Bài tập Tính chất của phép chiếu song song, hình biểu diễn của một hình trong không gian lớp 11 (có lời giải)
25 câu hỏi
Trong các hình a, b, c dưới đây, hình nào biểu diễn hình lập phương?
a);
b);
c);
Không có hình nào trong các hình trên.
Đáp án đúng là: A
Hình a) là hình biểu diễn của hình lập phương.
Hình b) không là hình biểu diễn của hình lập phương vì trong hình này có hai cạnh đối của đáy trên không song song với nhau.
Hình c) cũng có thể là hình biểu diễn của hình lập phương. Tuy nhiên hình biểu diễn này không tốt vì không giúp ta hình dung được hình trong không gian.
Trong những hình được cho dưới đây, hình nào là hình biểu diễn cho hình tứ diện?
a);
b);
c);
Tất cả các hình trên.
Đáp án đúng là: D
Các hình a), b), c) đều là hình biểu diễn cho hình tứ diện.
Cho hình hộp A′B′C′D′.ABCD. Ảnh của tam giác D′A′C′ qua phép chiếu song song lên mặt phẳng (ABCD) theo phương BA′ là:
Tam giác BEC;
Tam giác
Tam giác
Tứ giác ABEC.
Đáp án đúng là: A
Gọi E là điểm đối xứng với D qua C.
Khi đó E ∈ (ABCD) và C′E // D′C // A′B.
Vậy ảnh của tam giác D′A′C′ qua phép chiếu song song lên mặt phẳng (ABCD)
theo phương A′B là tam giác BEC.
Cho các hình biểu diễn như bên dưới, hình nào không phải là hình biểu diễn của một hình tứ diện?
Hình a);
Hình b);
Hình c);
Hình d).
Đáp án đúng là: D
Các hình a), b), d) đều là các hình biểu diễn của hình tứ diện.
Hình c) không là một hình biểu diễn của một hình tứ diện do có các điểm A, B, C, D là 4 điểm đồng phẳng.
Trong những hình vẽ dưới đây, hình nào không phải là một hình biểu diễn của hình hộp?
Đáp án đúng là: A
+ A sai vì các điểm được biểu diễn là các điểm đồng phẳng.
+ Rõ ràng (B) đúng.
+ (C) đúng vì phương chiếu song song với BD′.
+ (D) đúng vì phương chiếu song song với 2 đáy (ABCD) và (A′B′C′D′).
Cho các hình vẽ như dưới đây, hình nào không là một hình biểu diễn của hình chóp tứ giác S.ABCD?
Đáp án đúng là: D
Hình d) có 3 điểm A, B, C thẳng hàng nên phương chiếu phải song song với mặt phẳng (ABC), tức là song song với mặt phẳng (ABCD). Khi đó 4 điểm A, B, C, D phải thẳng hàng.
Vậy ta chọn phương án D.
Hình lăng trụ A’B’C’.ABC có điểm M là trung điểm của AC . Khi đó hình chiếu song song của điểm M lên (A’B’A) theo phương chiếu BC là
Gọi N là trung điểm của
Do đó MN là đường trung bình của ∆ABC => MN //
Lại có: MN \(\cap \) (A’B’A) = N.
Vậy hình chiếu song song của điểm M lên (A’B’A) theo phương chiếu BC là điểm N .
Cho hình chóp S.ABC có các điểm D, E, F, M, N, K là trung điểm của các cạnh SA, SB, SC, AB, AC, BC như hình vẽ. Hỏi hình biểu diễn của hình chóp S.DEF lên mặt đáy theo phương chiếu DN là hình nào?
Tam giác CNK;
Tứ giác MNCB;
Tứ giác MNCK;
Tam giác MNK.
Đáp án đúng là: A
Phép chiếu song song biến D thành N.
Có SC // DN; SC \(\cap \) (ABC) = C => C là hình chiếu của S và cũng là hình chiếu của F.
