22 câu trắc nghiệm Toán 11 Kết nối tri thức Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản có đáp án
22 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN
Nghiệm của phương trình \[\sin x = - 1\] là:
\[x = - \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
\[x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
\[x = k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
\[x = \frac{{3\pi }}{2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
Đáp án đúng là: B
\[\sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}\].
Nghiệm của phương trình \[\cos x = 1\] là:
\[x = k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
\[x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
\[x = k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
\[x = \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
Đáp án đúng là: C
\[\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi ,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}\].
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \[m\] để phương trình \[\sin x = m\] có nghiệm.
\(m \le 1\).
\(m \ge - 1\).
\( - 1 \le m \le 1\).
\(m \le - 1\).
Đáp án đúng là: C
Với mọi \[x \in \mathbb{R}\], ta luôn có \[ - 1 \le \sin x \le 1\].
Do đó, phương trình \[\sin x = m\] có nghiệm khi và chỉ khi \( - 1 \le m \le 1\).
Nghiệm của phương trình \(\sqrt 3 + 3\tan x = 0\) là:
\(x = \frac{\pi }{3} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = - \frac{\pi }{6} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Đáp án đúng là: C
\(\sqrt 3 + 3\tan x = 0 \Leftrightarrow \tan x = - \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Tập nghiệm của phương trình \[\sin 2x = \sin x\] là
\[S = \left\{ {k2{\rm{\pi }};\frac{{\rm{\pi }}}{3} + k2{\rm{\pi }}\left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\].
\[S = \left\{ {k2{\rm{\pi }};\frac{{\rm{\pi }}}{3} + \frac{{k2{\rm{\pi }}}}{3}\left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\].
\[S = \left\{ {k2{\rm{\pi }}; - \frac{{\rm{\pi }}}{3} + k2{\rm{\pi }}\left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\].
\[S = \left\{ {k2{\rm{\pi }};{\rm{\pi }} + k2{\rm{\pi }}\left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\].
Đáp án đúng là: B
Ta có \[\sin 2x = \sin x\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = x + k2{\rm{\pi }}\\2x = {\rm{\pi }} - x + k2{\rm{\pi }}\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2{\rm{\pi }}\\x = \frac{{\rm{\pi }}}{3} + \frac{{k2{\rm{\pi }}}}{3}\end{array} \right.\] \[\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
Phương trình \(\sin 2x = \cos x\) có nghiệm là
\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{3}\\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{3}\\x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3}\\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Đáp án đúng là: A
\(\sin 2x = \cos x \Leftrightarrow \sin 2x = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{3}\\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Giải phương trình \(\sqrt {\rm{3}} \tan 2x - 3 = 0\).
\(x = \frac{\pi }{3} + k\frac{\pi }{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = \frac{\pi }{3} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = \frac{\pi }{6} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Đáp án đúng là: C
\(\sqrt {\rm{3}} \tan 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \tan 2x = \sqrt 3 \)\( \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{3} + k\pi \)\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Phương trình lượng giác \(3\cot \,x - \sqrt 3 = 0\) có nghiệm là:
\[x = \frac{\pi }{6} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
\[x = \frac{\pi }{3} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
\[x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
Vô nghiệm.
Đáp án đúng là: B
Ta có \(3\cot x - \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \cot x = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow \cot x = \cot \left( {\frac{\pi }{3}} \right) \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,\)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \[m\] để phương trình \[\cos x - m = 0\] vô nghiệm.
\(m \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\).
\(m \in \left( {1; + \infty } \right)\).
\(m \in \left[ { - 1;1} \right]\).
\(m \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình \[\cos x = a\].
- Phương trình có nghiệm khi \[\left| a \right| \le 1\].
- Phương trình vô nghiệm khi \[\left| a \right| > 1\].
Phương trình \[\cos x - m = 0 \Leftrightarrow \cos x = m\].
Do đó, phương trình \[\cos x = m\] vô nghiệm \[ \Leftrightarrow \left| m \right| > 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < - 1\\m > 1\end{array} \right.\].
Tổng tất cả các nghiệm của phương trình \[\cos \left( {\sin x} \right) = 1\] trên \[\left[ {0;2\pi } \right]\] bằng:
\[0\].
\[\pi \].
\[2\pi \].
\[3\pi \].
