Đề kiểm tra Phương trình lượng giác cơ bản lớp 11 (có lời giải) - Đề 1

Chọn A

\(\,\,\,\,\,\,\,\sin 2x\, =  - \frac{1}{2}\,\) \( \Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l}2x =  - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\2x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\) \[ \Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right.\,\]\(\left( {k \in \,\mathbb{Z}} \right)\).

\( \Rightarrow \,\beta \, = \,\frac{{7\pi }}{{12}},\,\alpha \, =  - \frac{\pi }{{12}}\,\) \( \Rightarrow \,{\beta ^2} - {\alpha ^2} = \frac{{{\pi ^2}}}{3}\).

Chọn D

Ta có \(\tan x\, = \sqrt 3  \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Để \(x \in \left( {0\,;\,\pi } \right) \Rightarrow 0 < \frac{\pi }{3} + k\pi  < \pi  \Leftrightarrow  - \frac{1}{3} < k < \frac{2}{3}\). Mà \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi }{3}\).

Vậy phương trình có duy nhất một nghiệm trong khoảng \(\left( {0\,;\,\pi } \right)\).

Chọn A

Ta có \(\tan x = \tan \frac{{3\pi }}{8}\)\[ \Leftrightarrow x = \frac{{3\pi }}{8} + k\pi \], \(k \in \mathbb{Z}\).

Với \(x \in \left( {\frac{\pi }{4};2\pi } \right)\), ta có \(\frac{\pi }{4} < \frac{{3\pi }}{8} + k\pi  < 2\pi  \Leftrightarrow  - \frac{1}{8} < k < \frac{{13}}{8}\) suy ra \(k \in \left\{ {0;1} \right\}\).

Vậy trên khoảng \(\left( {\frac{\pi }{4};2\pi } \right)\), phương trình đã cho có hai nghiệm.

\(\sin 2x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin 2x = \sin \frac{{ - \pi }}{6} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x = \frac{{ - \pi }}{6} + k2\pi }\\{2x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z}) \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{ - \pi }}{{12}} + k\pi }\\{x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z})} \right.} \right.\).

\(0 < x < \pi \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 < \frac{{ - \pi }}{{12}} + k\pi < \pi }\\{0 < \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi < \pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{k = 1}\\{k = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{11\pi }}{{12}}}\\{x = \frac{{7\pi }}{{12}}}\end{array}} \right.} \right.\).

Ta có: \(\sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( {x + \frac{{3\pi }}{4}} \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - \frac{\pi }{4} = x + \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi }\\{2x - \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} - x + k2\pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z})} \right.\).

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \pi + k2\pi }\\{x = \frac{\pi }{6} + k\frac{{2\pi }}{3}}\end{array}(k \in \mathbb{Z}){\rm{. V\`i }}x \in (0;\pi ){\rm{ n\^e n }}x \in \left\{ {\frac{\pi }{6};\frac{{5\pi }}{6}} \right\}} \right.{\rm{. }}\)

Vậy phương trình có hai nghiệm thuộc khoảng \((0;\pi )\) là \(x = \frac{\pi }{6};x = \frac{{5\pi }}{6}\).

Ta có: \(2\sin x = \sqrt 2 \Leftrightarrow \sin x = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin \frac{\pi }{4}\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{x = \pi - \frac{\pi }{4} + k2\pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z}).} \right.} \right.\)

Vậy phương trình có nghiệm là: \(x = \frac{\pi }{4} + k2\pi ;x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})\).

Phương trình có nghiệm dương nhỏ nhất bằng \(\frac{\pi }{4}\)

Số nghiệm của phương trình trong khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) là một nghiệm

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số:

\(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin x \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + \frac{\pi }{4} = x + k2\pi }\\{x + \frac{\pi }{4} = \pi - x + k2\pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow x = \frac{{3\pi }}{8} + k\pi (k \in \mathbb{Z}).} \right.\)

Vì \(x \in [0;2\pi ] \Rightarrow x \in \left\{ {\frac{{3\pi }}{8};\frac{{11\pi }}{8}} \right\}\).

