Đề kiểm tra Phương trình lượng giác cơ bản lớp 11 (có lời giải) - Đề 3
22 câu hỏi
Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi, thí sinh chỉ chọn 1 phương án.
Nghiệm của phương trình \[\cos x = - \,\;\frac{1}{2}\] là
\(x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \).
\(x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi \).
\(x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \).
\(x = \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi \).
Chọn A
\[\cos x = - \,\;\frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos x = \cos \frac{{2\pi }}{3} \Leftrightarrow x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\].=
Phương trình \(\cos x = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) có tập nghiệm là
\[\left\{ {x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi ; k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
\[\left\{ {x = \pm \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi ; k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
\[\left\{ {x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi ; k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
\[\left\{ {x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi ; k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
Chọn B
Ta có \(\cos x = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)\( \Leftrightarrow \cos x = \cos \frac{{5\pi }}{6}\)\( \Leftrightarrow x = \pm \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Tập nghiệm của phương trình \(\tan x + 1 = 0\) là
\(S = \left\{ { - \frac{\pi }{4} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(S = \left\{ {\frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(S = \left\{ { - \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
\(S = \left\{ {\frac{\pi }{4} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Chọn C
\(\tan x + 1 = 0\)\( \Leftrightarrow \tan x = - 1\) \( \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \(\sin \,x - m = 1\) có nghiệm.
\(m \ge 1\).
\(m \le 0\).
\( - 2 \le m \le 0\).
\(0 \le m \le 1\).
Chọn C
\(\sin \,x - m = 1 \Leftrightarrow \sin \,x = m + 1\) \(\left( 1 \right)\)
Phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm \( \Leftrightarrow - 1 \le m + 1 \le 1 \Leftrightarrow - 2 \le m \le 0\).
Giải phương trình 
.
.
.
.
Chọn A
Với \(n = 5\), phương trình \(\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin x\) có nghiệm là
\(x = \frac{\pi }{2} + k\pi \).
\(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \).
\(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \).
\(x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\).
Chọn A
Ta có \(\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin x \Leftrightarrow \cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \).
Giải phương trình \(\cot \left( {2x - {{20}^0}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)ta được
\(x = {40^0} + k\frac{\pi }{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = {40^0} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = {40^0} + k{180^0}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = {40^0} + k{90^0}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Chọn D
\(\cot \left( {2x - {{20}^0}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)\( \Leftrightarrow \cot \left( {2x - {{20}^0}} \right) = \cot {60^0}\)\( \Leftrightarrow 2x - {20^0} = {60^0} + k{180^0}\)\( \Leftrightarrow x = {40^0} + k{90^0}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Phương trình \(m.\cos x - 1 = 0\) có nghiệm khi \(m\) thỏa mãn điều kiện
\[\left\{ \begin{array}{l}m \ge - 1\\m \le 1\end{array} \right.\].
\[\left[ \begin{array}{l}m \le - 1\\m \ge 1\end{array} \right.\].
\[m \ge - 1\]
\[m \ge 1\].
Chọn B
Dễ thấy với \(m = 0\) thì phương trình đã cho vô nghiệm.
Với \(m \ne 0\), ta có: \(m.\cos x - 1 = 0 \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{m}{\rm{ }}\left( 1 \right)\).
Phương trình đã cho có nghiệm \( \Leftrightarrow \) phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm \( \Leftrightarrow \) \[\left| {\frac{1}{m}} \right| \le 1 \Leftrightarrow \frac{1}{{\left| m \right|}} \le 1 \Leftrightarrow \left| m \right| \ge 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ge 1\\m \le - 1\end{array} \right.\] (thỏa mãn điều kiện \(m \ne 0\)).
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \[{\cos ^2}(\frac{x}{2} - \frac{\pi }{2}) = m\] có nghiệm.
\( - 1 \le m \le 1\)
\(m \le 1\).
\(m \ge 0\).
\(0 \le m \le 1\).
Chọn D
Ta có: \[0 \le {\cos ^2}(\frac{x}{2} - \frac{\pi }{2}) \le 1\]. Để phương trình có nghiệm thì \(0 \le m \le 1\).
Nghiệm của phương trình \[\cos x = - \frac{1}{2}\] là
\[x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \].
\[x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi \].
\[x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \].
\[x = \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi \].
