10 bài tập Vận dụng nguyên hàm vào giải quyết bài toán liên quan thực tế có lời giải

Đáp án đúng là: B

Có \(v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt} = \int {\left( {3{t^2} + t} \right)dt} = {t^3} + \frac{1}{2}{t^2} + C\).

Vì v(0) = 2 nên C = 2. Do đó \(v\left( t \right) = {t^3} + \frac{1}{2}{t^2} + 2\)

Vậy v(2) = 12 m/s.

Đáp án đúng là: B

Gọi h(t) là độ cao của quả bóng tại thời điểm t.

Suy ra h'(t) = v(t) do đó h(t) là một nguyên hàm của v(t).

Ta có \(\int {\left( { - 10t + 16} \right)dt} = - 5{t^2} + 16t + C\).

Do quả bóng được ném lên từ độ cao 20 m nên tại thời điểm t = 0 thì h = 20.

Hay h(0) = 20 C = 20. Do đó h(t) = −5t² + 16t + 20.

Đáp án đúng là: D

Gọi s(t) là quãng đường xe ô tô đi được trong t giây kể từ khi hãm phanh.

Ta có \(s\left( t \right) = \int {\left( { - 10t + 30} \right)dt} = - 5{t^2} + 30t + C\).

Do s(0) = 0 C = 0.

Khi đó s(t) = −5t² + 30t s(3) = −5.9 + 30.3 = 45 m.

Đáp án đúng là: A

Lợi nhuận phát sinh của vốn sau t năm từ năm đầu tiên là

\(P\left( t \right) = \int {P'\left( t \right)} dt = 125t + \frac{{{t^3}}}{3} + C\).

Vì P(0) = 0 C = 0. Vậy \(P\left( t \right) = 125t + \frac{{{t^3}}}{3}\).

Đáp án đúng là: C

Đổi 36 km/h = 10 m/s.

Có \(v\left( t \right) = \int {\left( {1 + \frac{t}{3}} \right)} dt = t + \frac{{{t^2}}}{6} + C\).

Vì v(0) = 10 nên C = 10.

Do đó \(v\left( t \right) = t + \frac{{{t^2}}}{6} + 10\) \( \Rightarrow v\left( 6 \right) = 6 + \frac{{{6^2}}}{6} + 10 = 22\) (m/s).

Đáp án đúng là: D

Có \(s\left( t \right) = \int {\left( { - 2t + 10} \right)dt} = - {t^2} + 10t + C\).

Vì s(0) = 0 nên C = 0.

Ô tô dừng hẳn thì v(t) = −2t + 10 = 0 t = 5.

Vậy trong 8 giây cuối thì có 3 giây ô tô chạy với vận tốc 10 m/s và 5 giây cuối ô tô chạy với vận tốc chậm dần đều v(t) = −2t + 10 (m/s).

Quãng đường ô tô đi được trong 3 giây chạy với vận tốc 10 m/s là 3.10 = 30 m.

Quãng đường ô tô đi được trong 5 giây kể từ khi đạp phanh đến khi dừng hẳn là s(5) = −5² + 10.5 = 25 (m).

Vậy trong 8 giây cuối ô tô đi được quãng đường 30 + 25 = 55 (m).

Đáp án đúng là: B

Giả sử tại thời điểm ban đầu t = 0; v(0) = 6 m/s.

Ta có v(0) = 6 m/s \( \Rightarrow v\left( t \right) = \int {\frac{3}{{t + 1}}dt} = 3\ln \left| {t + 1} \right| + C\).

Vì v(0) = 6 C = 6.

Do đó v(t) = 3ln|t + 1| + 6 v(10) = 3ln11 + 6 ≈ 13,2 (m/s).

Đáp án đúng là: B

Gọi h(t) là độ cao của viên đạn bắn lên từ mặt đất sau t giây kể từ thời điểm đạn được bắn lên.

Khi đó \(h\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt} = \int {\left( {25 - 9,8t} \right)dt} = 25t - 4,9{t^2} + C\) (m).

Do h(0) = 0 nên C = 0 h(t) = −4,9t² + 25t (m).

Vậy viên đạn đạt độ cao lớn nhất là \(h = - \frac{\Delta }{{4a}} = \frac{{3125}}{{98}}\)(m) khi \(t = - \frac{b}{{2a}} = \frac{{125}}{{49}}\) giây.

Đáp án đúng là: B

Ta có \(v\left( t \right) = \int {\left( {{t^2} + 4t} \right)dt} = \frac{{{t^3}}}{3} + 2{t^2} + C\).

Vì v(0) = 15 nên C = 15.

Khi đó \[v\left( t \right) = \frac{{{t^3}}}{3} + 2{t^2} + 15\].

Có \(s\left( t \right) = \int {\left( {\frac{{{t^3}}}{3} + 2{t^2} + 15} \right)dt} = \frac{{{t^4}}}{{12}} + \frac{{2{t^3}}}{3} + 15t + {C_1}\).

Vì s(0) = 0 nên C₁ = 0.

Vậy s(3) = 69,75 m.

Đáp án đúng là: D

Ta có \(v\left( t \right) = \int {\sin \left( {2t + \frac{\pi }{3}} \right)} dt = - \frac{1}{2}\cos \left( {2t + \frac{\pi }{3}} \right) + C\).

Mà v(0) = 0 nên \(C = \frac{1}{4}\).

Do đó \(v\left( t \right) = - \frac{1}{2}\cos \left( {2t + \frac{\pi }{3}} \right) + \frac{1}{4}\).

Có \(s\left( t \right) = \int {\left( { - \frac{1}{2}\cos \left( {2t + \frac{\pi }{3}} \right) + \frac{1}{4}} \right)} dt = - \frac{1}{4}\sin \left( {2t + \frac{\pi }{3}} \right) + \frac{1}{4}t + {C_1}\).

Vì s(0) = 0 nên \({C_1} = \frac{{\sqrt 3 }}{8}\).

Do đó \(s\left( t \right) = - \frac{1}{4}\sin \left( {2t + \frac{\pi }{3}} \right) + \frac{1}{4}t + \frac{{\sqrt 3 }}{8}\).