Nhận thấy EK là đường trung bình của tam giác SBC nên EK // SC // DN.
EK \(\cap \) (ABC) = K => K là hình chiếu của E.
Vậy hình biểu diễn của hình chóp S.DEF theo phép chiếu này là tam giác CNK.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, SA \(\perp \) (ABCD). M là trung điểm của SC. Hình biểu diễn của hình chóp S.ADM trên mặt phẳng (SAD) qua phép chiếu song song, phương chiếu AB là hình gì?
Hình tam giác;
Hình vuông;
Hình thang;
Hình thoi.
Đáp án đúng là: A
Gọi N là trung điểm của SD.
Dễ thấy MN // CD // AB; N (SAD)
=> N là hình chiếu của M.
Các điểm S, A, D nằm trên mặt phẳng (SAD) nên là hình biểu diễn của chính nó qua phép chiếu.
Lại có N ∈ SD, => hình biểu diễn của hình chóp S.AMD là hình tam giác SAD.
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Hình trụ (ℋ ) nội tiếp hình lập phương. Hỏi hình biểu diễn của hình trụ lên mặt phẳng (AA’D’D) theo phương AB là hình gì?
Hình tam giác;
Hình tròn;
Hình thang cân;
Hình vuông.
Đáp án đúng là: D
+ Khi thực hiện chiếu điểm M ∈ (O) theo phép chiếu song song đã biết, ảnh của M có quỹ tích là đoạn thẳng AB.
=> Hình biểu diễn của (O) trên mặt phẳng chiếu là đoạn thẳng AB.
+ Khi thực hiện chiếu điểm M’ ∈ (O’) theo phép chiếu song song đã biết, ảnh của M’ có quỹ tích là đoạn thẳng A’B’.
=> Do đó, hình biểu diễn của (O’) trên mặt phẳng chiếu đoạn thẳng A’B’.
Suy ra hình biểu diễn của (ℋ ) là tứ giác ABB’A’.
ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên ABB’A’ là hình vuông.
Phép chiếu song song không bảo toàn tính chất nào sau đây?
Sự thẳng hàng của ba điểm.
Tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song.
Thứ tự của ba điểm thẳng hàng.
Độ lớn của một góc bất kì.
Đáp án đúng là: D
Theo tính chất của phép chiếu song song, phép chiếu song song không bảo toàn độ lớn của góc (hình chiếu của một góc có thể không bằng góc ban đầu). Các tính chất thẳng hàng, thứ tự và tỉ số trên các đường thẳng song song đều được bảo toàn.
Trong không gian, hình biểu diễn của một đường tròn qua phép chiếu song song là hình gì?
Đường tròn.
Đường elip.
Đường parabol.
Một đa giác đều.
Đáp án đúng là: B
Theo quy tắc vẽ hình biểu diễn của một hình không gian trên mặt phẳng, hình biểu diễn của một hình tròn luôn là một hình elip.
Chọn khẳng định đúng khi nói về hình biểu diễn của một tam giác qua phép chiếu song song:
Hình biểu diễn của một tam giác đều luôn là một tam giác đều.
Hình biểu diễn của một tam giác vuông luôn là một tam giác vuông.
Hình biểu diễn của một tam giác cân luôn là một tam giác cân.
Hình biểu diễn của một tam giác (cân, đều, vuông) là một tam giác.
Đáp án đúng là: D
Phép chiếu song song không bảo toàn góc và độ dài đoạn thẳng nói chung, do đó hình biểu diễn của các tam giác đặc biệt (vuông, cân, đều) trên mặt phẳng chỉ là một tam giác bất kì.
Theo quy tắc vẽ hình biểu diễn, hình biểu diễn của một hình thoi là hình gì?
Hình thoi.
Hình chữ nhật.
Hình vuông.
Hình bình hành.
Đáp án đúng là: D
Hình biểu diễn của hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi, hình bình hành đều là hình bình hành.