Với \(x = \frac{{3\pi }}{8} \Rightarrow y = \sin \frac{{3\pi }}{8} \approx 0,92\) với \(x = \frac{{11\pi }}{8} \Rightarrow y = \sin \frac{{11\pi }}{8} \approx - 0,92\).

Vậy toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là: \(\left( {\frac{{3\pi }}{8};\sin \frac{{3\pi }}{8}} \right),\left( {\frac{{11\pi }}{8};\sin \frac{{11\pi }}{8}} \right)\).

Ta có: $\cos \left(x+{30}^{°}\right)+1=0\iff \cos \left(x+{30}^{°}\right)=-1$

$\iff x+{30}^{°}={180}^{°}+k{360}^{°}(k\in \mathbb{Z})\iff x={150}^{°}+k{360}^{°}(k\in \mathbb{Z}).$

Vậy phương trình có nghiệm là: $x={150}^{°}+k{360}^{°}(k\in \mathbb{Z})$

Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sin 3x \ne 0}\\{\sin (\pi - x) \ne 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ne k\frac{\pi }{3}}\\{x \ne \pi - l\pi }\end{array}(k,l \in \mathbb{Z})} \right.} \right.\).

Ta có: \(\cot 3x = \cot (\pi - x) \Leftrightarrow 3x = \pi - x + k\pi (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{4}(k \in \mathbb{Z})\).

Kết hợp với điều kiện suy ra nghiệm phương trình là:

\(x = \pm \frac{\pi }{4} + k\pi ,x = \frac{\pi }{2} + k\pi (k \in \mathbb{Z}).\)

\(2\sin 3x = m - 1 \Leftrightarrow \sin 3x = \frac{{m - 1}}{2}\).

Điều kiện có nghiệm: \( - 1 \le \frac{{m - 1}}{2} \le 1 \Leftrightarrow - 1 \le m \le 3\).

Ta có: \(\sin x - m = 1 \Leftrightarrow \sin x = m + 1\).

Điều kiện để phương trình có nghiệm là: \( - 1 \le m + 1 \le 1 \Leftrightarrow - 2 \le m \le 0\).

Vậy \( - 2 \le m \le 0\) thoả mãn đề bài.

Theo bài ra ta có: \({\rm{i}} = {50^ \circ },{{\rm{n}}_1} = 1,{{\rm{n}}_2} = 1,33\), thay vào \(\frac{{{\rm{sin}}i}}{{{\rm{sinr}}}} = \frac{{{n_2}}}{{{n_1}}}\) ta được:

 $\begin{array}{rr}& \frac{\text{sin}{50}^{\circ }}{\text{sin}r}=\frac{1,33}{1}\text{ (đk sin }r\ne 0\text{ ) }\\ & \Rightarrow \text{sin}r=\frac{\text{sin}{50}^{\circ }}{1,33}\\ & \iff \text{sin}r\approx 0,57597\text{ (thoa mãn đki) }\\ & \iff \text{sin}r\approx \text{sin}\left({35}^{\circ }{10}^{\text{'}}\right)\end{array}$

\(\begin{array}{*{20}{r}}{}&{\; \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{r \approx {{35}^ \circ }{{10}^{\rm{'}}} + k{{360}^ \circ }}\\{r \approx {{180}^ \circ } - {{35}^ \circ }{{10}^{\rm{'}}} + k{{360}^ \circ }}\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.}\\{}&{\; \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{r \approx {{35}^ \circ }{{10}^{\rm{'}}} + k{{360}^ \circ }}\\{r \approx {{144}^ \circ }{{50}^{\rm{'}}} + k{{360}^ \circ }}\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.}\end{array}\)Mà \({0^ \circ } < r < {90^ \circ }\) nên \(r \approx {35^ \circ }{10^{\rm{'}}}\).

Vậy góc khúc xạ \(r \approx {35^ \circ }{10^{\rm{'}}}\).