} \right) \Leftrightarrow 2x = 2y + x + 1 \Leftrightarrow x = 2y + 1\)

Suy ra:

\(P = {2^{x - y - 2}} - x - {y^2} + 2037 = {2^{y - 1}} - \left( {{y^2} + 2y + 1} \right) + 2037 = \frac{1}{4}{.2^{y + 1}} - {(y + 1)^2} + 2037\)

Xét hàm số \(g\left( a \right) = \frac{1}{4}{.2^a} - {a^2};a \in \left[ {2;4} \right]\)

\(g'\left( a \right) = \frac{{{2^a}.{\rm{ln}}2}}{4} - 2a \Rightarrow g''\left( a \right) = \frac{{{2^a}.{\rm{l}}{{\rm{n}}^2}2}}{4} - 2 < 0,\forall a \in \left[ {2;4} \right]\)

\( \Rightarrow g'\left( a \right)\) luôn nghịch biến trên \(\left[ {2;4} \right]\)

 

\( \Rightarrow g\left( a \right)\) luôn nghịch biến trên \(\left[ {2;4} \right]\)

\( \Rightarrow {\rm{min}}g\left( a \right) = g\left( 4 \right) =  - 12\)  

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Tìm phương trình tiếp tuyến.

Lời giải

Ta có: \(y' = \frac{{ - 2}}{{{{(x + 1)}^2}}}\).

Gọi \(A\left( {{x_0};1} \right) \in \left( C \right)\) thì \(\frac{{1 - {x_0}}}{{{x_0} + 1}} = 1 \Leftrightarrow {x_0} = 0\).

Tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(A\) có phương trình \(y = y\;'\left( 0 \right)\left( {x - 0} \right) + y\left( 0 \right) = - 2x + 1\).

Suy ra tiếp tuyến song song với \(\left( d \right):y = - 2x + 2\).

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Công thức tính tứ phân vị của mẫu số liệu nhóm.

Lời giải

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{15}} + {x_{16}}} \right)\) thuộc nhóm \(\left[ {6;9} \right)\)

Vậy \({Q_3} = 6 + \frac{{\frac{3}{4}.20 - 9}}{7}.3 \approx 8,57\).

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Lời giải

Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(AD\)

Khi đó \(AM = MD = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \Delta AMD\) là tam giác đều

Ta có \({S_{AMD}} = \frac{{{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3\sqrt 3 }}{{16}}\)

Lại có \(V = \frac{1}{3}.{S_{ABD}}.d\left( {C;\left( {ABD} \right)} \right) = \frac{1}{3}.{S_{AMD}}.BC = \frac{{\sqrt 3 }}{{16}}\).

\({S_{ABD}} = \frac{{\sqrt {39} }}{{16}} \Rightarrow d\left( {C;\left( {ABD} \right)} \right) = \frac{{3V}}{{{S_{ABD}}}} = \frac{3}{{\sqrt {13} }}\).

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Thể tích hình chóp cụt

Lời giải

Gọi \(I\) là giao điểm của \(MP\) và \(NQ\), O là giao điểm của \(AC\) và \(BD\), khi đó \(IO \bot \left( {MNPQ} \right);IO \bot \left( {ABCD} \right)\).

Khi đó \(IO\) là chiều cao của khối chóp cụt đều.

Ta xét hình thang \(QNBD\), gọi \(H\) là hình chiếu của \(Q\) lên \(BD,K\) là hình chiếu của \(N\) lên \(BD\).

Mà \(IO \bot BD,QH \bot BD,NK \bot BD\) trong (\(QNBD\)) nên \(IO//QH//NK\).

Ngoài ra ta có \(QH = NK = IO\) và \(QD = NB\). Suy ra \(\Delta QHD = \Delta NKB\) nên ta có \(DH = BK\).

\(DH = \frac{{BD - HK}}{2} = \frac{{\sqrt {A{D^2} + A{B^2}} - \sqrt {M{N^2} + M{Q^2}} }}{2} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\left( m \right)\).

Xét tam giác \(QHD\) vuông tại \(H\), có: \(QH = \sqrt {Q{D^2} - H{D^2}} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\left( m \right)\).

Diện tích hai đáy: \({S_{ABCD}} = A{B^2} = 25\left( {{m^2}} \right);{S_{MNPQ}} = M{N^2} = 4\left( {{m^2}} \right)\).

Thể tích khối chóp cụt đều

\(V = \frac{1}{3}.OI.\left( {{S_{ABCD}} + \sqrt {{S_{ABCD}}.{S_{MNPQ}}} + {S_{MNPQ}}} \right) = \frac{{39\sqrt 2 }}{2}\left( {{m^3}} \right)\).

