Đề minh họa tốt nghiệp THPT môn Toán có đáp án năm 2026 (Đề 13)
22 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12.
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Cho hàm số 
có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
.
.
.
.
. Chọn A.
có đồ thị là đường cong trong hình bên dưới. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có tọa độ là
.
.
.
.
. Chọn C.
là
.
.
.
.
.
Ta có 
và 
.
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 1 tiệm cận đứng là đường thẳng 
. Chọn C.
. Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn 
là:
.
.
.
.
Tập xác định của hàm số là 
. Ta có 
.
Do đó, hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng xác định.
Có 
nên 
. Chọn A.
, cho 
. Tọa độ của vectơ 
là
.
.
.
.
là 
. Chọn A.
, mặt phẳng 
đi qua điểm 
và nhận vectơ 
làm vectơ pháp tuyến có phương trình là
.
.
.
.
đi qua điểm 
và nhận vectơ 
làm vectơ pháp tuyến có phương trình là 
. Chọn A.
, điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng 
: 
?
.
.
.
.
, ta thấy điểm 
thỏa mãn. Chọn A.
(đơn vị của các trục tọa độ là kilômét), một trạm thu phát sóng điện thoại di động có đầu thu phát được đặt tại điểm 
. Cho biết bán kính phủ sóng của trạm là 
. Người sử dụng điện thoại đứng ở điểm nào sau đây thì sử dụng được dịch vụ của trạm nói trên?
.
.
.
.
Ta tính khoảng cách từ điểm 
đến các điểm trong các đáp án:
; 
;
;
.Vậy người sử dụng điện thoại đứng ở điểm 
thì sử dụng được dịch vụ của trạm.
Chọn B.
0,5.
0,333.
0,2.
0,667.
Gọi 
là biến cố: “Học sinh làm đúng bài toán đầu tiên”;
là biến cố: “Học sinh làm đúng bài toán thứ hai”.
Ta có 
; 
.
Biến cố 
: “Học sinh làm đúng cả hai bài toán”. Ta có 
.
Xác suất để học sinh làm đúng bài toán thứ hai biết rằng học sinh đã làm đúng bài toán đầu tiên là: 
. Chọn B.
Thống kê điểm thi đánh giá năng lực của một trường THPT qua thang điểm 
đối với môn Toán được cho như bảng sau:
Điểm |
|
|
|
|
|
Số học sinh |
|
|
|
|
|
Điểm trung bình của tất cả các học sinh tham gia dự thi thuộc đoạn nào sau đây?
.
.
.
.
Tổng số HS tham gia dự thi: 
.
Điểm trung bình của các thí sinh dự thi là: 
.
Chọn A.
. 
.
.
.
.
và 
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
.
.
.
.
. Chọn D.PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số 
.
a) 
b) Đạo hàm của hàm số đã cho là 
c) Nghiệm của phương trình 
trên đoạn 
là 
.
d) Giá trị nhỏ nhất của hàm số 
trên đoạn là 
.
a) Đúng. Ta có: 
.
b) Sai. 
.
c) Đúng. 
Suy ra trên đoạn 
, phương trình 
có một nghiệm 
d) Sai. Ta có 
.
Một vật chuyển động với vận tốc được cho bởi đồ thị trong hình bên.
a) Vận tốc của vật tại thời điểm 
được xác định bởi hàm số
.
b) Quãng đường vật đi được trong 1 giây đầu tiên được xác định bởi công thức 
.
c) Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ 1 giây đến 2 giây được xác định bởi công thức 
.
d) Quãng đường mà vật đi được trong 2 giây đầu tiên là 
.
a) Đúng. Ta có phương trình đường thẳng 
là 
, đường thẳng 
là 
.
Do đó ta có công thức hàm vận tốc là: 
.
b) Đúng. Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ a giây đến b giây được xác định bởi công thức 
.
Do đó quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ 0 giây đến 1 giây được xác định bởi công thức 
.
c) Sai. Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ 1 giây đến 2 giây được xác định bởi công thức 
.
d) Đúng. Quãng đường mà vật đi được trong 2 giây đầu tiên là:
.
