10 Bài tập Giải một số phương trình lượng giác đưa về phương trình lượng giác cơ bản (có lời giải)
10 câu hỏi
Phương trình nào sau đây là phương trình bậc nhất với sinx và cosx?
3cos2x – 5cosx + 4 = 0;
sinx + 2cosx = 2;
sin3x + 3sinx.cos2x + 2cos3x = 0;
sin(3x + 4) – cos2(2x) = cos(3x).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Dạng tổng quát của phương trình bậc nhất với sinx và cosx là:
asinx + bcosx = c.
Từ đó suy ra phương trình sinx + 2cosx = 2 là phương trình bậc nhất với sinx và cosx.
Nghiệm của phương trình cos2x – 3cosx + 2 = 0 là
x=π6+k2πx=5π6+k2π, k ∈ ℤ;
x=π+k2πx=k2π, k ∈ ℤ;
x=kπ, k ∈ ℤ;
x=k2π, k ∈ ℤ.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
cos2x – 3cosx + 2 = 0
Đặt t = cosx (–1 ≤ t ≤ 1)
Phương trình trở thành:
t2 – 3t + 2 = 0 ⇔ t=1t=2.
Với t = 1, ta có: cosx = 1 ⇔ x = k2π, k ∈ ℤ
Với t = 2, phương trình vô nghiệm.
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = k2π|k∈ℤ.
Nghiệm của phương trình cos2x – sinx + 2 = 0 là
x = π2+k2π, k ∈ ℤ;
x = π3+k2π, k ∈ ℤ;
x = π2+kπ, k ∈ ℤ;
x = π6+k2π, k ∈ ℤ.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
cos2x – sinx + 2 = 0
⇔ 1 – 2sin2x – sinx + 2 = 0
⇔ 2sin2x + sin x – 3 = 0
⇔ sinx=1 (TM)sinx=−32 (KTM)
Với sinx = 1 ⇔ x = π2+k2π, k ∈ ℤ.
Một nghiệm của phương trình 3tan2x – 4tanx + 1 = 0 là
π4;
π3;
π2;
π6.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Thay x = π4 vào phương trình 3tan2x – 4tanx + 1 = 0 ta có:
3tan2π4−4tanπ4+1=0 (thỏa mãn)
Do đó, x = π4 là một nghiệm của phương trình 3tan2x – 4tanx + 1 = 0.
Tập nghiệm của phương trình sin3x + cos3x = 1 là:
S = k2π|k∈ℤ;
S = kπ|k∈ℤ;
S = k23π;x=π6+k23π|k∈ℤ;
S = k2π;x=π6+k2π|k∈ℤ.
Nghiệm của phương trình sinx – 3cosx = 1 là
x=π4+k2πx=5π6+k2π, k ∈ ℤ;
x=π2+k2πx=7π6+k2π, k ∈ ℤ;
x=π3+k2πx=π6+k2π, k ∈ ℤ;
x=π2+kπx=7π6+kπ, k ∈ ℤ.
Một nghiệm của phương trình sin2x + cos2x = 2 là:
π4;
π8;
π2;
π16.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Thay x = π8 vào phương trình, ta có:
sin 2.π8 + cos 2.π8 = 2 (thỏa mãn).
Tập nghiệm của phương trình sin2x – 3+1sinx.cosx + 3cos2x = 0 là:
S = π3+kπ;π4+kπ|k∈ℤ;
S = π6+kπ;π4+kπ|k∈ℤ;
S =π3+kπ;π5+kπ|k∈ℤ;
S =5π6+kπ;π4+kπ|k∈ℤ.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
sin2x – 3+1sinx.cosx + 3 cos2x = 0 (1)
Xét cosx = 0
Phương trình (1) trở thành: sin2x = 0 ⇔ sinx = 0 (sin2x + cos2x = 0 ≠ 1 nên vô lý).
Xét cosx ≠ 0. Chia cả hai vế của (1) cho cos2x ta được:
(1) ⇔ tan2x – 3+1 tanx + 3 = 0
⇔tanx=3tanx=1
⇔x=π3+kπx=π4+kπ, k ∈ ℤ.
Nghiệm của phương trình cos3x – 4sin3x – 3cosx.sin2x + sinx = 0 là:
x=−π4+kπx=π6+kπx=−π6+kπ, k ∈ ℤ;
x=π4+kπx=π6+kπx=−π6+kπ, k ∈ ℤ;
x=−π4+kπx=π6+kπx=5π6+kπ, k ∈ ℤ;
x=−3π4+kπx=π6+kπx=−π6+kπ, k ∈ ℤ.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
cos3x – 4sin3x – 3cosx.sin2x + sinx = 0 (1)
Xét cos x = 0, ta có:
(1) ⇔ – 4sin3x + sinx = 0
⇔ sinx(– 4sin2x + 1) = 0
⇔ sinx(– 2sinx + 1)(1 + 2sinx) = 0
⇔ sinx=0sinx=12sinx=−12 (cả ba đều KTM vì sin2x + cos2x ≠ 1).
Xét cosx ≠ 0 , ta chia cả hai vế của (1) cho cos3x ta được:
1 – 4tan3x – 3tan2x + tanx(1 + tan2x) = 0
⇔ 3tan3x + 3tan2x – tanx – 1 = 0
⇔ (tanx + 1)(3tan2 x – 1) = 0
⇔ tanx=−1tanx=33tanx=−33⇔x=−π4+kπx=π6+kπx=−π6+kπ , k ∈ ℤ.
Nghiệm của phương trình sin2x – sin2x.cos2x = 1 là:
x=π4+k2πx=−π4+k2π, k ∈ ℤ;
x=π4+k2πx=−π3+k2π, k ∈ ℤ;
x=π6+k2πx=−π3+k2π, k ∈ ℤ;
x=π2+k2πx=−π2+k2π, k ∈ ℤ.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
sin2x – sin2x.cos2x = 1
⇔ sin2x(1 – cos2x) = 1
⇔ sin2x.sin2x = 1
⇔ sin4x = 1
⇔ sinx=1sinx=−1
⇔ x=π2+k2πx=−π2+k2π, k ∈ ℤ.
