Đề kiểm tra Phép chiếu song song lớp 11 (có lời giải) - Đề 3
22 câu hỏi
Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi, thí sinh chỉ chọn 1 phương án.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Hình chiếu song song của điểm \[A\] theo phương \[AB\] lên mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\] là điểm nào sau đây?
\[S\].
Trung điểm của \[BC\].
\[B\].
\[C\].
Chọn C
Do \[AB \cap \left( {SBC} \right) = \left\{ A \right\}\]suy ra hình chiếu song song của điểm \[A\] theo phương \[AB\] lên mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\] là điểm \[B\].
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\). Mặt phẳng \(\left( {MA'C'} \right)\)cắt cạnh \(BC\) của hình hộp ABCD.A'B'C'D' tại \(N\). Tính tỉ số \(k = \frac{{MN}}{{A'C'}}\).
\(k = \frac{1}{2}\).
\(k = \frac{1}{2}\).
\(k = \frac{1}{2}\).
\(k = \frac{1}{2}\).
Chọn A
Ta có: \(AC\,{\rm{//}}\,A'C'\) nên \(\left( {MA'C'} \right)\,{\rm{//}}\,{\rm{AC}}\).
\(\left( {MA'C'} \right)\, \cap \,\left( {ABCD} \right) = MN\) do đó \(MN\,{\rm{//}}\,{\rm{AC}}\)\( \Rightarrow N\) là trung điểm của \(BC\).
\(MN\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\).
\(k = \frac{{MN}}{{A'C'}} = \frac{{MN}}{{AC}} = \frac{1}{2}\).
Qua phép chiếu song song, tính chất nào không được bảo toàn?
Chéo nhau.
Đồng quy.
Thẳng hàng.
Song song.
Chọn A
Do hai đường thẳng qua phép chiếu song song ảnh của chúng sẽ cùng thuộc một mặt phẳng.
Suy ra tính chất chéo nhau không được bảo toàn.
Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình chiếu song song của một hình chóp cụt có thể là một hình tam giác.
Hình chiếu song song của một hình chóp cụt có thể là một đoạn thẳng.
Hình chiếu song song của một hình chóp cụt có thể là một hình chóp cụt.
Hình chiếu song song của một hình chóp cụt có thể là một điểm.
Chọn A
Qua phép chiếu song song chỉ có thể biến hình chóp cụt thành một đa giác.
Loại B - chỉ là một đoạn thẳng.
Loại C - phép chiếu song song không thể là một khối đa diện.
Loại D - chỉ là một điểm.
Chọn A - hình chiếu là một đa giác.
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Xác định các điểm \[M,N\] tương ứng trên các đoạn \[AC',B'D'\] sao cho \[MN\] song song với \[BA'\] và tính tỉ số \[\frac{{MA}}{{MC'}}\].
\(2\).
\(3\).
\(4\).
\(1\).
Chọn A
Xét phép chiếu song song lên mặt phẳng \[\left( {A'B'C'D'} \right)\] theo phương chiếu \[BA'\].
Ta có \[N\] là ảnh của \[M\] hay \[M\] chính là giao điểm của \[B'D'\] và ảnh \[AC'\] qua phép chiếu này. Do đó ta xác định \[M,N\] như sau:
Trên \[A'B'\] kéo dài lấy điểm \[K\] sao cho \[A'K = B'A'\] thì \[ABA'K\] là hình bình hành nên \[AK\,{\rm{//}}\,BA'\] suy ra \[K\] là ảnh của \[A\] trên \[AC'\] qua phép chiếu song song.
Gọi \[N = B'D' \cap KC'\]. Đường thẳng qua \[N\] và song song với \[AK\] cắt \[AC'\] tại \[M\]. Ta có \[M,N\] là các điểm cần xác định.
Theo định lí Ta-let, ta có \[\frac{{MA}}{{MC'}} = \frac{{NK}}{{NC'}} = \frac{{KB'}}{{C'D'}} = 2\].
