Đề kiểm tra Phương trình mặt phẳng (có lời giải) - Đề 1

Trong không gian \[Oxyz\], cho hai vectơ \[\vec a = \left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right),\,\,\,\vec b = \left( {{b_1},{b_2},{b_3}} \right)\] khác \[\vec 0\]. Tích có hướng của \[\vec a\] và \[\vec b\] là \[\vec c\]. Khẳng định nào sau đây đúng?

Trong không gian \[Oxyz\], mặt phẳng nào dưới đây nhận \[\overrightarrow n  = \left( {3;1; - 7} \right)\] là một vectơ pháp tuyến?

Trong không gian \[Oxyz\], cho mặt phẳng \(\left( P \right):3x - 2z + 2 = 0\) đi qua điểm nào sau đây?

Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {1;2;3} \right)\). Mặt phẳng chứa điểm \(A\) và trục \(Oz\) có phương trình là

Trong không gian \[Oxyz\], cho điểm \(A\left( {2; - 1; - 3} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):3x - 2y + 4z - 5 = 0\). Gọi \[\left( Q \right)\]là mặt phẳng đi qua \[A\] và song song với mặt phẳng \[\left( P \right)\]. Mặt phẳng \[\left( Q \right)\] có phương trình là:

Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho hai điểm \(A\left( {4;\,0;\,1} \right)\) và \(B\left( { - 2;\,2;\,3} \right)\). Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(AB\)?

Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho điểm \[A\left( {1;\,1;\,1} \right)\] và hai mặt phẳng \[\left( P \right):2x - y + 3z - 1 = 0\], \(\left( Q \right):y = 0\). Viết phương trình mặt phẳng \(\left( R \right)\) chứa \(A\), vuông góc với cả hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\).

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), mặt phẳng đi qua ba điểm \(A\left( {2;3;5} \right)\), \(B\left( {3;{\rm{2}};{\rm{4}}} \right)\) và \(C\left( {4;{\rm{1}};{\rm{2}}} \right)\) có phương trình là

Trong không gian \[Oxyz,\] mặt phẳng \((P):2x + y + z - 2 = 0\) song song với mặt phẳng nào dưới đây?

Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz,\] cho mặt phẳng \[\left( P \right)\] có phương trình:\(mx + (m - 1)y + z - 10 = 0\) và mặt phẳng \((Q):2x + y - 2z + 3 = 0\). Với giá trị nào của dưới đây của \(m\) thì \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\)vuông góc với nhau

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình: \(3x + 4y + 2z + 4 = 0\) và điểm \(A\left( {1; - 2;3} \right)\). Tính khoảng cách \(d\) từ \(A\) đến \(\left( P \right)\).

Trong không gian \[{\rm{Ox}}yz\]khoảng cách giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y + 3z - 1 = 0\) và \(\left( Q \right):x + 2y + 3z + 6 = 0\) là

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\) cho mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] đi qua điểm \[M\left( {1;2;3} \right)\] và cắt các tia \[Ox,Oy,Oz\]lần lượt tại \[A,B,C\] sao cho độ dài \[OA,\,OB,\,OC\]theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội bằng \[3\]. Khi đó phương trình mặt phẳng \[(\alpha )\] có dạng \(Ax + By + z + D = 0\), \(\left( {A,B,D \in \mathbb{R}} \right)\). Giá trị của biểu thức \(A + B + D\) bằng bao nhiêu?

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho các điểm \(A\left( {1;\;2;\;3} \right)\), \[B\left( {1;\;2;\;5} \right)\] và mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):x - 2y + z + 5 = 0\). Biết điểm \(M\) nằm trên mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) sao cho \(MA{\,^2} + MB{\,^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm tung độ của điểm \(M\).

Trong không gian \[{\rm{O}}xyz\], cho mặt phẳng \[\left( \alpha  \right):2x + 3y + z + 1 = 0\]. Gọi \[\left( P \right)\] là mặt phẳng song song với \[\left( \alpha  \right)\], cắt các tia \[{\rm{O}}x\,,{\rm{O}}y\,,{\rm{O}}z\] lần lượt tại các điểm \[A\], \[B\],\[C\] sao cho thể tích khối tứ diện \[OABC\] bằng \[6\]. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ \[O\] đến mặt phẳng \[\left( P \right)\] (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( {1;4;9} \right)\). Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua \(M\) và cắt 3 tia \(Ox,{\rm{ }}Oy,{\rm{ }}Oz\) lần lượt tại các điểm \(A,{\rm{ }}B,\,C\) (khác \(O\)) sao cho \[OA + OB + OC\] đạt giá trị nhỏ nhất. Tính khoảng cách \(d\) từ gốc tọa độ \(O\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) (kết quả là tròn đến hàng phần trăm).

Manhattanhenge (Hình 1) là một sự kiện diễn ra khi Mặt Trời mọc hoặc khi Mặt Trời lặn nằm thẳng hàng với các tuyến phố Đông - Tây thuộc mạng lưới đường phố chính tại quận Manhattan của thành phố New York. Khi mặt trời lặn, tia sáng song song mặt đất lệch một góc khoảng \({38^0}\) so với hướng tây (Hình 2).Giả sử mặt tiền các tòa nhà hai bên đường nằm trong 2 mặt phẳng song song cách nhau \(30m\) và vuông góc với mặt đất. Biết rằng mặt phẳng phía bắc đi qua gốc \(O\) của hệ trục \(Oxyz\), với tia \(Oz\) vuông góc với mặt đất và hướng lên trên. Phương trình mặt phẳng thứ hai có dạng \((Q):x + ay + bz + c = 0\), với \(c = \frac{m}{{\sin {n^0}}}\). Tính \(m + n\).

Một sân vận động được xây dựng theo mô hình là hình chóp cụt \[OAGD.BCFE\] có hai đáy song song với nhau. Mặt sân OAGD là hình chữ nhật và được gắn hệ trục \[Oxyz\]như hình vẽ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Mặt sân \[OAGD\] có chiều dài \[OA = 100m\], chiều rộng \[OD = 60m\] và tọa độ điểm \[B\left( {10;10;8} \right)\]. Giả sử phương trình tổng quát của mặt phẳng \[\left( {OACB} \right)\] có dạng \[ax + y + cz + d = 0\]. Tính giá trị biểu thức \[a + c + d\].