Vậy số tiền cần dùng là: \(1500000.\frac{{39\sqrt 2 }}{2} = 41366000\).

Đáp án đúng là "60"

Phương pháp giải

Tính góc giữa hai đường thẳng chéo nhau.

Lời giải​

Gọi \(E\) là trung điểm của \(BD\).

Ta có \(EM//CD \Rightarrow \left( {\widehat {AM;CD}} \right) = \left( {\widehat {AM;EM}} \right)\)

Ta có \(AM = \frac{1}{2}BC = \frac{{\sqrt 2 }}{2}a;AE = \frac{1}{2}BD = \frac{{\sqrt 2 }}{2}a;EM = \frac{1}{2}CD = \frac{{\sqrt 2 }}{2}a\)

Suy ra \(\Delta AEM\) là tam giác đều

Vậy góc giữa \(AM\) và \(CD\) bằng \(\widehat {AME} = {60^ \circ }\).

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Lý thuyết về hai đường thẳng song song.

Lời giải

A sai: hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

B sai: hai mặt phẳng cùng vuông góc với một đường thẳng có thể trùng nhau.

C sai: hai đường thẳng không có điểm chung có thể chéo nhau.

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Tính xác suất.

Lời giải

Ta coi bàn cờ vua được xác định bởi các đường thẳng \(x = 0,x = 1, \ldots ,x = 8\) và \(y = 0,y = 1, \ldots ,y = 8\)

Một hình chữ nhật được giới hạn bởi hai đường thẳng \(x\) và hai đường thẳng \(y\)

Khi đó ta có không gian mẫu \(n\left( {\rm{\Omega }} \right) = C_9^2.C_9^2 = 1296\).

Gọi A là biến cố "chọn được hình vuông có cạnh lớn hơn 5"

Trường hợp 1: Hình vuông có cạnh 6 đơn vị. Khi đó mỗi ô được tạo thành từ hai đường thẳng \(x\) cách nhau 6 đơn vị và hai đường thẳng \(y\) cách nhau 6 đơn vị, suy ra có \(3 \times 3 = 9\) cách chọn.

Trường hợp 2: Hình vuông có cạnh 7 đơn vị. Khi đó mỗi ô được tạo thành từ hai đường thẳng \(x\) cách nhau 7 đơn vị và hai đường thẳng \(y\) cách nhau 7 đơn vị, suy ra có \(2 \times 2 = 4\) cách chọn.

Trường hợp 3: Hình vuông có cạnh 8 đơn vị. Khi đó mỗi ô được tạo thành từ hai đường thẳng \(x\) cách nhau 8 đơn vị và hai đường thẳng \(y\) cách nhau 8 đơn vị, suy ra có \(1 \times 1 = 1\) cách chọn.

Vậy \(P\left( A \right) = \frac{{9 + 4 + 1}}{{1296}} = \frac{7}{{648}}\).

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Công thức đếm.

Lời giải

\(n\left( {\rm{\Omega }} \right) = 31\)

Số có chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục

Đoạn \(\left[ {40;49} \right]\) có 5 số thỏa mãn, đoạn \(\left[ {50;59} \right]\) có 4 số thỏa mãn, đoạn \(\left[ {60;69} \right]\) có 3 số thỏa mãn.

Vậy có 12 số thỏa mãn.

Khi đó xác suất để chọn được số có chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục bằng \(\frac{{12}}{{31}}\).

Đáp án đúng là "43"

Phương pháp giải

Tư duy logic

Lời giải

Ta xóa đi các số \(2;3;4; \ldots 44\)

Ta không cần xóa số 1 vì xét một số bằng tích hai số còn lại.

Khi đó tích của hai số bất kì trong phần còn lại nhỏ nhất là \(45 \times 46 = 2070 > 2025\)

Nên chắc chắc không có số nào bằng tích của hai số bất kì.

Vậy ta xóa đi 43 số

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Chia đa thức

Lời giải

Giả sử \(g\left( x \right)\) là thương khi chia \(f\left( x \right)\) cho \({x^2} - 1\) và dư \(ax + b\)

Khi đó ta có \(f\left( x \right) = \left( {{x^2} - 1} \right).g\left( x \right) + ax + b\)

Ta thay \(x = 1;x = - 1\) vào biểu thức trên ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + b = 51}\\{ - a + b = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 25}\\{b = 26}\end{array}} \right.} \right.\)

Vậy đa thức dư là \(25x + 26\)

Đáp án đúng là "2024"

Phương pháp giải

Lời giải

Ta xét hàm số \(h\left( x \right) = \left| {{x^2} - 3x + 2} \right| + m\) và đặt \({x^2} - 3x + 2 = u\).

