10 bài tập Nguyên hàm có điều kiện có lời giải
10 câu hỏi
Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số \(f\left( x \right) = 2x + 3\sqrt x \) thỏa mãn F(1) = 0.
\(F\left( x \right) = {x^2} + 3\sqrt {{x^3}} \);
\(F\left( x \right) = {x^2} + 2\sqrt[3]{{{x^2}}}\);
\(F\left( x \right) = {x^2} + 3\sqrt[3]{{{x^2}}} - 4\);
\(F\left( x \right) = {x^2} + 2\sqrt {{x^3}} - 3\).
Đáp án đúng là: D
\(\int {\left( {2x + 3\sqrt x } \right)dx} = {x^2} + 2x\sqrt x + C\) mà F(1) = 0 C = −3.
Vậy \(\int {\left( {2x + 3\sqrt x } \right)dx} = {x^2} + 2\sqrt {{x^3}} - 3\).
Cho hàm số f(x) = 2x + ex. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thỏa mãn F(0) = 2024.
\(F\left( x \right) = {x^2} + {e^x} + 2023\);
\(F\left( x \right) = {x^2} + {e^x} - 2023\);
\(F\left( x \right) = {x^2} + {e^x} + 2022\);
\(F\left( x \right) = {x^2} + {e^x} - 2024\).
Đáp án đúng là: A
Có\(F\left( x \right) = \int {\left( {2x + {e^x}} \right)dx} = {x^2} + {e^x} + C\).
Mà F(0) = 2024 C = 2023 F(x) = x2 + ex + 2023.
Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = e2x và F(0) = 0. Giá trị của F(ln3) bằng
2;
6;
8;
4.
Đáp án đúng là: D
Ta có \(F\left( x \right) = \int {{e^{2x}}dx} = \frac{1}{2}{e^{2x}} + C\);
Mà F(0) = 0 \(C = - \frac{1}{2}\). Do đó \(F\left( x \right) = \frac{1}{2}{e^{2x}} - \frac{1}{2}\).
Khi đó \(F\left( {\ln 3} \right) = \frac{1}{2}{e^{2\ln 3}} - \frac{1}{2} = 4\).
Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = sinx + cosx thỏa mãn \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 2\).
F(x) = −cosx + sinx + 3;
F(x) = −cosx + sinx −1;
F(x) = −cosx + sinx + 1;
F(x) = cosx – sinx + 3.
Đáp án đúng là: C
Ta có \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {\sin x + \cos x} \right)dx} = - \cos x + \sin x + C\).
Do \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - \cos \frac{\pi }{2} + \sin \frac{\pi }{2} + C = 2 \Rightarrow C = 1\).
Do đó F(x) = −cosx + sinx + 1.
Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x), với \(f\left( x \right) = \frac{{x{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}{{{x^2}}}\), biết \(F\left( 1 \right) = \frac{5}{2}\). Tính F(2).
F(2) = 2 + 9ln2;
F(2) = −2 + 9ln2;
F(2) = 1 + 9ln2;
F(2) = 7.
Đáp án đúng là: B
Ta có \(F\left( x \right) = \int {\frac{{x{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}{{{x^2}}}} = \int {\left( {x - 6 + \frac{9}{x}} \right)} dx = \frac{{{x^2}}}{2} - 6x + 9\ln \left| x \right| + C\).
Vì \(F\left( 1 \right) = \frac{5}{2}\) \( \Rightarrow \frac{1}{2} - 6 + C = \frac{5}{2} \Rightarrow C = 8\).
Do đó \(F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} - 6x + 9\ln \left| x \right| + 8\). Vậy F(2) = −2 + 9ln2.
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm là f'(x) = 12x2 + 2, ∀x ∈ ℝ và f(1) = 3. Biết F(x) là nguyên hàm của f(x) thỏa mãn F(0) = 2. Khi đó F(1) bằng
−3;
1;
2;
7.
