Đề thi cuối kì 1 Toán 8 sưu tầm (Đề 2)

a) Ta có:

Ngày thứ hai, một lít xăng RON 95 có giá là:

$17476+17476.1\%=17650,76$ (đồng)

Ngày thứ ba, một lít xăng RON 95 có giá là:

$17650,76+17650,76.2\%=18003,7752$ (đồng)

a) Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật.

$\mathrm{\Delta ABC}$ vuông tại A $\Rightarrow \widehat{\mathrm{BAC}}={90}^{\circ }$

Vì $\mathrm{HE}\perp \mathrm{AB}$, $\mathrm{HF}\perp \mathrm{AC}$ nên $\widehat{\mathrm{HEA}}={90}^{\circ },\widehat{\mathrm{HFA}}={90}^{\circ }$.

Xét tứ giác AEHF ta có:

$\widehat{\mathrm{EAF}}=\widehat{\mathrm{HEA}}=\widehat{\mathrm{HFA}}={90}^{\circ }$

Suy ra, tứ giác AEHF là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết).

b) Gọi D là điểm đối xứng của A qua F. Chứng minh DHEF là hình bình hành.

Vì AEHF là hình chữ nhật suy ra EH // AF và EH = AF (tính chất của hình chữ nhật)

Vì D là tâm đối xứng của A qua F nên F là trung điểm của AD. Suy ra, AF = FD.

Do đó, EH // FD và EH = FD.

Suy ra, DHEF là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

c) Gọi I là giao điểm của EF và AH; M là trung điểm của BC. Qua A kẻ tia Ax vuông góc với đường thẳng MI cắt tia CB tại K. Chứng minh 4 điểm K, E, I, F thẳng hàng.

+) Vì I là giao điểm của EF và AH nên ba điểm E, I, F thẳng hàng.

+) Gọi O là giao điểm của EF và AM.

Vì AM là đường trung tuyến của $\mathrm{\Delta ABC}$ nên AM = MC suy ra $\mathrm{\Delta AMC}$ cân tại M. Do đó, $\widehat{\mathrm{MAC}}=\widehat{\mathrm{MCA}}$.

Vì EHFA là hình chữ nhật, có I là giao điểm hai đường chéo nên ta có $\widehat{\mathrm{IAF}}=\widehat{\mathrm{IFA}}$.

Xét $\mathrm{\Delta AHC}$ ta có: $\widehat{\text{HAC}}\text{+}\widehat{\text{HCA}}{\text{=90}}^{\circ }$ hay $\widehat{\text{IAF}}\text{+}\widehat{\text{MCA}}{\text{=90}}^{\circ }$

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{IFA}}+\widehat{\mathrm{MAC}}={90}^{\circ }$ hay $\widehat{\mathrm{OFA}}+\widehat{\mathrm{OAF}}={90}^{\circ }$

Xét $\mathrm{\Delta OAF}$ có $\widehat{\mathrm{OFA}}+\widehat{\mathrm{OAF}}={90}^{\circ }$ suy ra $\widehat{\mathrm{AOF}}={90}^{\circ }$

=> EF vuông góc với AM tại O hay IF vuông góc với AM tại O.

+) Xét $\mathrm{\Delta KAM}$ ta có:

$\mathrm{GM}\perp \mathrm{KA}$ tại G

$\mathrm{AH}\perp \mathrm{KM}$ tại H

Mà I là giao điểm của AH và GM nên I là trực tâm của $\mathrm{\Delta KAM}$.

$\Rightarrow \mathrm{KI}\perp \mathrm{AM}$ mà $\mathrm{IF}\perp \mathrm{AM}$

=> K, I, F thẳng hàng.

Ta có:

Ba điểm E, I, F thẳng hàng.

Ba điểm K, I, F thẳng hàng.

=>  Bốn điểm I, K, E, F thẳng hàng.

Ta có ${\left(\mathrm{x}-\mathrm{y}\right)}^2={\mathrm{x}}^2-2\mathrm{xy}+{\mathrm{y}}^2$

Ta có:

$\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{x}-1}=\frac{\mathrm{x}}{1-\mathrm{x}}\Rightarrow \frac{\mathrm{A}}{\mathrm{x}-1}=\frac{-\mathrm{x}}{-\left(1-\mathrm{x}\right)}$

$\Rightarrow \frac{\mathrm{A}}{\mathrm{x}-1}=\frac{-\mathrm{x}}{\mathrm{x}-1}\Rightarrow \mathrm{A}=-\mathrm{x}$

Ta có: $\left(2{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}\right):\mathrm{x}=2{\mathrm{x}}^2:\mathrm{x}+\mathrm{x}:\mathrm{x}=2\mathrm{x}+1$

Ta có: $\frac{2\mathrm{x}-2\mathrm{y}}{\mathrm{x}-\mathrm{y}}=\frac{2\left(\mathrm{x}-\mathrm{y}\right)}{\mathrm{x}-\mathrm{y}}=2$

Diện tích của thửa ruộng hình chữ nhật là: $20.5=100\left({\mathrm{m}}^2\right)$

a) Chứng minh rằng tứ giác ADME là hình chữ nhật.