Khi đó ta có bảng biến thiên:

​

Ta có \(g'\left( x \right) = h'\left( x \right).f'\left( {h\left( x \right)} \right) \ge 0,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\)

Mà \(h'\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right) \Rightarrow f'\left( {h\left( x \right)} \right) \ge 0,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2 \le h\left( x \right) \le 0}\\{h\left( x \right) \ge 2}\end{array},\forall x \in \left( {2; + \infty } \right) \Rightarrow m \ge 2} \right.\)

Vậy \(m \in \left[ {2;2025} \right]\) tức là có 2024 giá trị \(m\) thỏa mãn

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Tính chất của điểm cực trị

Lời giải

\(f'\left( x \right) = 3{x^2} + 4ax + a - 7 \Rightarrow f'\left( 2 \right) = {3.2^2} + 2a.2 + a - 7 = 0 \Rightarrow a = - 1\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) = {x^3} - {x^2} - 8x + b \Rightarrow f\left( 2 \right) = {2^3} - {2^2} - 8.2 + b = - 4 \Rightarrow b = 8\).

Vậy khi đó \(f\left( 1 \right) = {1^3} - {1^2} - 8.1 + 8 = 0\)

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Ứng dụng đạo hàm

Lời giải

Ta có: \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = {t^2} - 3t + 2\).

Khi vận tốc của vật đạt \(30{\rm{\;m}}/{\rm{s}}\) ta có:

\({t^2} - 3t + 2 = 30 \Leftrightarrow {t^2} - 3t - 28 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 7}\\{t = - 4}\end{array}} \right.\).

Vì \(t > 0\) nên nhận \(t = 7\left( s \right)\).

Lúc đó quãng đường vật đi được là: \(s\left( 7 \right) - s\left( 0 \right) = \frac{{341}}{6} - 2 \approx 54,8m\)

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Xác định khoảng biến thiên của đồ thị hàm số.

Lời giải

Ta thấy đồ thị hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\), suy ra \(f\left( { - 3} \right) < f\left( { - 1} \right)\).

Đáp án đúng là "11"

Phương pháp giải

Bài toán tương giao đồ thị, số nghiệm bằng số giao điểm.

Lời giải

Ta có phương trình hoành độ giao điểm

\(x - m = \frac{{2x - 9}}{{x - 3}} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ne  - 3}\\{{x^2} + \left( {m + 5} \right)x + \left( {9 + 3m} \right) = 0}\end{array}} \right.\)

Để đường thẳng \(y = x - m\) cắt đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 3}}\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương thì

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ne  - 3}\\{{\rm{\Delta }} > 0}\\{S > 0}\\{P > 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ne 3}\\{{m^2} - 2m - 11 > 0}\\{m + 5 > 0}\\{3m + 9 > 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ne 3}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 1 - 2\sqrt 3  \approx  - 2,5}\\{m > 1 + 2\sqrt 3  \approx 4,5}\end{array}} \right.}\\{m >  - 5}\\{m >  - 3}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Vậy \(m \in \left\{ {5;6} \right\}\)

Vậy tổng các giá trị của \(m\) là \(5 + 6 = 11\).

Đáp án đúng là "50"

Phương pháp giải

Tương giao đồ thị.

Lời giải

Ta đặt \(t = \left| {x + 3} \right| \ge 0\)

Khi đó phương trình \(f\left( {\left| {x + 3} \right|} \right) = 5\) trở thành \(f\left( t \right) = 5,t \ge 0\)

Suy ta phương trình \(f\left( {\left| {x + 3} \right|} \right) = 5\) có 4 nghiệm phân biệt khi \(f\left( t \right) = 5,t \ge 0\) có hai nghiệm dương phân biệt.

Giả sử \(f\left( 0 \right) = q \Rightarrow q < m\),

Trường hợp 1: \(q < n\)

\(m = 5 \Rightarrow n < 5 \Rightarrow n \in \left[ { - 25;5} \right)\) suy ra có 30 cặp số nguyên

\(n = 5 \Rightarrow m > 5 \Rightarrow m \in \left( {5;25} \right]\) suy ra có 20 cặp số nguyên

Trường hợp 2: \(n \le q < m\)

Ta có \(f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f'\left( 2 \right) = 0}\\{f'\left( 5 \right) = 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{12a + 4b + c = 0}\\{75a + 10b + c = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{c = 30a}\\{b =  - 10,5a}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( 2 \right) = m}\\{f\left( 5 \right) = n}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{8a + 4b + 2c + d = m}\\{125a + 25b + 5c + d = n}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{26a + d = m}\\{12,5a + d = n}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{26a = m - d > 0}\\{12,5a = n - d \le 0}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a > 0}\\{a \le 0}\end{array}} \right.\) (vô lý)

Vậy có 50 cặp số nguyên \(\left( {m;n} \right)\) thỏa mãn đề bài.

