Đề kiểm tra Phương trình lượng giác cơ bản lớp 11 (có lời giải) - Đề 2

Chọn C

\(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\) đúng.

\(\cot x =  - 1 \Leftrightarrow x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\) đúng.

\(\cos x =  - 1 \Leftrightarrow x = \pi  + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\) sai. Đúng là \(\cos x =  - 1 \Leftrightarrow x = \pi  + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).

\(\tan x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\) đúng.

Vậy chọn đáp án C.

Chọn A

Ta có \(\cot 2x = \cot 20^\circ  \Leftrightarrow 2x = 20^\circ  + k180^\circ  \Leftrightarrow x = 10^\circ  + k90^\circ ,k \in \mathbb{Z}\)

Chọn D

ĐKXĐ: \[\left\{ \begin{array}{l}\sin 3x \ne 0\\{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne k\frac{\pi }{3}\\x \ne k\pi \end{array} \right.\]

Phương trình tương đương:

\(\frac{{\cos 3x}}{{\sin 3x}} = \frac{{\cos x}}{{\sin x}} \Leftrightarrow \sin x\cos 3x - \cos x\sin 3x = 0\) \( \Leftrightarrow \sin 2x = 0 \Leftrightarrow x = k\frac{\pi }{2}\)

Kết hợp điều kiện ta được các nghiệm của phương trình: \(x = \frac{\pi }{2} + k\pi \)

$\tan \left(2x-{15}^{°}\right)=1\iff x={30}^{°}+k{90}^{°}(k\in \mathbb{Z})$

$\begin{array}{l}-{180}^{°}<x<{90}^{°}\Rightarrow -{180}^{°}<{30}^{°}+k{90}^{°}<{90}^{°}(k\in \mathbb{Z})\Rightarrow k=\{-2;-1;0\}\\ \Rightarrow \left[\begin{array}{l}x=-{150}^{°}\\ x=-{60}^{°}\\ x={30}^{°}\end{array}\right.\end{array}$

\(\cot 3x = - \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow \cot 3x = \cot \left( {\frac{{ - \pi }}{3}} \right) \Leftrightarrow 3x = \frac{{ - \pi }}{3} + k\pi (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow x = \frac{{ - \pi }}{9} + k\frac{\pi }{3}(k \in \mathbb{Z})\).

\( - \frac{\pi }{2} < \frac{{ - \pi }}{9} + k\frac{\pi }{3} < 0(k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow \frac{{ - 7}}{6} < k < \frac{1}{3} \Rightarrow k = \{ - 1;0\} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{ - \pi }}{9}}\\{x = \frac{{ - 4\pi }}{9}}\end{array}.} \right.\)

Ta có: \(\sin \left( {3x + \frac{\pi }{3}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + \frac{\pi }{3} = - \frac{\pi }{3} + k2\pi }\\{3x + \frac{\pi }{3} = \frac{{4\pi }}{3} + k2\pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z})} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }\\{3x = \pi + k2\pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - \frac{{2\pi }}{9} + k\frac{{2\pi }}{3}}\\{x = \frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3}}\end{array}(k \in \mathbb{Z})} \right.} \right.\).

Vì \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) nên \(x = \frac{\pi }{3},x = \frac{{4\pi }}{9}\).

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\).

Ta có:

$\sqrt{2}-2\sin \left({45}^{°}-2x\right)=0\iff \sin \left({45}^{°}-2x\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\iff \sin \left({45}^{°}-2x\right)=\sin {45}^{°}$

$\iff \left[\begin{array}{l}{45}^{°}-2x={45}^{°}+k{360}^{°}\\ {45}^{°}-2x={180}^{°}-{45}^{°}+k{360}^{°}\end{array}(k\in \mathbb{Z})\iff \left[\begin{array}{l}x=-k{180}^{°}\\ x=-{45}^{°}-k{180}^{°}\end{array}(k\in \mathbb{Z}).\right.\right.$

Vậy phương trình có nghiệm là: $x=-k{180}^{°};x=-{45}^{°}-k{180}^{°}(k\in \mathbb{Z})$

 Trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) phương trình đã cho có hai nghiệm

\(\sin x\sin \left( {x - \frac{\pi }{{18}}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sin x = 0}\\{\sin \left( {x - \frac{\pi }{{18}}} \right) = 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = k\pi }\\{x - \frac{\pi }{{18}} = k\pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = k\pi }\\{x = \frac{\pi }{{18}} + k\pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z})} \right.} \right.\)

Vậy phương trình có nghiệm là: \(x = k\pi ;x = \frac{\pi }{{18}} + k\pi (k \in \mathbb{Z})\).

