10 Bài tập Bài toán thực tiễn liên quan đến phương trình lượng giác (có lời giải)
10 câu hỏi
Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A ở vĩ độ 40° Bắc trong ngày thứ t của một năm không nhuận được cho bởi hàm số:
dt=3sinπ182t−80+12 , với t ∈ ℤ và 0 ≤ t ≤ 365.
Thành phố A có đúng 15 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày nào trong năm?
171;
170;
169;
168.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Giả sử thành phố A có đúng 15 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ t0.
Ta có: dt0=3sinπ182t0−80+12
Mà d(t0) = 15 nên ta có:
3sinπ182t0−80+12=15
⇔3sinπ182t0−80=3
⇔sinπ182t0−80=1
⇔π182t0−80=π2+k2π, k ∈ ℤ
⇔ t0 – 80 = 91 + 364k, k ∈ ℤ
⇔ t0 = 364k + 171, k ∈ ℤ
Mà 0 ≤ t0 ≤ 365
⇔ –171 ≤ 364k ≤ 194
⇔ –0,47 ≤ k ≤ 0,53
Mà k ∈ ℤ nên k = 0
Nếu k = 0 thì t0 = 171
Vậy thành phố A có đúng 15 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 171.
Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A ở vĩ độ 40° Bắc trong ngày thứ t của một năm không nhuận được cho bởi hàm số:
dt=3sinπ182t−80+12 , với t ∈ ℤ và 0 ≤ t ≤ 365.
Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có đúng 9 giờ có ánh sáng mặt trời?
351;
352;
353;
354.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Giả sử thành phố A có đúng 9 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ t0.
Ta có: dt0=3sinπ182t0−80+12
Mà d(t0) = 9 nên ta có:
3sinπ182t0−80+12=9
⇔3sinπ182t0−80=−3
⇔sinπ182t0−80=−1
⇔π182t0−80=−π2+k2π , k ∈ ℤ
⇔ t0 – 80 = –91 + 364k , k ∈ ℤ
⇔ t0 = 364k – 11, k ∈ ℤ
Mà 0 ≤ t0 ≤ 365
⇔ 11 ≤ 364k ≤ 376
⇔ 0,03 ≤ k ≤ 1,03
Mà k ∈ ℤ nên k = 1
Nếu k = 1 thì t0 = 353
Vậy thành phố A có đúng 9 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 353.
Một quả đạn pháp được bắn khỏi nòng pháp với vận tốc ban đầu v0 = 500 m/s hợp với phương ngang một góc α. Trong Vật lí, ta biết rằng, nếu bỏ qua sức cản của không khí và coi quả đạn pháo được bắn ra từ mặt đất thì quỹ đạo của quả đạn tuân theo phương trình y=−g2v02cos2αx2+xtanα, ở đó g = 9,8 m/s2 là gia tốc trọng trường. Tìm góc bắn α để quả đạn trúng mục tiêu cách vị trí đặt khẩu pháo 22 000 m.
α≈29°47'37'';
α≈28°47'36'';
α≈29°47'30'';
α≈29°40'36''.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Vì v0 = 500 m/s và g = 9,8 m/s2 nên ta có phương trình quỹ đạo của quả đạn là:
y=−9,82.5002cos2αx2+xtanα=−492500000cos2αx2+xtanα\.
Quả đạn chạm đất khi y = 0, khi đó
−492500000cos2αx2+xtanα=0
⇔ x−492500000cos2αx+tanα=0
⇔ x=0x=2500000cos2α.tanα49
⇔ x=0x=2500000cosα.sinα49
⇔ x=0x=1250000sin2α49
Loại x = 0 (đạn pháo chưa được bắn)
Vậy tầm xa mà quả đạn đạt tới là x=1250000sin2α49 (m).
Để quả đạn trúng mục tiêu cách vị trí đặt khẩu pháp 22 000 m thì x = 22 000 m.
Khi đó: 1250000sin2α49=22000
⇔
⇔.