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Sử dụng định nghĩa tiệm cận xiên

Lời giải

Ta có vì \(y = 2x - 5\) là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{a{x^2} + 2x + 3}}{{x + b}}\)

Khi đó

Ta có \(\frac{{a{x^2} + 2x + 3}}{{x + b}} - 2x + 5 = \frac{{{x^2}\left( {a - 2} \right) + x\left( {7 - 2b} \right) + 5b + 3}}{{x + b}}\)

 khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a - 2 = 0}\\{7 - 2b = 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = 3,5}\\{a = 2}\end{array}} \right.} \right.\)

Vậy \(b - a = 1,5\).

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Ứng dụng của đạo hàm.

Lời giải

Ta kí hiệu \({v_0}\left( {km/h} \right)\) là vận tốc thực sự của thuyền.

Khi đó ta có \({v_0} = v - 3\)

Ta có \(15 = {v_0}.t = \left( {v - 3} \right).t \Rightarrow t = \frac{{15}}{{v - 3}}\)

Thay vào phương trình năng lượng ta có \(E = c.{v^3}.\frac{{15}}{{v - 3}}\) (Jun)

Ta cần giá trị nhỏ nhất của \(E\left( v \right) = c.{v^3}.\frac{{15}}{{v - 3}},t > 3\)

Ta có \(E'\left( v \right) = 0 \Leftrightarrow v = 4,5\)

Ta có

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Công thức nguyên hàm.

Lời giải

\(\mathop \smallint \nolimits^ {\rm{sin}}\left( {2x + 1} \right)dx = - \frac{1}{2}{\rm{cos}}\left( {2x + 1} \right) + C\).

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Nhận dạng đồ thị hàm số.

Lời giải

Gọi \(\left( C \right)\) là đồ thị hàm số \(y = \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} - 4} \right)\).

Ta có \(y = \left( {x - 3} \right)\left| {{x^2} - 4} \right| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} - 4} \right),x \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)}\\{ - \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} - 4} \right),x \in \left( { - 2;2} \right)}\end{array}} \right.\)

Đồ thị gồm 2 phần

Giữ nguyên phần đồ thị đã cho ứng với \(x \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\)

Lấy đối xứng phần đồ thị đã cho ứng \(x \in \left( { - 2;2} \right)\) với qua trục \(Ox\)

Vậy hình 1 là đồ thị hàm số \(y = \left( {x - 3} \right)\left| {{x^2} - 4} \right|\)

Đáp án đúng là "7"

Phương pháp giải

Tính tích phân.

Lời giải

Vậy \(S = a + b = 4 + 3 = 7\).

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Ứng dụng tích phân để tính diện tích

Lời giải

\(f\left( x \right) + \left( {{x^2} + 3x + 2} \right).f'\left( x \right) = \frac{{{x^3} + 4{x^2} + 4x}}{{\sqrt {{x^2} + 8} }} \Leftrightarrow f\left( x \right) + \left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)f'\left( x \right) = \frac{{x{{(x + 2)}^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 8} }}\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{{{(x + 2)}^2}}}f\left( x \right) + \frac{{x + 1}}{{x + 2}}f'\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 8} }}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{{x + 1}}{{x + 2}}.f'\left( x \right)} \right)} = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 8} }}\)

Lấy nguyên hàm hai vế ta được \(\frac{{x + 1}}{{x + 2}}f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + 8} + C\)

Với \(x = - 1\) thì \(C = - 3\)

Vậy với \(x \ne - 1\) thì \(f\left( x \right) = \left( {\sqrt {{x^2} + 8} - 3} \right).\frac{{x + 2}}{{x + 1}}\)

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Ứng dụng của tích phân.

Lời giải

Gọi parapol \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\) khi \(0 \le t \le 4\)

Do \(\left( P \right)\) đi qua hai điểm \(I\left( {2;1} \right),A\left( {0;5} \right)\)

Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4a + 2b + c = 1}\\{c = 5}\\{4a + b = 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 1}\\{b = - 4}\\{c = 5}\end{array}} \right.} \right.\)

Quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian \(0 \le t \le 4\) là \(S = \int\limits_0^4 {\left( {{x^2} - 4x + 5} \right)dx} = \frac{{28}}{3}\left( m \right)\)

Ta có \(f\left( 4 \right) = 5\)

Gọi đường thẳng \(d:y = ax + b\) khi \(4 \le t \le 9\) và \(d\) đi qua hai điểm \(B\left( {4;5} \right),C\left( {9;0} \right)\) nên

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4a + b = 5}\\{9a + b = 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = - 1}\\{b = 9}\end{array}} \right.} \right.\)

Quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian \(4 \le t \le 9\) là \(S = \int\limits_4^9 {\left( { - x + 9} \right)dx} = \frac{{25}}{2}\left( m \right)\)

Vậy tổng quãng đường chất điểm đi được trong thời gian \(0 \le t \le 9\) là \(S = \frac{{28}}{3} + \frac{{25}}{2} = \frac{{131}}{6}\).