Phép chiếu song song biến \(\Delta ABC\) thành \(\Delta A'B'C'\) theo thứ tự đó. Vậy phép chiếu songsong nói trên, sẽ biến trung điểm \(M\) của cạnh \(BC\) thành
trung điểm \(M'\) của cạnh \(B'C'\).
trung điểm \(M'\) của cạnh \(A'C'\).
trung điểm \(M'\) của cạnh \(A'B'\).
trung điểm \(M'\) của cạnh \(BC\).
Chọn A
Phép chiếu song song biến \(\Delta ABC\) thành \(\Delta A'B'C'\) theo thứ tự đó, nên cũng biến cạnh \(BC\)của \(\Delta ABC\) thành cạnh \(B'C'\)của \(\Delta A'B'C'\). Do vậy nó cũng biến biến trung điểm \(M\) của cạnh \(BC\) thành trung điểm \(M'\) của cạnh \(B'C'\).
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi \(M,M'\) lần lượt là trung điểm của các cạnh\(BC,B'C'.\) Hình chiếu của \(\Delta D'CM\) qua phép chiếu song song trên mặt phẳng \(\left( {A'B'C'D'} \right)\) theo phương chiếu \[BB'\] là
\(\Delta B'CM'\).
\(\Delta D'C'M'\).
\(\Delta C'CM\).
\(\Delta B'D'M'\).
Chọn B
Phép chiếu song song trên mặt phẳng \(\left( {A'B'C'D'} \right)\) theo phương chiếu \[BB'\]biến:
điểm \(D'\) thành chính nó.
điểm \(C\) thành điểm \(C'\).
điểm \(M\) thành điểm \(M'\).
Vậy phép chiếu song song trên mặt phẳng \(\left( {A'B'C'D'} \right)\) theo phương chiếu \[BB'\]biến \(\Delta D'CM\) thành\(\Delta D'C'M'\).
Cho tứ diện ABCD. Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\). Hình chiếu song song của điểm \(G\) trên mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) theo phương chiếu \(AD\) là
Trực tâm tam giác \(BCD\).
Trọng tâm tam giác \(BCD\).
Trung điểm \(BD\).
Trung điểm \(CD\).
Chọn B
Gọi \(E\) là trung điểm của \(BC\).
Trong mp \(\left( {AED} \right)\); kẻ \(GG'//AD\); \(G' \in ED\).
Khi đó \(G'\) là hình chiếu song song của điểm \(G\) trên mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\).
Ta có: \(\frac{{EG'}}{{ED}} = \frac{{EG}}{{EA}} = \frac{2}{3}\).
⇒ \(G'\) là trọng tâm tam giác \(BCD\).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành; \(M\)là trung điểm của\(SC\). Tìm hình chiếu song song của điểm \(M\) theo phương \(AB\) lên mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\).
Điểm \(D\).
Trung điểm của \(BD\).
Trung điểm của \(SD\).
Trung điểm của đường trung tuyến kẻ từ \(D\) của tam giác \(SAD\).
Chọn C
Giả sử \(N\) là ảnh của \(M\) qua phép chiếu song song theo phương \(AB\) lên mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\)
Suy ra: \(MN//AB\) mà \(AB//CD\).
⇒ \(MN//CD\)⇒ \(N\) là trung điểm của \(SD\).
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C'. Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\). Qua phép chiếu song song đường thẳng \[AA'\] mặt phẳng chiếu là \(\left( {A'B'C'} \right)\) biến \(G\) thành \(G'\). Tìm mệnh đề đúng?
\(G'\) là trọng tâm tam giác \(A'B'C'\).
\(G'\) là trung điểm của \(A'B'\).
\(G'\)là trực tâm tam giác \(A'B'C'\).
\(G'\) là trung điểm của \(B'C'\).
Chọn C
Gọi \(M\) là trung điểm của \(AC\).
Do \(ABC.A'B'C'\) là hình lăng trụ. Suy ra qua phép chiếu song song đường thẳng \(AA'\) biến \(B\) thành \[B'\], biến \(M\) thành \(M'\).
Theo đầu bài \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\). Suy ra \(B\), \(M\), \(G\) thẳng hàng và \(\frac{{BG}}{{BM}} = \frac{2}{3}\).