Đáp án đúng là: B
Ta có \[x \in \left[ {0;2\pi } \right]\] \[ \Rightarrow \sin x \in \left[ { - 1;1} \right]\]
Khi đó: \[\cos \left( {\sin x} \right) = 1 \Leftrightarrow \sin x = k2\pi \] \[\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\] với \[ - 1 \le k2\pi \le 1 \Leftrightarrow k = 0\].
Phương trình trở thành \[\sin x = 0 \Leftrightarrow x = m\pi \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pi \end{array} \right.\] \[\left( {m \in \mathbb{Z}} \right)\].
Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình \[\cos \left( {\sin x} \right) = 1\] trên \[\left[ {0;2\pi } \right]\] bằng \[\pi \].
Số nghiệm của phương trình \({\rm{sin}}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\) là:
4.
1.
2.
3.
Đáp án đúng là: C
Đặt \(x + \frac{\pi }{4} = \alpha \). Khi đó ta có phương trình \({\rm{sin}}\alpha = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Xét đường thẳng \({\rm{y}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) và đồ thị hàm số \(y = \sin a\) trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\):
Từ đồ thị hàm số trên ta thấy đường thẳng \(y = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) cắt đồ thị số \(y = \sin a\) trên đoạn \(\left[ {0;\,\,\pi } \right]\) tại hai điểm có hoành độ lần lượt là \({\alpha _1} = \frac{\pi }{4}\) và \({\alpha _2} = \frac{{3\pi }}{4}\).
Mà \(x + \frac{\pi }{4} = \alpha \), khi đó ta sẽ tìm được 2 giá trị \(x\) là \({x_1} = 0\) và \({x_2} = \frac{\pi }{2}\).
Giá trị \(m\) để phương trình \(5\sin x - m = {\tan ^2}x\left( {\sin x - 1} \right)\) có đúng 3 nghiệm thuộc \(\left( { - \pi ;\frac{\pi }{2}} \right)\) là
\( - 1 < m \le \frac{5}{2}\).
\(0 < m \le 5\).
\(0 \le m \le \frac{{11}}{2}\).
\( - 1 < m \le 6\).
Đáp án đúng là: C
Điều kiện \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Ta có: \(5\sin x - m = {\tan ^2}x\left( {\sin x - 1} \right) \Leftrightarrow 5\sin x - m = \frac{{{{\sin }^2}x}}{{\left( {1 - \sin x} \right)\left( {1 + \sin x} \right)}}\left( {\sin x - 1} \right)\)
\( \Leftrightarrow 6{\sin ^2}x - \left( {m - 5} \right)\sin x - m = 0\)
Đặt \(t = \sin x \Rightarrow t \in \left( { - 1;1} \right)\)
PT trở thành \(6{t^2} - \left( {m - 5} \right)t - m = 0\left( 1 \right)\)
YCBT Û PT (1) có 2 nghiệm phân biệt thỏa \( - 1 < {t_1} < 0 \le {t_2} < 1\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_1}{t_2} \le 0\\\left( {{t_1} + 1} \right)\left( {{t_2} + 1} \right) > 0\\\left( {{t_1} - 1} \right)\left( {{t_2} - 1} \right) > 0\end{array} \right. \Rightarrow 0 \le m < \frac{{11}}{2}\).
PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI
Cho phương trình \(2\sin \left( {x - \frac{\pi }{{12}}} \right) + \sqrt 3 = 0\).
a) Phương trình đã cho tương đương với phương trình \(\sin \left( {x - \frac{\pi }{{12}}} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{3}} \right)\).
b) Phương trình đã cho có nghiệm là: \(x = \frac{\pi }{4} + k2\pi ;\,\,x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
c) Phương trình đã cho có nghiệm âm lớn nhất bằng \( - \frac{\pi }{4}\).
d) Số nghiệm của phương trình đã cho trong khoảng \(\left( { - \pi ;\pi } \right)\) là hai nghiệm.
