Đề minh họa tốt nghiệp THPT môn Toán có đáp án năm 2026 (Đề 17)
22 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án.
có đồ thị như hình vẽ. Điểm cực đại của đồ thị hàm số có tọa độ là
.
.
.
.
. Chọn C.Cho hàm số 
có bảng biến thiên:
Khẳng định nào sau đây là sai?
Hàm số không có giá trị lớn nhất và có giá trị nhỏ nhất bằng 
.
Hàm số có hai điểm cực trị.
Đồ thịhàm số có hai tiệm cận ngang.
Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 
và giá trị nhỏ nhất bằng 
.
Hàm số không có giá trị lớn nhất do: 
.
Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 
tại 
.
Hàm số có hai điểm cực trị là và 
(đạo hàm đổi dấu).
Ta có và 
nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là 
và 
. Chọn D.
Cho hàm số 
xác định trên 
và có bảng biến thiên như hình vẽ:
Tổng số tiệm đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là
2.
0.
3.
1.
Ta có 
nên 
là đường tiệm cận đứng.
+) 
nên 
là đường tiệm cận ngang.
+) 
nên 
là đường tiệm cận ngang.
Vậy đồ thị hàm số 
có 3 đường tiệm cận. Chọn C.
có tiệm cận xiên là đường thẳng
Ta có: 
.
Ta có 
.
Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là: 
. Chọn D.
là
.
.
.
.
. Chọn A.
và 
. Khi đó 
bằng
.
.
.
.
Ta có 
.
Chọn A.
Bảng sau thống kê khối lượng một số quả măng cụt được lựa chọn ngẫu nhiên trong một thùng hàng.
Khối lượng (gam) |
|
|
|
|
|
Số quả |
|
|
|
|
|
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:
.
.
.
.
. Chọn A.Một siêu thị thống kê số tiền (đơn vị: chục nghìn đồng) mà 44 khách hàng mua hàng ở siêu thị đó trong một ngày. Số liệu được cho ở bảng dưới đây.
Nhóm | Giá trị đại diện | Tần số |
| 42,5 | 4 |
| 47,5 | 14 |
| 52,5 | 8 |
| 57,5 | 10 |
| 62,5 | 6 |
| 67,5 | 2 |
|
|
|
Biết số trung bình của mẫu số liệu đã cho là 
. Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên (kết quả làm tròn đến hàng phần mười) là
.
.
.
.
Ta có: 
Vậy phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: 
. Chọn B.
, cho hai vectơ 
và 
. Toạ độ vectơ 
là:
.
.
.
.
. Chọn C.
phương trình mặt phẳng đi qua điểm 
và có vectơ pháp tuyến 
là:
và có vectơ pháp tuyến 
là: 
. Chọn B.
, cho đường thẳng 
. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của 
?
.
.
.
.
là 
. Chọn B.
, phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu 
tâm 
, đi qua điểm 
?
.
.
.
.
Vì mặt cầu 
có tâm 
, đi qua điểm 
nên mặt cầu có tâm và có bán kính 
.
Ta có: 
. Suy ra 
.
Vậy 
. Chọn B.
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Theo báo cáo của một cơ sở sản xuất nước tinh khiết, nếu mỗi ngày cơ sở này sản xuất 
nước tinh khiết thì phải trả chi phí các khoản sau: 3 triệu đồng chi phí cố định; 
triệu đồng cho mỗi mét khối sản phẩm; 
triệu đồng chi phí bảo dưỡng máy móc. Biết công suất tối đa mỗi ngày của cơ sở này là 
. Gọi 
là chi phí sản xuất sản phẩm mỗi ngày và 
là chi phí trung bình mỗi mét khối sản phẩm.
a) 
(triệu đồng).
b) Chi phí sản xuất 
nước tinh khiết là 20 triệu đồng.
c) 
(triệu đồng).
d) Chi phí trung bình mỗi mét khối sản phẩm thấp nhất khi sản lượng nước tinh khiết sản xuất trong ngày là .
a) Sai. Vì cơ sở sản xuất 
nước tinh khiết thì phải trả chi phí các khoản sau: 3 triệu đồng chi phí cố định; 
triệu đồng cho mỗi mét khối sản phẩm; 
chi phí bảo dưỡng máy móc, do đó chi phí sản xuất sản phẩm mỗi ngày là:
(triệu đồng).
b) Sai. Chi phí sản xuất 
nước tinh khiết là:
(triệu đồng).
c) Đúng. Ta có 
(triệu đồng).
d) Đúng.
Hàm chi phí trung bình mỗi mét khối sản phẩm là 
, 
.
Đặt 
, .
.
.
Bảng biến thiên của hàm 
.
Dựa vào BBT thì chi phí trung bình mỗi mét khối sản phẩm thấp nhất khi sản lượng nước tinh khiết sản xuất trong ngày là 
.
