Bài tập Bài toán thực tiễn liên quan đến phương trình lượng giác lớp 11 (có lời giải)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì v₀ = 500 m/s và g = 9,8 m/s² nên ta có phương trình quỹ đạo của quả đạn là:

$y=\frac{-9,8}{{2.500}^2{\cos }^2\alpha }{x}^2+x\tan \alpha =\frac{-49}{2500000{\cos }^2\alpha }{x}^2+x\tan \alpha$\.

Quả đạn chạm đất khi y = 0, khi đó

$\frac{-49}{2500000{\cos }^2\alpha }{x}^2+x\tan \alpha =0$

⇔ $x\left(\frac{-49}{2500000{\cos }^2\alpha }x+\tan \alpha \right)=0$

⇔ $\left[\begin{array}{l}x=0\\ x=\frac{2500000{\cos }^2\alpha .\tan \alpha }{49}\end{array}\right.$

⇔ $\left[\begin{array}{l}x=0\\ x=\frac{2500000\cos \alpha .\sin \alpha }{49}\end{array}\right.$

⇔ $\left[\begin{array}{l}x=0\\ x=\frac{1250000\sin 2\alpha }{49}\end{array}\right.$

Loại x = 0 (đạn pháo chưa được bắn)

Vậy tầm xa mà quả đạn đạt tới là $x=\frac{1250000\sin 2\alpha }{49}$ (m).

Để quả đạn trúng mục tiêu cách vị trí đặt khẩu pháp 22 000 m thì x = 22 000 m.

Khi đó: $\frac{1250000\sin 2\alpha }{49}=22000$

⇔

⇔.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Khi góc tới là 45° thì góc khúc xạ bằng 30° nên ta có:

Tỉ số $\frac{\sin i}{\sin r}$ = $\frac{\sin 45°}{\sin 30°}=\sqrt{2}$

Khi góc tới là 60° thì ta có:

$\frac{\sin 60°}{\sin r}=\sqrt{2}$

⇔ $\sin 60°=\sqrt{2}\sin r$

⇔$\sqrt{2}\sin r=\frac{\sqrt{3}}{2}$

⇔$\sin r=\frac{\sqrt{6}}{4}$

⇔$\sin r\approx \sin \left(38°\right)$

⇔$\left[\begin{array}{l}r\approx 38°\left(TM\right)\\ r\approx 142°\left(KTM\right)\end{array}\right.$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Để độ sâu của mực nước là 15 m thì

$3\cos \left(\frac{\pi }{6}t\right)+12=15$

$\iff 3\cos \left(\frac{\pi }{6}t\right)=3$

$\iff \cos \left(\frac{\pi }{6}t\right)=1$

$\iff \frac{\pi }{6}t=k2\pi$          (k ∈ ℤ)

$\iff t=$12k              (k ∈ ℤ)

Mà 0 ≤ t ≤ 24 ⇔ 0 ≤ k ≤ 2.

Với k = 0 thì t = 0.

Với k = 1 thì t = 12.

Với k = 2 thì t = 24.

Vậy tại các thời điểm 0 giờ, 12 giờ, 24 giờ thì độ sâu của mực nước là 15 m.

Đáp án đúng là: B

Vật đi qua vị trí x = 0 khi và chỉ khi:

\(4\sin \left( {2\pi t - \frac{\pi }{6}} \right) = 0 \Leftrightarrow 2\pi t - \frac{\pi }{6} = k\pi \Leftrightarrow 2\pi t = \frac{\pi }{6} + k\pi \Leftrightarrow t = \frac{1}{{12}} + \frac{k}{2}\quad (k \in \mathbb{Z})\).

Với \(k = 0\), ta thu được thời điểm tương ứng là \(t = \frac{1}{{12}}\) giây.

Đáp án đúng là: C

Vì \(\cos \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) = - \frac{1}{2}\) nên phương trình \(\cos \left( {\frac{\pi }{3}t} \right) = - \frac{1}{2}\) \( \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{3}t} \right) = \cos \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right)\).