Chọn A
Ta có: \[\cos x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos x = \cos \,( - \,\frac{{2\pi }}{3}) \Leftrightarrow x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi .\]
Vậy phương trình có các nghiệm là: \[x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]
Phương trình \(\tan 3x = \tan x\) có nghiệm là
\(x = k\pi \).
\(x = k2\pi \).
\(x = k\frac{\pi }{2}\).
\(x = \frac{\pi }{2} + k\pi \).
Chọn A
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}\cos 3x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{3}\) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Ta có: \(\tan 3x = \tan x \Leftrightarrow 3x = x + k\pi \Leftrightarrow x = k\frac{\pi }{2}\).
Kết hợp với điều kiện ta được \(x = k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Tìm \(m\) để phương trình \(\cos x - 2m + 1 = 0\) có nghiệm.
\(m > - \frac{1}{2}\).
\(0 < m < 1\).
\(0 \le m \le 1\).
\(m \ge - \frac{1}{2}\).
Chọn C
Ta có \(\cos x - 2m + 1 = 0\)\( \Leftrightarrow \cos x = 2m - 1\) có nghiệm khi và chỉ khi
\( - 1 \le 2m - 1 \le 1 \Leftrightarrow \)\(0 \le 2m \le 2\)\( \Leftrightarrow 0 \le m \le 1\).
Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho phương trình lượng giác \(2\cos x = \sqrt 3 \), khi đó:
a) Phương trình có nghiệm \(x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})\)
b) Trong đoạn \(\left[ {0;\frac{{5\pi }}{2}} \right]\) phương trình có 4 nghiệm
c) Tổng các nghiệm của phương trình trong đoạn \(\left[ {0;\frac{{5\pi }}{2}} \right]\) bằng \(\frac{{25\pi }}{6}\)
d) Trong đoạn \(\left[ {0;\frac{{5\pi }}{2}} \right]\) phương trình có nghiệm lớn nhất bằng \(\frac{{13\pi }}{6}\)
a) Sai | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng |
Ta có: \(2\cos x = \sqrt 3 \Leftrightarrow \cos x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})\).
Vì \(x \in \left[ {0;\frac{{5\pi }}{2}} \right]\) nên \(x \in \left\{ {\frac{\pi }{6};\frac{{11\pi }}{6};\frac{{13\pi }}{6}} \right\}\).
Vậy nghiệm \(x\) thoả mãn đề bài là: \(x \in \left\{ {\frac{\pi }{6};\frac{{11\pi }}{6};\frac{{13\pi }}{6}} \right\}\).
Cho phương trình lượng giác \(3 - \sqrt 3 \tan \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = 0\) , khi đó:
a) Phương trình có nghiệm \(x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}\).
b) Phương trình có nghiệm âm lớn nhất bằng \( - \frac{\pi }{3}\)
c) Khi \(\frac{{ - \pi }}{4} < x < \frac{{2\pi }}{3}\) thì phương trình có ba nghiệm
d) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng \(\left( {\frac{{ - \pi }}{4};\frac{{2\pi }}{3}} \right)\) bằng \(\frac{\pi }{6}\)
a) Sai | b) Sai | c) Sai | d) Đúng |
Phương trình tương đương với: \(\tan \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = \sqrt 3 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}\).
Vì \(\frac{{ - \pi }}{4} < x < \frac{{2\pi }}{3} \Leftrightarrow \frac{{ - \pi }}{4} < \frac{\pi }{3} + \frac{{k\pi }}{2} < \frac{{2\pi }}{3} \Leftrightarrow \frac{{ - 7\pi }}{{12}} < \frac{{k\pi }}{2} < \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow \frac{{ - 7}}{6} < k < \frac{2}{3}\)
Do \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \{ - 1;0\} \).
Với \(k = - 1\) thì \(x = \frac{{ - \pi }}{6}\), với \(k = 0\) thì \(x = \frac{\pi }{3}\).
