Đề kiểm tra Học kì 2 Toán 12 có đáp án (Mới nhất) - Đề 2

Đáp án đúng là: D

Ta có:

ud→=2; 3; 4 và nP→=3; −2; 0

Vậy suy ra góc giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) là góc a, được tính theo công thức

sinα=ud→.uP→ud→.uP→=2.3+3.−2+4.022+32+42.32+−42+02

=0529=0

Þa = arcsin (0) = 0°.

Đáp án đúng là: A

Nguyên hàm của hàm số y=fx=sinπ2−x là:

∫fxdx=∫sinπ2−xdx

=−∫−sinπ2−xdx=cosπ2−x+C.

Đáp án đúng là: D

I=∫232fxdx=2∫23fxdx=2.5=10.

Đáp án đúng là: C

Đặt u = 3x Þ du = 3 dx ⇒dx=13du

Đổi cận:

+) x = 0 Þ u = 0

+) x = 3 Þ u = 9

Khi đó:

∫03f3xdx=∫0913fudu=13∫09fudu

=13∫09fxdx=13.9=3.

Đáp án đúng là: B

Ta có số phức z = 1 + 2i nên suy ra z¯=1−2i

Xét các biểu thức:

+) z+z¯=1+2i+1−2i=2

+) z.z¯=z2=12+22=5

Ta có xét số phức

w=zz¯+z¯z=z2+z¯2z.z¯=z+z¯2−2z.z¯z.z¯

=22−2.55=−65

Vậy Mô đun của số phức w là

w=−65=65.

Đáp án đúng là: C

ω=zw=1+2i8−6i=1+2i8+6i8−6i8+6i

=8+16i+6i+12i282+62=8+16i+6i−1282+62

=−4+22i100=−125+1150i.

Đáp án đúng là: D

∫sinxdx=−∫sinxdx=−cosx+C.

Đáp án đúng là: D

Phương trình mặt phẳng qua điểm M(3; -1; 1) có véc tơ pháp tuyến a→=−1; 3; −2 là

-1.(x - 3) + 3(y + 1) - 2(z - 1) = 0

Û-x + 3 + 3y + 3 - 2z + 2 = 0

Û-x + 3y - 2z + 8 = 0.

Đáp án đúng là: D

I=∫35fxdx=∫15fxdx−∫13fxdx

=−∫51fxdx−∫13fxdx=−−1−3=−2.

Đáp án đúng là: B

z = 3a + 4bi nên suy ra

z−1=1z=13a+4bi=3a−4bi3a+4bi3a−4bi

=3a−4bi9a2+16b2=3a9a2+16b2−4b9a2+16b2i

Vậy phần ảo của số phức z^-1 là −4b9a2+16b2.

Đáp án đúng là: C

Số phức z₁ - z₂ là

z₁ - z₂ = (2 + 3i) - (-1 + 5i)

= 2 + 3i + 1 - 5i = 3 - 2i.

Đáp án đúng là: C

d:x1=y+22=z−1−2 có véc-tơ chỉ phương là ud→=1; 2; −2

Mặt phẳng vuông góc với đường thẳng (d) nên nhận véc-tơ chỉ phương của (d) là ud→=1; 2; −2 làm véc-tơ pháp tuyến

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; -1; 0) và có nP→=1; 2; −2 làm véc-tơ pháp tuyến là

(P): (x - 1) + 2(y + 1) - 2z = 0

Û x + 2y - 2z + 1 = 0.

Đáp án đúng là: B

Ta có:

iz=23+i21−2i

⇔iz=12+43i+i21−2i

⇔iz=12+43i−11−2i

⇔iz=11+43i1−2i

⇔iz=11+43i−112i−46i2

⇔iz=11+43i−112i+46

⇔iz=11+46+43−112i

⇔z=−11+46i+43−112

Vậy phần thực của số phức z là −112+43.