Cho hình thang ABCD có hai đáy AB và CD với AB = 3CD. Qua phép chiếu song song, hình biểu diễn của hình thang ABCD là tứ giác A'B'C'D'. Khẳng định nào sau đây đúng?
A'B'C'D' là hình bình hành.
A'B'C'D' là hình thang và A'B' = 3C'D'.
A'B'C'D' là hình thang và C'D' = 3A'B'.
A'B'C'D' là một tứ giác bất kì không có cặp cạnh nào song song.
Đáp án đúng là: B
Phép chiếu song song bảo toàn sự song song và tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng song song. Vì AB song song và bằng 3 lần CD nên hình biểu diễn A'B' cũng song song và bằng 3 lần C'D'. Do đó A'B'C'D' là hình thang với đáy A'B' = 3C'D'.
Xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau về tính chất của phép chiếu song song:
Phép chiếu song song luôn biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song.
Phép chiếu song song giữ nguyên tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng bất kì.
Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.
Phép chiếu song song biến một tia thành một tia.
Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Sai. Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
b) Sai. Phép chiếu song song chỉ giữ nguyên tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng cùng nằm trên một đường thẳng hoặc nằm trên hai đường thẳng song song.
c) Đúng. Đây là tính chất cơ bản của phép chiếu song song.
d) Đúng. Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
Xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau về hình biểu diễn của một hình không gian:
Hình biểu diễn của một hình vuông chắc chắn phải là một hình vuông.
Hình biểu diễn của một hình chữ nhật có thể là một hình bình hành.
Hình biểu diễn của một hình tròn là một hình elip.
Hình biểu diễn của một hình thang có hai đáy không bằng nhau có thể là một hình bình hành.
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Sai. Hình biểu diễn của hình vuông là hình bình hành.
b) Đúng. Hình biểu diễn của hình chữ nhật là hình bình hành.
c) Đúng. Đây là quy ước vẽ hình biểu diễn của hình tròn.
d) Sai. Hình thang có hai đáy song song nhưng không bằng nhau, do phép chiếu bảo toàn tỉ số nên hai đáy của hình biểu diễn cũng song song và không bằng nhau, do đó không thể là hình bình hành.
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Qua một phép chiếu song song (giả sử phương chiếu không song song với mặt phẳng (ABCD)), gọi A1, B1, C1, D1, M1 lần lượt là hình chiếu của các điểm A, B, C, D, M. Xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau:
Tứ giác A1B1C1D1 (hình biểu diễn của mặt ABCD) là một hình bình hành.
Điểm M1 là trung điểm của đoạn thẳng A1B1.
Đường thẳng A1B1 song song với đường thẳng C1D1.
Tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng A1B1 và C1D1 luôn bằng tỉ số độ dài thực tế của hai đoạn thẳng AB và CD.
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. ABCD là hình bình hành. Theo quy tắc vẽ hình biểu diễn, hình biểu diễn của hình bình hành là một hình bình hành.
b) Đúng. M là trung điểm của AB nên ba điểm A, M, B thẳng hàng theo thứ tự đó và \(\frac{{MA}}{{MB}} = 1\);
Phép chiếu song song giữ nguyên sự thẳng hàng, thứ tự và tỉ số độ dài nên \(\frac{{{M_1}{A_1}}}{{{M_1}{B_1}}} = 1\);
⇒ M1 là trung điểm của A1B1.
c) Đúng. Vì ABCD là hình hộp nên mặt đáy ABCD là hình bình hành ⇒ AB ∥ CD.
Theo tính chất phép chiếu song song, hình chiếu của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau (ở đây phương chiếu không song song với mặt đáy nên chúng song song).
d) Đúng. Hai đoạn thẳng AB và CD nằm trên hai đường thẳng song song với nhau. Theo tính chất, phép chiếu song song giữ nguyên tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song ⇒ \(\frac{{{A_1}{B_1}}}{{{C_1}{D_1}}} = \frac{{AB}}{{CD}} = 1.\)
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Xét phép chiếu song song lên mặt phẳng (A'B'C') theo phương chiếu AA'. Xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau:
Hình chiếu của điểm B là điểm B'.