Đáp án đúng là: C

\(3 + 2\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6}} \right) = 4 \Leftrightarrow 2\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6}} \right) = 1 \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{\pi t}}{6}} \right) = \frac{1}{2} = \cos \frac{\pi }{3}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{6} = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \Leftrightarrow t = \pm 2 + 12k\quad (k \in \mathbb{Z})\)

Với \(t = 2 + 12k\). Vì \(0 \le t \le 24 \Rightarrow k \in \{ 0;1\} \Rightarrow t \in \{ 2;14\} \).

Với \(t = - 2 + 12k\). Vì \(0 \le t \le 24 \Rightarrow k \in \{ 1;2\} \Rightarrow t \in \{ 10;22\} \).

Tổng cộng có đúng 4 thời điểm trong ngày thỏa mãn điều kiện đề bài.

Đáp án đúng là: A

\(2 + 2\sin \left( {100\pi t - \frac{\pi }{4}} \right) = 2 \Leftrightarrow \sin \left( {100\pi t - \frac{\pi }{4}} \right) = 0 \Leftrightarrow 100\pi t - \frac{\pi }{4} = k\pi \)

\( \Leftrightarrow 100\pi t = \frac{\pi }{4} + k\pi \Leftrightarrow t = \frac{1}{{400}} + \frac{k}{{100}} = 0,0025 + 0,01k\quad (k \in \mathbb{Z})\)

Thời điểm dương đầu tiên ứng với giá trị \(k = 0 \Rightarrow t = 0,0025\) giây.

Đáp án đúng là: D

\(22 + 20\sin \left( {\frac{\pi }{{30}}t - \frac{\pi }{2}} \right) = 32 \Leftrightarrow 20\sin \left( {\frac{\pi }{{30}}t - \frac{\pi }{2}} \right) = 10 \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{{30}}t - \frac{\pi }{2}} \right) = \frac{1}{2}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{{30}}t - \frac{\pi }{2} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\\frac{\pi }{{30}}t - \frac{\pi }{2} = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{{30}}t = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\\frac{\pi }{{30}}t = \frac{{4\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 20 + 60k\\t = 40 + 60k\end{array} \right.\)

Khoảng thời gian khảo sát trong 2 phút đầu tiên tương ứng với 0 ≤ t ≤ 120 giây:

Từ họ 1: \(k = 0 \Rightarrow t = 20{\rm{ s}}\); \(k = 1 \Rightarrow t = 80{\rm{ s}}\).

Từ họ 2: \(k = 0 \Rightarrow t = 40{\rm{ s}}\); \(k = 1 \Rightarrow t = 100{\rm{ s}}\).

Vậy có 4 thời điểm.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Cho i = 0, ta có \(i = 2\cos \left( {100\pi t + \frac{\pi }{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow \cos \left( {100\pi t + \frac{\pi }{3}} \right) = 0\).

b) Sai. \(\cos \left( {100\pi t + \frac{\pi }{3}} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 100\pi t + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

c) Đúng. Biến đổi từ ý b: \(100\pi t = \frac{\pi }{2} - \frac{\pi }{3} + k\pi = \frac{\pi }{6} + k\pi \Leftrightarrow t = \frac{1}{{600}} + \frac{k}{{100}},k \in \mathbb{Z}\).

d) Đúng. Thay \(t = 0 \Rightarrow i = 2\cos \left( {\frac{\pi }{3}} \right) = 2 \cdot 0,5 = 1{\rm{ A}}\).

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Ta có \(d = 5 + 3\sin \left( {\frac{{\pi t}}{4} - \frac{\pi }{6}} \right) = 6,5\)\( \Leftrightarrow 3\sin \left( {\frac{{\pi t}}{4} - \frac{\pi }{6}} \right) = 1,5\)\( \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{{\pi t}}{4} - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{2}\).

b) Sai. \(\sin \frac{\pi }{6} = \frac{1}{2}\).

c) Đúng. \(\sin \left( {\frac{{\pi t}}{4} - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{\pi t}}{4} - \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\\frac{{\pi t}}{4} - \frac{\pi }{6} = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{4}{3} + 8k\\t = 4 + 8k\end{array} \right.\).

