Đề kiểm tra Phương trình lượng giác cơ bản lớp 11 (có lời giải) - Đề 1
22 câu hỏi
Tập nghiệm của phương trình sin x = -1 là
\[\left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi \,,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
\[\left\{ { - \frac{\pi }{2} + k\pi \,,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
\[\left\{ { - \frac{\pi }{2} + k2\pi \,,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
\[\left\{ {k\frac{\pi }{2}\,,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\].
Chọn C
Ta có phương trình 
.
Nghiệm của phương trình lượng giác \(\sin x = 5\) là
\(x \in \mathbb{R}\).
\(x = \pm \arcsin 5 + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\left[ \begin{array}{l}x = \arcsin 5 + k2\pi \\x = \pi - \arcsin 5 + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x \in \emptyset \).
Chọn D
Phương trình \[\sin x = m\] chỉ có nghiệm khi và chỉ khi \[\left| m \right| \le 1\].
Nên phương trình đã cho vô nghiệm.
Tính \(\alpha \) biết \(\cos \alpha = 1\):
\(\alpha = k\pi \;\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\alpha = k2\pi \;\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\alpha = \frac{\pi }{2} + k2\pi \;\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\alpha = - \pi + k2\pi \;\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Chọn B
Giải phương trình \(\sqrt {\rm{3}} \tan 2x - 3 = 0\).
\(x = \frac{\pi }{3} + k\frac{\pi }{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = \frac{\pi }{3} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = \frac{\pi }{6} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Chọn C
\(\sqrt {\rm{3}} \tan 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \tan 2x = \sqrt 3 \)\( \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{3} + k\pi \)\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Phương trình \[\tan x = \tan \varphi \], \[\left( {\varphi \in \mathbb{R}} \right)\] có nghiệm là
\[x = \varphi + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
\[x = \varphi + k2\pi \,\,;\,x = \pi - \varphi + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
\[x = \varphi + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
\[x = \varphi + k2\pi \,;\,x = - \varphi + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
Chọn C
Ta có : \[\tan x = \tan \varphi \Leftrightarrow x = \varphi + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
Tất cả các nghiệm của phương trình \(\cot x = \cot \alpha \)là
\(x = \alpha + k2\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \alpha + k\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \alpha + k\pi \).
\(x = \pm \alpha + k\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\).
Chọn B
Mệnh đề nào sau đây đúng với mọi số nguyên \(k\)?
\(\cot x = \cot \alpha \Leftrightarrow x = \pm \alpha + k2\pi \).
\(\cot x = \cot \alpha \Leftrightarrow x = \pm \alpha + k\pi \).
\(\cot x = \cot \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + 2k\).
\(\cot x = \cot \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \).
Chọn D
Áp dụng công thức giải phương trình lượng giác cơ bản, có: \(\cot x = \cot \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Tìm tất cả các giá trị thực của than số m để phương trình sin x - m = 2 có nghiệm?
.
.
.
.
Chọn D
Phương trình \[\sin 2x = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\] có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng \[\left( {0;\,\pi } \right)?\]
\[4\].
\[3\].
\[2\].
\[1\].
Chọn C
Ta có \[\sin 2x = - \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{8} + k\pi \\x = \frac{{5\pi }}{8} + l\pi \end{array} \right.\] với \[k\], \[l\]\[ \in \mathbb{Z}\].
Trên khoảng \[\left( {0;\,\pi } \right)\] ta có \[2\] nghiệm thỏa mãn tương ứng \[k = 1\] và \[l = 0\].
Phương trình \(\sin 2x\, = \, - \frac{1}{2}\) có hai họ nghiệm có dạng \(x = \alpha + k\pi \) và \(x = \,\beta + k\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\)\(\left( { - \frac{\pi }{4} < \alpha < 0 < \beta < \frac{{3\pi }}{4}} \right)\). Khi đó: Tính \({\beta ^2} - {\alpha ^2}\)?
\(\frac{{{\pi ^2}}}{3}\).
\(\frac{{ - {\pi ^2}}}{3}\).
\(\frac{{25\,{\pi ^2}}}{{72}}\).
\(\frac{{ - 25\,{\pi ^2}}}{{72}}\).
Chọn A
\(\,\,\,\,\,\,\,\sin 2x\, = - \frac{1}{2}\,\) \( \Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l}2x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\2x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\) \[ \Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right.\,\]\(\left( {k \in \,\mathbb{Z}} \right)\).
