Bài tập Giải một số phương trình lượng giác đưa về phương trình lượng giác cơ bản lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: C

\(\cos 2x - \sin 2x = 1 \Leftrightarrow \sqrt 2 \cos \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1 \Leftrightarrow \cos \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\2x + \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).

Với k = 1 ta được \(\left[ \begin{array}{l}x = \pi \\x = \frac{{3\pi }}{4}\end{array} \right.\) . Vậy x = \(\frac{{3\pi }}{4}\) là nghiệm của phương trình S.

Đáp án đúng là: B

\(\cos 2x + \sqrt 3 \sin 2x + \sqrt 3 \sin x - \cos x = 2\)

\( \Leftrightarrow 2\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) + 2\sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = 2\)

\( \Leftrightarrow 2\left[ {1 - 2{{\sin }^2}\left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)} \right] + 2\sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = 2\)

\( \Leftrightarrow - 4{\sin ^2}\left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) + 2\sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = 0\\\sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \frac{\pi }{6} = k\pi \\x - \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x - \frac{\pi }{6} = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k\pi \\x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \pi + k2\pi \end{array} \right.\).

Vậy nghiệm dương nhỏ nhất cuả phương trình là x₀ = \(\frac{\pi }{6}\) với k = 1.

Đáp án đúng là: D

\(\left( {m + 1} \right){\sin ^2}x - \sin 2x + \cos 2x = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right) \cdot \frac{{1 - \cos 2x}}{2} - \sin 2x + \cos 2x = 0\)

\( \Leftrightarrow m + 1 - m\cos 2x - \cos 2x - 2\sin 2x + 2\cos 2x = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\cos 2x + 2\sin 2x = m + 1\)

Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi \({\left( {m - 1} \right)^2} + {2^2} \ge {\left( {m + 1} \right)^2} \Leftrightarrow 4m \le 4 \Leftrightarrow m \le 1\)

Kết hợp \(\left\{ \begin{array}{l}m \in \mathbb{Z}\\m \in \left[ { - 2018;2018} \right]\end{array} \right.\) => có 2020 giá trị của tham số m.

Đáp án đúng là: A

Ta có: 8cos2xsin2xcos4x = -\(\sqrt 2 \) ⇔ 4sin4xcos4x = -\(\sqrt 2 \) ⇔ 2sin8x = -\(\sqrt 2 \)

⇔ sin8x = \( - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)⇔ \(\sin 8x = \sin \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{{32}} + k\frac{\pi }{4}\\x = \frac{{5\pi }}{{32}} + k\frac{\pi }{4}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Đáp án đúng là: B

\(\sin \left( {\pi - x} \right) - \cos \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right) = 0 \Leftrightarrow \sin x - \sin 2x = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = \sin x\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = x + k2\pi \\2x = \pi - x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \frac{\pi }{3} + \frac{{k2\pi }}{3}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Đáp án: a) Đúng. b) Sai c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Ta có: \(\sqrt 3 \sin x - \cos x = \sqrt 2 \) ⇔ \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

\( \Leftrightarrow \sin x\cos \frac{\pi }{6} - \cos x\sin \frac{\pi }{6} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) \( \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \frac{\pi }{4}\).

b) Sai. (*) ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x - \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x - \frac{\pi }{6} = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi \\x = \frac{{11\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).

Xét họ nghiệm \(x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi \):

\(0 < \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi < \pi \Leftrightarrow - \frac{5}{{24}} < k < \frac{7}{{24}},k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k = 0 \Rightarrow {x_1} = \frac{{5\pi }}{{12}}\)(thỏa mãn).

Xét họ nghiệm \(x = \frac{{11\pi }}{{12}} + k2\pi \):

\(0 < \frac{{11\pi }}{{12}} + k2\pi < \pi \Leftrightarrow - \frac{{11}}{{24}} < k < \frac{1}{{24}},k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k = 0 \Rightarrow x = \frac{{11\pi }}{{12}}\)(thỏa mãn)

c) Sai. Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng (0; π) là: \(\frac{{5\pi }}{{12}} + \frac{{11\pi }}{{12}} = \frac{{4\pi }}{3}\)

d) Đúng. Trong khoảng (0; π) phương trình (*) có nghiệm lớn nhất bằng \(\frac{{11\pi }}{{12}}\).

Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai. \(3\sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) - \sqrt 3 \cos \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow 3\sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 3 \cos \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right)\)

\( \Leftrightarrow 3 \cdot \frac{{\sin \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right)}}{{\cos \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right)}} = \sqrt 3 \)

\( \Leftrightarrow \tan \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)

\( \Leftrightarrow \tan \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = \tan \frac{\pi }{6}\)

\( \Leftrightarrow 2x - \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

\( \Leftrightarrow x = \frac{{5\pi }}{{24}} + \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}\)

b) Sai. Nghiệm âm lớn nhất là nghiệm thỏa mãn - < x < 0.

Ta có: \(\frac{{5\pi }}{{24}} + \frac{{k\pi }}{2}\)< 0 \( \Leftrightarrow \frac{5}{{24}} + \frac{k}{2} < 0 \Leftrightarrow k < - \frac{5}{{12}}\).

Do k ∈ ℤ, nên k = -1. Suy ra \(x = \frac{{5\pi }}{{24}} - \frac{\pi }{2} = - \frac{{7\pi }}{{24}}\).

Vậy nghiệm âm lớn nhất là \( - \frac{{7\pi }}{{24}}\).

c) Đúng. Xét \(\frac{{ - \pi }}{4} < x < \frac{{5\pi }}{4}\).

Ta có: \( - \frac{\pi }{4} < \frac{{5\pi }}{{24}} + \frac{{k\pi }}{2} < \frac{{5\pi }}{4} \Leftrightarrow - \frac{{11\pi }}{{24}} < \frac{{k\pi }}{2} < \frac{{25\pi }}{{24}} \Leftrightarrow \frac{{ - 11}}{{12}} < k < \frac{{25}}{{12}}\).

Do k ∈ ℤ, nên k = 0; 1; 2 => \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = \frac{{5\pi }}{{24}}\\{x_2} = \frac{{5\pi }}{{24}} + \frac{\pi }{2} = \frac{{17\pi }}{{24}}\\{x_3} = \frac{{5\pi }}{{24}} + \pi = \frac{{29\pi }}{{24}}\end{array} \right.\).

Vậy khi \(\frac{{ - \pi }}{4} < x < \frac{{5\pi }}{4}\) thì phương trình có đúng ba nghiệm.

d) Sai. Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng \(\left( {\frac{{ - \pi }}{4};\frac{{5\pi }}{4}} \right)\) là: \(\frac{{5\pi + 17\pi + 29\pi }}{{24}} = \frac{{17\pi }}{8}\).

Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Sai. \(\sin 2x - \sqrt 3 \left( {1 + \cos 2x} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow 2\sin x\cos x - \sqrt 3 \left( {2{{\cos }^2}x} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow 2\sin x\cos x - 2\sqrt 3 {\cos ^2}x = 0\)

\( \Leftrightarrow 2\cos x\left( {\sin x - \sqrt 3 \cos x} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2\cos x = 0\\\sin x - \sqrt 3 \cos x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\\sqrt 3 \cos x = \sin x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\\sqrt 3 \cdot \frac{{\cos x}}{{\sin x}} = 1\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\\cot x = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\x = \frac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\)

b) Sai. Phương trình có nghiệm là \(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\x = \frac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).

c) Sai. Cho k = -1 => \(\left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{2}\\x = - \frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\). So sánh: \( - \frac{\pi }{2} > - \frac{{2\pi }}{3}\).

Do đó, nghiệm âm lớn nhất của phương trình là \( - \frac{\pi }{2}\).

d) Đúng.

Xét họ nghiệm: \(x = \frac{\pi }{2} + k\pi \).

\( - \pi < \frac{\pi }{2} + k\pi < \pi \Leftrightarrow \frac{{ - 3\pi }}{2} < k\pi < \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow \frac{{ - 3}}{2} < k < \frac{1}{2}\).

