20 câu trắc nghiệm Toán 12 Kết nối tri thức Bài 14. Phương trình mặt phẳng (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án
20 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN
Trong không gian Oxyz, điểm M(3; 4; −2) thuộc mặt phẳng nào dưới đây?
(S): x + y + z + 5 = 0.
(Q): x – 1 = 0.
(P): z – 2 = 0.
(R): x + y – 7 = 0.
Chọn D
Thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng (R) ta được 3 + 4 – 7 = 0 (đúng).
Vậy M ∈ (R).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + 3y + z + 2 = 0. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của (P)?
\(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;3;1} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_3}} = \left( {2;3;2} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;3;0} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_4}} = \left( {2;0;3} \right)\).
Chọn A
Vectơ pháp tuyến của (P) là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;3;1} \right)\).
Trong không gian Oxyz, phương trình của mặt phẳng đi qua điểm A(3; 0; −1) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {4; - 2; - 3} \right)\) là
4x – 2y + 3z – 9 = 0.
4x – 2y – 3z – 15 = 0.
3x – z – 15 = 0.
4x – 2y – 3z + 15 = 0.
Chọn B
Phương trình của mặt phẳng đi qua điểm A(3; 0; −1) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {4; - 2; - 3} \right)\) là
4(x – 3) −2y – 3(z + 1) = 0 Û 4x – 2y – 3z – 15 = 0.
Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1; −2; 3) và vuông góc với giá của vectơ \(\overrightarrow v = \left( { - 1;2;3} \right)\) là
x – 2y – 3z – 4 = 0.
x – 2y + 3z – 4 = 0.
x – 2y – 3z + 4 = 0.
−x + 2y – 3z + 4 = 0.
Chọn C
Mặt phẳng đi qua điểm A(1; −2; 3) và vuông góc với giá của vectơ \(\overrightarrow v = \left( { - 1;2;3} \right)\) nhận \(\overrightarrow v = \left( { - 1;2;3} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến có phương trình –(x – 1) + 2(y + 2) + 3(z – 3) = 0 Û x – 2y – 3z + 4 = 0.
Trong không gian Oxyz, cho 2 điểm A(−1; 0; 1), B(2; 1; 0). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với AB.
3x + y – z + 4 = 0.
−3x + y – z – 4 = 0.
3x + y – z = 0.
2x + y – z + 1 = 0.
Chọn A
Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với AB nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;1; - 1} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là 3(x + 1) + y – (z – 1) = 0 Û 3x + y – z + 4 = 0.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2; −1; 4) và mặt phẳng (P): 3x – 2y + z + 1 = 0. Phương trình của mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng (P) là
2x – 2y + 4z – 21 = 0.
2x – 2y + 4z + 21 = 0.
3x – 2y + z – 12 = 0.
3x – 2y + z + 12 = 0.
Chọn C
Mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng (P) nhận \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {3; - 2;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(3\left( {x - 2} \right) - 2\left( {y + 1} \right) + \left( {z - 4} \right) = 0\) Û 3x – 2y + z – 12 = 0.
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng qua 3 điểm A(−1; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; −3) có phương trình là
\(\frac{x}{{ - 2}} + \frac{y}{7} + \frac{z}{3} = 1\).
\(\frac{x}{{ - 2}} + \frac{y}{3} + \frac{z}{7} = 0\).
\(\frac{x}{{ - 1}} + \frac{y}{2} + \frac{z}{{ - 3}} = 1\).
\(\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{{ - 3}} = 1\).
Chọn C
Mặt phẳng qua 3 điểm A(−1; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; −3) có phương trình là \(\frac{x}{{ - 1}} + \frac{y}{2} + \frac{z}{{ - 3}} = 1\).
Cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):{A_1}x + {B_1}y + {C_1}z + {D_1} = 0\); \(\left( Q \right):{A_2}x + {B_2}y + {C_2}z + {D_2} = 0\) lần lượt có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {{A_1};{B_1};{C_1}} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {{A_2};{B_2};{C_2}} \right)\). Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) khi và chỉ khi
\(\overrightarrow {{n_1}} = \overrightarrow {{n_2}} \).