\( \Rightarrow \,\beta \, = \,\frac{{7\pi }}{{12}},\,\alpha \, = - \frac{\pi }{{12}}\,\) \( \Rightarrow \,{\beta ^2} - {\alpha ^2} = \frac{{{\pi ^2}}}{3}\).
Phương trình \(\tan x\, = \sqrt 3 \)có bao nhiêu nghiệm trong khoảng \(\left( {0\,;\,\pi } \right)\)?
3.
2.
0.
1.
Chọn D
Ta có \(\tan x\, = \sqrt 3 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Để \(x \in \left( {0\,;\,\pi } \right) \Rightarrow 0 < \frac{\pi }{3} + k\pi < \pi \Leftrightarrow - \frac{1}{3} < k < \frac{2}{3}\). Mà \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi }{3}\).
Vậy phương trình có duy nhất một nghiệm trong khoảng \(\left( {0\,;\,\pi } \right)\).
Tìm số nghiệm của phương trình \[\tan x = \tan \frac{{3\pi }}{8}\] trên \(\left( {\frac{\pi }{4};2\pi } \right)\).
\(2\).
\(3\).
\(4\).
\(1\).
Chọn A
Ta có \(\tan x = \tan \frac{{3\pi }}{8}\)\[ \Leftrightarrow x = \frac{{3\pi }}{8} + k\pi \], \(k \in \mathbb{Z}\).
Với \(x \in \left( {\frac{\pi }{4};2\pi } \right)\), ta có \(\frac{\pi }{4} < \frac{{3\pi }}{8} + k\pi < 2\pi \Leftrightarrow - \frac{1}{8} < k < \frac{{13}}{8}\) suy ra \(k \in \left\{ {0;1} \right\}\).
Vậy trên khoảng \(\left( {\frac{\pi }{4};2\pi } \right)\), phương trình đã cho có hai nghiệm.
Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho phương trình lượng giác \(\sin 2x = - \frac{1}{2}\) (*). Khi đó:
a) Phương trình (*) tương đương \(\sin 2x = \sin \frac{\pi }{6}\)
b) Trong khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) phương trình có 3 nghiệm
c) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) bằng \(\frac{{3\pi }}{2}\)
d) Trong khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) phương trình có nghiệm lớn nhất bằng \(\frac{{11\pi }}{{12}}\)
a) Sai | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng |
\(\sin 2x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin 2x = \sin \frac{{ - \pi }}{6} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x = \frac{{ - \pi }}{6} + k2\pi }\\{2x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z}) \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{ - \pi }}{{12}} + k\pi }\\{x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z})} \right.} \right.\).
\(0 < x < \pi \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 < \frac{{ - \pi }}{{12}} + k\pi < \pi }\\{0 < \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi < \pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{k = 1}\\{k = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{11\pi }}{{12}}}\\{x = \frac{{7\pi }}{{12}}}\end{array}} \right.} \right.\).
Cho phương trình \(\sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( {x + \frac{{3\pi }}{4}} \right)\) (*), vậy:
a) Phương trình có nghiệm \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \pi + k2\pi }\\{x = \frac{\pi }{6} + k\frac{{2\pi }}{3}}\end{array}(k \in \mathbb{Z}){\rm{.}}} \right.\)
b) Trong khoảng \((0;\pi )\) phương trình có 2 nghiệm
c) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng \((0;\pi )\) bằng \(\frac{{7\pi }}{6}\)
d) Trong khoảng \((0;\pi )\) phương trình có nghiệm lớn nhất bằng \(\frac{{5\pi }}{6}\)
a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng |
Ta có: \(\sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( {x + \frac{{3\pi }}{4}} \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - \frac{\pi }{4} = x + \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi }\\{2x - \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} - x + k2\pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z})} \right.\).
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \pi + k2\pi }\\{x = \frac{\pi }{6} + k\frac{{2\pi }}{3}}\end{array}(k \in \mathbb{Z}){\rm{. V\`i }}x \in (0;\pi ){\rm{ n\^e n }}x \in \left\{ {\frac{\pi }{6};\frac{{5\pi }}{6}} \right\}} \right.{\rm{. }}\)
Vậy phương trình có hai nghiệm thuộc khoảng \((0;\pi )\) là \(x = \frac{\pi }{6};x = \frac{{5\pi }}{6}\).
