Đề số 5

Do $ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ là hình lập phương nên $A\text{'}D$ song song với $B\text{'}C$.

$\Delta ACB\text{'}$ đều $\Rightarrow \widehat{ACB\text{'}}=60°$.

Suy ra $\left(AC,A\text{'}D\right)=\left(AC,CB\text{'}\right)=\widehat{ACB\text{'}}=60°$.

Chọn đáp án C

Gọi mặt cầu cần tìm là (S)

Ta có (S) là mặt cầu có tâm $I\left(1;2;-1\right)$ và bán kính R

Vì (S) tiếp xúc với mặt phẳng  nên $\left(P\right):x-2y-2z-8=0$ nên 

$R=d\left(I;\left(P\right)\right)=\frac{\left|1-2.2-2.\left(-1\right)-8\right|}{\sqrt{1^2+{\left(-2\right)}^2+{\left(-2\right)}^2}}=3$

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z+1\right)}^2=9$

Chọn đáp án C

Ta có $AC=a\sqrt{2}$

Vì $\left(SAB\right)\perp \left(ABCD\right);\left(SAD\right)\perp \left(ABCD\right)$ nên $SA\perp \left(ABCD\right)$

Suy ra góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left(ABCD\right)$ là góc giữa $SC$ và $AC$.

Suy ra $\widehat{SCA}={60}^0$ $\Rightarrow SA=a\sqrt{2}.\tan {60}^0=a\sqrt{6}$

Vậy thể tích khối chóp là $V=\frac{1}{3}.a^2.a\sqrt{6}=\frac{a^3\sqrt{6}}{3}$

Chọn đáp án D

Ta có $v\left(t\right)=\underset{}{\overset{}{\int }}a\left(t\right)dt=\underset{}{\overset{}{\int }}\left(3t^2+t\right)dt=t^3+\frac{t^2}{2}+C$

Vận tốc ban đầu của vật là $2m/s\Rightarrow v\left(0\right)=2\Rightarrow C=2$

Vậy vận tốc của vận sau 2s là: $v\left(2\right)=12$

Các điểm $x=x_0$ được gọi là điểm cực trị của hàm số $y=f\left(x\right)\iff x=x_0$ là nghiệm bội lẻ của phương trình $y\text{'}=0$

Ta có: $f\text{'}\left(x\right)=0\iff \left(e^x+1\right)\left(e^x-12\right)\left(x+1\right){\left(x-1\right)}^2=0\iff \left[\begin{array}{l}{e}^x+1=0\\ e^x-12=0\\ x=-1\\ x=1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=\ln 12\\ x=-1\\ x=1\end{array}\right.$

Trong đó ta thấy $x=1$ là nghiệm bội hai của phương trình suy ra $x=1$ không là điểm cực trị của hàm số.

Vậy hàm số có 2 điểm cực trị.

Chọn đáp án B

(C) có tiệm cận đứng là $x=b-1$; tiệm cận ngang là $y=a+1$

Tâm đối xứng của (C) là giao điểm của hai đường tiệm cận $I\left(b-1;a+1\right)$

O là tâm đối xứng của $\left(C\right)\iff I\equiv Ob=1;a=-1\Rightarrow a+b=0$

Chọn đáp án A

Chọn 2 bạn nữ trong 4 bạn thì có $C_4^2$ cách. Ta “buộc” hai bạn này vào nhau coi như một bạn nữ thông thường. Có 2 cách để “buộc” như thế ( vì có thể là ab hoặc ba). Lúc này nhóm học sinh gồm có 6 bạn nam và 3 bạn nữ ( trong đó có 1 bạn nữ “đặc biệt”). Ta xếp vị trí cho các bạn nam trước thì có 6! Cách. Giữa các bạn nam có 5 vị trí xen kẽ với 2 vị trí đầu hàng và cuối hàng bây giờ ta xếp 3 bạn nữ vào 3 trong 7 vị trí kia thì có $A_7^3$ cách. Vậy xác xuất cần tìm bằng $\frac{2C_6^{4}6!A_7^3}{10!}=\frac{1}{2}.$

Chọn đáp án D

Đặt $z=x+yi\left(x,y\in ℝ\right),$suy ra $\overline{z}=x-yi.$

Ta có $z+2-3i=2\overline{z}\iff \left(x+2\right)+\left(y-3\right)i=2\text{x}-2yi.$

Đồng nhất hệ số ta có $\left\{\begin{array}{l}x+2=2\text{x}\\ y-3=-2y\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=1\end{array}\right..$

Vậy số phức $z=2+i.$

Ta có $9^x-{2.3}^{x+1}+m=0$$\iff 3^{2x}-{6.3}^x+m=0$.

Phương trình có hai nghiệm thực $x_1$,$x_2$  thỏa mãn $x_1+x_2=1$$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{\Delta }^{\text{'}}=9-m>0\\ 3^{x_1}+3^{x_2}=6>0\\ 3^{x_1+x_2}=3=m\end{array}\right.\iff m=3$.

Chọn đáp án A

Gọi AI là trung điểm CD, suy ra ABID là hình vuông

$\Rightarrow BI=CI=DI\Rightarrow BD\perp BC$$\Rightarrow \left(SBC\right)\perp \left(SDB\right)$

Mà $SD\perp \left(ABCD\right)\Rightarrow SD\perp BC$ nên $BC\perp \left(SDB\right)$.

Ta có $\left(SBC\right)\cap \left(SDB\right)=SB$, kẻ $DH\perp SB\left(H\in SB\right)\Rightarrow DH\perp \left(SBC\right)$$\Rightarrow DH=d\left(D,\left(SBC\right)\right)$.