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Tính biểu thức tọa độ.

Lời giải

Ta có

\({(|\vec u + \vec v|)^2} = {(\vec u + \vec v)^2} = {\vec u^2} + 2\vec u\vec v + {\vec v^2} = |\vec u{|^2} + 2|\vec u||\vec v|\cos (\vec u;\vec v) + |\vec v{|^2} = {3^2} + 2.3.4.\frac{1}{2} + {4^2} = 37\)

Vậy \(\left| {\vec u + \vec v} \right| = \sqrt {37} \).

Đáp án đúng là "8"

Phương pháp giải

Giải bất phương trình để tìm cặp nghiệm.

Lời giải

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;1; - 1} \right)\) và bán kính \(R = 2\), và điểm \(M\left( {a;b;0} \right) \in \left( {Oxy} \right)\)

Ta có, tồn tại ít nhất hai tiếp tuyến kẻ từ điểm \(M\) đến mặt cầu \(\left( S \right)\) và vuông góc với nhau

\( \Leftrightarrow R \le MI \le R\sqrt 2 \)

\( \Leftrightarrow 4 \le {(a - 1)^2} + {(b - 1)^2} + {1^2} \le 8 \Leftrightarrow 3 \le {(a - 1)^2} + {(b - 1)^2} \le 7\)

Suy ra \({(b - 1)^2} \le 7 \Leftrightarrow  - \sqrt 7  \le b - 1 \le \sqrt 7  \Rightarrow b \in \left\{ { - 1;0;1;2;3} \right\}\)

Suy ra có 8 cặp \(\left( {a;b} \right)\) thỏa mãn. Vậy có 8 điểm \(M\) thỏa mãn đề bài

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Lời giải

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {AB} = \left( {2;2;0} \right)}\\{\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {1; - 1; - 1} \right)}\end{array} \Rightarrow AB//\left( P \right)} \right.\)

Gọi \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng chứa \(AB\) và vuông góc với \(\left( P \right)\)

Ta kẻ \(HK \bot AB \Rightarrow {S_{ABM}} = \frac{1}{2}.AB.HK\), suy ra diện tích tam giác \(ABH\) nhỏ nhất khi \(HK\) nhỏ nhất \( \Rightarrow M\) nằm trên giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\).

\({\vec n_{\left( Q \right)}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ;{{\vec n}_{\left( P \right)}}} \right] = \left( { - 1;1;2} \right)\)

Suy ra \( - x + y + 2z - 5 = 0\)

Ta xét \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - y - z = 0}\\{ - x + y + 2z - 5 = 0}\end{array} \Rightarrow H \in \left( {\rm{\Delta }} \right):\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t}\\{y = t - 5}\\{z = 5}\end{array}} \right.} \right.\).

Suy ra \(H\left( {t;t - 11;8} \right) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {AH} = \left( {t - 1;t - 7;3} \right)}\\{\overrightarrow {BH} = \left( {t - 3;t - 9;3} \right)}\end{array}} \right.\)

Mà tam giác \(ABH\) vuông tại \(H \Rightarrow \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BH} = 0\)

\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = \frac{{10 - \sqrt {14} }}{2}}\\{t = \frac{{10 + \sqrt {14} }}{2}}\end{array}} \right.\)

Vì \(a > 4\) nên \(t = \frac{{10 + \sqrt {14} }}{2} \Rightarrow H\left( {\frac{{10 + \sqrt {14} }}{2};\frac{{20 + \sqrt {14} }}{2};5} \right)\)

Vậy \(OH \approx 14,6\).

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Tìm vecto chỉ phương và một điểm nằm trong đường thẳng để viết phương trình đường thẳng.

Lời giải

Ta có tọa độ của trong trọng tâm tam giác \(ABC\) là \(G\left( {2;2; - 1} \right)\)

Vî đường thẳng vuông góc với với mặt phẳng \(\left( P \right)\), suy ra \({\vec u_d} = {\vec n_{\left( P \right)}} = \left( {1;2; - 3} \right)\)

Vậy phương trình đường thẳng là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t + 2}\\{y = 2t + 2}\\{z = - 3t - 1}\end{array}} \right.\).

