Đề kiểm tra Phương trình mặt phẳng (có lời giải) - Đề 2

Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho hai vectơ \[\overrightarrow a  = \left( {2;1; - 2} \right)\]và vectơ \[\overrightarrow b  = \left( {1;0;2} \right)\]. Tìm tọa độ vectơ \[\overrightarrow c \]là tích có hướng của \[\overrightarrow a \] và \[\overrightarrow b \].

Trong không gian \[Oxyz\], cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 3y + z + 2 = 0\). Véctơ nào dưới đây là một véctơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\)?

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + z - 5 = 0.\) Điểm nào dưới đây thuộc \(\left( P \right)\)?

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( { - 1;2;0} \right)\) và \(B\left( {3;0;2} \right)\). Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(AB\) có phương trình là

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm \(M\left( {1;2; - 3} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 2;3} \right)\).

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm\[A\left( {5; - 4;2} \right)\]và \(B\left( {1;2;3} \right)\). Viết phương trình của mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A\) và vuông góc với đường thẳng \(AB\).

Trong không gian \[Oxyz\], cho ba điểm \(A\left( { - 1;1;1} \right)\), \(B\left( {2;1;0} \right)\)\(C\left( {1; - 1;2} \right)\). Mặt phẳng đi qua\(A\) và vuông góc với đường thẳng \(BC\) có phương trình là

Trong không gian \[Oxyz\], cho điểm \(M\left( {2\,;\, - 1\,;\,4} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,3x - 2y + z + 1 = 0\). Phương trình của mặt phẳng đi qua \(M\) và song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\) là

Trong không gian \[Oxyz\], tính khoảng cách từ \[M\left( {1;2; - 3} \right)\] đến mặt phẳng \[\left( P \right):\,x + 2y + 2{\rm{z}} - 10 = 0\].

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):ax + by + cz - 9 = 0\) chứa hai điểm \(A\left( {3;2;1} \right)\), \(B\left( { - 3;5;2} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right):3x + y + z + 4 = 0\). Tính tổng \(S = a + b + c\).

Trong không gian \(Oxyz\), điểm \[M\] thuộc trục \[Oy\] và cách đều hai mặt phẳng: \[\left( P \right):x + y - z + 1 = 0\] và \[\left( Q \right):x - y + z - 5 = 0\] có tọa độ là

Trong không gian hệ toạ độ \[Oxyz\], lập phương trình các mặt phẳng song song với mặt phẳng \(\left( \beta  \right):x + y - z + 3 = 0\) và cách \(\left( \beta  \right)\) một khoảng bằng \(\sqrt 3 \).

Trong không gian với hệ tọa độ \({\rm{O}}xyz\), cho ba điểm \(A(1;4;5)\), \(B(3;4;0),C(2; - 1;0)\) và mặt phẳng \((P):3x + 3y - 2z - 29 = 0\). Gọi \(M(a;b;c)\) là điểm thuộc \((P)\) sao cho biểu thức \(T = M{A^2} + M{B^2} + 3M{C^2}\) đạt GTNN. Tính tổng \(a + b + c\).

Trong không gian \[Oxyz\] cho các điểm \[A\left( {2;0;0} \right),B\left( {0;4;0} \right),C\left( {0;0;6} \right),D\left( {2;4;6} \right)\]. Gọi \[\left( P \right)\]là mặt phẳng song song với mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\],\[\left( P \right)\] cách đều \[D\] và mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\]. Phương trình của mặt phẳng \[\left( P \right)\] là \[ax + by + 2z + d = 0\] với \(a,b,d \in \mathbb{Z}\). Giá trị của \(d\) bằng bao nhiêu?

Cho hai điểm \(A\left( {3; - 1;2} \right)\), \(B\left( {2;3; - 3} \right)\), \(C\left( { - 2;1; - 2} \right)\) và mặt phẳng\(\left( {Oyz} \right)\). Gọi \(M(a;b;c)\) là điểm thuộc mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) sao \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MA} \) có giá trị min . Tính tổng \(a - 2b + c\).

Biết góc quan sát ngang của một camera là \(116^\circ \). Trong không gian \(Oxyz\), camera được đặt tại điểm \(A\left( {2;1;5} \right)\) và chiếu thẳng về phía mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y - 2z + 13 = 0\). Hỏi vùng quan sát được trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) của camera là hình tròn có đường kính bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến chữ số hàng chục)

Một phần sân trường được định vị bởi các điểm \(A,B,C,D\), như hình vẽ

Bước đầu chúng được lấy “thăng bằng” để có cùng độ cao, biết \(ABCD\) là hình thang vuông ở \(A\) và \(B\) với độ dài \(AB = 25\,{\rm{m}}\), \(AD = 15\,{\rm{m}}\), \(BC = 18\,{\rm{m}}\). Do yêu cầu kĩ thuật, khi lát phẳng phàn sân trường phải thoát nước về góc sân ở \(C\) nên người ta lấy độ cao ở các điểm \(B\), \(C\), \(D\) xuống thấp hơn so với độ cao ở \(A\) là \(10\,{\rm{cm}}\), \(a\,{\rm{cm}}\), \(6\,{\rm{cm}}\) tương ứng. Giá trị của \(a\) là

Trong tiết thể dục học về kĩ thuật chuyền bóng hơi, Nam và An đang tập chuyền bóng cho nhau, Nam ném bóng cho An đỡ, quả bóng bay lên cao nhưng lại lệch sang phải của Nam và rơi xuống vị trí cách An \(0,5m\) và cách Nam \(4,5m\) được mô tả bằng hình vẽ bên dưới

Biết rằng quỹ đạo của quả bóng nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):ax + \frac{1}{2}y + cx + d = 0\) và vuông góc với mặt đất. Khi đó giá trị của \(a + c + d\) bằng (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).