10 bài tập Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng có lời giải
10 câu hỏi
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y – 2z + 4 = 0. Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với (P)?
2x + y – 2z + 5 = 0;
x + 2y + 2z – 5 = 0;
x + 3y – z + 1 = 0;
x + y + z – 6 = 0.
Đáp án đúng là: B
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {2;1; - 2} \right)\).
Mặt phẳng x + 2y + 2z – 5 = 0 có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;2;2} \right)\).
Vì \(\overrightarrow n .\overrightarrow {{n_1}} = 0\) nên hai mặt phẳng này vuông góc với nhau.
Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng (P): 2x – 3y + z – 4 = 0; (Q): 5x – 3y – 2z – 7 = 0. Vị trí tương đối của (P) và (Q) là:
Cắt nhưng không vuông góc;
Vuông góc;
Trùng nhau;
Song song.
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2; - 3;1} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {5; - 3; - 2} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).
Ta thấy \(\overrightarrow {{n_1}} \ne k\overrightarrow {{n_2}} \left( {k \ne 0} \right)\) suy ra hai vectơ \(\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} \) không cùng phương hay (P) cắt (Q).
Mặt khác \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 17 \ne 0\). Do đó (P) cắt (Q) nhưng không vuông góc.
Trong không gian Oxyz, điều kiện của m để hai mặt phẳng (P): 2x + 2y – z = 0 và (Q): x + y + mz + 1 = 0 cắt nhau là
\(m = - \frac{1}{2}\);
\(m \ne - \frac{1}{2}\);
\(m \ne \frac{1}{2}\);
m ≠ −1.
Đáp án đúng là: B
(P), (Q) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;2; - 1} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;1;m} \right)\).
(P) cắt (Q) khi và chỉ khi hai vectơ pháp tuyến không cùng phương nghĩa là
\(\overrightarrow {{n_1}} \ne k\overrightarrow {{n_2}} \left( {k \ne 0} \right)\) \( \Leftrightarrow \left( {2;2; - 1} \right) \ne k\left( {1;1;m} \right) \Leftrightarrow m \ne - \frac{1}{2}\).
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + (m + 1)y – 2z + m = 0 và (Q): 2x – y + 3 = 0, với m là tham số thực. Để (P) và (Q) vuông góc với nhau thì giá trị thực của m bằng bao nhiêu?
m = −1;
m −5;
m = 1;
m = 3.
Đáp án đúng là: C
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;m + 1; - 2} \right)\) và mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2; - 1;0} \right)\).
Để (P) (Q) \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 0\) \( \Leftrightarrow 2 - m - 1 + 0 = 0 \Leftrightarrow m = 1\).
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): x – 2y − 2z – 3 = 0; (β): 2x − 4y + (m – 1)z – 6 = 0 (m là tham số thực). Tìm m để (α) và (β) song song với nhau.
m = −1;
m = 0;
m = 1;
Không tồn tại m.
Đáp án đúng là: D
Để (α) và (β) song song với nhau thì \(\frac{2}{1} = \frac{{ - 4}}{{ - 2}} = \frac{{m - 1}}{{ - 2}} \ne \frac{{ - 6}}{{ - 3}}\), suy ra không tồn tại m.
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 3x – 5y + 2z + 1 = 0 và (Q): 9x + (m – 11)y + (m2 – 10)z – 4 = 0. Tìm m để mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q).
m = 0;
m = 4;
m = ±4;
m = −4.
Đáp án đúng là: D
(P) //(Q) khi và chỉ khi \(\frac{9}{3} = \frac{{m - 11}}{{ - 5}} = \frac{{{m^2} - 10}}{2} \Leftrightarrow m = - 4\).
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x – 3y + 5z – 1 = 0 và (Q): 4x + (m – 3)y + (m2 + 1)z – 7 = 0 (m là tham số). Tìm m để hai mặt phẳng song song.
m = 3;
m = −3;
m = ±3;
m = 0.
Đáp án đúng là: B
Hai mặt phẳng (P) và (Q) song song \( \Leftrightarrow \frac{4}{2} = \frac{{m - 3}}{{ - 3}} = \frac{{{m^2} + 1}}{5} \ne \frac{{ - 7}}{{ - 1}}\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{m - 3}}{{ - 3}} = 2\\\frac{{{m^2} + 1}}{5} = 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - 3\\m = \pm 3\end{array} \right. \Leftrightarrow m = - 3\).
Trong không gian Oxyz, cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) tương ứng có phương trình 2x + 6y – 4z + 8 = 0, 5x + 15y – 10z + 20 = 0, 6x + 18y – 12z – 24 = 0. Chọn mệnh đề đúng trong bốn mệnh đề sau:
(P) // (Q);
(P) cắt (Q);
(Q) // (R);
(R) cắt (P).
Đáp án đúng là: C
Ta có (P): 2x + 6y – 4z + 8 = 0, (Q): 5x + 15y – 10z + 20 = 0, (R) 6x + 18y – 12z – 24 = 0.
Vì \(\frac{2}{5} = \frac{6}{{15}} = \frac{{ - 4}}{{ - 10}} = \frac{8}{{20}}\) nên (P) ≡ (Q).
Vì \(\frac{5}{6} = \frac{{15}}{{18}} = \frac{{ - 10}}{{ - 12}} \ne \frac{{20}}{{ - 24}}\) nên (Q) // (R).
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng nào sau đây song song với mặt phẳng (Oyz)?
−2x = 0;
−2z – 1 = 0;
2z = 0;
−2x + 1 = 0.
Đáp án đúng là: D
Mặt phẳng song song với mặt phẳng (Oyz) có phương trình Ax + D = 0 (D ≠ 0).
Dựa vào đáp án ta chọn mặt phẳng có phương trình: −2x + 1 = 0.
Trong không gian Oxyz, xác định m, n, p để cặp mặt phẳng (P): 2x + 3y – 4z + p = 0, (Q): mx + (n – 1)y + 8z – 10 = 0 trùng nhau?
m = 4; n = 5; p = −5;
m = −4; n = −5; p = 5;
m = −3; n = −4; p = 5;
m = −2; n = −3; p = 5.
Đáp án đúng là: B
Xét p = 0 không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Xét p ≠ 0 khi đó (P) và (Q) trùng nhau khi và chỉ khi \(\frac{m}{2} = \frac{{n - 1}}{3} = \frac{8}{{ - 4}} = \frac{{ - 10}}{p}\)
m = −4; n = −5; p = 5.