$\mathrm{\Delta ABC}$ vuông tại $\mathrm{A}\Rightarrow \mathrm{AB}\perp \mathrm{AC}$ ($\widehat{\mathrm{BAC}}={90}^{\circ }$)

Theo giả thiết, ta có:

+) $\left.\begin{array}{l}\mathrm{MD}\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\mathrm{AB}\\ \mathrm{AB}\perp \mathrm{AC}\end{array}\right\}\Rightarrow \mathrm{MD}\perp \mathrm{AC}$ (quan hệ từ vuông góc đến song song)

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{MDA}}={90}^{\circ }$

+) $\left.\begin{array}{l}\mathrm{ME}\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\mathrm{AC}\\ \mathrm{AB}\perp \mathrm{AC}\end{array}\right\}\Rightarrow \mathrm{ME}\perp \mathrm{AB}$ (quan hệ từ vuông góc đến song song)

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{MED}}={90}^{\circ }$

Xét tứ giác ADME ta có: $\widehat{\mathrm{BAC}}=\widehat{\mathrm{MED}}=\widehat{\mathrm{MDA}}={90}^{\circ }$

=> Tứ giác ADME là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết)

b) Nếu AB = AC thì các tứ giác ADME, BEDC là hình gì? Vì sao?

*) Xét $\mathrm{\Delta ABC}$ ta có:

+) $\left.\begin{array}{l}\mathrm{BM}=\mathrm{MC}\\ \mathrm{MD}\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\mathrm{AB}\end{array}\right\}\Rightarrow \mathrm{MD}$ là đường trung bình trong $\mathrm{\Delta ABC}$.

$\Rightarrow \mathrm{AD}=\mathrm{DC}=\frac{\mathrm{AC}}{2}$

+) $\left.\begin{array}{l}\mathrm{BM}=\mathrm{MC}\\ \mathrm{ME}\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\mathrm{AD}\end{array}\right\}\Rightarrow \mathrm{ME}$ là đường trung bình trong $\mathrm{\Delta ABC}$.

$\Rightarrow \mathrm{AE}=\mathrm{EB}=\frac{\mathrm{AB}}{2}$

Nếu AB = AC thì AD = AE.

Mà tứ giác ADME là hình chữ nhật => Tứ giác ADME là hình vuông (dấu hiệu nhận biết)

Vậy nếu AB = AC thì tứ giác ADME là hình vuông.

*) Xét $\mathrm{\Delta ABC}$ ta có:

$\left.\begin{array}{l}\mathrm{EA}=\mathrm{EB}\\ \mathrm{DA}=\mathrm{DC}\end{array}\right\}\Rightarrow \mathrm{ED}$ là đường trung bình của $\mathrm{\Delta ABC}$

=> ED // BC

=> EDBC là hình thang (dấu hiệu nhận biết)

Nếu AB = AC thì $\mathrm{\Delta ABC}$ là tam giác vuông cân (theo định nghĩa)

Suy ra, $\widehat{\mathrm{ABC}}=\widehat{\mathrm{ACB}}$ (tính chất)

Hay $\widehat{\mathrm{EBC}}=\widehat{\mathrm{DCB}}$.

=> EDCB là hình thang cân (dấu hiệu nhận biết)

Vậy nếu AB = AC thì EDCB là hình thang cân.

Với mọi số nguyên m, n ta có:

+) Vì $\mathrm{m}\left(\mathrm{m}-1\right)\left(\mathrm{m}+1\right)$ là tích ba số nguyên liên tiếp nên $\mathrm{m}\left(\mathrm{m}-1\right)\left(\mathrm{m}+1\right)$ chia hết cho 6

$\Rightarrow \mathrm{nm}\left(\mathrm{m}-1\right)\left(\mathrm{m}+1\right)$ chia hết cho 6

+) Vì $\mathrm{n}\left(\mathrm{n}-1\right)\left(\mathrm{n}+1\right)$ là tích ba số nguyên liên tiếp nên $\mathrm{n}\left(\mathrm{n}-1\right)\left(\mathrm{n}+1\right)$ chia hết cho 6

$\Rightarrow \mathrm{mn}\left(\mathrm{n}-1\right)\left(\mathrm{n}+1\right)$ chia hết cho 6

$\Rightarrow {\mathrm{m}}^3\mathrm{n}-{\mathrm{mn}}^3$ chia hết cho 6 (Tính chất chia hết của một hiệu)

Vậy với mọi số nguyên m, n ta đều có ${\mathrm{m}}^3\mathrm{n}-{\mathrm{mn}}^3$ chia hết cho 6.