Cho phương trình lượng giác \(2\sin x = \sqrt 2 \), khi đó:
a) Phương trình tương đương \(\sin x = \sin \frac{\pi }{4}\)
b) Phương trình có nghiệm là: \(x = \frac{\pi }{3} + k2\pi ;x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})\).
c) Phương trình có nghiệm dương nhỏ nhất bằng \(\frac{\pi }{4}\)
d) Số nghiệm của phương trình trong khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) là hai nghiệm
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Sai |
Ta có: \(2\sin x = \sqrt 2 \Leftrightarrow \sin x = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin \frac{\pi }{4}\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{x = \pi - \frac{\pi }{4} + k2\pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z}).} \right.} \right.\)
Vậy phương trình có nghiệm là: \(x = \frac{\pi }{4} + k2\pi ;x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})\).
Phương trình có nghiệm dương nhỏ nhất bằng \(\frac{\pi }{4}\)
Số nghiệm của phương trình trong khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) là một nghiệm
Cho hai đồ thị hàm số \(y = \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\) và \(y = \sin x\), khi đó:
a) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số:\(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin x\)
b) Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là \(x = \frac{{3\pi }}{8} + k\pi (k \in \mathbb{Z})\)
c) Khi \(x \in [0;2\pi ]\) thì hai đồ thị hàm số cắt nhau tại ba điểm
d) Khi \(x \in [0;2\pi ]\) thì toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là: \(\left( {\frac{{5\pi }}{8};\sin \frac{{5\pi }}{8}} \right),\left( {\frac{{7\pi }}{8};\sin \frac{{7\pi }}{8}} \right)\).
a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Sai |
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số:
\(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin x \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + \frac{\pi }{4} = x + k2\pi }\\{x + \frac{\pi }{4} = \pi - x + k2\pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow x = \frac{{3\pi }}{8} + k\pi (k \in \mathbb{Z}).} \right.\)
Vì \(x \in [0;2\pi ] \Rightarrow x \in \left\{ {\frac{{3\pi }}{8};\frac{{11\pi }}{8}} \right\}\).
Với \(x = \frac{{3\pi }}{8} \Rightarrow y = \sin \frac{{3\pi }}{8} \approx 0,92\) với \(x = \frac{{11\pi }}{8} \Rightarrow y = \sin \frac{{11\pi }}{8} \approx - 0,92\).
Vậy toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là: \(\left( {\frac{{3\pi }}{8};\sin \frac{{3\pi }}{8}} \right),\left( {\frac{{11\pi }}{8};\sin \frac{{11\pi }}{8}} \right)\).
Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Tìm nghiệm phương trình lượng giác: cosx+30°+1=0
Ta có: cosx+30°+1=0⇔cosx+30°=−1
⇔x+30°=180°+k360°(k∈ℤ)⇔x=150°+k360°(k∈ℤ).
Vậy phương trình có nghiệm là: x=150°+k360°(k∈ℤ)
Tìm nghiệm phương trình lượng giác\(\cot 3x = \cot (\pi - x)\);
Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sin 3x \ne 0}\\{\sin (\pi - x) \ne 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ne k\frac{\pi }{3}}\\{x \ne \pi - l\pi }\end{array}(k,l \in \mathbb{Z})} \right.} \right.\).
Ta có: \(\cot 3x = \cot (\pi - x) \Leftrightarrow 3x = \pi - x + k\pi (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{4}(k \in \mathbb{Z})\).
Kết hợp với điều kiện suy ra nghiệm phương trình là:
\(x = \pm \frac{\pi }{4} + k\pi ,x = \frac{\pi }{2} + k\pi (k \in \mathbb{Z}).\)
Tìm \(m\) để các phương trình lượng giác sau có nghiệm: \(2\sin 3x = m - 1\).
\(2\sin 3x = m - 1 \Leftrightarrow \sin 3x = \frac{{m - 1}}{2}\).
Điều kiện có nghiệm: \( - 1 \le \frac{{m - 1}}{2} \le 1 \Leftrightarrow - 1 \le m \le 3\).
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \(\sin x - m = 1\) có nghiệm.
Ta có: \(\sin x - m = 1 \Leftrightarrow \sin x = m + 1\).
Điều kiện để phương trình có nghiệm là: \( - 1 \le m + 1 \le 1 \Leftrightarrow - 2 \le m \le 0\).
Vậy \( - 2 \le m \le 0\) thoả mãn đề bài.
