Đề kiểm tra Học kì 2 Toán 12 có đáp án (Mới nhất) - Đề 5

Đáp án đúng là: A

|z| = $\sqrt{a^2+b^2}$ Þ |z|² = a² + b²

z² = (a + bi)² = a² – b² + 2abi

Nên z² ≠ |z|²

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: A

Ta có: z² – 3z + 5 = 0

Áp dụng hệ thức Viet ta có: $\left\{\begin{array}{c}{z}_1+z_2=3\\ z_1.z_2=5\end{array}\right.$ 

Û $\left\{\begin{array}{c}\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}=3\\ \overline{z_1.z_2}=5\end{array}\right.$ 

Ta có: (2${\overline{z}}_1$ − 3)(2${\overline{z}}_2$ − 3)

= 4$\overline{z_1.z_2}$ − 6($\overline{z_1}$ + $\overline{z_2}$) + 9

= 4.5 – 6.3 + 9

= 11

Vậy (2${\overline{z}}_1$ − 3)(2${\overline{z}}_2$ − 3) = 11.

Đáp án đúng là: C

Thay tọa độ các điểm N, Q, M, P vào phương trình của d:

• Với N(0; 0; 1) ta có: $\frac{0-2}{2}=\frac{0+1}{-1}\ne \frac{1-1}{1}$.

Do đó N ∉ d.

• Với Q(6; −3; −3) ta có: $\frac{6-2}{2}=\frac{-3+1}{-1}\ne \frac{-3-1}{1}.$

Do đó Q ∉ d.

• Với M(4; −2; 2) ta có: $\frac{4-2}{2}=\frac{-2+1}{-1}=\frac{2-1}{1}$ 

Do đó M ∈ d.

• Với P(−2; −1; −1) ta có: $\frac{-2-2}{2}=\frac{-1-1}{1}\ne \frac{-1+1}{-1}$

Do đó P ∉ d.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: C

Thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) xung quanh Ox là:

V = $\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}{\left(f\left(x\right)\right)}^{2}dx.$ 

Đáp án đúng là: B

Quan sát hình vẽ ta thấy tọa độ của M là M(2; 1)

Do đó điểm M biểu diễn số phức z = 2 + i

Vậy |z| = $\sqrt{2^2+1}$ = $\sqrt{5}.$ 

Đáp án đúng là: A

2w = 2(1 – 3i) = 2 – 6i

Nên z – 2w = 3 + 4i – 2 + 6i = 1 + 10i.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\int e^{-x}dx$ = −e^−x + C.

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: A

Ta có: iz = 4 – 3i

Þ z =  $\frac{4-3i}{i}$ = $\frac{(4-3i)i}{i^2}$ 

= $\frac{4i-3i^2}{-1}$ = $\frac{4i+3}{-1}$ = −3 – 4i

Số phức liên hợp của z là $\overline{z}$ = −3 + 4i.

Đáp án đúng là: C

Với z₁ = 3 + 2i; z₂ = 3 – 2i ta có:

$\left\{\begin{array}{c}S=z_1+z_2=6\\ P=z_1.z_2=9-4i^2\end{array}\right.$ 

Mà i² = −1

Nên $\left\{\begin{array}{c}S=z_1+z_2=6\\ P=z_1.z_2=9+4=13\end{array}\right.$

Do đó z₁, z₂ là hai nghiệm của phương trình : z² – Sz + P = 0

Û z² – 6z + 13 = 0.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: B

Với $\overrightarrow{a}$ = (1; $\sqrt{3}$ ; 0) và $\overrightarrow{b}$ = (−1; 0; 0) ta có:

cos($\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$) = $\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}$ = $\frac{1.(-1)+\sqrt{3}.0+0.0}{\sqrt{1^2+{\left(\sqrt{3}\right)}^2}.\sqrt{{(-1)}^2}}$ = $-\frac{1}{2}$  

Nên góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là: ($\overrightarrow{a}$; $\overrightarrow{b}$) = 120°.

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\int \sin 3xdx$ = $-\frac{1}{3}$cos3x + C.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\int \frac{1}{2-3x}dx$ = $-\frac{1}{3}$ln|2 – 3x| + C

Vì x ∈ $\left(\frac{2}{3};+\infty \right)$ nên |2 – 3x| = 3x – 2

Do đó $\int \frac{1}{2-3x}dx$ = $-\frac{1}{3}$ln(3x – 2) + C.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\int \left(x^3+\frac{2}{x^2}\right)dx$ 

= $\int x^{3}dx$ + $\int \frac{2}{x^2}dx$ 

= $\frac{x^4}{4}$ − $\frac{2}{x}$ + C.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left[2f\left(x\right)-1\right]dx$ 

= $2\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx$ − $\underset{1}{\overset{3}{\int }}1dx$

= 2.4 − ${\left.x\right|}_1^3$ = 8 – (3 – 1) = 6.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx$ = ${\left.F\left(x\right)\right|}_1^3$ = F(3) – F(1) = 5 – (−2) = 7.