Với k = 0 thì \(t = \frac{4}{3};t = 4\).

Vậy thời điểm đầu tiên trong ngày mà phải đóng van xả nước là \(\frac{4}{3}\) giờ tức 1 giờ 20 phút.

d) Sai. Từ họ 1 (\(t = \frac{4}{3} + 8k\)): trong khoảng \([0;24] \Rightarrow k \in \{ 0;1;2\} \Rightarrow 3\) nghiệm.

Từ họ 2 (\(t = 4 + 8k\)): trong khoảng \([0;24] \Rightarrow k \in \{ 0;1;2\} \Rightarrow 3\) nghiệm.

Tổng số thời điểm trong ngày là \(3 + 3 = 6\) thời điểm.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Ta có \(s = 10 + 6\cos \left( {10\pi t} \right) = 13\)\[ \Leftrightarrow 6\cos \left( {10\pi t} \right) = 13 - 10 = 3 \Rightarrow \cos \left( {10\pi t} \right) = \frac{1}{2}\].

b) Đúng. Ta có \[\cos \left( {10\pi t} \right) = \frac{1}{2}\]\[ \Leftrightarrow 10\pi t = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\].

c) Đúng. Chia cả hai vế cho \(10\pi \): \(t = \pm \frac{\pi }{{3 \cdot 10\pi }} + \frac{{k2\pi }}{{10\pi }} = \pm \frac{1}{{30}} + \frac{k}{5}\).

d) Đúng. Đếm số nghiệm trong khoảng \(0 \le t \le 1\):

Nhánh dương \(t = \frac{1}{{30}} + \frac{k}{5} = \frac{{6k + 1}}{{30}}\): Với \(0 \le \frac{{6k + 1}}{{30}} \le 1 \Rightarrow k \in \{ 0;1;2;3;4\} \Rightarrow 5\) nghiệm.

Nhánh âm \(t = - \frac{1}{{30}} + \frac{k}{5} = \frac{{6k - 1}}{{30}}\): Với \(0 \le \frac{{6k - 1}}{{30}} \le 1 \Rightarrow k \in \{ 1;2;3;4;5\} \Rightarrow 5\) nghiệm.

Tổng số thời điểm là 10 thời điểm.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Điều kiện: \(\frac{\pi }{4}t \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow t \ne 2 + 4k\).

b) Đúng. Đặt \(d = 2 \Rightarrow 2\tan \left( {\frac{\pi }{4}t} \right) = 2 \Leftrightarrow \tan \left( {\frac{\pi }{4}t} \right) = 1\).

c) Đúng. Áp dụng công thức nghiệm cơ bản hàm tan: \(\frac{\pi }{4}t = \frac{\pi }{4} + k\pi \Leftrightarrow t = 1 + 4k,k \in \mathbb{Z}\).

d) Đúng. Vì \(0 \le 1 + 4k \le 10 \Leftrightarrow - 0,25 \le k \le 2,25 \Rightarrow k \in \{ 0;1;2\} \).

Do đó có đúng 3 thời điểm trong 10 phút đầu.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Đặt \(T = 24 \Rightarrow 12\sin \left( {\frac{\pi }{6}x - \frac{{2\pi }}{3}} \right) = 24 - 18 = 6 \Rightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{6}x - \frac{{2\pi }}{3}} \right) = \frac{6}{{12}} = \frac{1}{2}\).

b) Đúng. Bản chất của phương trình lượng giác cơ bản hàm sin luôn sinh ra hai họ nghiệm đối xứng qua trục tung.

c) Đúng. Giải nhánh 1: \(\frac{\pi }{6}x - \frac{{2\pi }}{3} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \Leftrightarrow \frac{\pi }{6}x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \Leftrightarrow x = 5 + 12k\).

Do \(1 \le x \le 12 \Rightarrow k = 0 \Rightarrow x = 5\) (tháng 5).

d) Sai. Giải nhánh 2: \(\frac{\pi }{6}x - \frac{{2\pi }}{3} = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \Leftrightarrow \frac{\pi }{6}x = \frac{{3\pi }}{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = 9 + 12k\).