Đáp án đúng là: C

Ta có: f (x) = e^x + 2x nên suy ra nguyên hàm của f (x) có dạng

Fx=∫fxdx=∫ex+2xdx

= e^x + x² + C

Mà F (1) = e nên suy ra e + 1 + C = e Û C = - 1

Vậy  F (x) = e^x + x² - 1.

Đáp án đúng là: A

Ta có véc-tơ PQ→=1; 1; −1

Phương trình đường thẳng PQ đi qua Q(2; 0; 1) và có véc-tơ chỉ phương  PQ→=1; 1; −1 là

PQ:x=2+ty=t     z=1−t ;t∈ℝ.

Đáp án đúng là: C

Độ dài đoạn thẳng MN bằng MN=4−22+3−52+0+11=3.

Đáp án đúng là: D

Nguyên hàm của hàm số fx=12x trên (0; +¥) là

Fx=∫fxdx=∫12xdx=12∫1xdx

=12lnx+C=12lnx+C

Mà Fe=e2 nên suy ra

12lne+C=12+C=e2

⇔C=e−12

Vậy suy ra được Fx=12lnx+e−1.

Đáp án đúng là: C

Số phức z = 3 + 2i nên suy ra số phức liên hợp của số phức z là z¯=3−2i

Khi đó mô đun của số phức z¯.w bằng:

z¯.w=z¯.w=3−2i.1−i

=32+−22.12+−12=13.2=26.

Đáp án đúng là: D

Số phức liên hợp của số phức z = 5 - 7i là z¯=5+7i.

Đáp án đúng là: A

Số phức -6 + 3i có phần thực bằng -6.

Đáp án đúng là: D

Gọi I(x; y; z) ta có:

IO=IAIO=IBIO=IC⇒x2+y2+z2=x−32+y2+z2               x2+y2+z2=x−32+y2+z−32        x2+y2+z2=x−32+y−32+z−32

⇔−6x+9=0                        −6x+9−6z+9=0            −6x+9−6y+9−6z+9=0⇔x=32z=32y=32

Vậy tâm I của mặt cầu (S) có tọa độ là 32; 32; 32.

Đáp án đúng là: C

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f (x), x = 0; x = c, trục hoành được tính bởi công thức

S=∫0cfxdx=∫0bfxdx+∫bcfxdx

=∫0bfxdx−∫bcfxdx.

Đáp án đúng là: A

Ta có:

∫exdx=ex+C;

∫xedx=1e+1∫e+1xedx=xe+1e+1+C;

∫dxx=lnx+C;

∫cos2xdx=12∫2cos2xdx=12sin2x+C;

Vậy suy ra khẳng định SAI trong các khẳng định trên là ∫exdx=ex+1x+1+C.

Đáp án đúng là: B

Họ tất cả các nguyên hàm F (x) của hàm số fx=x−1x với x Î (-¥; 0) là

Fx=∫fxdx=∫x−1xdx

=x22−lnx+C=x22−ln−x+C.

Đáp án đúng là: B

Mô đun của số phức z1+i bằng

z1+i=2−2i1+i=2−2i1+i

=22+−2212+12=222=2.

Đáp án đúng là: A

Nguyên hàm của hàm số y = 3^x là:

∫3xdx=1ln3∫3xln3dx=3xln3+C.

Đáp án đúng là: C

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S): x² + (y - 4)² + (z + 1)² = 25 có tâm là điểm I(0; 4; -1).

Đáp án đúng là: C

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=2x−1x−1; y=0; x=0; x=−1 bằng

S=∫−102x−1x−1dx=∫−102x−1x−1dx

=∫−102+1x−1dx=2x+lnx−1−10=2+ln2.

Đáp án đúng là: A

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy diện tích của f(x) và trục hoành trên các khoảng (-2; 0) và (0; 1) là S₁ và S₂ với:

+) S1=∫−20fxdx=−∫−20fxdx>0

+) S2=∫01fxdx=−∫01fxdx=∫10fxdx>0

+) S₁ > S₂ nên suy ra:

∫−20fxdx>∫01fxdx

⇔−∫−20fxdx>−∫01fxdx

⇔∫−20fxdx<∫01fxdx

⇔∫−20fxdx−∫01fxdx<0

Vậy suy ra mệnh đề SAI trong các mệnh đề sau là ∫−20fxdx>∫01fxdx.