\(\overrightarrow {{n_1}} = k\overrightarrow {{n_2}} \).
\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_1}} = k\overrightarrow {{n_2}} \\{D_1} \ne k{D_2}\end{array} \right.\).
\(\overrightarrow {{n_1}} \ne k\overrightarrow {{n_2}} \).
Chọn C
Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_1}} = k\overrightarrow {{n_2}} \\{D_1} \ne k{D_2}\end{array} \right.\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình 3x + 4y + 2z + 4 = 0 và điểm A(1; −2; 3). Tính khoảng cách d từ A đến (P).
\(d = \frac{5}{9}\).
\(d = \frac{5}{{29}}\).
\(d = \frac{5}{{\sqrt {29} }}\).
\(d = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\).
Chọn C
Ta có \(d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {3.1 + 4.\left( { - 2} \right) + 2.3 + 4} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2} + {2^2}} }} = \frac{5}{{\sqrt {29} }}\).
Trong không gian với hệ trục tọa đô Oxyz, khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P): x + 2y + 3z – 1 = 0 và (Q): x + 2y + 3z + 6 = 0 là
\(d = \frac{7}{{\sqrt {14} }}\).
\(d = \frac{8}{{\sqrt {14} }}\).
\(d = 14\).
\(d = \frac{5}{{\sqrt {14} }}\).
Chọn A
Ta có (P) // (Q). Lấy A(1; 0; 0) Î (P).
Khi đó \(d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = d\left( {A,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 6} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {3^2}} }} = \frac{7}{{\sqrt {14} }}\).
PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x + y – z – 12 = 0.
a) Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {3;1; - 1} \right)\).
b) Mặt phẳng (P) đi qua điểm A(5; 3; −6).
c) Cho điểm M(a; b; 1) thuộc mặt phẳng (P). Khi đó 3a + b = −13.
d) (P) cắt trục Ox tại A, cắt trục Oz tại B. Diện tích tam giác OAB bằng 12.
a) Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {3;1; - 1} \right)\).
b) Thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng (P) ta được 3.5 + 3 + 6 – 12 ≠ 0. Suy ra A Ï (P).
c) Vì M Î (P) nên 3a + b – 1 – 12 = 0 Û 3a + b = 13.
d) (P) cắt trục Ox tại A(4; 0; 0), cắt trục Oz tại B(0; 0; −12).
Vì Ox ^ Oz nên DOAB vuông tại O.
Khi đó \({S_{\Delta AOB}} = \frac{1}{2}OA.OB = \frac{1}{2}.4.12 = 24\).
Đáp án: a) Đúng;b) Sai; c) Sai; d) Sai.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – 2y + z + 3 = 0 và điểm A(1; −2; 3). Khi đó:
a) d(A, (P)) = 4.
b) (P) cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 1.
c) (P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2; - 2;1} \right)\).
d) Gọi M(a; b; c) Î (P) thỏa mãn AM = 4 thì \(a + b + c = \frac{2}{3}\).
a) \(d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 - 2.\left( { - 2} \right) + 3 + 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} }} = 4\).
b) (P) cắt trục Ox tại điểm \(\left( { - \frac{3}{2};0;0} \right)\) có hoành độ \( - \frac{3}{2}\).
c) (P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2; - 2;1} \right)\).
d) Vì M Î (P) nên 2a – 2b + c + 3 = 0 (1).
Lại có \(AM = d\left( {A,\left( P \right)} \right) = 4\) Þ M là hình chiếu vuông góc của A lên (P).
Khi đó \(\overrightarrow {AM} = \left( {a - 1;b + 2;c - 3} \right)\) cùng phương với vectơ pháp tuyến của (P) \(\overrightarrow n = \left( {2; - 2;1} \right)\).
