Bài tập Xác định ảnh của một điểm, một đoạn thẳng, một tam giác, một đường tròn, … qua phép chiếu song song lớp 11 (có lời giải)
25 câu hỏi
Cho hình tứ diện có D, E, F, M, N, K lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB, SC, AB, AC, BC (Như hình vẽ). Khẳng định nào dưới đây là đúng?
Tam giác AMN là ảnh của tam giác DEF lên mặt phẳng đáy qua phép chiếu song song theo phương SB;
Tam giác BMK là ảnh của tam giác DEF lên mặt phẳng đáy qua phép chiếu song song theo phương SB;
Tam giác AMN là ảnh của tam giác DEF lên mặt phẳng đáy qua phép chiếu song song theo phương SC;
Tam giác CKN là ảnh của tam giác DEF lên mặt phẳng đáy qua phép chiếu song song theo phương SB.
Đáp án đúng là: B
Ta dễ dàng nhận thấy: MD và KF là các đường trung bình của các tam giác SAB và SBC.
Do đó: MD // SB, KF // SB; M và K ∈ (ABC).
=>M, K là ảnh của D, F lên (ABC) qua phép chiếu song song theo phương SB.
E ∈ SB, SB \(\cap \) (ABC) = B => B là ảnh của E lên (ABC) qua phép chiếu song song theo phương SB.
Từ chứng minh trên ta kết luận đáp án đúng là C.
Cho hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn tâm O đường kính AB = 4. D, E lần lượt là trung điểm của SA và SB. Vẽ đường tròn tâm O’ đường kính DE. Biết SO vuông góc với mặt phẳng đáy. Ảnh của đường tròn (O’) lên mặt phẳng đáy qua phép chiếu song song theo phương SO có bán kính dài bao nhiêu?
2;
4;
3;
1.
Đáp án đúng là: D
Do O’ ∈ SO, SO cắt mặt phẳng đáy tại O;
=> O là ảnh của O’ lên mặt phẳng đáy qua phép chiếu song song theo phương SO.
Lần lượt kẻ các đường song song với SO, đi qua D và E, cắt đáy lần lượt tại M và N.
Do đó, ảnh của (O’) lên mặt phẳng đáy qua phép chiếu song song theo phương SO là (O) đường kính MN.
Nhận thấy DO’OM là một hình chữ nhật => DO’ = MO;
Mà DO’ = \(\frac{1}{2}\)AO (DO’ là đường trung bình của tam giác SAO);
\(\Leftrightarrow \) DO’ = \(\frac{1}{2}\).\(\frac{1}{2}\).AB = 1.
=> MO = DO’ = 1.
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, M là trung điểm của AC. Thực hiện phép chiếu song song lên mặt phẳng chiếu (A’B’C’) theo phương CC’ biến M thành M’. Chọn mệnh đề đúng?
M’ là trung điểm của A’B’;
M’ là trung điểm của B’C’;
M’ là trung điểm của A’C’;
Cả ba đáp án trên đều sai.
Đáp án đúng là: C
Từ M kẻ đường thẳng song song với CC’, cắt mặt phẳng đáy tại M’.
Nhận thấy M là trung điểm của AC nên MM’ là đường trung bình của tứ giác ACC’A’.
Suy ra M’ là trung điểm của A’C’.
Cho mặt phẳng (α), tam giác ABC nằm trên mặt phẳng (α); phương chiếu d. Biết hình chiếu (theo phương d) của tam giác ABC lên mặt phẳng (P) là một đoạn
thẳng. Khẳng định nào sau đây đúng?
(P) // (α);
(P) ≡ (α);
d ⊂ (α) hoặc (α) // d;
Không có đáp án đúng.
Đáp án đúng là: C
Hình chiếu của tam giác ABC trên (P) là một đoạn thẳng, suy ra các đường thẳng đi qua A, B, C và song song với phương chiếu d là đồng phẳng.
Điều này xảy ra khi d nằm trên (α) hoặc d // (α).
Có hình lăng trụ ABC.A’B’C’; AB, A’B’ có trung điểm lần lượt là I và I’. Qua phép chiếu song song lên mặt phẳng chiếu (CBB’C’) theo phương chiếu AI biến I’ thành điểm nào sau đây?