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Xác định véctơ chỉ phương của đường thẳng.

Lời giải

Dựa vào phương trình chính tắc của phương trình đường thẳng, véctơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\vec u = \left( {5; - 8;7} \right)\).

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Tìm khoảng cách.

Lời giải

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\) và bán kính \(R = 4\)

Ta có \(AI = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {4^2}} = \sqrt {18} > 4\)

Theo giả thiết ta có \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) có cùng bán kính, suy ra \(AI = MI\)

Gọi \(H = \left( {{C_1}} \right) \cap AI \Rightarrow HI \bot \left( {{C_1}} \right) \Rightarrow HI \bot HM \Rightarrow {\rm{\Delta }}HIM\) vuông tại \(H\)

\(K = \left( S \right) \cap HM \Rightarrow OK = R \Rightarrow AI.HI = I{K^2} \Rightarrow HI = \frac{{16}}{{\sqrt {18} }} = \frac{{8\sqrt 2 }}{3}\).

Suy ra \(HM = \sqrt {I{M^2} - I{H^2}} = \sqrt {27 - \frac{{128}}{9}} = \frac{{\sqrt {115} }}{3}\)

Vậy điểm \(M\) thuộc đường tròn tâm \(H\) và có bán kính \(r = \frac{{\sqrt {115} }}{3}\).

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Xác định tâm và bán kính

Lời giải

Từ phương trình mặt cầu ta có \(I\left( {2; - 1; - 2} \right)\) và \(R = 4\).

Đáp án đúng là "98"

Phương pháp giải

Gắn hệ trục tọa độ

Lời giải

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(M\) và cắt các trục tọa độ \(Ox,Oy,Oz\) lần lượt tại các điểm \(A,B,C\) sao cho \(M\) là trực tâm của tam giác \(ABC\), suy ra \(OABC\) là tứ diện vuông, tức là \(OM \bot \left( {ABC} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) qua \(M\left( {1;2; - 2} \right)\) có véc tơ chỉ phương là \(\overrightarrow {OM}  = \left( {1;2;3} \right)\) có phương trình \(x + 2y + 3z + 14 = 0\).

Giao điểm \(A\) với \(Ox:A\left( { - 14;0;0} \right)\).

Giao điểm \(B\) với \(Oy:B\left( {0; - 7;0} \right)\)

Giao điểm \(C\) với \(Oz:C\left( {0;0;\frac{{14}}{3}} \right)\)

\(\overrightarrow {AB}  = \left( {14; - 7;0} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( {14;0;\frac{{14}}{3}} \right)\), suy ra \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - \frac{{98}}{3}; - \frac{{196}}{3};98} \right)\)

\({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( { - \frac{{98}}{3}} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{{196}}{3}} \right)}^2} + {{98}^2}}  = \frac{{98\sqrt {14} }}{3}\).

\(d\left( {S;\left( P \right)} \right) = d\left( {S;\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 6 - 12 + 14} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {3^2}} }} = \frac{9}{{\sqrt {14} }}\).

\({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.d\left( {S;\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{1}{3}.\frac{{98\sqrt {14} }}{3}.\frac{9}{{\sqrt {14} }} = 98\).

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Công thức đếm.

Lời giải

Chọn 2 sản phẩm tốt từ 8 sản phẩm tốt trong hộp loại II: \(C_8^2 = 28\).

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Tính xác suất.

Lời giải

Gọi A là biến cố "Chọn được hộp loại I từ thùng"

B là biến cố "Chọn được hộp loại II từ thùng"

C là biến cố "Hai sản phẩm lấy ra đều là sản phẩm tốt"

Suy ra \(P\left( A \right) = \frac{2}{5},P\left( B \right) = \frac{3}{5}\).

Ta có

Xác suất lấy được 2 sản phẩm tốt từ hộp loại I: \(P\left( {C\mid A} \right) = \frac{{C_{14}^2}}{{C_{16}^2}} = \frac{{91}}{{120}}\).

Xác suất lấy được 2 sản phẩm tốt từ hộp loại II: \(P\left( {C\mid B} \right) = \frac{{C_8^2}}{{C_{12}^2}} = \frac{{14}}{{33}}\).

Vậy xác suất hai sản phẩm lấy ra từ một hộp trong thùng đều là sản phẩm tốt

\(P\left( C \right) = P\left( {C|A} \right).P\left( A \right) + P\left( {C|B} \right).P\left( B \right) = \frac{{1841}}{{3300}}\).

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Sử dụng công thức Bayes

Lời giải

Áp dụng công thức Bayes: \(P\left( {B\mid C} \right) = \frac{{P\left( {CB} \right).P\left( B \right)}}{{P\left( C \right)}} = \frac{{120}}{{263}}\).

