10 Bài tập Giải một số phương trình lượng giác đưa về phương trình lượng giác cơ bản (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Dạng tổng quát của phương trình bậc nhất với sinx và cosx là:

asinx + bcosx = c.

Từ đó suy ra phương trình sinx + 2cosx = 2 là phương trình bậc nhất với sinx và cosx.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

cos²x – 3cosx + 2 = 0

Đặt t = cosx (–1 ≤  t  ≤ 1)

Phương trình trở thành:

t² – 3t + 2 = 0 ⇔ $\left[\begin{array}{l}t=1\\ t=2\end{array}\right.$.

Với t = 1, ta có: cosx = 1 ⇔ x = k2π, k ∈ ℤ

Với t = 2, phương trình vô nghiệm.

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = $\left\{k2\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

cos2x – sinx + 2 = 0

⇔ 1 – 2sin²x – sinx + 2 = 0

⇔ 2sin²x + sin x – 3 = 0

⇔ $\left[\begin{array}{l}\sin x=1\left(TM\right)\\ \sin x=\frac{-3}{2}\left(KTM\right)\end{array}\right.$ 

Với sinx = 1 ⇔ x = $\frac{\pi }{2}+k2\pi$, k ∈ ℤ.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Thay x = $\frac{\pi }{4}$ vào phương trình 3tan²x – 4tanx + 1 = 0 ta có:

$3{\tan }^2\left(\frac{\pi }{4}\right)-4\tan \left(\frac{\pi }{4}\right)+1=0$ (thỏa mãn)

Do đó, x = $\frac{\pi }{4}$ là một nghiệm của phương trình 3tan²x – 4tanx + 1 = 0.

Đáp án đúng là: C

sin3x + cos3x = 1

⇔ \(\frac{1}{{\sqrt {1 + 1} }}\sin 3x + \frac{1}{{\sqrt {1 + 1} }}\cos 3x = \frac{1}{{\sqrt {1 + 1} }}\)

⇔ \(\frac{1}{{\sqrt 2 }}\sin 3x + \frac{1}{{\sqrt 2 }}\cos 3x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)

⇔ \(\cos \frac{\pi }{4}.\sin 3x + \sin \frac{\pi }{4}.\cos 3x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)

⇔ \(\sin \left( {3x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)

⇔ \(\sin \left( {3x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \frac{\pi }{4}\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}3x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\3x + \frac{\pi }{4} = \pi - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.\) , k ∈ ℤ

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}3x = k2\pi \\3x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\) , k ∈ ℤ

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = k\frac{2}{3}\pi \\x = \frac{\pi }{6} + k\frac{2}{3}\pi \end{array} \right.\) , k ∈ ℤ.

Đáp án đúng là: B

sinx – \(\sqrt 3 \)cosx = 1

⇔ \(\frac{1}{{\sqrt {1 + 3} }}\sin x - \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt {1 + 3} }}\cos x = \frac{1}{{\sqrt {1 + 3} }}\)

⇔ \(\frac{1}{2}\sin x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = \frac{1}{2}\)

⇔ \(\cos \frac{\pi }{3}.\sin x - \sin \frac{\pi }{3}.\cos x = \frac{1}{2}\)

⇔ \(\sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2}\)

⇔ \(\sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \frac{\pi }{6}\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x - \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x - \frac{\pi }{3} = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\), k ∈ ℤ

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\), k ∈ ℤ.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Thay x = $\frac{\pi }{8}$ vào phương trình, ta có:

sin $\left(2.\frac{\pi }{8}\right)$ + cos $\left(2.\frac{\pi }{8}\right)$ = $\sqrt{2}$ (thỏa mãn).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

sin²x – $\left(\sqrt{3}+1\right)$sinx.cosx + $\sqrt{3}$ cos²x = 0 (1)

Xét cosx = 0

Phương trình (1) trở thành: sin²x = 0 ⇔ sinx = 0 (sin²x + cos²x = 0 ≠ 1 nên vô lý).

Xét cosx ≠ 0. Chia cả hai vế của (1) cho cos²x ta được:

(1) ⇔ tan²x – $\left(\sqrt{3}+1\right)$ tanx + $\sqrt{3}$ = 0

⇔$\left[\begin{array}{l}\tan x=\sqrt{3}\\ \tan x=1\end{array}\right.$

⇔$\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{3}+k\pi \\ x=\frac{\pi }{4}+k\pi \end{array}\right.$, k ∈ ℤ.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

cos³x – 4sin³x – 3cosx.sin²x + sinx = 0 (1)

Xét cos x = 0, ta có:

(1) ⇔ – 4sin³x + sinx = 0

⇔ sinx(– 4sin²x + 1) = 0

⇔ sinx(– 2sinx + 1)(1 + 2sinx) = 0

⇔ $\left[\begin{array}{l}\sin x=0\\ \sin x=\frac{1}{2}\\ \sin x=-\frac{1}{2}\end{array}\right.$   (cả ba đều KTM vì sin²x + cos²x ≠ 1).

Xét cosx ≠ 0 , ta chia cả hai vế của (1) cho cos³x ta được:

1 – 4tan³x – 3tan²x + tanx(1 + tan²x) = 0

⇔ 3tan³x + 3tan²x – tanx – 1 = 0

⇔ (tanx + 1)(3tan² x – 1) = 0

⇔ $\left[\begin{array}{l}\tan x=-1\\ \tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}\\ \tan x=-\frac{\sqrt{3}}{3}\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \\ x=\frac{\pi }{6}+k\pi \\ x=-\frac{\pi }{6}+k\pi \end{array}\right.$ , k ∈ ℤ.