Vậy \(x = \frac{{ - \pi }}{6}\) và \(x = \frac{\pi }{3}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cho phương trình lượng giác \(\sin x = - \frac{1}{2}\), khi đó:
a) Phương trình tương đương \(\sin x = \sin \left( {\frac{\pi }{6}} \right)\)
b) Phương trình có nghiệm là: \(x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi ;x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})\).
c) Phương trình có nghiệm âm lớn nhất bằng \( - \frac{\pi }{3}\)
d) Số nghiệm của phương trình trong khoảng \(\left( { - \pi ;\pi } \right)\) là ba nghiệm
a) Sai | b) Đúng | c) Sai | d) Sai |
Ta có: \(\sin x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi }\\{x = \pi - ( - \frac{\pi }{6}) + k2\pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi }\\{x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z})} \right.} \right.\)
Vậy phương trình có nghiệm là: \(x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi ;x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})\).
Phương trình có nghiệm âm lớn nhất bằng \( - \frac{\pi }{6}\)
Khi \(x \in \left( { - \pi ;\pi } \right)\) phương trình có hai nghiệm
Một vật dao động xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình \(x = 1,5\cos \left( {\frac{{t\pi }}{4}} \right)\); trong đó \(t\) là thời gian được tính bằng giây và quãng đường \(h = |x|\) được tính bằng mét là khoảng cách theo phương ngang của chất điểm đối với vị trí cân bằng. Khi đó:
a) Vật ở xa vị trí cân bằng nhất nghĩa là \(h = 1,5\;m\).
b) Trong 10 giây đầu tiên, có hai thời điểm vật ở xa vị trí cân bằng nhất
c) Khi vật ở vị trí cân bằng thì \(\cos \left( {\frac{{t\pi }}{4}} \right) = 0\)
d) Trong khoảng từ 0 đến 20 giây thì vật đi qua vị trí cân bằng 4 lần?
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Sai |
Ta có \(h = |x| = \left| {1,5\cos \left( {\frac{{t\pi }}{4}} \right)} \right| \le 1,5\).
a) Vật ở xa vị trí cân bằng nhất nghĩa là \(h = 1,5\;m\).
Khi đó \(\cos \left( {\frac{{t\pi }}{4}} \right) = \pm 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{t\pi }}{4} = k2\pi }\\{\frac{{t\pi }}{4} = \pi + k2\pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 8k}\\{t = 4 + 8k}\end{array}(k \in \mathbb{Z})} \right.} \right.\).
b) Vậy trong 10 giây đầu tiên thì vật ở xa vị trí cân bằng nhất tại các thời điểm \(t = 0,t = 4,t = 8\) (giây).
c) Khi vật ở vị trí cân bằng thì \(x = 0 \Leftrightarrow 1,5\cos \left( {\frac{{t\pi }}{4}} \right) = 0 \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{t\pi }}{4}} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{{t\pi }}{4} = \frac{\pi }{2} + k\pi (k \in \mathbb{Z}) \Rightarrow t = 2 + 4k(k \in \mathbb{Z}).\)
d) Vậy trong khoảng từ 0 đến 20 giây thì vật ở vị trí cân bằng tại các thời điểm \(t = 2,t = 6,t = 10,t = 14,t = 18\) (giây); tức là có 5 lần vật qua vị trí cân bằng.
Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Tìm nghiệm phương trình lượng giác: cos75°−x=−22
Ta có: \(\cos \left( {{{75}^^\circ } - x} \right) = - \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \cos \left( {{{75}^^\circ } - x} \right) = \cos {135^^\circ }\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{75}^^\circ } - x = {{135}^^\circ } + k{{360}^^\circ }}\\{{{75}^^\circ } - x = - {{135}^^\circ } + k{{360}^^\circ }}\end{array}(k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - {{60}^^\circ } - k{{360}^^\circ }}\\{x = {{210}^^\circ } - k{{360}^^\circ }}\end{array}(k \in \mathbb{Z}).} \right.} \right.\)
Vậy phương trình có nghiệm: \(x = - {60^^\circ } - k{360^^\circ };x = {210^^\circ } - k{360^^\circ }(k \in \mathbb{Z})\).
Tìm nghiệm phương trình lượng giác: \(\tan \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)
Ta có: \(\tan \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow \tan \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = \tan \frac{\pi }{6}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2x - \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{6} + k\pi (k \in \mathbb{Z})\\ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2}(k \in \mathbb{Z}).\end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm là: \(x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2}(k \in \mathbb{Z})\).
Tìm nghiệm phương trình lượng giác: \(\sqrt 3 \tan \frac{{\pi x}}{2} = 3\).