Biểu đồ dưới đây biểu thị kết quả thu thập được về mức tiền (đơn vị: tỷ đồng) của một số khách hàng nợ ở hai ngân hàng A và B.
a) Bảng giá trị đại diện cho mỗi nhóm và bảng tần số ghép nhóm cho mẫu số liệu tương ứng với biểu đồ trên như sau:
Mức tiền (tỷ đồng) |
|
|
|
|
|
|
Mức tiền đại diện (tỷ đồng) |
|
|
|
|
|
|
Số khách hàng ngân hàng A |
|
|
|
|
|
|
Số khách hàng ngân hàng B |
|
|
|
|
|
|
b) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm của ngân hàng A bằng 
.
c) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm của ngân hàng B bằng 
.
d) Người ta dùng độ lệch chuẩn để so sánh mức độ rủi ro của số tiền khách hàng nợ ngân hàng. Ngân hàng nào có độ lệch chuẩn cao hơn thì có độ rủi ro lớn hơn. Theo quan điểm trên, độ rủi ro của ngân hàng A cao hơn ngân hàng B.
a) Đúng. Từ biểu đồ, ta có bảng thống kê sau:
Mức tiền (tỷ đồng) |
|
|
|
|
|
|
Mức tiền đại diện (tỷ đồng) |
|
|
|
|
|
|
Số khách hàng ngân hàng A |
|
|
|
|
|
|
Số khách hàng ngân hàng B |
|
|
|
|
|
|
b) Sai. Số trung bình của mẫu số liệu ngân hàng A là:
.
Phương sai của mẫu số liệu ngân hàng A là:
.
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ngân hàng A là: 
.
c) Sai. Số trung bình của mẫu số liệu ngân hàng B là:
.
Phương sai của mẫu số liệu ngân hàng B là:
.
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ngân hàng B là: 
.
d) Sai. Vì 
nên rủi ro của ngân hàng A thấp hơn rủi ro của ngân hàng B khi cho khách hàng vay nợ.
Trong không gian với hệ tọa độ 
, một cabin cáp treo xuất phát từ điểm 
và chuyển động đều theo đường cáp có vectơ chỉ phương là 
với tốc độ là 
(đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét).
a) Phương trình tham số của đường cáp là: 
.
b) Giả sử sau thời gian 
kể từ lúc xuất phát 
, cabin đến điểm 
. Khi đó tọa độ điểm là 
.
c) Cabin dừng ở điểm 
có hoành độ 
, phương trình mặt phẳng đi qua điểm và vuông góc với đường cáp là 
.
d) Đường cáp 
tạo với mặt phẳng 
một góc 
.
Gắn hệ trục tọa độ 
.
a) Đúng. Phương trình tham số của đường cáp là: 
.
b) Đúng. Do tốc độ di chuyển của cabin là 
nên độ dài 
.
Vì vậy 
với 
.
Ta có 
và 
cùng hướng nên 
với 
.
Suy ra 
.
Gọi tọa độ điểm 
là 
.
Vì 
nên 
.
Vậy điểm có tọa độ là 
.
c) Sai. Do 
nên 
.
Do đó điểm 
.
Phương trình mặt phẳng đi qua điểm 
và vuông góc với đường cáp là:
.
d) Sai. Đường thẳng 
có một vectơ chỉ phương 
và 
có một vectơ pháp tuyến 
. Do đó ta có 
.
Vậy 
.
của năm 2024 (tính từ ngày 01/01/2024) số cá thể sinh vật X trong quần thể được ước lượng bởi hàm số 
(con), 
và ngày 26/09/2024 là ngày có số lượng cá thể sinh vật X nhiều nhất với 
con. Ngày 25/11/2014 số lượng cá thể sinh vật X được ước lượng khoảng bao nhiêu nghìn con (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)?Đáp án: 
.
Năm 2024, tháng một có 31 ngày, tháng hai có 29 ngày, tháng ba có 31 ngày, tháng tư có 30 ngày, tháng năm có 31 ngày, tháng sáu có 30 ngày, tháng bảy có 31 ngày, tháng tám có 31 ngày, tháng chín có 30 ngày, tháng mười có 31 ngày, tháng mười một có 30 ngày.
Ta có 
; 
.
Ngày 26/09/2024 ứng với 
là ngày có số lượng cá thể sinh vật X nhiều nhất với 
con nên hàm số đạt cực đại tại .
;
.
Từ 
suy ra 
, vậy hàm số đã cho là 
.
Thử lại 
; 
.
Bảng biến thiên:
Hàm số đạt cực đại tại .
Ngày 25/11/2014 ứng với 
, khi đó số lượng cá thể sinh vật X được ước lượng khoảng bằng: 
(con) 
(nghìn con).
là thể tích nước bơm được sau 
giây. Cho 
và ban đầu bể không có nước. Sau 3 giây thì thể tích nước trong bể là 
, sau 
giây thì thể tích nước trong bể là 
. Tính thể tích nước trong bể sau khi bơm được 
giây (đơn vị: mét khối). Đáp án: 1458.
Sau 
giây thì thể tích nước trong bể bằng 
. Do đó, ta có:
(1)
(2)
Từ (1), (2) suy ra 
. Khi đó, 
.