Ta có \(B'\), \(M'\), \(G'\) thẳng hàng và \(\frac{{B'G'}}{{B'M'}} = \frac{2}{3}\). Mặt khác \(M\) là trung điểm của \(AC\), suy ra \(M'\) là trung điểm của \(A'C'\).
Suy ra \(G'\) là trọng tâm của tam giác \(A'B'C'\).
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Gọi \(O = AC \cap BD\) và \(O' = A'C' \cap B'D'\). Điểm \(M,\)\(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD.\) Qua phép chiếu song song theo phương \(AO'\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) thì hình chiếu của tam iác \(C'MN\) là
Đoạn thẳng \(MN\).
Điểm \(O\).
Tam giác \(CMN\).
Đoạn thẳng \(BD\).
Chọn A
Ta có: \(O'C' = AO\) và \(O'C'||AO\) nên tứ giác \(O'C'OA\) là hình bình hành \( \Rightarrow O'A||C'O\).
Do đó hình chiếu của điểm \(O'\) qua phép chiếu song song theo phương \(O'A\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là điểm \(O.\)
Mặt khác điểm \(M\) và \(N\) thuộc mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) nên hình chiếu của \(M\) và \(N\) qua phép chiếu song song theo phương \(O'A\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) lần lượt là điểm \(M\) và \(N.\)
Vậy qua phép chiếu song song theo phương \(AO'\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) thì hình chiếu của tam giác \(C'MN\) là đoạn thẳng \(MN\).
Cho tam giác \[ABC\] ở trong mp\[\left( \alpha \right)\] và phương \[l\]. Biết hình chiếu (theo phương \[l\]) của tam giác \[ABC\] lên mp\[\left( P \right)\]là một đoạn thẳng. Khẳng định nào sau đây đúng ?
\[\left( \alpha \right)//\left( P \right)\]
\[\left( \alpha \right) \equiv \left( P \right)\]
\[\left( \alpha \right)//l\] hoặc \[\left( \alpha \right) \supset l\]
\[\left( \alpha \right) \bot \left( P \right)\].
Chọn C
Khi phương chiếu \[l\] thỏa mãn \[\left( \alpha \right)//l\] hoặc \[\left( \alpha \right) \supset l\] thì các đoạn thẳng \[AB\],\[BC\],\[CA\]có hình chiếu lên \[\left( P \right)\] nằm trên giao tuyến của \[\left( \alpha \right)\] và \[\left( P \right)\].
Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Các mệnh đề sau đúng/sai?
a) Phép chiếu song song biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng.
b) Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng.
c) Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
d) Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng.
a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai |
Chọn D
Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc cùng nằm trên một đường thẳng.
Các mệnh đề sau đúng/sai?
a) Phép chiếu song song có thể biến một đường tròn thành một đường tròn.
b) Phép chiếu song song có thể biến một đường tròn thành một đoạn thẳng.
c)Phép chiếu song song có thể biến một đường tròn thành một elip.
d) Phép chiếu song song có thể biến một đường tròn thành một điểm.
a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai |
Chọn D
Theo tính chất phép chiếu song song ta có phương án D sai.
Cho hình lăng trụ \(ABC \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }\).
a) \(A{A^\prime }//C{C^\prime }\)
b) \({A^\prime }\) hình chiếu của \(A\) trên mặt phẳng \(\left( {{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }} \right)\) qua phép chiếu song song theo phương \(C{C^\prime }\).
c) Gọi \(M\) là một điểm trên đoạn thẳng \(AB\). Hình chiếu của \(M\) trên mặt phẳng \(\left( {{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }} \right)\) qua phép chiếu song song theo phương \(B{B^\prime }\) là điểm \({M^\prime } \in {A^\prime }{B^\prime }\)
d) Gọi \(O\) là tâm của hình bình hành \(BC{C^\prime }{B^\prime }\). Ảnh của \(O\) qua phép chiếu song song theo phương \(A{A^\prime }\) trên mặt phẳng \(\left( {{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }} \right)\) là trung điểm của \({B^\prime }{C^\prime }\).