Ta có: \(2\sin \left( {x - \frac{\pi }{{12}}} \right) + \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{{12}}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{{12}}} \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{3}} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - \frac{\pi }{{12}} = - \frac{\pi }{3} + k2\pi }\\{x - \frac{\pi }{{12}} = \pi - \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) + k2\pi }\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{x = \frac{{17\pi }}{{12}} + k2\pi }\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.} \right.\).
Vậy phương trình có nghiệm là: \[x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi ;\,\,x = \frac{{17\pi }}{{12}} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
Phương trình có nghiệm âm lớn nhất bằng \( - \frac{\pi }{4}\).
Số nghiệm của phương trình trong khoảng \(\left( { - \pi ;\pi } \right)\) là hai nghiệm.
Đáp án: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.
Cho phương trình \(\sqrt 2 \cos \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) - 1 = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
a) Phương trình \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \cos \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{4}} \right)\,.\)
b) Phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm \(x = k2\pi ;x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
c) Trên khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) phương trình \(\left( 1 \right)\) có tập nghiệm là \(S = \left\{ {\frac{{3\pi }}{4}} \right\}.\)
d) Tổng các nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right)\) trong khoảng \(\left( { - 3\pi ;3\pi } \right)\) là \(3\pi .\)
Ta có \(\sqrt 2 \cos \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) - 1 = 0 \Leftrightarrow \cos \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \cos \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{4}} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{2x + \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{4} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = k\pi }\\{x = - \frac{\pi }{4} + k\pi }\end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
+ Xét nghiệm \(x = k\pi \): Do \(x \in \left( {0;\pi } \right)\) nên \(0 < k\pi < \pi \Leftrightarrow 0 < k < 1\) loại do \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
+ Xét nghiệm \(x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \): Do \(x \in \left( {0;\pi } \right)\) nên \(0 < - \frac{\pi }{4} + k\pi < \pi \Leftrightarrow \frac{1}{4} < k < \frac{5}{4}\), do đó \(k = 1 \Rightarrow x = \frac{{3\pi }}{4}.\)
Vậy trên khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) phương trình \(\left( 1 \right)\) có tập nghiệm là \(S = \left\{ {\frac{{3\pi }}{4}} \right\}.\)
+ Xét nghiệm \(x = k\pi \):
Do \(x \in \left( { - 3\pi ;3\pi } \right)\) nên \( - 3\pi < k\pi < 3\pi \Leftrightarrow - 3 < k < 3\) do \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \left\{ { \pm 1; \pm 2;0} \right\}\).
Vây trên khoảng \(\left( { - 3\pi ;3\pi } \right)\) phương trình có các nghiệm là \( \pm 2\pi ; \pm \pi ;0\). Tổng các nghiệm này là \({S_1} = 0\).
+ Xét nghiệm \(x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \):
Do \(x \in \left( { - 3\pi ;3\pi } \right)\) nên \( - 3\pi < - \frac{\pi }{4} + k\pi < 3\pi \Leftrightarrow - \frac{{11}}{4} < k < \frac{{13}}{4}\) do \(k \in \mathbb{Z}\) nên\(k \in \left\{ { - 2; - 1;0;1;2;3} \right\}\).
Vây trên khoảng \(\left( { - 3\pi ;3\pi } \right)\) phương trình có các nghiệm là
\(x = - \frac{{9\pi }}{4};x = - \frac{{5\pi }}{4};x = - \frac{\pi }{4};x = \frac{{3\pi }}{4};x = \frac{{7\pi }}{4};x = \frac{{11\pi }}{4}\).
Tổng các nghiệm này là \({S_2} = \frac{{3\pi }}{2}\).
Vậy tổng các nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right)\) trong khoảng \(\left( { - 3\pi ;3\pi } \right)\) là \(S = {S_1} + {S_2} = \frac{{3\pi }}{2}.\)
Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.
Cho hàm số \(y = \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)\) và hàm số\(y = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\).
a) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho \(\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\).
b) Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho là \(x = \frac{{5\pi }}{8} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
c) Điểm \(M\left( {\frac{{5\pi }}{8};\sin \frac{{5\pi }}{8}} \right)\) là một giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho trên \(\left[ {0\,;2\pi } \right]\).
d) Khi \(x \in \left[ {0\,;3\pi } \right]\) thì hai đồ thị hàm số đã cho cắt nhau tại ba điểm lần lượt \[A,B,C\]gọi \[I\]là trung điểm của \[AC\]thì \[I\left( {\frac{{13\pi }}{{16}};\sin \left( {\frac{{13\pi }}{4}} \right)} \right)\].