A’;
B’;
C’;
I.
Đáp án đúng là: B
Nhận thấy: I’B’ // AI, I’B’ \(\cap \) CBB’C’ = B’.
Suy ra B’ là ảnh của I’ lên CBB’C’ qua phép chiếu song song theo phương AI.
Thực hiện phép chiếu song song lên mặt phẳng (P), hai đường thẳng d1 và d2 có hình chiếu là hai đường thẳng song song a và b. Khi đó
d1 và d2 phải song song với nhau;
d1 và d2 phải cắt nhau;
d1 và d2 có thể chéo nhau hoặc song song với nhau;
d1 và d2 không thể song song.
Đáp án đúng là: C
Nếu a // b, suy ra mặt phẳng (a, d1) song song mặt phẳng (b, d2).
Khi đó a và b có thể song song hoặc chéo nhau.
Thực hiện phép chiếu song song lên mặt phẳng (Q), hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2 có hình chiếu là 2 đường thẳng a và b. Mệnh đề nào sau đây đúng?
d1 và d2 luôn cắt nhau;
d1 và d2 có thể trùng nhau;
d1 và d2 không thể song song;
d1 và d2 có thể cắt nhau hoặc song song với nhau.
Đáp án đúng là: D
Gọi \(\Delta \) là phương chiếu; d1, a ⊂ (α1), d2, b ⊂ (α2) => \(\Delta \) // (α1), \(\Delta \) // (α2).
+ Nếu (α1) \(\cap \) (α2) thì a và b cắt nhau.
+ Nếu (α1) // (α2) thì a // b.
Cho tứ diện ABCD. Giả sử N là trung điểm của AB. trên mặt phẳng (BCD), hình chiếu của N qua phép chiếu song song theo phương AC là
Trung điểm BD;
Trung điểm
Trọng tâm giác
Điểm B.
Đáp án đúng là: B
Từ N kẻ đường thẳng d song song với AC.
Do N là trung điểm của AB nên d đi qua trung điểm của BC.
Gọi M = d \(\cap \) BC => M là ảnh của N trên (BCD) qua phép chiếu song song theo phương AC.
Cho hình chóp S.ABCD có SA = SB = a, ∆SAC và ∆SBD vuông cân tại A và B, đáy ABCD là tứ giác đều. d là đường thẳng vuông góc với (ABCD). Hình chiếu của S lên mặt phẳng đáy theo phương d là là S’. Hỏi độ dài của S’C là?
2a;
\(\frac{{3a}}{2}\);
\(\frac{{a\sqrt 5 }}{2}\);
\(\frac{{5a}}{2}\).
Đáp án đúng là: C
Theo giả thiết: AD ⊥ SA, AD ⊥ AB nên AD ⊥ (SAB) (1)
Mà SA = SB nên ∆SAB cân tại S nên trung tuyến SM của ∆SAB vuông góc với AB (2)
Từ (1) và (2) suy ra SM ⊥ (ABCD).
Suy ra S’ \(\equiv \) M.
Có S’C = MC = \(\sqrt {B{M^2} + B{C^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {a^2}} = a\frac{{\sqrt 5 }}{2}\).
Cho nửa hình trụ có các đáy là nửa đường tròn tâm O, đường kính AB; nửa đường tròn tâm O’, đường kính CD. M ∈ (O) sao cho MA = MB, N ∈ (O’) sao cho NC = ND. Phép chiếu song song lên mặt phẳng (ABCD) theo phương MO’ biến ∆CDN thành tam giác có diện tích là bao nhiêu, biết ABCD là hình vuông cạnh a.
\(\frac{{{a^2}}}{2}\);
\(\frac{{3{a^2}}}{2}\);
\(\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\);
\(\frac{{5{a^2}}}{2}\).
Đáp án đúng là: A
Gọi I là hình chiếu của N theo phép chiếu song song đã cho.
=> Phép chiếu biến ∆CDN thành ∆CDI.
Ta nhận thấy MO, NO’ ⊥ (ABCD) => MO // NO’ và MO = NO’.
=> MNO’O là hình bình hành suy ra MN // OO’.
Dễ thấy MNIO’ là hình bình hành => MN // O’I và MN = O’I.