Do \(1 \le x \le 12 \Rightarrow k = 0 \Rightarrow x = 9\) (tháng 9). Vậy tháng muộn nhất trong năm đạt mức nhiệt này phải là tháng 9.

Đáp án: 4

Con lắc qua vị trí thẳng đứng khi α = 0:

\(0,1\cos (2\pi t) = 0 \Leftrightarrow \cos (2\pi t) = 0 \Leftrightarrow 2\pi t = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow t = \frac{1}{4} + \frac{k}{2}\quad (k \in \mathbb{Z})\)

Có \(0 \le \frac{1}{4} + \frac{k}{2} \le 2 \Leftrightarrow 0 \le 1 + 2k \le 8 \Leftrightarrow - 0,5 \le k \le 3,5 \Rightarrow k \in \{ 0;1;2;3\} \).

Có chính xác 4 thời điểm, tương ứng con lắc đi qua vị trí cân bằng 4 lần.

Đáp án: 0,83

\(2 + 0,8\sin \left( {\frac{\pi }{5}t} \right) = 2,4 \Leftrightarrow 0,8\sin \left( {\frac{\pi }{5}t} \right) = 0,4 \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{5}t} \right) = \frac{{0,4}}{{0,8}} = \frac{1}{2} = \sin \frac{\pi }{6}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{5}t = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\\frac{\pi }{5}t = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{5}{6} + 10k\\t = \frac{{25}}{6} + 10k\end{array} \right.\).

Thời điểm t dương nhỏ nhất là \(t = \frac{5}{6} \approx 0,83\).

Đáp án: 2

Có \(220\sqrt 2 \cos \left( {100\pi t} \right) = 220\sqrt 2 \Leftrightarrow \cos \left( {100\pi t} \right) = 1 \Leftrightarrow 100\pi t = k2\pi \Leftrightarrow t = \frac{k}{{50}} = 0,02k\;(k \in \mathbb{Z})\)

Có\(0 \le 0,02k \le 0,02 \Leftrightarrow 0 \le k \le 1 \Rightarrow k \in \{ 0;1\} \).

Vậy có đúng hai thời điểm.

Đáp án: 4

\(5\cot \left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right) = \frac{{5\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow \cot \left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{3} = \cot \left( {\frac{\pi }{3}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \frac{\pi }{{12}}t = \frac{\pi }{3} + k\pi \Leftrightarrow t = 4 + 12k\quad (k \in \mathbb{Z})\)

D\(0 < t < 12\), ta chọn k = 0. Suy ra t = 4 giờ.

Đáp án: 33,3

\(15 + 10\sin \left( {\frac{\pi }{{20}}t - \frac{\pi }{2}} \right) = 10 \Leftrightarrow 10\sin \left( {\frac{\pi }{{20}}t - \frac{\pi }{2}} \right) = - 5 \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{{20}}t - \frac{\pi }{2}} \right) = - \frac{1}{2} = \sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)\)

Nhánh 1: \(\frac{\pi }{{20}}t - \frac{\pi }{2} = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \Leftrightarrow \frac{\pi }{{20}}t = \frac{\pi }{3} + k2\pi \Leftrightarrow t = \frac{{20}}{3} + 40k\).

Nhánh 2: \(\frac{\pi }{{20}}t - \frac{\pi }{2} = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \Leftrightarrow \frac{\pi }{{20}}t = \frac{{5\pi }}{3} + k2\pi \Leftrightarrow t = \frac{{100}}{3} + 40k\).

Tìm thời điểm lớn nhất trong vòng quay đầu tiên (\(0 \le t \le 40\)):

Từ nhánh 1, với \(k = 0 \Rightarrow t = \frac{{20}}{3} \approx 6,7{\rm{ s}}\).

Từ nhánh 2, với \(k = 0 \Rightarrow t = \frac{{100}}{3} \approx 33,3{\rm{ s}}\).

So sánh hai giá trị, thời điểm lớn nhất thỏa mãn là \(t = 33,3\) giây