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Căn cứ vào nghĩa, từ loại,…

Dạng bài tìm từ khác loại

Lời giải

- Phân tích nghĩa của từ:

+ Trí tuệ: khả năng nhận thức lí tính đạt đến một trình độ nhất định.

+ Trí năng: năng lực hiểu biết và suy nghĩ.

+ Trí lực: năng lực trí tuệ.

+ Trí mạng: có thể nguy hiểm đến tính mạng.

- Có thể thấy, các từ trí tuệ, trí năng, trí lực đều là các danh từ chỉ sự hiểu biết, trình độ của con người.

- Từ trí mạng lại là một tính từ chỉ sự nguy hiểm đến tính mạng con người.

=> Từ mà nghĩa của nó KHÔNG cùng nhóm với các từ còn lại là: trí mạng.

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Căn cứ vào kiến thức phần cụm từ

Dạng bài tìm từ khác loại

Lời giải

Phân tích, loại trừ:

- đã vén tấm màn gió màu lá úa, đang nhớ lại câu chuyện ngày hôm đó, sẽ họp vào ngày mai đều là cụm động từ.

- những cành hoa cải vàng óng là cụm danh từ.

=> Cụm từ KHÔNG cùng nhóm với các cụm từ còn lại là: những cành hoa cải vàng óng

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Căn cứ vào nghĩa, từ loại,…

Dạng bài tìm từ khác loại

Lời giải

- Phân tích nghĩa của từ:

+ Thanh bạch: trong sạch, giản dị trong lối sống, luôn giữ phẩm chất của mình, không để cho sự giàu sang cám dỗ.

+ Thanh cao: trong sạch và cao thượng.

+ Thanh khiết: trong sạch, thuần khiết.

+ Thanh danh: tiếng tăm tốt.

- Các từ thanh bạch, thanh cao, thanh khiết đều là những tính từ chỉ lối sống đẹp, sống trong sạch.

- Từ thanh danh là danh từ chỉ tiếng tăm tốt của con người.

-> Từ mà nghĩa của nó KHÔNG cùng nhóm với các từ còn lại là: thanh danh.

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Căn cứ vào nghĩa, từ loại,…

Tổng - phân - hợp

Lời giải

- Phân tích nghĩa của từ:

+ Đầy ắp: đầy đến mức chỉ chực tràn ra ngoài, không thể dồn chứa hoặc chất thêm được nữa.

+ Tràn đầy: ở trạng thái có nhiều đến mức không còn có thể chứa đựng thêm một chút nào nữa.

+ Tràn ngập: có rất nhiều, đến mức như bao phủ, che lấp hết cả bề mặt.

+ Tràn trề: có nhiều đến mức như không chứa hết được mà phải để tràn bớt ra ngoài.

-> Từ “tràn ngập” có nghĩa là bao phủ, che lấp hết cả bề mặt, nhấn mạnh đến sự phổ biến, bao phủ không gian. Trong khi đó, các từ còn lại (đầy ắp, tràn đầy, tràn trề) đều chỉ trạng thái của sự vật hoặc chất lỏng có nhiều đến mức không thể chứa thêm, liên quan đến mức độ đầy trong không gian chứa.

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Căn cứ vào nghĩa, từ loại,…

Tổng - phân - hợp

Lời giải

- Giả vờ, giả bộ, và giả đò đều có nghĩa là hành động giả tạo, đóng kịch, làm ra vẻ khác với thực tế để đánh lừa người khác về hành động hoặc cảm xúc.

- Giả danh lại có nghĩa là mạo danh, sử dụng tên hoặc danh phận không phải của mình, nhằm che giấu danh tính thật hoặc để đạt mục đích khác.

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Căn cứ hiểu biết về nghĩa của từ và nội dung câu văn.

Dạng bài điền từ

Lời giải

 - Câu văn trên đề cập đến tác động của một tác phẩm văn học đối với con người.

- Phân tích, loại trừ:

+ Đáp án A sai vì từ “không gian” không phù hợp để điền vào vị trí thứ hai, ở đây câu văn đang đề cập đến quá khứ (“xưa cũ”, “lớp bụi thời gian”) -> từ phù hợp ở vị trí điền thứ hai phải liên quan đến quá khứ.

+ Đáp án B sai vì “nỗi nhớ” chỉ là một khía cạnh cụ thể, không bao quát như từ “tâm hồn”; từ “kỉ niệm” cũng thiên về những trải nghiệm đáng ghi nhớ, không khái quát bằng “kí ức”.