a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Đúng |
a) b) Vì \(A{A^\prime }//C{C^\prime }\) và \({A^\prime }\) thuộc \(\left( {{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }} \right)\) nên \({A^\prime }\) là hình chiếu song song của \(A\) trên mặt phẳng \(\left( {{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }} \right)\) theo phương \(C{C^\prime }\).
c) Trong mặt phẳng \(\left( {AB{B^\prime }{A^\prime }} \right)\), kẻ đường thẳng \(M{M^\prime }//B{B^\prime }\) với \({M^\prime } \in {A^\prime }{B^\prime }\). Khi đó \({M^\prime }\) là hình chiếu song song của \(M\) trên mặt phẳng \(\left( {{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }} \right)\) theo phương \(B{B^\prime }\).
d) Gọi \(I\) là trung điểm của \({B^\prime }{C^\prime }\). Vì \(OI\) là đường trung bình của tam giác \(B{B^\prime }{C^\prime }\) nên \(OI//B{B^\prime } \Rightarrow OI//A{A^\prime }\) mà \(I \in \left( {{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }} \right)\) nên \(I\) là ảnh của \(O\) trên mặt phẳng \(\left( {{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }} \right)\) qua phép chiếu song song phương \(A{A^\prime }\).
Cho các đoạn thẳng và đường thẳng không song song hoặc không trùng với phương chiếu. Cho biết tính đúng sai của các mệnh đề sau, nếu mệnh đề sai thì phát biểu lại cho đúng.
a) Phép chiếu song song bảo toàn thứ tự ba điểm thẳng hàng.
b) Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng.
c) Hình chiếu của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
d) Hình chiếu song song của một đường thẳng là một đường thẳng.
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng |
Phát biểu A đúng (xem tính chất phép chiếu song song).
Phát biểu B sai (xem tính chất phép chiếu song song). Điều chỉnh lại cho đúng là: "Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng cùng nằm trên một đường thẳng hoặc nằm trên hai đường thẳng song song".
Phát biểu C đúng (xem tính chất phép chiếu song song).
Phát biểu D đúng (xem tính chất phép chiếu song song).
Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Vẽ hình biểu diễn của hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.
Hình chóp \(S.ABCD\) có các mặt bên là các hình tam giác nên hình biểu diễn của nó cũng có các mặt bên là hình tam giác, đáy \(ABCD\) là hình bình hành nên hình biểu diễn của đáy \(ABCD\) cũng là một hình bình hành. Từ đó ta vẽ được hình biểu diễn của hình chóp \[S.ABCD\]như sau:
Một phép chiếu song song biến tam giác \(ABC\) thành tam giác \({A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }\). Chứng minh rằng phép chiếu đó biến đường trung bình của tam giác \(ABC\) thành đường trung bình của tam giác \({A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }\).
Tam giác là hình chiếu của tam giác \(ABC\) trên mặt phẳng \[\left( P \right)\] theo phương \(d\).
Gọi \[M,N,P\]lần lượt là trung điểm của \[AB,BC,AC\]. Khi đó \[MN,NP,MP\]là các đường trung bình của tam giác \[ABC\].
Gọi \[M',N',P'\]lần lượt là hình chiếu của \[M,N,P\]trên mặt phẳng \[\left( P \right)\]theo phương \[d\].
Vì \(M\) là trung điểm của \(AB\) nên \(A,M,B\) thẳng hàng theo thứ tự đó và \(\frac{{AM}}{{MB}} = 1\). Do vậy \({A^\prime },{M^\prime },{B^\prime }\) thẳng hàng theo thứ tự đó và \(\frac{{{A^\prime }{M^\prime }}}{{{M^\prime }{B^\prime }}} = 1\), tức là \({M^\prime }\) là trung điểm của . Chứng minh tương tự ta có là trung điểm của \({B^\prime }{C^\prime }\) và \({P^\prime }\) là trung điểm của . Vậy , là các đường trung bình của tam giác \({A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }\).