Một công ty đấu thầu 2 dự án. Khả năng thắng thầu của dự án 1 là 
và khả năng thắng thầu của dự án 2 là 
. Khả năng thắng thầu cả 2 dự án là 
.
Gọi 
là biến cố: “Thắng thầu dự án 1”; gọi 
là biến cố: “Thắng thầu dự án 2”.
a) và là hai biến cố độc lập.
b) Xác suất để công ty thắng thầu đúng 1 dự án bằng 
.
c) Xác suất để công ty thắng thầu dự án 2 biết công ty thắng thầu dự án 1 là 
.
d) Xác suất để công ty thắng thầu dự án 2 biết công ty không thắng thầu dự án 1 là 
.
a) Sai. Theo giả thiết suy ra: 
; 
và 
.
Có: 
và 
là hai biến cố không độc lập.
b) Sai. Gọi 
là biến cố: “Thắng thầu đúng 1 dự án” 
mà 
và 
là các biến cố xung khắc 
.
Có: 
; 
.
Vậy 
.
c) Đúng. Gọi 
là biến cố: “Thắng thầu dự án 2 biết công ty thắng thầu dự án 1” 
.
Khi đó: 
.
d) Sai. Gọi 
là biến cố: “Thắng thầu dự án 2 biết công ty không thắng thầu dự án 1” 
.
Khi đó: 
.
Một chất điểm 
xuất phát từ 
, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật 
, trong đó 
(giây) là khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm 
cũng xuất phát từ , chuyển động thẳng cùng hướng với nhưng chậm hơn 10 giây so với và có gia tốc bằng 
(
là hằng số). Sau khi xuất phát được 15 giây thì đuổi kịp .
a) Quãng đường chất điểm đi được cho đến khi hai chất điểm gặp nhau là 
b) Vận tốc của chất điểm tại thời điểm 
tính từ lúc xuất phát là 
c) Quãng đường chất điểm đi được cho đến khi 2 chất điểm gặp nhau là 
d) Vận tốc của tại thời điểm đuổi kịp là 
a) Đúng. Do chất điểm 
chuyển động trước chất điểm 
10 giây nên thời gian chất điểm đi được cho đến khi hai chất điểm gặp nhau là 25 giây.
Quãng đường chất điểm đi được cho đến khi hai chất điểm gặp nhau là
.
b) Đúng. Vận tốc của chất điểm tại thời điểm 
tính từ lúc xuất phát là
.
c) Sai. Quãng đường chất điểm đi được cho đến khi 2 chất điểm gặp nhau là
.
d) Đúng. Khi đuổi kịp ta có 
.
Vậy vận tốc của tại thời điểm đuổi kịp là 
.
Trong không gian hệ trục tọa độ 
(đơn vị trên mỗi trục là kilômét), đài kiểm soát không lưu sân bay Cam Ranh – Khánh Hòa ở vị trí 
và được thiết kế phát hiện máy bay ở khoảng cách tối đa 600 km.
Một máy bay của hãng Việt Nam Airlines đang chuyển động theo đường thẳng 
có phương trình 
và hướng về đài kiểm soát không lưu (như hình vẽ).
a) Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài vùng phát sóng của đài kiểm soát không lưu trong không gian là 
.
b) Quãng đường mà máy bay nhận được tín hiệu của đài kiểm soát không lưu là 
km.
c) Toạ độ vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất là 
.
d) Khoảng cách ngắn nhất giữa máy bay với đài kiểm soát không lưu xấp xỉ bằng 
km.
a) Đúng. Ranh giới vùng phủ sóng của đài kiểm soát không lưu là mặt cầu 
tâm 
, bán kính 
km.
Ta có phương trình mặt cầu 
.
b) Sai. Thay 
vào , ta được:
hoặc 
.
Với 
, ta có 
.
Với , ta có 
.
Có 
và 
là các vị trí mà máy bay xuất hiện và ra khỏi màn hình của đài kiểm soát không lưu.
Vậy quãng đường mà máy bay nhận được tín hiệu của đài kiểm soát không lưu là
km.
c) Đúng. Gọi 
là trung điểm của 
. Ta có 
và 
.
Khi đó, là vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất.
d) Đúng. Khoảng cách ngắn nhất giữa máy bay với đài kiểm soát không lưu chính là 
.
Ta có 
(km).
và 
đang ở cùng một vĩ tuyến và cách nhau 6 hải lí. Cả hai tàu đồng thời cùng khởi hành. Tàu chạy về hướng Nam với vận tốc 5 hải lí/ giờ, còn tàu chạy về vị trí hiện tại của tàu với vận tốc 7 hải lí/ giờ. Hỏi sau bao nhiêu giờ thì khoảng cách giữa hai tàu là bé nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?Đáp án: 
.