Do k ∈ ℤ nên k = -1; 0 => \(x = - \frac{\pi }{2};x = \frac{\pi }{2}\).

Xét họ nghiệm: \(x = \frac{\pi }{3} + k\pi \).

\( - \pi < \frac{\pi }{3} + k\pi < \pi \Leftrightarrow - \frac{{4\pi }}{3} < k\pi < \frac{{2\pi }}{3} \Leftrightarrow - \frac{4}{3} < k < \frac{2}{3}\).

Do k ∈ ℤ nên k = -1; 0 => \(x = - \frac{{2\pi }}{3};x = \frac{\pi }{3}\).

Vậy số nghiệm của phương trình trong khoảng (-π; π) là 4 nghiệm.

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Sai. \(3 - 4{\sin ^2}\left( {15^\circ - x} \right) = 0 \Leftrightarrow 1 + 2\left[ {1 - 2{{\sin }^2}\left( {15^\circ - x} \right)} \right] = 0\)

\( \Leftrightarrow 1 + 2\cos \left( {30^\circ - 2x} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \cos \left( {30^\circ - 2x} \right) = - \frac{1}{2}\)

\( \Leftrightarrow \cos \left( {30^\circ - 2x} \right) = \sin \left( { - 30^\circ } \right)\)

\( \Leftrightarrow \sin \left[ {90^\circ - \left( {30^\circ - 2x} \right)} \right] = \sin \left( { - 30^\circ } \right)\)

\( \Leftrightarrow \sin \left( {60^\circ + 2x} \right) = \sin \left( { - 30^\circ } \right)\).

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}60^\circ + 2x = - 30^\circ + k360^\circ \\60^\circ + 2x = 180^\circ - \left( { - 30^\circ } \right) + k360^\circ \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 45^\circ + k180^\circ \\x = 75^\circ + k180^\circ \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

b) Đúng. Đồ thị cắt trục hoành khi và chỉ khi y = 0.

Suy ra \(3 - 4{\sin ^2}\left( {15^\circ - x} \right) = 0 \Leftrightarrow {\sin ^2}\left( {15^\circ - x} \right) = \frac{3}{4} \Leftrightarrow \sin \left( {15^\circ - x} \right) = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Với x = -45°, ta có: 15° - x = 15° - (-45°) = 60°.

Do đó \(\sin \left( {15^\circ - x} \right) = \sin 60^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Suy ra \({\sin ^2}\left( {15^\circ - x} \right) = \frac{3}{4}\). Do đó \(y = 3 - 4 \cdot \frac{3}{4} = 0\)

Vậy đồ thị hàm số \(y = 3 - 4{\sin ^2}\left( {15^\circ - x} \right)\) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = -45°.

Vậy đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ -45°.

c) Sai. phương trình \( \Leftrightarrow \sin \left( {60^\circ + 2x} \right) = \sin \left( { - 30^\circ } \right)\).

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}60^\circ + 2x = - 30^\circ + k360^\circ \\60^\circ + 2x = 180^\circ - \left( { - 30^\circ } \right) + k360^\circ \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 45^\circ + k180^\circ \\x = 75^\circ + k180^\circ \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

d) Đúng. Xét họ nghiệm \(x = - 45^\circ + k180^\circ \)

Ta có: \( - 90^\circ < - 45^\circ + k180^\circ < 90^\circ \Leftrightarrow - 45^\circ < k180^\circ < 135^\circ \)

=> x = -45°.

Xét họ nghiệm \(x = 75^\circ + k180^\circ \)

Ta có: \( - 90^\circ < 75^\circ + k180^\circ < 90^\circ \Leftrightarrow - 165^\circ < k180^\circ < 15^\circ \Leftrightarrow \frac{{ - 11}}{{12}} < k < \frac{1}{{12}}\).