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: D

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số f(x) với trục hoành là:

x⁴ – 5x + 4 = 0 $\iff \left\{\begin{array}{l}{x}^2=4\\ x^2=1\end{array}\right.$Û $\left[\begin{array}{l}x=2\\ x=-2\\ x=1\\ x=-1\end{array}\right.$ 

Khi đó ta có:

S = $\underset{-2}{\overset{2}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx$ = 2$\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx$ 

= 2$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx$ + 2$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx$ 

= 2$\left|\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx\right|$ + 2$\left|\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx\right|$ 

Do đó phương án D là sai.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: D

Với z = 4 – 3i  ta có: |z| = $\sqrt{4^2+{\left(-3\right)}^2}$ = 5

Vậy môđun của z = 4 – 3i bằng 5.

Đáp án đúng là: D

Với A(1; –2; 1) và (P): x – 2y + 2z – 1 = 0 ta có:

d_{(A; (P))} = $\frac{\left|1-2.\left(-2\right)+2.1-1\right|}{\sqrt{1^2+{\left(-2\right)}^2+2^2}}$ = 2

Vậy khoảng cách từ A đến (P) bằng 2.

Đáp án đúng là: B

Ta có: z = $\frac{1}{1+i}+\frac{2}{1-i}$ 

= $\frac{1-i+2+2i}{1-i^2}$ = $\frac{3+i}{1-\left(-1\right)}$

= $\frac{3+i}{2}$ 

= $\frac{3}{2}+\frac{1}{2}i$ 

Þ |z| = $\sqrt{{\left(\frac{3}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}$ = $\frac{\sqrt{10}}{2}$  

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: A

z = 3 – 5i có phần ảo là −5.

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: C

Đáp án C sai do:

$\int kf\left(x\right)dx$ = k.$\int f\left(x\right)dx$ (với hệ số k khác 0).

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: B

Mặt cầu (S): x² + y² + z² – 2x + 4y + 2z – 3 = 0 có các hệ số của x, y, z lần lượt là –2; 4; 2.

Do đó mặt cầu (S) có tâm là (1; −2; −1).

Đáp án đúng là: A

Với M(−2; 3; 1) và N(1; −2; 0) ta có:

$\overrightarrow{MN}$ = (3; −5; −1)

Đường thẳng MN đi qua N(1; −2; 0) và có vectơ $\overrightarrow{MN}$ = (3; −5; −1) là:

$\frac{x-1}{3}=\frac{y+2}{-5}=\frac{z}{-1}$ 

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: C

Mặt phẳng (P): 2x + y – 2z + 1 = 0 có vectơ pháp tuyến là (2; 1; –2)

Gọi mặt phẳng cần tìm là (Q)

Do (Q) // (P) nên vectơ pháp tuyến của (P) cũng là vectơ pháp tuyến của (Q)

Phương trình mặt phẳng (Q) đi qua M(1; −2; 1) và có vectơ pháp tuyến là (2; 1; −2) là:

2(x – 1) + 1(y + 2) – 2(z – 1) = 0

Û 2x – 2 + y + 2 – 2z + 2 = 0

Û 2x + y – 2z + 2 = 0

Vậy (Q): 2x + y – 2z + 2 = 0.

Đáp án đúng là: D

Gọi số phức z = a + bi, (a, b ∈ ℝ)

Þ $\overline{z}$ = a – bi .

Khi đó ta có:

z + 2$\overline{z}$ = 6 + 2i

Û a + bi + 2(a – bi) = 6 + 2i

Û 3a – bi = 6 + 2i

Û $\left\{\begin{array}{c}3a=6\\ -b=2\end{array}\right.$ Û $\left\{\begin{array}{c}a=2\\ b=-2\end{array}\right.$ (thỏa mãn)

Suy ra z = 2 − 2i

Vậy M(2 ; −2) là điểm biểu diễn số phức z.

Đáp án đúng là: B

Phương trình z² – 2z + 3 = 0 có hai nghiệm là:

z₁ = 1 + $\sqrt{2}$i và z₂ = 1 − $\sqrt{2}$i

Ta có:

• z₁ + z₂ = 1 + $\sqrt{2}$i + 1 – $\sqrt{2}$i

Þ z₁ + z₂ = 2 là một số thực.

Do đó A là đúng.

• z₁ – z₂ = 1 + $\sqrt{2}$i – (1 – $\sqrt{2}$i)

Þ z₁ – z₂ = 2$\sqrt{2}$i  là một số ảo

Nên z₁ – z₂ là số thực là sai.

Do đó B là sai.

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: C

Gọi (S) là phương trình mặt cầu cần tìm có tâm thuộc tia Ox nên I(a; 0; 0) (a ≥ 0).