Khi đó ta có \(\frac{{a - 1}}{2} = \frac{{b + 2}}{{ - 2}} = \frac{{c - 3}}{1}\) (2).
Từ (1) và (2), ta có \(\left\{ \begin{array}{l}2a - 2b + c + 3 = 0\\\frac{{a - 1}}{2} = \frac{{b + 2}}{{ - 2}} = \frac{{c - 3}}{1}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{5}{3}\\b = \frac{2}{3}\\c = \frac{5}{3}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow a + b + c = \frac{2}{3}\).
Đáp án: a) Đúng;b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Trong không gian Oxyz, cho M(−2; −4; 3) và (P): 2x – y + 2z – 3 = 0, (Q): 2x – y + 2z – 6 = 0.
a) d(M, (P)) = 2.
b) M cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q).
c) d((P), (Q)) = 1.
d) (α) song song và cách (Q) một khoảng bằng 2 có phương trình là (α): 2x – y + 2z – 9 = 0.
a) \(d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { - 2} \right) + 4 + 2.3 - 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{3}{3} = 1\).
b) \(d\left( {M,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { - 2} \right) + 4 + 2.3 - 6} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = 0 \Rightarrow M \in \left( Q \right)\).
c) Ta có \(d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { - 2} \right) + 4 + 2.3 - 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = 1\).
d) Vì \(d\left( {\left( \alpha \right),\left( Q \right)} \right) = 2\) nên \(d\left( {M,\left( \alpha \right)} \right) = 2 \Leftrightarrow \frac{{\left| {2.\left( { - 2} \right) + 4 + 2.3 + D} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = 2 \Leftrightarrow D = 0\).
Vậy (α): 2x – y + 2z = 0.
Đáp án: a) Sai;b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 1; 1), B(1; −2; 3), C(2; −1; 2).
a) Ba điểm A, B, C đã cho thẳng hàng.
b) Có vô số mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C đã cho.
c) Mặt phẳng (ABC) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1;2;3} \right)\).
d) Mặt phẳng (ABC) có phương trình là \(x + 2y + 3z - 6 = 0\).
a) Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {0; - 3;2} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {1; - 2;1} \right)\). Hai vectơ này không cùng phương.
Do đó ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
b) Do ba điểm A, B, C không thẳng hàng nên tồn tại một mặt phẳng duy nhất qua ba điểm này.
c) Ta có mặt phẳng (ABC) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {1;2;3} \right)\).
d) Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm A(1; 1; 1) và nhận vectơ \(\overrightarrow n = \left( {1;2;3} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là \(\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y - 1} \right) + 3\left( {z - 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x + 2y + 3z - 6 = 0\).
Đáp án: a) Sai;b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 2; 0), B(1; 0; 2), C(2; 1; 3) và mặt phẳng (P): x – y + 2z + 7 = 0.
a) Mặt phẳng (ABC) có một vectơ pháp tuyến là (2; 1; 1).
b) Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm M(3; 1; 5).
c) Mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (P).
d) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) bằng 6.
a) Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {0; - 2;2} \right),\overrightarrow {BC} = \left( {1;1;1} \right)\) \( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right] = \left( { - 4;2;2} \right) = 2\left( { - 2;1;1} \right) = 2\overrightarrow n \).
Suy ra mặt phẳng (ABC) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( { - 2;1;1} \right)\).
b) Phương trình mặt phẳng (ABC): \( - 2\left( {x - 1} \right) + \left( {y - 2} \right) + z = 0 \Leftrightarrow - 2x + y + z = 0\).
Thay tọa độ điểm M(3; 1; 5) vào phương trình mặt phẳng (ABC), ta được −2.3 + 1 + 5 = 0 (đúng).
Vậy mặt phẳng (ABC) đi qua điểm M.
c) Ta có vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 1;2} \right)\).
Vì \(\overrightarrow {{n_p}} .\overrightarrow n = - 2.1 - 1.1 + 1.2 = - 1 \ne 0\) nên mặt phẳng (ABC) không vuông góc với mặt phẳng (P).
d) Ta có \(d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 - 2 + 2.0 + 7} \right|}}{{\sqrt {1 + 1 + 4} }} = \sqrt 6 \).