Thu nhập tháng 12 của ông Bình là:

$15.000.000-15.000.000.10\%=13.500.000$ (đồng)

Tháng 12 ông Bình chi tiêu hết số tiền là:

$12.000.000+12.000.000.10\%=13.200.000$ (đồng)

Vì 13.200.000 đồng < 13.500.000 đồng nên tháng 12 ông Bình vẫn để dành được tiền và để dành được:

$13.500.000-13.200.000=300.000$ (đồng)

a) Chứng minh: OE // BC

Xét tam giác ABC có:

O là trung điểm của AB

E là trung điểm của AC

=> OE là đường trung bình của tam giác ABC

=> OE // BC (định lý đường trung bình trong tam giác)

b) Từ A vẽ  $\mathrm{AH}\perp \mathrm{BC}$ tại H. Gọi K là điểm đối xứng của H qua O. Chứng minh tứ giác AHBK là hình chữ nhật.

Vì K là điểm đối xứng của H qua O nên O là trung điểm của HK.

Xét tứ giác AHBK ta có:

O là trung điểm của HK

O là trung điểm của AB

O là giao điểm của đường chéo HK và AB.

Suy ra, tứ giác AHBK là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

Mặt khác, $\mathrm{AH}\perp \mathrm{BC}$ tại H nên $\widehat{\mathrm{AHB}}={90}^{\circ }$

=> Tứ giác AHBK là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết)

c) Giả sử BA = BC. Chứng minh $\mathrm{EH}\perp \mathrm{EK}$.

Theo câu a) ta có OE là đường trung bình của tam giác ABC.

$\Rightarrow \mathrm{OE}=\frac{1}{2}\mathrm{BC}$ mà $\mathrm{BA}=\mathrm{BC}\Rightarrow \mathrm{OE}=\frac{1}{2}\mathrm{BA}$ (1)

Ta lại có: AHBK là hình chữ nhật nên AB = HK (tính chất của hình chữ nhật)

$\Rightarrow \mathrm{OK}=\mathrm{OH}=\frac{1}{2}\mathrm{KH}=\frac{1}{2}\mathrm{BA}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: OE = OK = OH

Ta có:

+) OE = OK => $\mathrm{\Delta EOK}$ cân tại O (định nghĩa tam giác cân)

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{OKE}}=\widehat{\mathrm{OEK}}$ (tính chất)

+) OE = OH => $\mathrm{\Delta EOH}$ cân tại O (định nghĩa tam giác cân)

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{OHE}}=\widehat{\mathrm{OEH}}$ (tính chất)

Xét tam giác EKH ta có:

$\widehat{\mathrm{HKE}}+\widehat{\mathrm{KEH}}+\widehat{\mathrm{EHK}}={180}^{\circ }$ (định lý tổng ba góc trong một tam giác)

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{OKE}}+\widehat{\mathrm{OEK}}+\widehat{\mathrm{OHE}}+\widehat{\mathrm{OEH}}={180}^{\circ }$

$\Rightarrow 2\left(\widehat{\mathrm{OEK}}+\widehat{\mathrm{OEH}}\right)={180}^{\circ }$

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{OEK}}+\widehat{\mathrm{OEH}}={90}^{\circ }$

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{KEH}}={90}^{\circ }$

$\Rightarrow \mathrm{EK}\perp \mathrm{EH}$ tại E

Với a, b là hai số thực và a < b ta có:

$\begin{array}{l}{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2=2\left(8+\mathrm{ab}\right)\\ {\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2=16+2\mathrm{ab}\\ {\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2-2\mathrm{ab}-16=0\\ {\left(\mathrm{a}-\mathrm{b}\right)}^2-4^2=0\\ \left(\mathrm{a}-\mathrm{b}-4\right)\left(\mathrm{a}-\mathrm{b}+4\right)=0\\ \Rightarrow \left[\begin{array}{l}\mathrm{a}-\mathrm{b}-4=0\\ \mathrm{a}-\mathrm{b}+4=0\end{array}\right.\\ \Rightarrow \left[\begin{array}{l}\mathrm{a}-\mathrm{b}=4\\ \mathrm{a}-\mathrm{b}=-4\end{array}\right.\end{array}$

Mà a < b nên a – b = -4.

Ta có:

Thay a – b = -4 vào P ta được: $\mathrm{P}={\left(-4\right)}^3+{\left(-4\right)}^2+64=16$

Vậy giá trị của biểu thức P bằng 16 khi ${\text{a}}^2+{\mathrm{b}}^2=2\left(8+\mathrm{ab}\right)$ và a < b.