Cho đoạn thẳng \[AB\] song song \[\left( P \right)\]. Gọi \[A',B'\] lần lượt là hình chiếu song song của \[A\] và \[B\]trên \[\left( P \right)\] theo phương của đường thẳng \[d\] cho trước. Chứng minh rằng \[A'B' = AB\]. Hỏi rằng nếu ngược lại thì có đúng không ?
![Cho đoạn thẳng \[AB\] song song \[\left( P \right)\]. Gọi \[A',B'\] lần lượt là hình chiếu song song của \[A\] và \[B\]trên \[\left( P \right)\] theo phương của đường thẳng \[ (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/10-1759723600.png)
Ta có \[AB{\rm{//}}\left( P \right)\] và \[A'B' = \left( {ABB'A'} \right) \cap \left( P \right)\]. Do đó \[A'B'{\rm{//}}AB\]. Ta có \[AA'{\rm{//}}BB'{\rm{//}}d\].
Vậy \[ABB'A'\] là hình bình hành. Suy ra \[A'B' = AB\].
Phần ngược lại là sai:
Giả sử lấy điểm \[C\] trên \[BB'\] sao cho \[AC = AB\] thì hình chiếu của \[AC\] vẫn là \[A'B'\] và \[A'B' = AC\]. Nhưng \[AC\] không song song \[\left( P \right)\].
Nếu tam giác \({A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }\) là hình chiếu của tam giác \(ABC\) qua một phép chiếu song song thì tam giác \(ABC\) có phải là hình chiếu của tam giác \({A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }\) qua một phép chiếu song song hay không? Giải thích vì sao.
Nếu tam giác là hình chiếu của tam giác \(ABC\) qua một phép chiếu song song thì tam giác \(ABC\) cũng là hình chiếu của tam giác qua một phép chiếu song song.
Giả sử tam giác là hình chiếu của tam giác \(ABC\) trên mặt phằng \((P)\) theo phương chiếu \[d\]. Khi đó \[AA',BB',CC'\] đôi một song song với nhau và đều song song với phương chiếu \[d\]. Do vậy, tam giác \(ABC\) là hình chiếu của tam giác trên mặt phẳng \((ABC)\) theo phương \(d\).
Phép chiếu song song biến tam giác \(ABC\) thành tam giác \({A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }\). Chứng minh rằng phép chiếu đó biến trọng tâm của tam giác \(ABC\) thành trọng tâm của tam giác \({A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }\).
Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) và \({G^\prime }\) là hình chiếu song song của nó. Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\) thì \(A,G,M\) thẳng hàng theo thứ tự đó. Gọi \({M^\prime }\) là hình chiếu của \(M\). Khi đó, theo tính chất của phép chiếu song song ta có:
\[A',G',M'\]thẳng hàng theo thứ tự đó và \(\frac{{{A^\prime }{G^\prime }}}{{{A^\prime }{M^\prime }}} = \frac{{AG}}{{AM}} = \frac{2}{3}(1)\).
\({B^\prime },{M^\prime },{C^\prime }\) thằng hàng theo thứ tự đó và \(\frac{{{B^\prime }{M^\prime }}}{{{M^\prime }{C^\prime }}} = \frac{{BM}}{{MB}} = 1\)\((2)\).
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra \({G^\prime }\) là trọng tâm của tam giác .
Vẽ hình biểu diễn của hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang, \(AB\) song song với \(CD\) và \(AB = 2\;cm\), \(CD = 6\;cm\).
\({\rm{V\`i }}B = 2\;cm,D = 6\;cm{\rm{ n\^e n }}D = 3B{\rm{. }}\)
Hình chóp \[S.ABCD\]có các mặt bên là hình tam giác nên hình biểu diễn của nó cũng có các mặt bên là hình tam giác, đáy \(ABCD\) là hình thang có hai đáy \(AB,CD\) (do \(AB//CD)\) và \(CD = 3AB\) nên hình biểu diễn của \(ABCD\) là một hình thang có độ dài một đáy gấp ba lần độ dài của đáy còn lại. Từ đó, ta vẽ được hình biểu diễn của hình chóp \[S.ABCD\]như sau:
