Đề kiểm tra Phương trình lượng giác cơ bản lớp 11 (có lời giải) - Đề 3

Chọn A

Ta có: \[\cos x =  - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos x = \cos \,( - \,\frac{{2\pi }}{3}) \Leftrightarrow x =  \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi .\]

Vậy phương trình có các nghiệm là: \[x =  \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]

Chọn A

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}\cos 3x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{3}\) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Ta có: \(\tan 3x = \tan x \Leftrightarrow 3x = x + k\pi  \Leftrightarrow x = k\frac{\pi }{2}\).

Kết hợp với điều kiện ta được \(x = k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Chọn C

Ta có \(\cos x - 2m + 1 = 0\)\( \Leftrightarrow \cos x = 2m - 1\) có nghiệm khi và chỉ khi

\( - 1 \le 2m - 1 \le 1 \Leftrightarrow \)\(0 \le 2m \le 2\)\( \Leftrightarrow 0 \le m \le 1\).

Ta có: \(2\cos x = \sqrt 3 \Leftrightarrow \cos x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})\).

Vì \(x \in \left[ {0;\frac{{5\pi }}{2}} \right]\) nên \(x \in \left\{ {\frac{\pi }{6};\frac{{11\pi }}{6};\frac{{13\pi }}{6}} \right\}\).

Vậy nghiệm \(x\) thoả mãn đề bài là: \(x \in \left\{ {\frac{\pi }{6};\frac{{11\pi }}{6};\frac{{13\pi }}{6}} \right\}\).

Phương trình tương đương với: \(\tan \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = \sqrt 3 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}\).

Vì \(\frac{{ - \pi }}{4} < x < \frac{{2\pi }}{3} \Leftrightarrow \frac{{ - \pi }}{4} < \frac{\pi }{3} + \frac{{k\pi }}{2} < \frac{{2\pi }}{3} \Leftrightarrow \frac{{ - 7\pi }}{{12}} < \frac{{k\pi }}{2} < \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow \frac{{ - 7}}{6} < k < \frac{2}{3}\)

Do \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \{ - 1;0\} \).

Với \(k = - 1\) thì \(x = \frac{{ - \pi }}{6}\), với \(k = 0\) thì \(x = \frac{\pi }{3}\).

Vậy \(x = \frac{{ - \pi }}{6}\) và \(x = \frac{\pi }{3}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta có: \(\sin x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi }\\{x = \pi - ( - \frac{\pi }{6}) + k2\pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi }\\{x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z})} \right.} \right.\)

Vậy phương trình có nghiệm là: \(x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi ;x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})\).

Phương trình có nghiệm âm lớn nhất bằng \( - \frac{\pi }{6}\)

Khi \(x \in \left( { - \pi ;\pi } \right)\) phương trình có hai nghiệm

Ta có \(h = |x| = \left| {1,5\cos \left( {\frac{{t\pi }}{4}} \right)} \right| \le 1,5\).

a) Vật ở xa vị trí cân bằng nhất nghĩa là \(h = 1,5\;m\).

Khi đó \(\cos \left( {\frac{{t\pi }}{4}} \right) = \pm 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{t\pi }}{4} = k2\pi }\\{\frac{{t\pi }}{4} = \pi + k2\pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 8k}\\{t = 4 + 8k}\end{array}(k \in \mathbb{Z})} \right.} \right.\).

b) Vậy trong 10 giây đầu tiên thì vật ở xa vị trí cân bằng nhất tại các thời điểm \(t = 0,t = 4,t = 8\) (giây).

c) Khi vật ở vị trí cân bằng thì \(x = 0 \Leftrightarrow 1,5\cos \left( {\frac{{t\pi }}{4}} \right) = 0 \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{t\pi }}{4}} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{t\pi }}{4} = \frac{\pi }{2} + k\pi (k \in \mathbb{Z}) \Rightarrow t = 2 + 4k(k \in \mathbb{Z}).\)

d) Vậy trong khoảng từ 0 đến 20 giây thì vật ở vị trí cân bằng tại các thời điểm \(t = 2,t = 6,t = 10,t = 14,t = 18\) (giây); tức là có 5 lần vật qua vị trí cân bằng.