=> O’ là trung điểm của OI.
SCDI = \(\frac{1}{2}\).O’I.CD = \(\frac{1}{2}\).a.a = \(\frac{{{a^2}}}{2}\).
Cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d cắt (P). Nếu một điểm M không thuộc đường thẳng d, hình chiếu song song M' của điểm M trên mặt phẳng (P) theo phương d là:
Giao điểm của mặt phẳng (P) và đường thẳng đi qua M song song với d.
Giao điểm của mặt phẳng (P) và đường thẳng đi qua M vuông góc với d.
Hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (P).
Một điểm bất kì nằm trên mặt phẳng (P).
Đáp án đúng là: A
Nếu M không thuộc d thì M' là giao điểm của (P) (mặt phẳng chiếu) và đường thẳng qua M song song với d (phương chiếu).
Nếu một đường thẳng song song với phương chiếu thì hình chiếu của đường thẳng đó trên mặt phẳng chiếu là:
Một đường thẳng song song với nó.
Một điểm.
Một đường thẳng cắt nó.
Một mặt phẳng.
Đáp án đúng là: B
Nếu một đường thẳng song song với phương chiếu thì mọi điểm trên đường thẳng đó đều có chung một hình chiếu, chính là giao điểm của đường thẳng đó với mặt phẳng chiếu. Do đó hình chiếu là một điểm.
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Hình chiếu song song của trung điểm M của cạnh AB trên mặt phẳng (A'B'C') theo phương CC' là:
Điểm A'.
Điểm B'.
Trung điểm của đoạn thẳng A'B'.
Trọng tâm của tam giác A'B'C'.
Đáp án đúng là: C
Vì ABC.A'B'C' là lăng trụ nên AA' song song BB' song song CC'. Phương chiếu là CC' nên đường thẳng qua M song song với CC' sẽ song song với AA' và BB'. Đường thẳng này nằm trong mặt phẳng (ABB'A') và cắt A'B' tại trung điểm M' của A'B' (do M là trung điểm AB).
Cho hình hộp ABCD.EFGH. Xác định hình chiếu của điểm A trên mặt phẳng (CDHG) theo phương BC.
Điểm C.
Điểm D.
Điểm G.
Điểm H.
Đáp án đúng là: B
Phương chiếu là BC. Ta cần tìm đường thẳng đi qua A và song song với BC.
Trong hình hộp ABCD.EFGH, ta có AD song song với BC.
Đường thẳng AD cắt mặt phẳng chiếu (CDHG) tại điểm D. Vậy hình chiếu của A là D.
Cho tứ diện ABCD. Hình chiếu song song của đoạn thẳng AB trên mặt phẳng (BCD) theo phương chiếu AC là:
Đoạn thẳng CD.
Đoạn thẳng BD.
Đoạn thẳng BC.
Đoạn thẳng CB.
Đáp án đúng là: D
Đường thẳng đi qua A song song (hoặc trùng) với phương AC cắt mặt phẳng (BCD) tại C, nên hình chiếu của A là C. Điểm B thuộc mặt phẳng (BCD) nên hình chiếu của B là chính nó. Nối hai điểm ảnh lại, ta được hình chiếu của đoạn thẳng AB là đoạn thẳng CB.
Xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau về phép chiếu song song:
Hình chiếu của hai đường thẳng chéo nhau có thể là hai đường thẳng song song.
Hình chiếu của một tam giác luôn luôn phải là một tam giác.
Phép chiếu song song bảo toàn thứ tự của ba điểm thẳng hàng.
Nếu hai đoạn thẳng song song với nhau thì hình chiếu của chúng luôn có độ dài bằng nhau.
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Ví dụ chiếu hai đường thẳng chéo nhau lên một mặt phẳng song song với cả hai đường thẳng đó, ta được hai đường thẳng song song.
b) Sai. Nếu mặt phẳng chứa tam giác song song với phương chiếu thì hình chiếu của tam giác đó là một đoạn thẳng.
c) Đúng. Đây là tính chất cơ bản của phép chiếu song song.
d) Sai. Tỉ số độ dài chỉ được bảo toàn trên cùng một đường thẳng hoặc hai đường thẳng song song. Hai đoạn thẳng song song có thể có độ dài ban đầu khác nhau, nên hình chiếu của chúng sẽ có độ dài khác nhau theo đúng tỉ lệ ban đầu, không bắt buộc bằng nhau.