Hình chiếu của mặt phẳng (ABC) là toàn bộ mặt phẳng (A'B'C').
Hình chiếu của đoạn thẳng BC là một điểm.
Hình chiếu của trọng tâm G của tam giác ABC là trọng tâm G' tam giác A'B'C'.
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Vì AA' song song với BB' nên phương chiếu AA' cũng là phương chiếu BB', do đó B chiếu thành B'.
b) Đúng. Mọi điểm trên mặt phẳng (ABC) khi chiếu theo phương các cạnh bên đều rơi vào mặt phẳng đáy (A'B'C').
c) Sai. Đoạn thẳng BC chiếu thành đoạn thẳng B'C', không phải là một điểm.
d) Đúng. Phép chiếu song song bảo toàn tỉ số và sự thẳng hàng nên bảo toàn trọng tâm của tam giác.
Xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau khi áp dụng phép chiếu song song:
Hình chiếu của hai đường thẳng cắt nhau có thể là một đường thẳng.
Hình chiếu của một góc tù luôn là một góc tù.
Phép chiếu song song có thể làm thay đổi sự thẳng hàng của ba điểm.
Hai đoạn thẳng có cùng độ dài thì hình chiếu của chúng luôn có cùng độ dài.
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng. Nếu mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau song song với phương chiếu thì hình chiếu của toàn bộ mặt phẳng đó suy biến thành một đường thẳng.
b) Sai. Phép chiếu song song không bảo toàn góc.
c) Sai. Phép chiếu song song luôn bảo toàn sự thẳng hàng của ba điểm.
d) Sai. Chỉ đúng khi hai đoạn thẳng đó nằm trên cùng một đường thẳng hoặc nằm trên hai đường thẳng song song.
Cho đoạn thẳng AB. Điểm M thuộc đoạn thẳng AB sao cho 2MA = 3MB. Phép chiếu song song biến đoạn thẳng AB thành đoạn thẳng A'B' có độ dài bằng 20, biến điểm M thành điểm M'. Tính độ dài đoạn thẳng A'M'.
Đáp án: 12
Vì M thuộc đoạn thẳng AB và 2MA = 3MB nên \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{3}{5}\).
Phép chiếu song song bảo toàn tỉ số độ dài của các đoạn thẳng cùng nằm trên một đường thẳng, do đó \(\frac{{A'M'}}{{A'B'}} = \frac{3}{5}\).
Suy ra A'M' = \(\frac{3}{5} \cdot 20\)= 12.
Cho hình bình hành ABCD. Phép chiếu song song biến hình bình hành ABCD thành tứ giác A'B'C'D'. Biết chu vi của tứ giác A'B'C'D' bằng 48 và A'B' = 3B'C'. Tính độ dài cạnh C'D'.
Đáp án: 18
Theo tính chất của hình biểu diễn, hình biểu diễn của hình bình hành ABCD là hình bình hành A'B'C'D'.
Chu vi của hình bình hành A'B'C'D' là 2(A'B' + B'C') = 48, suy ra A'B' + B'C' = 24.
Kết hợp với giả thiết A'B' = 3B'C', ta có 3B'C' + B'C' = 24, suy ra 4B'C' = 24 hay B'C' = 6.
Từ đó tính được A'B' = 3∙6 = 18.
Vì A'B'C'D' là hình bình hành nên các cạnh đối bằng nhau, do đó C'D' = A'B' = 18.
Cho tam giác ABC. Lấy các điểm M, N lần lượt trên các cạnh AB, AC sao cho AM = 2MB và AN = 2NC. Phép chiếu song song biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C', biến M thành M', N thành N'. Biết độ dài đoạn thẳng B'C' = 21. Tính độ dài đoạn thẳng M'N'.