Ta có: \(\cos \left( {{{75}^^\circ } - x} \right) = - \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \cos \left( {{{75}^^\circ } - x} \right) = \cos {135^^\circ }\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{75}^^\circ } - x = {{135}^^\circ } + k{{360}^^\circ }}\\{{{75}^^\circ } - x = - {{135}^^\circ } + k{{360}^^\circ }}\end{array}(k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - {{60}^^\circ } - k{{360}^^\circ }}\\{x = {{210}^^\circ } - k{{360}^^\circ }}\end{array}(k \in \mathbb{Z}).} \right.} \right.\)

Vậy phương trình có nghiệm: \(x = - {60^^\circ } - k{360^^\circ };x = {210^^\circ } - k{360^^\circ }(k \in \mathbb{Z})\).

Ta có: \(\tan \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow \tan \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = \tan \frac{\pi }{6}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2x - \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{6} + k\pi (k \in \mathbb{Z})\\ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2}(k \in \mathbb{Z}).\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm là: \(x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2}(k \in \mathbb{Z})\).

Ta có: \(\sqrt 3 \tan \frac{{\pi x}}{2} = 3 \Leftrightarrow \tan \frac{{\pi x}}{2} = \sqrt 3 \Leftrightarrow \tan \frac{{\pi x}}{2} = \tan \frac{\pi }{3}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\pi x}}{2} = \frac{\pi }{3} + k\pi (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow x = \frac{2}{3} + 2k(k \in \mathbb{Z}).\)

Vậy phương trình có nghiệm là: \(x = \frac{2}{3} + 2k(k \in \mathbb{Z})\).

\(\sin \left( {2x - \frac{1}{3}} \right) + \sin x = 0 \Leftrightarrow \sin \left( {2x - \frac{1}{3}} \right) = - \sin x \Leftrightarrow \sin \left( {2x - \frac{1}{3}} \right) = \sin ( - x)\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - \frac{1}{3} = - x + k2\pi }\\{2x - \frac{1}{3} = \pi + x + k2\pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{1}{9} + k\frac{{2\pi }}{3}}\\{x = \frac{1}{3} + \pi + k2\pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z}).} \right.} \right.\)

Vậy phương trình có nghiệm là: \(x = \frac{1}{9} + k\frac{{2\pi }}{3};x = \frac{1}{3} + \pi + k2\pi (k \in \mathbb{Z})\).

Vị trí cân bằng của vật dao động điều hòa là vị trí vật đứng yên, khi đó x = 0, ta có

\(\begin{array}{l}2{\rm{cos}}\left( {5t - \frac{\pi }{6}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\rm{cos}}\left( {5t - \frac{\pi }{6}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 5t - \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\\ \Leftrightarrow t = \frac{{2\pi }}{{15}} + k\frac{\pi }{5},k \in \mathbb{Z}\end{array}\)

Trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, tức là \(0 \le t \le 6\) hay \(0 \le \frac{{2\pi }}{{15}} + k\frac{\pi }{5} \le 6\)

\( \Leftrightarrow - \frac{2}{3} \le k \le \frac{{90 - 2\pi }}{{3\pi }}\)

Vì \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \left\{ {0;1;2;3;4;5;6;7;8} \right\}\).

Vậy trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, vật đi qua vị trí cân bằng 9 lần.

Xét phương trình:

\(10{\rm{sin}}\left( {10t + \frac{\pi }{2}} \right) =  - 5\sqrt 3 \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\rm{sin}}\left( {10t + \frac{\pi }{2}} \right) =  - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\ \Leftrightarrow {\rm{sin}}\left( {10t + \frac{\pi }{2}} \right) = {\rm{sin}}\left( { - \frac{\pi }{3}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{10t + \frac{\pi }{2} =  - \frac{\pi }{3} + k2\pi }\\{10t + \frac{\pi }{2} = \frac{{4\pi }}{3} + k2\pi }\end{array},k \in \mathbb{Z}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t =  - \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{5}}\\{t = \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{5}}\end{array},k \in \mathbb{Z}} \right.\end{array}\)

Vậy vào các thời điểm \(t =  - \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{5}\left( {k \ge 1,k \in \mathbb{Z}} \right)\) và̀ \(t = \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{5}\left( {k \ge 0,k \in \mathbb{Z}} \right)\) thì \({\rm{s}} =  - 5\sqrt 3 {\rm{\;cm}}\).