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số:
\[\begin{array}{l}\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sin x \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - \frac{\pi }{4} = x + k2\pi }\\{x - \frac{\pi }{4} = \pi - x + k2\pi }\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.\\ \Leftrightarrow 2x = \frac{{5\pi }}{4} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow x = \frac{{5\pi }}{8} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\]
Vì \[x \in \left[ {0\,;2\pi } \right] \Rightarrow x \in \left\{ {\frac{{5\pi }}{8};\frac{{13\pi }}{8}} \right\}\].
Với \[x = \frac{{5\pi }}{8} \Rightarrow y = \sin \frac{{5\pi }}{8} \Rightarrow A\left( {\frac{{5\pi }}{8};\sin \frac{{5\pi }}{8}} \right)\],
với \[x = \frac{{13\pi }}{8} \Rightarrow y = \sin \frac{{13\pi }}{8} \Rightarrow B\left( {\frac{{13\pi }}{8};\sin \frac{{13\pi }}{8}} \right)\],
với \[x = \frac{{21\pi }}{8} \Rightarrow y = \sin \frac{{21\pi }}{8} \Rightarrow C\left( {\frac{{21\pi }}{8};\sin \frac{{21\pi }}{8}} \right)\].
Vì \[I\]là trung điểm của \[AC\]
\[ \Rightarrow I\left( {\frac{{13\pi }}{{16}};\frac{{\sin \left( {\frac{{5\pi }}{8}} \right) + \sin \left( {\frac{{21\pi }}{8}} \right)}}{2}} \right) = \left( {\frac{{13\pi }}{{16}};\frac{{2.\sin \left( {\frac{{13\pi }}{4}} \right).\cos \left( { - 2\pi } \right)}}{2}} \right) = \left( {\frac{{13\pi }}{{16}};\sin \left( {\frac{{13\pi }}{4}} \right)} \right)\].
Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.
Cho phương trình \({\sin ^2}\left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = {\cos ^2}\left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)\).
a) Hạ bậc hai vế, ta được phương trình \(\frac{{1 + \cos \left( {4x + \frac{\pi }{2}} \right)}}{2} = \frac{{1 - \cos \left( {2x + \pi } \right)}}{2}\).
b) Ta có \(\cos \left( {2x + \pi } \right) = - \cos 2x\).
c) Phương trình đã cho đưa về dạng \(\cos \left( {4x + \frac{\pi }{2}} \right) = \cos 2x\).
d) Nghiệm của phương trình đã cho là \(x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \) và x=π12+kπ3 k∈ℤ
Hạ bậc hai vế, ta được phương trình \(\frac{{1 - \cos \left( {4x + \frac{\pi }{2}} \right)}}{2} = \frac{{1 + \cos \left( {2x + \pi } \right)}}{2}\).
Ta có\(\cos \left( {2x + \pi } \right) = - \cos 2x\) (Áp dụng giá trị lượng giác của 2 cung hơn kém \(\pi \)).
\(\frac{{1 - \cos \left( {4x + \frac{\pi }{2}} \right)}}{2} = \frac{{1 + \cos \left( {2x + \pi } \right)}}{2} \Leftrightarrow - \cos \left( {4x + \frac{\pi }{2}} \right) = \cos \left( {2x + \pi } \right) \Leftrightarrow - \cos \left( {4x + \frac{\pi }{2}} \right) = - \cos \left( {2x} \right)\).
\[ \Leftrightarrow \cos \left( {4x + \frac{\pi }{2}} \right) = \cos 2x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x + \frac{\pi }{2} = 2x + k2\pi \\4x + \frac{\pi }{2} = - 2x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = - \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{3}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
Đáp án: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.