Sau khi bơm 
giây thì thể tích nước trong bể là:
.
và về phía Đông 
đồng thời cách mặt đất 
. Chiếc máy bay thứ hai cách điểm xuất phát về phía Bắc 
và về phía Tây 
đồng thời cách mặt đất 
. Chiếc máy bay thứ ba nằm chính giữa của chiếc máy bay thứ nhất và thứ hai, đồng thời ba chiếc máy bay này thẳng hàng. Xác định khoảng cách của chiếc máy bay thứ ba với vị trí tại điểm xuất phát của nó (kết quả làm tròn đến chữ số hàng phần chục theo đơn vị kilômét).Đáp án: 11,6.
Chọn hệ trục tọa độ Chiếc máy bay thứ nhất có tọa độ Chiếc máy bay thứ hai có tọa độ |
|
Do chiếc máy bay thứ ba nằm chính giữa của chiếc máy bay thứ nhất và thứ hai, đồng thời ba chiếc máy bay này thẳng hàng nên chiếc máy bay thứ ba ở vị trí trung điểm, suy ra chiếc máy bay thứ ba có tọa độ 
.
Khoảng cách của chiếc máy bay thứ ba với vị trí tại điểm xuất phát của nó là:
.
là 
. Trong số những học sinh đã tiêm phòng, tỉ lệ mắc bệnh Thủy Đậu là 
, còn trong số học sinh chưa tiêm, tỉ lệ mắc bệnh là 
. Gặp ngẫu nhiên một học sinh ở trường đó. Biết học sinh đó bị bệnh Thủy Đậu. Tính xác suất học sinh đó không tiêm vắc xin phòng bệnh Thủy Đậu (viết kết quả dưới dạng số thập phân và làm tròn đến hàng phần trăm).Đáp án: 
.
Gọi 
là biến cố “Gặp học sinh mắc bệnh Thủy Đậu” và 
là biến cố “Gặp học sinh đã tiêm vắc xin phòng bệnh Thủy Đậu”.
Tỉ lệ học sinh tiêm vắc xin phòng bệnh Thủy Đậu trong trường 
là 
nên 
.
Suy ra 
.
Trong số những học sinh đã tiêm phòng, tỉ lệ mắc bệnh Thủy Đậu là 
còn trong số học sinh chưa tiêm, tỉ lệ mắc bệnh là 
nên 
và 
.
Xác suất gặp học sinh bị bệnh Thủy Đậu là:
.
Xác suất học sinh đó không tiêm vắc xin phòng bệnh Thủy Đậu biết học sinh đó bị bệnh Thủy Đậu là: 
.
năm. Để có được số tiền cả gốc và lãi nhiều hơn 130 triệu đồng thì người đó phải gửi ít nhất bao nhiêu năm? Biết rằng lãi suất không thay đổi qua các năm và người đó không rút tiền ra trong suốt quá trình gửi.Đáp án: 5.
Gọi 
là số năm người đó gửi tiền trong ngân hàng.
Số tiền cả gốc và lãi người đó có được sau năm được tính bởi công thức: 
Để có được số tiền cả gốc và lãi nhiều hơn 130 triệu đồng thì
Do kì hạn gửi là 12 tháng nên để rút được số tiền cả gốc và lãi nhiều hơn 130 triệu đồng thì người đó phải gửi ít nhất 5 năm.
Trong Hoá học, cấu tạo của phân tử ammonia 
có dạng hình chóp tam giác đều mà đỉnh là nguyên tử nitrogen 
và đáy là tam giác 
với 
là vị trí của ba nguyên tử hydrogen 
. Góc tạo bởi liên kết 
, có hai cạnh là hai đoạn thẳng nối 
với hai trong ba điểm (chẳng hạn như 
), được gọi là góc liên kết của phân tử 
. Góc này xấp xỉ 107°. (Nguồn: https://en.wikipedia.org/wiki/Ammonia).
Trong không gian 
, cho một phân tử được biểu diễn bởi hình chóp tam giác đều 
với 
là tâm của đáy. Nguyên tử nitrogen được biểu diễn bởi điểm thuộc trục 
, ba nguyên tử hydrogen ở các vị trí , trong đó 
và 
song song với trục 
(xem hình vẽ). Tính khoảng cách giữa nguyên tử nitrogen với mỗi nguyên tử hydrogen (làm tròn các kết quả tính toán đến hàng phần trăm).
Đáp án: 2,15.
Vì 
.
Giả sử 
.
Theo định lý côsin ta có:
.
Vậy khoảng cách giữa nguyên tử nitrogen với mỗi nguyên tử hydrogen bằng 2,15.
