Đề kiểm tra Nguyên hàm (có lời giải) - Đề 3
22 câu hỏi
Cho hai hàm số \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Tìm khẳng định sai.
\(\int {\left( {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right).{\rm{d}}x} = \int {f\left( x \right).{\rm{d}}x + } \int {g\left( x \right).{\rm{d}}x} \).
\(\int {f\left( x \right).g\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x.} \int {g\left( x \right){\rm{d}}x} \).
\(\int {\left( {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right).{\rm{d}}x} = \int {f\left( x \right).{\rm{d}}x - } \int {g\left( x \right).{\rm{d}}x} \)
\(\int {k.f\left( x \right){\rm{d}}x} = k\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} \), với \(k\)là hằng số khác 0.
Họ các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^4}\) là
\({x^4} + C\).
\(4{x^3} + C\).
x55+C.
x5+C
Cho hàm số \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt x }}\). Biết \(F\left( 1 \right) = 1\), tính \(F\left( 4 \right)\).
\(7\).
\(2\).
\(5\).
\(3\).
Tìm khẳng định đúng.
\(\int {\sin x.{\rm{d}}x} = \cos x + C\).
\(\int {\sin x.{\rm{d}}x} = - \cos x + C\).
\(\int {\cos x.{\rm{d}}x} = - \sin x + C\)
\(\int {\cos 2x.{\rm{d}}x} = \sin 2x + C\).
Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(y = {x^2} - {3^x} + \frac{1}{x}\).
\(\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} - \frac{1}{{{x^2}}} + C\).
\[\frac{{{x^3}}}{3} - {3^x} + \frac{1}{{{x^2}}} + C\].
\(\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + \ln \left| x \right| + C\).
\(\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} - \ln \left| x \right| + C\).
Nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {{\rm{e}}^x} + x\) là
\({{\rm{e}}^x} + \frac{{{x^2}}}{2} + C\).
\({{\rm{e}}^x} + {x^2} + C\).
\(\frac{{{{\rm{e}}^x}}}{{\ln 2}} + {x^2} + C\).
\({\rm{e}} + \frac{{{x^2}}}{2} + C\).
Tính \[\int {\frac{1}{{x.\ln 2}}.{{\log }_2}x{\rm{d}}x} \].
\[\log {x^2} + C\].
\(\frac{{\log _2^2x}}{2} + C\).
\(\log _2^2x + C\).
\(\frac{{{{\log }_2}{x^2}}}{2} + C\)
Tính \[\int {\frac{2}{x}} .\ln x{\rm{d}}x\].
\[{\ln ^2}x + C\].
\[\ln {x^2} + C\].
\[\ln x + C\].
\[2.\ln x + C\].
Tìm nguyên hàm \(I = \int {\frac{{{x^2} - 2025}}{{x\left( {{x^2} + 2025} \right)}}} {\rm{d}}x\).
\(I = \ln \left| {x - \frac{{2025}}{x}} \right| + C\).
\(I = \ln \left| {1 - \frac{{2025}}{x}} \right| + C\).
\(I = \ln \left| {x + \frac{{2025}}{x}} \right| + C\).
\(I = \ln \left| {1 + \frac{{2025}}{x}} \right| + C\).
Biết \(\int {\frac{{{\rm{d}}x}}{{\sqrt {x + 2025} + \sqrt {x + 2024} }}} = a\left( {x + 2025} \right)\sqrt {x + 2025} + b\left( {x + 2024} \right)\sqrt {x + 2024} + C\) với \(a,b\) là các số hữu tỉ và \(C\) là hằng số bất kì. Tính \(S = 2025a + 3b.\)
\(1348\).
\(4049\).
\( - 1348\).
\(1352\).
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 45;45} \right\}\) thỏa mãn \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2} - 2025}}\), \(f\left( {25} \right) = 0\). Tính \(f\left( { - 50} \right)\) thuộc khoảng nào?
\(\left( {0;1} \right)\).
\(\left( { - 1;0} \right)\).
\(\left( { - 2; - 1} \right)\).
\(\left( {1;2} \right)\).
Tìm nguyên hàm \(I = \int {\frac{{{x^2} + 45}}{{{x^4} - 90{x^2} + 2025}}} {\rm{d}}x\).
\(I = \ln \left| {\frac{{{x^2} + x - 45}}{{{x^2} - x - 45}}} \right| + C\).
\(I = \ln \left| {\frac{{{x^2} - x - 45}}{{{x^2} + x - 45}}} \right| + C\).
\(I = \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{{x^2} + x - 45}}{{{x^2} - x - 45}}} \right| + C\).
\(I = \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{{x^2} - x - 45}}{{{x^2} + x - 45}}} \right| + C\).
Các phát biểu dưới đây đúng hay sai?