Đáp án: 14
Trong tam giác ABC, ta có \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{2}{3}\).
Theo định lí Thales đảo, suy ra MN song song với BC và \(\frac{{MN}}{{BC}} = \frac{2}{3}\).
Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau và bảo toàn tỉ số độ dài. Do đó M'N' song song với B'C' và\[\frac{{M'N'}}{{B'C'}} = \frac{2}{3}\].
Suy ra M'N' = \(\frac{2}{3} \cdot 21\) = 14.
Cho hình thang ABCD có hai đáy AB và CD. Trên cạnh AD lấy điểm M sao cho AM = 2MD. Qua M kẻ đường thẳng song song với hai đáy, cắt BC tại N. Qua một phép chiếu song song, hình thang ABCD và đoạn thẳng MN có hình biểu diễn trên mặt phẳng chiếu lần lượt là tứ giác A'B'C'D' và đoạn thẳng M'N'. Biết độ dài A'B' = 12 và C'D' = 6. Tính độ dài đoạn thẳng M'N'.
Đáp án: 8
Vì ABCD là hình thang (AB ∥ CD) và MN ∥ AB ∥ CD. Theo tính chất phép chiếu song song (biến các đường thẳng song song thành các đường thẳng song song), ta có hình biểu diễn A'B' ∥ M'N' ∥ C'D'. Do đó, tứ giác A'B'C'D' cũng là một hình thang.
Phép chiếu song song bảo toàn tỉ số độ dài của các đoạn thẳng nằm trên cùng một đường thẳng, do AM = 2MD nên trên hình biểu diễn ta cũng có A'M' = 2M'D'
⇒ \(\frac{{A'M'}}{{M'D'}} = 2\).
Trong hình thang biểu diễn A'B'C'D', đoạn M'N' song song với hai đáy. Áp dụng định lý Thales hoặc công thức đường thẳng song song trong hình thang, ta có:
\(M'N' = \frac{{1 \cdot A'B' + 2 \cdot C'D'}}{{1 + 2}} = \frac{{12 + 2 \cdot 6}}{3} = 8\).
Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Qua một phép chiếu song song, tam giác ABC và trọng tâm G có hình biểu diễn lần lượt là tam giác A'B'C' và điểm G'. Từ điểm G', kẻ đường thẳng d' song song với cạnh A'B', đường thẳng này cắt cạnh A'C' tại M' và cắt cạnh B'C' tại N'. Tính tỉ số độ dài \(\frac{{G'M'}}{{G'N'}}\).
Đáp án: 1
Xét trên hình phẳng thực tế là tam giác ABC có trọng tâm G. Nếu ta kẻ một đường thẳng d đi qua G và song song với AB (cắt AC tại M, cắt BC tại N). Gọi K là trung điểm của AB, đường trung tuyến CK sẽ đi qua trọng tâm G.
Vì MN ∥ AB, theo định lý Thales trong ΔCAK và ΔCBK, ta có các tỉ số:
\(\frac{{GM}}{{AK}} = \frac{{CG}}{{CK}}\) và \(\frac{{GN}}{{BK}} = \frac{{CG}}{{CK}}\).
⇒ \(\frac{{GM}}{{AK}} = \frac{{GN}}{{BK}}\). Mà AK = BK (do K là trung điểm AB), nên độ dài GM = GN, tức là tỉ số \(\frac{{GM}}{{GN}}\)= 1.
Theo tính chất của phép chiếu song song, phép chiếu song song bảo toàn tính chất song song (đường thẳng d song song với AB biến thành d' song song với A'B') và bảo toàn tỉ số độ dài của các đoạn thẳng cùng nằm trên một đường thẳng (ba điểm M, G, N thẳng hàng).
Do đó, tỉ số độ dài trên hình biểu diễn bằng đúng tỉ số trên hình thực tế: \(\frac{{G'M'}}{{G'N'}} = \frac{{GM}}{{GN}} = 1.\)