Khi một tia sáng truyền từ ông khí vào mặt nước thì một phần tia sáng bị phản xạ trên bề mặt, phần còn lại bị khúc xạ như trong Hình 1.26. Góc tới \(i\) liên hệ với góc khúc xạ \(r\) bởi Định luật khúc xạ ánh sáng \(\frac{{{\rm{sin}}i}}{{{\rm{sin}}r}} = \frac{{{n_2}}}{{{n_1}}}{\rm{.\;}}\)
Ở đây, \({n_1}\) và \({n_2}\) tương ứng là chiết suất của môi trường 1 (không khí) và môi trường 2 (nước). Cho biết góc tới \(i = {50^ \circ }\), hãy tính góc khúc xạ, biết rằng chiết suất của không khí bằng 1 còn chiết suất của nước là 1,33.
Theo bài ra ta có: \({\rm{i}} = {50^ \circ },{{\rm{n}}_1} = 1,{{\rm{n}}_2} = 1,33\), thay vào \(\frac{{{\rm{sin}}i}}{{{\rm{sinr}}}} = \frac{{{n_2}}}{{{n_1}}}\) ta được:
sin50∘sinr=1,331 (đk sin r≠0 ) ⇒sinr=sin50∘1,33 ⇔sinr≈0,57597 (thoa mãn đki) ⇔sinr≈sin35∘10'
\(\begin{array}{*{20}{r}}{}&{\; \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{r \approx {{35}^ \circ }{{10}^{\rm{'}}} + k{{360}^ \circ }}\\{r \approx {{180}^ \circ } - {{35}^ \circ }{{10}^{\rm{'}}} + k{{360}^ \circ }}\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.}\\{}&{\; \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{r \approx {{35}^ \circ }{{10}^{\rm{'}}} + k{{360}^ \circ }}\\{r \approx {{144}^ \circ }{{50}^{\rm{'}}} + k{{360}^ \circ }}\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.}\end{array}\)Mà \({0^ \circ } < r < {90^ \circ }\) nên \(r \approx {35^ \circ }{10^{\rm{'}}}\).
Vậy góc khúc xạ \(r \approx {35^ \circ }{10^{\rm{'}}}\).
Trong môn cầu lông, khi phát cầu, người chơi cần đánh cầu qua khỏi lưới sang phía sân đối phương và không được để cho cầu rơi ngoài biên.
Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), chọn điểm có tọa độ \(\left( {O;{y_0}} \right)\) là điểm xuất phát thì phương trình quỹ đạo của cầu lông khi rời khỏi mặt vợt là: \(y = \frac{{ - g \cdot {x^2}}}{{2 \cdot v_0^2 \cdot {{\cos }^2}\alpha }} + \tan (\alpha ) \cdot x + {y_0}\); trong đó:
g là gia tốc trọng trường (thường được chọn là \(9,8\;m/{s^2}\) );
\(\alpha \) là góc phát cầu (so với phương ngang của mặt đất);
\({v_0}\) là vận tốc ban đầu của cầu;
\({y_0}\) là khoảng cách từ vị trí phát cầu đến mặt đất.
Đây là một hàm số bậc hai nên quỹ đạo chuyển động của cầu lông là một parabol.
Một người chơi cầu lông đang đứng khoảng cách từ vị trí người này đến vị trí cầu rơi chạm đất (tầm bay xa) là \(6,68\;m\). Quan sát hình bên dưới, hỏi người chơi đã phát cầu góc khoảng bao nhiêu độ so với mặt đất? ( biết cầu rời mặt vợt ở độ cao \(0,7\;m\) so với mặt đất và vận tốc xuất phát của cầu là \(8\;m/s\), bỏ qua sức cản của gió và xem quỹ đạo của cầu luôn nằm trong mặt phẳng phẳng đứng).
Với \(g = 9,8\;m/{s^2}\), vận tốc ban đầu \({v_0} = 8\;m/s\), phương trình quỹ đạo của cầu:
\(y = \frac{{ - g \cdot {x^2}}}{{2 \cdot v_0^2 \cdot {{\cos }^2}\alpha }} + \tan (\alpha ) \cdot x + {y_0}\)
Khoảng cách từ vị trí người này đến vị trí cầu rơi chạm đất (tầm bay xa) là \(6,68\;m\); nghĩa là \(x = 6,68\;m\).
Ta có: −9,8⋅(6,68)2128⋅cos2α+tan(α)⋅(6,68)+0,7=0⇔−9,8⋅(6,68)21281+tan2α+tan(α)⋅(6,68)+0,7=0⇔tanα≈1,378tanα≈0,576⇔α≃54,04°α≃29,97°
Vậy người chơi đã phát cầu một góc gần \({54^0}\) hoặc gần 30° so với mặt đất.