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Xét phép chiếu song song lên mặt phẳng (CDD'C') theo phương chiếu AD. Xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau:
Hình chiếu của điểm A là điểm D.
Hình chiếu của điểm B là điểm C'.
Hình chiếu của đoạn thẳng AB là đoạn thẳng DC.
Hình chiếu của đường thẳng BC là một điểm.
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. Đường thẳng qua A song song với AD là chính nó, cắt (CDD'C') tại D.
b) Sai. Đường thẳng qua B song song với AD là BC, cắt (CDD'C') tại C, không phải C'.
c) Đúng. A chiếu thành D, B chiếu thành C. Nên đoạn AB chiếu thành đoạn DC.
d) Đúng. Trong hình hộp ABCD.A'B'C'D', ta có đường thẳng BC song song với phương chiếu AD.
Theo tính chất của phép chiếu song song, nếu một đường thẳng song song với phương chiếu thì hình chiếu của đường thẳng đó là một điểm.
Vì BC cắt mặt phẳng chiếu (CDD'C') tại điểm C nên hình chiếu của toàn bộ đường thẳng BC là điểm C.
Cho tứ diện ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh AB và N là điểm thuộc cạnh CD. Xét phép chiếu song song lên mặt phẳng (BCD) theo phương chiếu AC. Xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau:
Hình chiếu của điểm A là điểm C.
Hình chiếu của điểm M là trung điểm của đoạn thẳng CB.
Hình chiếu của đoạn thẳng CD là một điểm.
Hình chiếu của điểm N là chính nó.
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Theo phương AC, A chiếu xuống mặt (BCD) tại giao điểm C.
b) Đúng. A chiếu thành C, B chiếu thành B. Đoạn AB chiếu thành CB. Phép chiếu bảo toàn tỉ số nên trung điểm M của AB chiếu thành trung điểm M' của CB.
c) Sai. Các điểm trên đoạn CD đều thuộc mặt phẳng chiếu (BCD) nên hình chiếu của đoạn CD là chính đoạn thẳng CD, không phải một điểm.
d) Đúng. N nằm trên CD thuộc (BCD) là mặt phẳng chiếu nên hình chiếu của N là chính N.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Xét phép chiếu song song lên mặt phẳng (ABCD) theo phương SA. Xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau:
Hình chiếu của điểm S là điểm A.
Hình chiếu của đoạn thẳng SD là đoạn thẳng AD.
Hình chiếu của điểm C là chính nó.
Hình chiếu của tam giác SBC là tam giác ABC.
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. Đường thẳng qua S song song với SA chính là SA, cắt (ABCD) tại A.
b) Đúng. S chiếu thành A, D nằm trên mặt phẳng chiếu nên chiếu thành D. Vậy SD chiếu thành AD.
c) Đúng. Mọi điểm thuộc mặt phẳng chiếu đều có hình chiếu là chính nó. C thuộc (ABCD) nên chiếu thành C.
d) Đúng. S chiếu thành A, B chiếu thành B, C chiếu thành C. Nên tam giác SBC chiếu thành tam giác ABC.
Xét phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo phương d cắt (P). Gọi (Q) là một mặt phẳng cắt (P) và không song song với d. Xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau:
Hình chiếu của một hình bình hành nằm trong (Q) có thể là một đoạn thẳng.
Hình chiếu của một tam giác vuông nằm trong (Q) luôn luôn là một tam giác vuông.
Hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (Q) luôn có hình chiếu là hai đường thẳng cắt nhau.
Hình chiếu của trọng tâm một tam giác nằm trong (Q) luôn là trọng tâm của tam giác hình chiếu.
Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.
a) Sai. Vì (Q) cắt (P) và không song song với d, nên hình chiếu của hình bình hành không thể suy biến thành đoạn thẳng (chỉ suy biến khi (Q) song song với d). Hình chiếu của nó sẽ là một hình bình hành.
b) Sai. Phép chiếu song song không bảo toàn góc, nên tam giác vuông thường chiếu thành tam giác thường.
c) Sai. Nếu mặt phẳng chứa hai đường thẳng đó song song với phương d, hình chiếu của chúng có thể là hai điểm hoặc một đường thẳng và một điểm.
d) Đúng. Phép chiếu song song luôn bảo toàn tính chất trọng tâm của tam giác.