Giả sử ban đầu tàu 
ở vị trí và tàu 
ở vị trí . Sau khoảng thời gian 
:
Tàu di chuyển được quãng đường 
về phía Nam đến vị trí 
.
Tàu di chuyển được quãng đường 
đến vị trí 
.
Khoảng cách từ vị trí đến vị trí là 
.
Áp dụng định lý Pythagore ta có: 
Để khoảng cách giữa hai tàu nhỏ nhất, thì hàm số 
đạt giá trị nhỏ nhất.
Hàm số 
đạt giá trị nhỏ nhất tại 
, vậy thời điểm khoảng cách giữa hai tàu bé nhất là khi 
(giờ).
và có độ lớn lần lượt là 
N và 
N. Lực thứ ba vuông góc với mặt phẳng tạo bởi hai lực đã cho và có độ lớn 
N. Tính độ lớn của hợp lực của ba lực trên (làm tròn kết quả đến hàng phần chục theo đơn vị Newton).Đáp án: 26,1.
Gọi Vẽ Khi đó hợp lực tác động vào vật là:
|
|
Áp dụng định lý côsin trong tam giác 
ta có:
.
Vì 
nên 
, suy ra 
là hình chữ nhật.
Do đó tam giác 
vuông tại 
. Ta có 
.
Vậy độ lớn của hợp lực của ba lực đã cho xấp xỉ bằng 26,1 N.
có đáy 
là tam giác đều cạnh bằng 2, 
vuông góc với mặt phẳng 
. Góc giữa đường thẳng 
và mặt phẳng bằng 
. Gọi 
là trung điểm của cạnh 
. Tính khoảng cách từ điểm 
đến mặt phẳng 
, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm.Đáp án: 0,96.
Vì Do Vì |
|
Mặt khác 
và 
, nên kẻ 
tại 
.
Xét tam giác 
vuông tại 
, ta có:
.
Vậy khoảng cách từ điểm 
đến mặt phẳng 
xấp xỉ bằng 
.
lít nước tinh khiết. Người ta bơm vào bể đó nước muối có nồng độ 
gam muối cho mỗi lít nước với tốc độ lít/phút. Giả sử sau 
phút, nồng độ muối của nước trong bể (tỉ số giữa khối lượng muối trong bể và thể tích nước trong bể, đơn vị gam/lít) là một hàm số 
. Khi lượng nước trong bể tăng theo thời gian đến vô hạn thì nồng độ muối của nước trong bể sẽ tăng dần đến giá trị nào?Đáp án: 
.
Sau 
phút, lượng muối trong bể là 
(gam) và lượng nước trong bể lúc này là 
(lít).
Vậy nồng độ muối của nước trong bể sau phút là 
(gam/lít).
Khi lượng nước trong bể tăng theo thời gian đến vô hạn thì ta có
.
Vậy khi lượng nước trong bể tăng theo thời gian đến vô hạn thì nồng độ muối của nước trong bể sẽ tăng dần đến gam/lít.
Một tấm kính làm mặt bàn (H1) có hình dáng tam giác đều với 3 đỉnh được làm cong (H2). Biết cạnh tấm kính tam giác ban đầu bằng 12 dm. Để cắt góc bàn được đẹp thì người ta cắt theo đường cong là đường Parabol 
(H3) có hai nhánh tiếp giáp với hai cạnh của tam giác (H4).
|
|
|
|
H1 | H2 | H3 | H4 |
Khi đó, ta tính được diện tích mặt kính làm mặt bàn (H1) bằng 
. Xác định 
.
Đáp án: 32.
Diện tích tam giác 
bằng 
.
Dựng hệ trục như hình vẽ bên. Vì tam giác Phương trình đường thẳng
Ta có phương trình hoành độ giao điểm của
|
|
.
Diện tích phần tô đậm giới hạn bởi 
, 
và trục 
trong hình trên bằng
.
Vì mặt bàn đối xứng nên diện tích mặt kính làm mặt bàn là:
.
Vậy 
.
và 
trong số đó bị dương tính với viêm gan B. Tuy nhiên, có 
những người không bị xơ gan mặc dù dương tính viêm gan B. Chọn ngẫu nhiên 1 người trong đợt kiểm tra sức khoẻ đó. Giả sử người đó dương tính với viêm gan B. Xác suất người đó bị mắc bệnh xơ gan là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?Đáp án: 0,05.
Xét các biến cố:
“Người được chọn mắc bệnh xơ gan”;
“Người được chọn bị viêm gan B”.
Theo giả thiết ta có: 
; 
.
Theo công thức Bayes, ta có:
.
Vậy nếu người được chọn có dương tính với viêm gan B thì xác suất bị mắc bệnh xơ gan của người đó là khoảng 0,05.