Cho phương trình \(\tan \left( {2x - 15^\circ } \right) = 1\) (*).
a) Phương trình (*) có nghiệm \(x = 30^\circ + k90^\circ \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
b) Phương trình có nghiệm âm lớn nhất bằng \( - 30^\circ \).
c) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng \(\left( { - 180^\circ ;90^\circ } \right)\) bằng \(180^\circ \).
d) Trong khoảng \(\left( { - 180^\circ ;90^\circ } \right)\), phương trình có nghiệm lớn nhất bằng \(60^\circ \).
Ta có \(\tan \left( {2x - 15^\circ } \right) = 1 \Leftrightarrow 2x - 15^\circ = 45^\circ + k90^\circ \Leftrightarrow x = 30^\circ + k90^\circ \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Với \(k = - 1\), ta có \(x = - 60^\circ \) là nghiệm âm lớn nhất của phương trình (*).
\( - 180^\circ < x < 90^\circ \Rightarrow - 180^\circ < 30^\circ + k90^\circ < 90^\circ \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Rightarrow k \in \left\{ { - 2; - 1;0} \right\}\)\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 150^\circ }\\{x = - 60^\circ }\\{x = 30^\circ }\end{array}} \right.\).
Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Sai.
PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN
Hằng ngày, mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu \[h\,\,\left( {\rm{m}} \right)\] của mực nước trong kênh tính theo thời gian \[t\left( h \right)\] được cho bởi công thức \[h = 3\sin \left( {\frac{{\pi t}}{4} + \frac{\pi }{3}} \right) + 14\]. Thời gian ngắn nhất để mực nước của kênh cao nhất là \[t = \frac{a}{b}\]. Tính \[a.b\]?
Vì \[ - 1 \le \sin \left( {\frac{{\pi t}}{4} + \frac{\pi }{3}} \right) \le 1\]\[ \Rightarrow 11 \le h \le 17\].
Do đó \[\max h = 17\]\[ \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{{\pi t}}{4} + \frac{\pi }{3}} \right) = 1\]\[ \Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{4} + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \]\[ \Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{4} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \]\[ \Leftrightarrow t = \frac{2}{3} + 6k,\,k \in \mathbb{Z}\].
Thời gian ngắn nhất để mực nước của kênh cao nhất \[t = \frac{2}{3}\left( h \right)\].
Vậy \[a.b = 2.3 = 6\]
Đáp án: 6.
Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố \(A\) trong ngày thứ \(t\) (ở đây \(t\) là số ngày tính từ ngày 1 tháng 1) của năm \(2024\) được cho bởi hàm số \(f\left( t \right) = 12 + 2,83\sin \left( {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right)\), \[t \in {\mathbb{N}^*}\] và \(0 < t \le 366\). Hỏi vào ngày nào trong tháng 6 thì thành phố \(A\) có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất?
Ta có \( - 1 \le \sin \left( {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right) \le 1\)\( \Leftrightarrow 9,17 \le 12 + 2,83\sin \left( {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right) \le 14,83\).
Như vậy có thể thấy số giờ có ánh sáng mặt trời nhiều nhất là \(14,83\) (giờ) và xảy ra khi
\(\sin \left( {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right) = 1\)\( \Leftrightarrow \frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right) = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)\( \Leftrightarrow t - 80 = 91 + 366k\)\( \Leftrightarrow t = 171 + 366k\)
Vì \(0 < t \le 366\) nên \(0 < 171 + 366k \le 366\)\( \Leftrightarrow - \frac{{171}}{{366}} < k \le \frac{{195}}{{366}}\)\( \Rightarrow k = 0\) vì \(k \in \mathbb{Z}\).
Với \(k = 0\)\( \Rightarrow t = 171\).
Có thể thấy năm 2024 là năm nhuận, nên với \(t = 171\) thì ngày có số giờ ánh sáng mặt trời nhiều nhất là ngày 19 tháng 6.
Đáp án: \(19\).
Giả sử một vật dao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình\(x = 2\cos \left( {5t - \frac{\pi }{6}} \right)\).
Ở đây, thời gian \(t\) tính bằng giây và quãng đường \(x\) tính bằng centimét. Hãy cho biết trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, vật đi qua vị trí cân bằng bao nhiêu lần?