Vậy trong khoảng \(\left( { - 90^\circ ;90^\circ } \right)\), phương tình có đúng hai nghiệm.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Thay \(x = \frac{{3\pi }}{4}\) vào \(2{\cos ^2}x - 1\) ta được:

\(2{\cos ^2}\frac{{3\pi }}{4} - 1 = 2{\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} - 1 = 2 \cdot \frac{1}{2} - 1 = 0\).

Suy ra \(\left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right)\left( {2\cos x - m} \right) = 0\). Do đó \(x = \frac{{3\pi }}{4}\) luôn là nghiệm của phương tình với mọi m.

b) Sai. Khi m = 1, phương trình trở thành: \(\left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right)\left( {2\cos x - 1} \right) = 0\)

Trường hợp 1: \(2{\cos ^2}x - 1 = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\).

Trường hợp 2: 2cosx - 1 = 0 ⇔ cosx = \(\frac{1}{2}\) ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Khi m = 1, phương trình có nghiệm là \(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\\x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\).

c) Sai. Khi m = -1, phương trình trở thành \(\left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right)\left( {2\cos x + 1} \right) = 0\)

Trường hợp 1: 2cos²x - 1 = 0 ⇔ \(\cos 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\)

Trên đường tròn lượng giác, ta được các điểm:

k = 0 => \(x = \frac{\pi }{4}\); k = 1 => \(x = \frac{{3\pi }}{4}\); k = 2 => x = \(\frac{{5\pi }}{4}\); k = 3 => \(x = \frac{{7\pi }}{4}\).

Vậy có 4 điểm điểm biểu diễn là \(\frac{\pi }{4};\frac{{3\pi }}{4};\frac{{5\pi }}{4};\frac{{7\pi }}{4}\)

Trường hợp 2: \(2\cos x + 1 = 0 \Leftrightarrow \cos x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\x = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\)

Kết hợp cả 2 trường hợp trên thì có 6 điểm biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác.

d) Sai. Để phương trình có đúng 3 nghiệm trên khoảng [0; 2π).

Từ (1) ta có: \(\left[ \begin{array}{l}2{\cos ^2}x - 1 = 0\\2\cos x - m = 0\end{array} \right.\)

Xét \(2{\cos ^2}x - 1 = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\)

Trên khoảng [0; 2π), ta luôn có 4 nghiệm \(x = \frac{\pi }{4};\frac{{3\pi }}{4};\frac{{5\pi }}{4};\frac{{7\pi }}{4}\).

Xét \(2\cos x - m = 0 \Leftrightarrow \cos x = \frac{m}{2}\) (*)

Trường hợp 1: |m| > 2. Khi đó: \(\left| {\frac{m}{2}} \right| > 1\). Mà \( - 1 \le \cos x \le 1\) nên phương trình vô nghiệm

Trường hợp 2: m = 2, phương trình (*) trở thành: \(\cos x = 1 \Rightarrow x = k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Trên khoảng [0; 2π), cho k = 0 => x = 0.

Vậy m = 2 có 1 nghiệm.

Trường hợp 3: m = -2, phương trình (*) trở thành \(\cos x = - 1 \Rightarrow x = \pi + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

Trên khoảng [0; 2π), cho k = 0 => x = π.

Vậy m = -2 có đúng 1 nghiệm duy nhất.

Trường hợp 4: -2 < m < 2. Khi đó \( - 1 < \frac{m}{2} < 1\)

Đặt \(\alpha = \arccos \left( {\frac{m}{2}} \right)\) thì \(0 < \alpha < \pi \).

Khi đó phương trình \(\cos x = \frac{m}{2} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\).

Do đó -2 < m < 2 có 2 nghiệm.

Vậy phương trình (*) có tổng 5 nghiệm phân biệt.

Do đó, không tồn tại giá trị nào của m để phương trình có đúng 3 nghiệm thuộc \(\left[ {0;2\pi } \right)\).

Đáp án: 7.