Đáp án: a) Sai;b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN
Cho điểm A(1; 2; −1) và mặt phẳng (α): x – 2y + 2z + 2 = 0. Mặt phẳng (β): x – by + cz + d = 0 song song với mặt phẳng (α) và cách A một khoảng bằng 1. Tính 3b – c + d.
Vì (β) // (α) nên (β): x – 2y + 2z + d = 0 (d ≠ 2).
Khoảng cách từ M đến (β) bằng 1 nên \(\frac{{\left| {1 - 2.2 + 2\left( { - 1} \right) + d} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} }} = 1 \Leftrightarrow \left| {d - 5} \right| = 3\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}d = 8\left( {TM} \right)\\d = 2\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\).
Vậy (β): x – 2y + 2z + 8 = 0. Suy ra b = 2; c = 2; d = 8.
Do đó 3b – c + d = 3.2 – 2 + 8 = 12.
Trả lời: 12.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): (m – 1)x + y – 2z + m = 0 và (Q): 2x – z + 3 = 0. Tìm m để (P) vuông góc với (Q).
Ta có \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {m - 1;1; - 2} \right),\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {2;0; - 1} \right)\).
Để (P) ^ (Q) thì \(\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} = 0\) \( \Leftrightarrow 2\left( {m - 1} \right) + 1.0 + \left( { - 2} \right).\left( { - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow m - 1 = - 1 \Leftrightarrow m = 0\).
Trả lời: 0.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; −2) và D(2; 1; 3). Độ dài đường cao của tứ diện ABCD vẽ từ đỉnh D bằng \(\frac{a}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính \(T = a - 2b\).
Phương trình mặt phẳng (ABC) là \(\frac{x}{2} + \frac{y}{4} + \frac{z}{{ - 2}} = 1\)\( \Leftrightarrow 2x + y - 2z - 4 = 0\).
Độ dài đường cao của tứ diện ABCD vẽ từ đỉnh D là \(d\left( {D,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| {2.2 + 1 - 2.3 - 4} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{5}{3}\).
Suy ra a = 5; b = 3. Do đó T = 5 – 2.3 = −1.
Trả lời: −1.
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; 0), B(3; 4; −2) và (P): x – y + z – 4 = 0. Phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + 2 = 0. Tính \(a + b + c\).
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;2; - 2} \right)\).
Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 1;1} \right)\).
Mặt phẳng (Q) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( {0; - 4; - 4} \right) = - 4\left( {0;1;1} \right)\).
Vậy phương trình mặt phẳng (Q): y + z – 2 = 0 Û −y – z + 2 =0.
Do đó \(T = a + b + c = - 2\).
Trả lời: −2.
Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; 4; 9). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và cắt 3 tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C (khác O) sao cho OA + OB + OC đạt giá trị nhỏ nhất. Tính khoảng cách d từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (P). (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Giả sử A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c > 0.
Phương trình mặt phẳng (P): \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\).
Ta có OA + OB + OC = a + b + c.
Vì M(1; 4; 9) Î (P) \( \Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c} = 1\).
Ta có \(\left( {\frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c}} \right)\left( {a + b + c} \right) \ge {\left( {1 + 2 + 3} \right)^2}\)Þ \(a + b + c \ge 36\).
Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c} = 1\\\frac{1}{a} = \frac{2}{b} = \frac{3}{c}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 6\\b = 12\\c = 18\end{array} \right.\).
Khi đó phương trình mặt phẳng (P): \(\frac{x}{6} + \frac{y}{{12}} + \frac{z}{{18}} = 1\)\( \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 36 = 0\).
Vậy \(d\left( {O,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 36} \right|}}{{\sqrt {36 + 9 + 4} }} = \frac{{36}}{7} \approx 5,14\).
Trả lời: 5,14.