Trong tam giác vuông SDB: $\frac{1}{D{H}^2}=\frac{1}{S{D}^2}+\frac{1}{D{B}^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{{\left(a\sqrt{2}\right)}^2}=\frac{3}{2a^2}$.

$\Rightarrow DH=\frac{a\sqrt{6}}{3}$

Vậy $d\left(D,\left(SBC\right)\right)=$$\frac{a\sqrt{6}}{3}$.

Vì $DI\cap \left(SBC\right)=C$$\Rightarrow \frac{d\left(I,\left(SBC\right)\right)}{d\left(D,\left(SBC\right)\right)}=\frac{IC}{DC}=\frac{1}{2}$.

Do AI song song với BC nên AI song song với mặt phẳng (SBC)

$\Rightarrow d\left(A,\left(SBC\right)\right)=d\left(I,\left(SBC\right)\right)=\frac{1}{2}d\left(D,\left(SBC\right)\right)=\frac{a\sqrt{6}}{6}$.

Vậy $d\left(A,\left(SBC\right)\right)=\frac{a\sqrt{6}}{6}$.

Chọn đáp án B

TH 1: Nếu m = 1 $\Rightarrow$ y = 0 suy ra hàm số không có cực trị.

Vậy m = 1 không thỏa mãn.

TH 2: nếu m ≠ 1

Ta có: $y\text{'}=4\left(m-1\right)x^3$

$y\text{'}=0\iff x=0$

Để hàm số đạt cực đại tại x = 0 thì y' phải đổi dấu từ + sang - qua x = 0.

Khi đó $4\left(m-1\right)<0\iff m<1$.

Vậy m < 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn đáp án A

Phương trình $\left(P\right):y=a{x}^2,$

 $\left(P\right)$ qua $A\left(1;-1\right)\Rightarrow a=-1$

Phương trình tiếp tuyến $\Delta$ của (P) tại A là $y=f^{\text{'}}\left(1\right)\left(x-1\right)-1=-2\left(x-1\right)-1=-2x+1$

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị: là $\left\{\begin{array}{l}\left(P\right):y=-x^2\\ \Delta :y=-2x+1\end{array}\right.$

là $S=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(-2x+1+x^2\right)dx=\frac{1}{3}.$

Chọn đáp án C

Do  $\widehat{MON}=30°$nên áp dụng định lí cosin ta tính ra được MN = 1. Khi đó $\Delta OMP$ có MN đồng thời là đường cao và đường trung tuyến, suy ra $\Delta OMP$ cân tại $M\Rightarrow PM=OM=2$

Áp dụng định lí đường trung tuyến cho $\Delta OMP$ ta có

$O{I}^2=\frac{O{M}^2+O{P}^2}{2}-\frac{M{P}^2}{4}=7$

Vậy $S=2PM.OI=2.2\sqrt{7}=4\sqrt{7}$

Chọn đáp án C

Phương trình của tham số của đường thẳng d là:$\left\{\begin{array}{c}x=t\\ y=-1+2t\\ z=2-t\end{array}.\right.$

Gọi A là giao điểm của (P) và d. Khi đó tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{c}x=t\\ y=-1+2t\\ z=2-t\\ x+y+z-3=0\end{array}\right.$ Suy ra $A\left(1;1;1\right)$. Đường thẳng d có vec-tơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_d}=\left(1;2;-1\right)$, mặt phẳng có vec-tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}=\left(1;1;1\right)$. Gọi (Q) là mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với (P). Khi đó (Q) có vec-tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_Q}=\left[\overrightarrow{u_d},\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}\right]=\left(3;-2;-1\right)$. Đường thẳng $\Delta$ là hình chiếu vuông góc của d lên (P) chính là giao tuyến của (P) và (Q). Suy ra vec-tơ chỉ phương của$\Delta$ là $\overrightarrow{u}=\left[\overrightarrow{n_{\left(P\right)}},\overrightarrow{n_{\left(Q\right)}}\right]=\left(1;4;-5\right).$

Vậy hình chiếu vuông góc của d trên (P) có phương trình là $\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{4}=\frac{z-1}{-5}.$

Chọn đáp án C

+ Tính $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}f\left(\sin x\right)\cos xdx$. Đặt $\sin x=t\Rightarrow \cos xdx=dt$. Đổi cận $\left\{\begin{array}{l}x=0\Rightarrow t=0\\ x=\frac{\pi }{2}\Rightarrow t=1\end{array}\right.$

Do đó $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}f\left(\sin x\right)\cos xdx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(t\right)dt=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(5-t\right)dt=\left(5t-\frac{t^2}{2}\right)\left|\begin{array}{l}{}^1\\ {}_0\end{array}\right.=\frac{9}{2}$

+ Tính $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(3-2x\right)dx$. Đặt $t=3-2x\Rightarrow dt=-2dx\Rightarrow dx=\frac{-dt}{2}$

Đổi cận $\left\{\begin{array}{l}x=0\Rightarrow t=3\\ x=1\Rightarrow t=1\end{array}\right.$

Do đó $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(3-2x\right)dx=\underset{3}{\overset{1}{\int }}f\left(t\right).\frac{-dt}{2}=\frac{1}{2}\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(t\right)dt=\frac{1}{2}\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(x^2+3\right)dt=\frac{1}{2}\left(\frac{x^3}{3}+3x\right)\left|\begin{array}{l}{}^3\\ {}_1\end{array}\right.=\frac{22}{3}$

Vậy $I=2.\frac{9}{2}+3.\frac{22}{3}=31$

Chọn đáp án B

Xét hàm số $y=4f\left(\sin x\right)+\cos 2x-a$