Cho đoạn thẳng AB dài 12 cm song song với mặt phẳng (P). Phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo phương d (cắt mặt phẳng P) biến đoạn thẳng AB thành đoạn thẳng A'B'. Tính độ dài đoạn thẳng A'B' (đơn vị: cm).
Đáp án: 12
Vì đoạn thẳng AB song song với mặt phẳng chiếu (P), phép chiếu song song biến đoạn thẳng AB thành đoạn thẳng A'B' có độ dài bằng chính nó. Do đó A'B' = 12 cm.
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có cạnh B'C' dài 15 cm. Điểm M thuộc đoạn BC sao cho MC = 2BM. Phép chiếu song song lên mặt phẳng (A'B'C') theo phương BB' biến điểm M thành điểm M'. Tính độ dài đoạn thẳng M'C' (đơn vị: cm).
Đáp án: 10
Phép chiếu song song theo phương BB' (song song cạnh bên) biến B thành B', C thành C', và M thành M' nằm trên B'C'. Phép chiếu bảo toàn tỉ số độ dài.
Ta có MC = 2BM nên BM = \(\frac{1}{3}\)BC.
Suy ra B'M' = \(\frac{1}{3}\) B'C' = \(\frac{1}{3}\)∙15 = 5 cm. Vậy M'C' = 15 – 5 = 10 cm.
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M là điểm thuộc cạnh AD sao cho AM = 3MD. Phép chiếu song song lên mặt phẳng (BCC'B') theo phương AB biến điểm M thành điểm M' nằm trên cạnh BC. Tính tỉ số \[\frac{{BM'}}{{M'C}}\].
Đáp án: 3
Phương chiếu là AB. Kẻ qua M đường thẳng song song với AB, đường thẳng này nằm trong mặt phẳng (ABCD) vì M ∊ AD và AB ∊ (ABCD).
Vì ABCD là hình bình hành nên MM' song song với AB và CD. Theo định lý Thales trong hình bình hành, MM' chia cạnh BC theo cùng tỉ lệ như nó chia cạnh AD.
Do đó, \[\frac{{BM'}}{{M'C}}\] = \(\frac{{AM}}{{MD}}\) = 3.
Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Phép chiếu song song lên mặt phẳng (BCD) theo phương AB biến điểm G thành điểm G'. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính tỉ số \(\frac{{BG'}}{{G'M}}\).
Đáp án: 2
G là trọng tâm tam giác ABC, AM là đường trung tuyến nên A, G, M thẳng hàng và AG = 2GM.
Phép chiếu theo phương AB lên mặt phẳng (BCD):
Điểm A chiếu thành điểm B (vì đường thẳng AB cắt (BCD) tại B).
Điểm M nằm trên (BCD) nên chiếu thành chính nó (M' trùng M).
Đoạn thẳng AM chiếu thành đoạn thẳng BM. Điểm G nằm trên AM sẽ chiếu thành G' nằm trên BM.
Phép chiếu bảo toàn tỉ số nên tỉ số \(\frac{{BG'}}{{G'M}}\) = \[\frac{{AG}}{{GM}}\] = 2.
Cho tam giác ABC có diện tích bằng 24. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC. Phép chiếu song song lên mặt phẳng (ABC) theo một phương chiếu d bất kì (cắt mặt phẳng ABC) biến tam giác AEF thành tam giác A'E'F'. Tính diện tích của tam giác A'E'F'.
Đáp án: 6
Mặt phẳng chiếu chính là mặt phẳng (ABC) chứa tam giác AEF. Bất kỳ điểm nào nằm sẵn trên mặt phẳng chiếu đều có hình chiếu là chính nó.
Do đó, tam giác A'E'F' trùng hoàn toàn với tam giác AEF.
Vì E, F là trung điểm của AB, AC nên tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số \[\frac{1}{2}\].
Diện tích tam giác AEF = \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} \cdot {S_{ABC}}\) = \[\frac{1}{4} \cdot 24 = 6\].