Đáp án đúng là: B
Có \(f\left( x \right) = \int {\left( {12{x^2} + 2} \right)dx} = 4{x^3} + 2x + {C_1}\).
Mà f(1) = 3 nên C1 = −3 f(x) = 4x3 + 2x – 3.
Có \(F\left( x \right) = \int {\left( {4{x^3} + 2x - 3} \right)dx} = {x^4} + {x^2} - 3x + C\).
Lại có F(0) = 2 C = 2 F(x) = x4 + x2 – 3x + 2.
Khi đó F(1) = 14 + 12 – 3.1 + 2 = 1.
Cho hàm số f(x) thỏa mãn f'(x) = 3 – 5sinx và f(0) = 10. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
f(x) = 3x – 5cosx + 15;
f(x) = 3x – 5cosx + 2;
f(x) = 3x + 5cosx + 5;
f(x) = 3x + 5cosx + 2.
Đáp án đúng là: C
Ta có \(f\left( x \right) = \int {\left( {3 - 5\sin x} \right)dx} = 3x + 5\cos x + C\).
Theo giả thiết f(0) = 10 nên 5 + C = 10 C = 5.
Vậy f(x) = 3x + 5cosx + 5.
Hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên ℝ và f'(x) = 2e2x + 1, ∀x, f(0) = 2. Hàm f(x) là
f(x) = 2ex + 2x;
f(x) = 2ex + 2;
f(x) = 2e2x + x + 2;
f(x) = e2x + x + 1.
Đáp án đúng là: D
Có \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} = \int {\left( {2{e^{2x}} + 1} \right)dx} = {e^{2x}} + x + C\).
Mà f(0) = 2 nên 1 + C = 2 C = 1
Vậy f(x) = e2x + x + 1.
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm là f'(x) = ex + 2x + 1, ∀x ∈ ℝ và f(0) = 1. Biết F(x) là một nguyên hàm của f(x) thỏa mãn F(1) = e. Tính F(0).
\(\frac{5}{6}\);
\( - \frac{1}{6}\);
\(\frac{1}{6}\);
\( - \frac{5}{6}\).
Đáp án đúng là: C
Có \(f\left( x \right) = \int {\left( {{e^x} + 2x + 1} \right)dx} = {e^x} + {x^2} + x + C\).
Vì f(0) = 1 nên C = 0. Suy ra f(x) = ex + x2 + x.
Vì F(x) là nguyên hàm của f(x) nên \(F\left( x \right) = \int {\left( {{e^x} + {x^2} + x} \right)dx} = {e^x} + \frac{1}{3}{x^3} + \frac{1}{2}{x^2} + {C_1}\).
Lại có F(1) = e \( \Rightarrow C = - \frac{5}{6}\). Do đó \(F\left( x \right) = {e^x} + \frac{1}{3}{x^3} + \frac{1}{2}{x^2} - \frac{5}{6}\).
Khi đó \(F\left( 0 \right) = {e^0} - \frac{5}{6} = 1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}\).
Cho hàm số f(x) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = \frac{{2x - 3}}{{x - 2}}\), ∀x ℝ\{2} thỏa mãn f(1) = 1 và f(3) = 2. Giá trị của biểu thức f(0) + 2f(4) bằng
3;
5;
7 + 3ln2;
−5 + 7ln2.
Đáp án đúng là: C
Ta có \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} = \int {\frac{{2x - 3}}{{x - 2}}dx} = \int {\left( {2 + \frac{1}{{x - 2}}} \right)dx = 2x + \ln \left| {x - 2} \right| + C} \).
Có f(1) = 1 2 + ln1 + C1 = 1 C1 = −1.
f(3) = 2 6 + ln1 + C2 = 2 C2 = −4.
Vậy \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x + \ln \left( {x - 2} \right) - 4\;khi\;x > 2\\2x + \ln \left( {2 - x} \right) - 1\;khi\;x < 2\end{array} \right.\).
Do đó f(0) + 2f(4) = ln2 – 1 + 2(4 + ln2) = 7 + 3ln2.
</>