\(4{\sin ^2}x + 3\sqrt 3 \sin 2x - 2{\cos ^2}x = 4\)

\( \Leftrightarrow 4{\sin ^2}x + 3\sqrt 3 \sin 2x - 2{\cos ^2}x = 4\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\)

\( \Leftrightarrow 3\sqrt 3 \sin 2x - 6{\cos ^2}x = 0\)

\( \Leftrightarrow 6\cos x\left( {\sqrt 3 \sin x - \cos x} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\tan x = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\x = \frac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right.\).

Có

So sánh \(\frac{\pi }{2} > \frac{\pi }{6}\) nên ta được \(x = \frac{\pi }{6}\) là nghiệm dương nhỏ nhất.

Do đó, a = 1, b = 6 => T = a(a + b) = 1(1 + 6) = 7.

Đáp án: 18.

Đặt \(t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\). Vì \(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \in \left[ { - 1;1} \right] \Rightarrow t \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\)

Ta có: \({t^2} = {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} = {\sin ^2}x + {\cos ^2}x + 2\sin x\cos x \Rightarrow \sin x\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}\)

Khi đó, phương trình đã cho trở thành \(\frac{{{t^2} - 1}}{2} + 2t = 2 \Leftrightarrow {t^2} + 4t - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = - 5\end{array} \right.\)

Với t = 1, ta được \(\sin x + \cos x = 1 \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \frac{\pi }{4}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x + \frac{\pi }{4} = \pi - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\).

Xét họ nghiệm \(x = k2\pi \)

.

Xét họ nghiệm \(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \)

Vậy tổng các nghiệm của phương trình nằm trong khoảng \(\left( {\frac{\pi }{2};3\pi } \right)\) là: \(2\pi + \frac{{5\pi }}{2} = \frac{{9\pi }}{2}\).

Do đó \(\frac{a}{b} = \frac{9}{2}\). Suy ra ab = 18.

Đáp án: 0,71.

Ta có: \(\left( {1 + \sin x} \right)\left( {1 + \cos x} \right) = 2 \Leftrightarrow 1 + \sin x + \cos x + \sin x\cos x = 2\)

\( \Leftrightarrow \sin x + \cos x + \sin x\cos x = 1\)

\( \Leftrightarrow 2\left( {\sin x + \cos x} \right) + 2\sin x\cos x = 2\) (*)

Đặt \(t = \sin x + \cos x\left( { - \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2 } \right) \to \sin x\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}\).

Khi đó phương trình trở thành \(2t + {t^2} - 1 = 2\)

\( \Leftrightarrow {t^2} + 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = - 3\end{array} \right. \Rightarrow \sin x + \cos x = 1\)

Ta có \(\cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \cos x \cdot \cos \frac{\pi }{4} + \sin x \cdot \sin \frac{\pi }{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\cos x + \sin x} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \approx 0,71\)

Đáp án: 4.

\(\left( {2\cos 2x + 5} \right)\left( {{{\sin }^4}x - {{\cos }^4}x} \right) + 3 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {2\cos 2x + 5} \right)\left( {{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x} \right)\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) + 3 = 0\)

\( \Leftrightarrow - \cos 2x\left( {2\cos 2x + 5} \right) + 3 = 0\)

\( \Leftrightarrow - 2{\cos ^2}2x - 5\cos 2x + 3 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = \frac{1}{2}\\\cos 2x = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\2x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k\pi \\x = - \frac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right.\)

mà \(x \in \left( {0;2\pi } \right) \Rightarrow x = \left\{ {\left. {\frac{\pi }{6};\frac{{7\pi }}{6};\frac{{5\pi }}{6};\frac{{11\pi }}{6}} \right\}} \right.\). Vậy phương trình có 4 nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;2\pi } \right)\).

Đáp án: 16.

\(\tan x + m\cot x = 8 \Leftrightarrow \tan x + \frac{m}{{\tan x}} = 8 \Leftrightarrow {\tan ^2}x - 8\tan x + m = 0\)

Đặt \(t = \tan x \Rightarrow t \in \mathbb{R}\) suy ra t² - 8t + m = 0.

Để phương trình có nghiệm

Vậy có 16 giá trị của m để phương trình có nghiệm.