Ta có: \(\sqrt 3 \tan \frac{{\pi x}}{2} = 3 \Leftrightarrow \tan \frac{{\pi x}}{2} = \sqrt 3 \Leftrightarrow \tan \frac{{\pi x}}{2} = \tan \frac{\pi }{3}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{\pi x}}{2} = \frac{\pi }{3} + k\pi (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow x = \frac{2}{3} + 2k(k \in \mathbb{Z}).\)
Vậy phương trình có nghiệm là: \(x = \frac{2}{3} + 2k(k \in \mathbb{Z})\).
Tìm nghiệm phương trình lượng giác\(\sin \left( {2x - \frac{1}{3}} \right) + \sin x = 0\)
\(\sin \left( {2x - \frac{1}{3}} \right) + \sin x = 0 \Leftrightarrow \sin \left( {2x - \frac{1}{3}} \right) = - \sin x \Leftrightarrow \sin \left( {2x - \frac{1}{3}} \right) = \sin ( - x)\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - \frac{1}{3} = - x + k2\pi }\\{2x - \frac{1}{3} = \pi + x + k2\pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{1}{9} + k\frac{{2\pi }}{3}}\\{x = \frac{1}{3} + \pi + k2\pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z}).} \right.} \right.\)
Vậy phương trình có nghiệm là: \(x = \frac{1}{9} + k\frac{{2\pi }}{3};x = \frac{1}{3} + \pi + k2\pi (k \in \mathbb{Z})\).
Giả sử một vật dao động điều hoà xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình
\(x = 2{\rm{cos}}\left( {5t - \frac{\pi }{6}} \right)\)
Ở đây, thời gian \(t\) tính bằng giây và quãng đường \(x\) tính bằng centimét. Hãy cho biết trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, vật đi qua vị trí cân bằng bao nhiêu lần?
Vị trí cân bằng của vật dao động điều hòa là vị trí vật đứng yên, khi đó x = 0, ta có
\(\begin{array}{l}2{\rm{cos}}\left( {5t - \frac{\pi }{6}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\rm{cos}}\left( {5t - \frac{\pi }{6}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 5t - \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\\ \Leftrightarrow t = \frac{{2\pi }}{{15}} + k\frac{\pi }{5},k \in \mathbb{Z}\end{array}\)
Trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, tức là \(0 \le t \le 6\) hay \(0 \le \frac{{2\pi }}{{15}} + k\frac{\pi }{5} \le 6\)
\( \Leftrightarrow - \frac{2}{3} \le k \le \frac{{90 - 2\pi }}{{3\pi }}\)
Vì \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \left\{ {0;1;2;3;4;5;6;7;8} \right\}\).
Vậy trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, vật đi qua vị trí cân bằng 9 lần.
Trong Hình 9, khi được kéo ra khơi vị trí cân bằng ờ điểm \(O\) và buông tay, lực đàn hồi của lò xo khiến vật \(A\) gắn ở đầu của lò xo dao động quanh \(O\). Toạ độ \(s\left( {{\rm{\;cm}}} \right)\) của \(A\) trên trục \(Ox\) vào thời điểm \(t\) (giây) sau khi buông tay được xác định bởi công thức \(s = 10{\rm{sin}}\left( {10t + \frac{\pi }{2}} \right)\). Vào các thời điểm nào thì \(s = - 5\sqrt 3 {\rm{\;cm}}\)?
Xét phương trình:
\(10{\rm{sin}}\left( {10t + \frac{\pi }{2}} \right) = - 5\sqrt 3 \)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\rm{sin}}\left( {10t + \frac{\pi }{2}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\ \Leftrightarrow {\rm{sin}}\left( {10t + \frac{\pi }{2}} \right) = {\rm{sin}}\left( { - \frac{\pi }{3}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{10t + \frac{\pi }{2} = - \frac{\pi }{3} + k2\pi }\\{10t + \frac{\pi }{2} = \frac{{4\pi }}{3} + k2\pi }\end{array},k \in \mathbb{Z}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = - \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{5}}\\{t = \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{5}}\end{array},k \in \mathbb{Z}} \right.\end{array}\)
Vậy vào các thời điểm \(t = - \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{5}\left( {k \ge 1,k \in \mathbb{Z}} \right)\) và̀ \(t = \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{5}\left( {k \ge 0,k \in \mathbb{Z}} \right)\) thì \({\rm{s}} = - 5\sqrt 3 {\rm{\;cm}}\).