\(\int {2x{\rm{d}}x} = {x^2} + C\)
\[\int {\left( {4{x^3} + 2x + 1} \right){\rm{d}}x} = {x^4} + {x^2} + x + C\]
Hàm số \(F\left( x \right) = 5{x^3} + 4{x^2} - 7x + 10 + C\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\)\[\left( {a,b,c \in \mathbb{Z}} \right)\] thì \(a + b + c = 30\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có \(f'\left( x \right) = 4{x^3} - m + 1\), \(f\left( 2 \right) = 1\) và có đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3. Nếu \(f\left( x \right) = a{x^4} + bx + c\) với \(a,b,c \in \mathbb{Z}\) thì \(a + b + c = - 7\).
Các phát biểu dưới đây đúng hay sai?
Một nguyên hàm của hàm số \[y = \frac{1}{{2x}}\]là \[\frac{1}{2}\ln \left| x \right|\].
Nếu \(x > 0\) thì nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}\) là \(\ln x - \frac{3}{x} + C\)
Một nguyên hàm của hàm số \[y = \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{x}\] là \[\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2} + 2x} \right).\ln \left| x \right|\].
Nếu \(F\left( x \right) = \frac{{2{x^2} - 3x + 7}}{{x + 1}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)(\(a,b,c \in \mathbb{Z}\)) thì \(a + b + c = 12\).
Cho hàm số \(f(x) = {x^3} - 3x\).
Một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\)trên \(\mathbb{R}\) là \(F(x) = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{3{x^2}}}{2}\).
Một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\)trên \(\mathbb{R}\) là \(G(x) = \frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{3{x^2}}}{2} + 1\).
Biết một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\)trên \(\mathbb{R}\) là \(M(x)\) và \(M(0) = 1\). Khi đó \(M\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{3{x^2}}}{2} + 1\).
Biết một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\)trên \(\mathbb{R}\) là \(H(x)\) và \(H(1) = - \frac{1}{4}\). Khi đó \(H(2) = - 1\).
Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.
Hàm \[F\left( x \right) = {x^4} + 5\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = 4{x^3} + 5x\].
Hàm \[F\left( x \right) = \ln \left| x \right| + 1\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{1}{x}\].
Hàm \[F\left( x \right) = {x^4} + 4{x^3} - 6{x^2} - 9x + 1\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \left( {{x^2} - 3} \right).\left( {4x + 3} \right)\].
Nếu hàm \[F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \left( {{x^2} - 3} \right).\left( {4x + 3} \right)\] và \[F\left( 1 \right) = - 10\] thì \[F\left( 0 \right) = 3\].
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \cos x.{\sin ^2}x\) có một nguyên hàm \(F\left( x \right)\) thỏa mãn \[F\left( 0 \right) = 2025\]. Tính \[F\left( {\frac{\pi }{2}} \right)\] (làm tròn đến hàng đơn vị).
2025
Cho hàm số \(f\left( x \right) = x{\left( {2x - 1} \right)^{2025}}\) có một nguyên hàm \(F\left( x \right)\) thỏa mãn \[F\left( {\frac{1}{2}} \right) = 1\]. Tính \[F\left( 0 \right)\] (làm tròn đến hàng đơn vị).
1
Cho biết \(I = \int {\frac{1}{{{x^2}{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{\rm{d}}x} = \frac{a}{x} + \frac{b}{{x + 1}} - c\ln \left| x \right| + d\ln \left| {x + 1} \right| + C\), với \[a,\,b,\,c,\,d\] là số nguyên. Tính \[S = a + b - c + d\].
S = -2
Một hòn đá được ném lên theo phương thẳng đứng, bỏ qua lực cản của không khí, với vận tốc ban đầu là \(10\left( {m/s} \right)\), lấy \[g = 10\left( {m/{s^2}} \right)\]. Khi lên đến điểm cao nhất hòn đá rơi thẳng đứng đến khi chạm đất. Tính thời gian viên đá bay từ lúc ném lên đến khi chạm đất.
\[2\left( s \right)\].
Biết rằng hàm số \[F\left( x \right) = x + 2024\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right)\]; hàm số\[G\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{4} + 2025\]là một nguyên hàm của hàm số \[g\left( x \right)\]. Gọi \[H\left( x \right) = \int {f\left( x \right).g\left( x \right){\rm{d}}x} \], biết \[H\left( 4 \right) = 4\]. Tính \[H\left( 1 \right)\].
\[\frac{1}{4} = 0,25\]
Một hồ bơi có dạng hình hộp chữ nhật có chiều cao \[3,0\,({\rm{m)}}\] đang không chứa nước. Người ta cần thay nước mới cho hồ bơi nên dùng máy bơm để bơm nước vào hồ, giả sử \[h\left( t \right)\,\,({\rm{m)}}\] là chiều cao của mực nước đã được bơm vào tại thời điểm \[t\] giờ. Biết rằng tốc độ tăng chiều cao của mực nước tại giờ thứ \[t\] kể từ lúc bắt đầu bơm nước vào hồ là \[h'\left( t \right) = \frac{{\sqrt[3]{{t + 3}}}}{5}\]. Hỏi sau bao nhiêu giờ kể từ lúc bắt đầu bơm thì hồ đạt được độ sâu \[2,1\,({\rm{m)}}\](Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
6
Gợi ý cho bạn
Xem tất cả
Ngân hàng đề thi