Trong hình vẽ, khi được kéo ra khỏi vị trí cân bằng ở điểm O và buông tay, lực đàn hồi của lò xo khiến vật A gắn ở đầu lò xo dao động quanh O. Tọa độ s (cm) của A trên trục Ox vào thời điểm t (giây) sau khi buông tay được xác định bởi công thức s=10sin10t+π2. Vào thời điểm nào dưới dây thì s =−53 cm?
−π3;
−π12;
−π6;
−π4.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Khi s =−53cm thì:
10sin10t+π2=−53
⇔ sin10t+π2=−32
⇔ sin10t+π2=sin−π3
⇔10t+π2=−π3+k2π10t+π2=4π3+k2π , k ∈ ℤ
⇔10t=−5π6+k2π10t=5π6+k2π , k ∈ ℤ
⇔t=−π12+kπ5t=π12+kπ5, k ∈ ℤ
Khi k = 0 thì t = −π12 hoặc t = π12.
Theo Định luật khúc xạ ánh sáng, khi một tia sáng được chiếu tới mặt phân cách giữa hai môi trường trong suốt không đồng chất thì tỉ số sinisinr, với i là góc tới và r là góc khúc xạ, là một hằng số phụ thuộc vào chiết suất của hai môi trường. Biết rằng khi góc tới là 45° thì góc khúc xạ bằng 30°. Khi góc tới là 60° thì góc khúc xạ là bao nhiêu?
30°;
45°;
38°;
60°.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Khi góc tới là 45° thì góc khúc xạ bằng 30° nên ta có:
Tỉ số sinisinr = sin45°sin30°=2
Khi góc tới là 60° thì ta có:
sin60°sinr=2
⇔ sin60°=2sinr
⇔2sinr=32
⇔sinr=64
⇔sinr≈sin38°
⇔r≈38° (TM)r≈142° (KTM).
Vận tốc của con lắc đơn v (cm/s) được cho bởi công thức:
v(t)=−4cos23t+π4.
Tại thời điểm nào dưới đây thì vận tốc của con lắc đơn bằng 2 cm/s?
−5π8;
5π3;
π8;
5π8.
Vận tốc của con lắc đơn v (cm/s) được cho bởi công thức:
v(t)=2sin2t+π6.
Tại thời điểm nào dưới đây thì vận tốc của con lắc đơn bằng 2 cm/s?
π4;
π8;
π6;
π3.
Hằng ngày, mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h (m) của mực nước trong kênh tính theo thời gian t (giờ) trong một ngày (0 ≤ t ≤ 24) cho bởi công thức h=3cosπ6t+12. Một giá trị của t để độ sâu của mực nước là 15 m là
0 giờ;
1 giờ;
2 giờ;
3 giờ.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Để độ sâu của mực nước là 15 m thì
3cosπ6t+12=15
⇔3cosπ6t=3
⇔cosπ6t=1
⇔π6t=k2π (k ∈ ℤ)
⇔t=12k (k ∈ ℤ)
Mà 0 ≤ t ≤ 24 ⇔ 0 ≤ k ≤ 2.
Với k = 0 thì t = 0.
Với k = 1 thì t = 12.
Với k = 2 thì t = 24.
Vậy tại các thời điểm 0 giờ, 12 giờ, 24 giờ thì độ sâu của mực nước là 15 m.
Chiều cao h (m) của một cabin trên vòng quay vào thời điểm t giây sau khi bắt đầu chuyển động được cho bởi công thức
ht=30+20sinπ25t+π3. Cabin đạt độ cao tối đa là bao nhiêu?
30 m;
40 m
50 m
60 m.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Với mọi t > 0, ta có:
⇔−1≤sinπ25t+π3≤1
⇔−20≤20sinπ25t+π3≤20
⇔10≤30+20sinπ25t+π3≤50
Hay 10 ≤ h(t) ≤ 50
Vậy cabin đạt độ cao tối đa là 50 (m).
Chiều cao h (m) của một cabin trên vòng quay vào thời điểm t giây sau khi bắt đầu chuyển động được cho bởi công thứcht=30+20sinπ25t+π3. Sau bao nhiêu giây thì cabin đạt độ cao 40 m lần đầu tiên?
48,5 giây;
12,5 giây;
13,48 giây;
45,6 giây.