Khi vật đi qua vị trí cân bằng thì \(x = 0\), ta có:
\(2\cos \left( {5t - \frac{\pi }{6}} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \cos \left( {5t - \frac{\pi }{6}} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 5t - \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{2} + k\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\)
\( \Leftrightarrow 5t = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi \) , \(k \in \mathbb{Z}\)\( \Leftrightarrow t = \frac{{2\pi }}{{15}} + \frac{{k\pi }}{5}\),\(k \in \mathbb{Z}\).
Trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, ta có: \(0 \le \frac{{2\pi }}{{15}} + \frac{{k\pi }}{5} \le 6\)\( \Leftrightarrow \frac{{ - 2}}{3} \le k \le \frac{{90 - 2\pi }}{{3\pi }}\).
Vì k∈ℤ⇒k∈0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8
Vậy trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, vật đi qua vị trí cân bằng 9 lần.
Đáp án: \(9\).
Một cái cổng vào một trung tâm thương mại có hình dạng là một phần của đồ thị hàm số \(y = 2\cos \left( {\frac{x}{2}} \right) + 2\). Gọi \(A,B\) là hai điểm nằm trên cổng (trên đồ thị hàm số \(y = 2\cos \left( {\frac{x}{2}} \right) + 2\)) và \(C,D\) là hai điểm nằm trên mặt nền của cổng sao cho \(ABCD\) là hình chữ nhật. Người quản lí trung tâm thương mại muốn lắp một cái cửa kính tự động vào hình chữ nhật \(ABCD\). Tính diện tích của cái cửa cần lắp biết chiều cao của cái cửa là \(AD = 3\) mét (kết quả làm tròn đến một chữ số thập phân theo đơn vị mét vuông, lấy \(\pi = 3,14\)).
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ:
\[AD = 3 \Leftrightarrow 2\cos \frac{x}{2} + 2 = 3 \Leftrightarrow \cos \frac{x}{2} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{2\pi }}{3} + k4\pi \\x = \frac{{ - 2\pi }}{3} + k4\pi \end{array} \right.(k \in \mathbb{Z})\]
Chọn \[A\left( {\frac{{ - 2\pi }}{3};3} \right);B\left( {\frac{{2\pi }}{3};3} \right);C\left( {\frac{{2\pi }}{3};0} \right);D\left( {\frac{{ - 2\pi }}{3};0} \right)\].
Khi đó, \[AB = \frac{{4\pi }}{3};AD = 3 \Rightarrow {S_{ABCD}} = 4\pi \,\,{\rm{(}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}} \approx {\rm{12,6}}\,\,{\rm{(}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}\].
Đáp án: \(12,6\).
Một vật \(M\) được gắn vào đầu lò xo và dao động quanh vị trí cân bằng \(I\), biết rằng \(O\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) trên trục \(Ox\), toạ độ điểm \(M\) trên \(Ox\) tại thời điểm \(t\) (giây) là đại lượng \(s\) (đơn vị: cm) được tính bởi công thức \(s = 8,6\cos \left( {8t + \frac{\pi }{2}} \right)\). Tại mấy thời điểm trong khoảng 2 giây đầu tiên thì \(s = 4,3\;\) cm?
Khi \(s = 4,3\) thì \(8,6\cos \left( {8t + \frac{\pi }{2}} \right) = 4,3 \Rightarrow \cos \left( {8t + \frac{\pi }{2}} \right) = \frac{1}{2}\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{8t + \frac{\pi }{2} = \frac{\pi }{3} + k2\pi }\\{8t + \frac{\pi }{2} = - \frac{\pi }{3} + k2\pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = - \frac{\pi }{{48}} + k\frac{\pi }{4}}\\{t = - \frac{{5\pi }}{{48}} + k\frac{\pi }{4}}\end{array}(k \in \mathbb{Z}).} \right.} \right.\)
Vì \(t \in \left( {0\,;2} \right)\) nên có \(4\) giá trị \(t\) thoả mãn là: \({t_1} \approx 0,72\;s;{t_2} \approx 1,51\;s;{t_3} \approx 0,46\;s;\,{t_4} \approx 0,1,24\;s\).
Vậy tại 4 thời điểm trong khoảng 2 giây đầu tiên thì \(s = 4,3\;\) cm.
Đáp án: 4.