\(2\cos 2x - 8\cos x + 7 = \frac{1}{{\cos x}}\)

Điều kiện: \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi (k \in \mathbb{Z})\)

\( \Leftrightarrow 2\left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right)\cos x - 8{\cos ^2}x + 7\cos x = 1 \Leftrightarrow 4{\cos ^3}x - 8{\cos ^2}x + 5\cos x - 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\cos x = 1}\\{\cos x = \frac{1}{2}}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\cos x = 1}\\{\cos x = \cos \frac{\pi }{3}}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = k\pi }\\{x = \frac{\pi }{3} + k2\pi }\\{x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z})} \right.} \right.} \right.\)

\(\begin{array}{l}{\rm{ }}\cos \left( {x - \frac{{3\pi }}{4}} \right) + \cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow \cos \left( {x - \frac{{3\pi }}{4}} \right) = - \cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\\ \Leftrightarrow \cos \left( {x - \frac{{3\pi }}{4}} \right) = \cos \left( {\pi - \frac{\pi }{3} - x} \right) \Leftrightarrow \cos \left( {x - \frac{{3\pi }}{4}} \right) = \cos \left( {\frac{{2\pi }}{3} - x} \right)\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - \frac{{3\pi }}{4} = \frac{{2\pi }}{3} - x + k2\pi }\\{x - \frac{{3\pi }}{4} = - \frac{{2\pi }}{3} + x + k2\pi }\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - \frac{{3\pi }}{4} = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }\\{0x = \frac{\pi }{{12}} + k2\pi (VL)}\end{array} \Leftrightarrow x = \frac{{17\pi }}{{24}} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right.} \right.\)

\(\begin{array}{l}\sin \left( {x - \frac{{2\pi }}{3}} \right) - \cos 2x = 0 \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{{2\pi }}{3}} \right) = \cos 2x\\ \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{{2\pi }}{3}} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - \frac{{2\pi }}{3} = \frac{\pi }{2} - 2x + k2\pi }\\{x - \frac{{2\pi }}{3} = \pi  - \frac{\pi }{2} + 2x + k2\pi }\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x - \frac{{2\pi }}{3} = \frac{\pi }{2} + k2\pi }\\{ - x - \frac{{2\pi }}{3} = \frac{\pi }{2} + k2\pi }\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{7\pi }}{{18}} + \frac{{k2\pi }}{3}}\\{x =  - \frac{{7\pi }}{6} - k2\pi }\end{array},k \in \mathbb{Z}} \right.} \right.\end{array}\)

Vì \(\frac{{{\rm{sin}}{{45}^ \circ }}}{{{\rm{sin}}{{30}^ \circ }}} = \frac{{{\rm{sin}}{{60}^ \circ }}}{{{\rm{sin}}r}}\) nên \({\rm{sin}}r = \frac{{{\rm{sin}}{{60}^ \circ }{\rm{sin}}{{30}^ \circ }}}{{{\rm{sin}}{{45}^ \circ }}} = \frac{{\sqrt 6 }}{4}\). Suy ra \(r = 37,{76^ \circ }\).

Lời giải

Ta có phương trình: \(550 + 450 \cdot \cos \frac{\pi }{{50}}t = 250 \Leftrightarrow \cos \frac{\pi }{{50}}t =  - \frac{2}{3}\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{\pi }{{50}}t \approx 2,3 + k2\pi }\\{\frac{\pi }{{50}}t \approx  - 2,3 + k2\pi }\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t \approx 36,61 + k100}\\{t \approx  - 36,61 + k100}\end{array},k \in \mathbb{Z}.} \right.} \right.\)

Vậy trong khoảng 60 phút đầu tiên kể từ lúc vệ tinh bay vào quỹ đạo, tại thời điểm \(t \approx 36,61\) (phút) thì ta có thể thực hiện thí nghiệm đó.