(S) tiếp xúc với mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 1 = 0 nên khoảng cách d_{(I; (P))} = R

Û $\frac{\left|a-2.0+2.0-1\right|}{\sqrt{1^2+{\left(-2\right)}^2+2^2}}$ = 2

Û  $\frac{\left|a-1\right|}{3}$ = 2

Û |a – 1| = 6

$\iff \left[\begin{array}{l}a-1=6\\ a-1=-6\end{array}\right.$

Û $\left[\begin{array}{c}a=7\\ a=-5\end{array}\right.$ 

Do a ≥ 0 nên ta lấy a = 7

Vậy (S) : (x – 7)² + y² + z² = 4.    

Đáp án đúng là: B

F(x) = x² là nguyên hàm của f(x)sin²x

Nên F'(x) = f(x)sin²x

Û 2x = f(x)sin²x Û f(x) = $\frac{2x}{{\sin }^{2}x}$ 

G(x) là nguyên hàm của f(x)cos²x

Do đó G(x) = $\int f\left(x\right)co{s}^{2}xdx$ = $\int \frac{2x}{{\sin }^{2}x}.co{s}^{2}xdx$ 

= $\int \frac{2x(1-{\sin }^{2}x)}{{\sin }^{2}x}dx$ = $\int \frac{2x}{{\sin }^{2}x}dx-\int 2xdx$ 

= $\int 2xd(-\cot x)$ − x²

= −2xcotx + $\int 2\cot x.dx$ − x²

= −2xcotx – x² + 2$\int \cot x.dx$ 

= −2xcotx – x² + 2ln|sinx| + C

Theo giả thiết:

• G$\left(\frac{\pi }{2}\right)$ = 0

$\iff -2.\frac{\pi }{2}.\cot \frac{\pi }{2}-{\left(\frac{\pi }{2}\right)}^2+2\ln \left|\sin \frac{\pi }{2}\right|+C=0$

$\iff -\pi .0-{\frac{\pi }{4}}^2+2\ln \left|1\right|+C=0$

Û $-\frac{{\pi }^2}{4}$ + C = 0 Û C = $\frac{{\pi }^2}{4}$ 

Nên G(x) = −2xcotx – x² + 2ln|sinx| + $\frac{{\pi }^2}{4}$ 

• $G\left(\frac{\pi }{4}\right)=-2.\frac{\pi }{4}.\cot \frac{\pi }{4}-{\left(\frac{\pi }{4}\right)}^2+2\ln \left|\sin \frac{\pi }{4}\right|+\frac{{\pi }^2}{4}$ 

= $-\frac{\pi }{2}-\frac{{\pi }^2}{16}+2\ln \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{{\pi }^2}{4}$ 

= $-\frac{\pi }{2}+\frac{3{\pi }^2}{16}-2\ln \sqrt{2}$ 

= $-\frac{\pi }{2}+\frac{3{\pi }^2}{16}-\ln 2$ 

Mà G$\left(\frac{\pi }{4}\right)$ = aπ + bπ² + cln2

Nên ta có: a = $-\frac{1}{2}$; b = $\frac{3}{16}$; c = −1

Vậy a + b + c = $-\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{16}$ − 1 = $-\frac{21}{16}$.

Đáp án đúng là: C

Đặt z = a + bi , w = c + di (a, b, c, d ∈ ℝ ).

Þ iw – 2 + 5i = i(c + di) – 2 + 5i

= ci + di² – 2 + 5i

= (c + 5)i – d – 2

Khi đó ta có:

• |z| = $\sqrt{a^2+b^2}=2$ Þ a² + b² = 4

Þ a, b ∈ [–2; 2]

• |iw – 2 + 5i| = $\sqrt{{\left(c+5\right)}^2+{\left(-d-2\right)}^2}=1$

Þ (c + 5)² + (d + 2)² = 1

Þ c ∈ [–6; –4] và d ∈ [–3; –1].

Ta có:

T = |z² – wz – 4|

= |z² – wz − |z|²|

= |z² – wz – z . $\overline{z}$|

= |z| . |z − $\overline{z}$ − w|

= 2|z − $\overline{z}$ − w|

Þ T = 2|2bi – (c + di)|

= 2|– c + (2b – d)i|

= 2$\sqrt{{(2b-d)}^2+c^2}$ ≥ 2$\sqrt{c^2}$ = 2|c| ≥ 2.4 = 8

(do c ∈ [−6; −4] nên |c| ≥ 4)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi : $\left\{\begin{array}{c}c=-4\\ 2b-d=0\\ {(c+5)}^2+{(d+2)}^2=1\end{array}\right.$  Þ $\left\{\begin{array}{c}c=-4\\ d=-2\\ b=-1\end{array}\right.$ 

Vậy |z² – wz – 4| có giá trị nhỏ nhất bằng 8.