+ Đáp án C đúng vì “chạm vào tâm hồn” thường dùng để diễn tả sự tác động sâu sắc đến cảm xúc, tư tưởng của con người; “những mảng kí ức”: diễn tả những hình ảnh, sự kiện trong quá khứ mà con người nhớ về.

+ Đáp án D sai vì “lương tri” ám chỉ đạo đức, ý thức đúng sai, nhưng tác phẩm trong ngữ cảnh này không nhấn mạnh vào khía cạnh đạo đức.

=> Từ/ cụm từ thích hợp nhất để điền vào chỗ trống trong câu văn trên là: tâm hồn/ kí ức.

Câu hoàn chỉnh: Tác phẩm đã chạm vào tâm hồn của những ai từng sinh ra và lớn lên ở mảnh đất này, dùng thứ ngôn ngữ ngày xưa cũ, rặt Sài Gòn với những mảng ký ức tưởng chừng như phủ lớp bụi thời gian.

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Căn cứ hiểu biết về nội dung câu văn.

Dạng bài điền từ

Lời giải

 - Câu văn nói về quy luật phát triển trong cuộc sống và công việc. Trong câu hỏi này, đi từ vị trí điền thứ hai sẽ dễ dàng hơn trong việc lựa chọn đáp án đúng.

- Phân tích, loại trừ:

+ Đáp án A sai vì “hôm qua” đã được nhắc ở vế trước, nên không thể lặp lại ở vế sau.

+ Đáp án B đúng vì “ngày mai” tạo nên sự đồng bộ theo thời gian và phù hợp với trường từ ngữ chỉ thời gian được nhắc trong vế câu: hôm qua – hôm nay – ngày mai.

+ Đáp án C sai vì “quá khứ” không phù hợp trong ngữ cảnh này, vì đoạn văn đang nhấn mạnh sự cải tiến trong tương lai.

+ Đáp án D sai vì “tương lai” không cụ thể và không tạo hiệu ứng như “ngày mai”

=> Từ/cụm từ thích hợp nhất để điền vào chỗ trống trong câu văn trên là: phát triển/ ngày mai.

Câu hoàn chỉnh: Có một quy luật luôn đúng với mọi người, mọi ngành nghề, đó là muốn phát triển thì phải luôn nghĩ mới, làm mới, sao cho hôm nay phải khác hôm qua, và ngày mai phải khác hôm nay.

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Căn cứ hiểu biết về nội dung câu văn.

Dạng bài điền từ

Lời giải

- Câu văn yêu cầu điền cặp quan hệ từ để phù hợp với ý nghĩa các vế trong câu, vì thế, ta cùng phân tích mối quan hệ giữa các vế câu:

+ Vế 1: FRT chủ yếu được đào tạo dựa trên khuôn mặt của nam giới da trắng

+ Vế 2: khi áp dụng công nghệ này cho dữ liệu liên quan đến khuôn mặt của người không phải da trắng hoặc nữ giới, sẽ xảy ra những vấn đề thiên kiến dẫn đến những quyết định dựa trên FRT thiếu chính xác

-> Hai vế câu biểu thị quan hệ giả thiết – kết quả (nếu công nghệ đó dựa trên khuôn mặt của nam giới da trắng sẽ dẫn đến hệ quả là thiếu chính xác trên đối tượng nữ giới và người không phải da trắng)

=> Từ/ cụm từ thích hợp nhất để điền vào chỗ trống trong câu văn trên là: Nếu/ thì.

- Cặp từ "Vì/ nên" (b) không phù hợp trong câu này vì chúng mang tính nhân quả, tức là "vì" chỉ nguyên nhân và "nên" chỉ kết quả. Tuy nhiên, câu bạn đưa ra đang miêu tả một tình huống giả định: "Nếu FRT chủ yếu được đào tạo dựa trên khuôn mặt của nam giới da trắng, thì sẽ xảy ra vấn đề thiên kiến khi áp dụng công nghệ này cho các dữ liệu kháC." "Vì" là một nguyên nhân đã xảy ra, nhưng ở đây bạn đang nói về một trường hợp giả định (FRT chủ yếu được đào tạo dựa trên khuôn mặt của nam giới da trắng), nên phải dùng "Nếu" để diễn tả giả định, và "thì" để chỉ ra kết quả sẽ xảy ra khi điều kiện đó được thỏa mãn.

Câu hoàn chỉnh: Nếu FRT chủ yếu được đào tạo dựa trên khuôn mặt của nam giới da trắng, thì khi áp dụng công nghệ này cho dữ liệu liên quan đến khuôn mặt của người không phải da trắng hoặc nữ giới, sẽ xảy ra những vấn đề thiên kiến dẫn đến những quyết định dựa trên FRT thiếu chính xác.