Đáp án đúng là: C

Nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x² là

∫fxdx=∫3x2dx=x3+C.

Đáp án đúng là: B

I=∫02x+2fx−3gxdx

=x2202+2∫02fxdx−3∫02gxdx

=222+2.−2−3.3=−11.

Đáp án đúng là: C

Diện tích S hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = x³ + 1; y = 0; x = 0; x = 1 là

S=∫01x3+1dx=∫01x3+1dx

=x44+x01=14+1=54.

Đáp án đúng là: D

Điểm M(3; -4) là điểm biểu diễn số phức z nên suy ra z = 3 - 4i

Khi đó mô đun của số phức z là

z=3−4i=32+−42=5.

Đáp án đúng là: A 

u→=2a→−3b→=23; −4; 1−32; 1; 5

= (2.3 - 3.2; 2.(-4) - 3.1; 2.1 - 3.5)

= (0; -11; -13).

Đáp án đúng là: A

Hai mặt phẳng có phương trình 2x + y = 0 và x = z + 1 lần lượt có hai véc-tơ pháp tuyến là n1→=2; 1; 0, n2→=1; 0; −1

Phương trình mặt phẳng vuông góc với hai mặt phẳng trên nên suy ra véc-tơ pháp tuyến n→ vuông góc với hai véc-tơ pháp tuyến n1→=2; 1; 0, n2→=1; 0; −1

Ta suy ra được

n→=n1→; n2→

=100−1; 02−11; 2110

= (-1; 2; -1) = -(1; -2; 1)

Phương trình mặt phẳng đi qua A(1; 2; -1) nhận (1; -2; 1) làm véc-tơ pháp tuyến là

(x - 1) - 2(y - 2) + (z + 1) = 0

Û x - 2y + z + 4 = 0.

Đáp án đúng là: B và C

Trong hệ tọa độ Oxyz điểm M' đối xứng của điểm N(2; 3; -4) qua gốc tọa độ O có tọa độ M '(-2; -3; 4).

Đáp án đúng là: A

I=∫abf'xdx=fxab

= f (b) - f (a) = 1 - (-5) = 6.

Đáp án đúng là: D

z₁; z₂ là hai nghiệm của phương trình 2z² - 5z + 10 = 0

Theo Viét: z1+z2=52z1.z2=5    

Khi đó,

z₁² + z₂² = (z₁ + z₂)² - 2z₁.z_{2=522−2.5=−154.}

Đáp án đúng là: A

Nguyên hàm F (x) của hàm số f (x)

Đặt u = x + 2 Þ du = dx

⇒∫fx+2dx=∫fudu=Fu+C=Fx+2+C

Vậy hàm số F (x + 2) là một nguyên hàm của hàm số f (x + 2) với C = 0.

Đáp án đúng là: B

Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: nP→=2; −1; 2

Phương trình đường thẳng d đi qua M, vuông góc với mặt phẳng (P) nên nhận nP→=2; −1; 2 làm véc-tơ chỉ phương là

d:x=1+2ty=−1−tz=2+2t

Hình chiếu H của điểm M là giao của đường thẳng d mà mặt phẳng (P) nên H(1 + 2t; -1 - t; 2 + 2t) thuộc mặt phẳng (P)

Þ 2(1 + 2t) - (-1 - t) + 2(2 + 2t) + 12 = 0

Û 9t + 19 = 0 ⇔t=−199

Vậy hình chiếu của M lên mặt phẳng (P) có tọa độ −299; 109; −209.

Đáp án đúng là: B

Giao tuyến của hai mặt phẳng x + 2y + z - 1 = 0, 2x - y - z + 4 = 0 là nghiệm của hệ phương trình

x+2y+z−1=02x−y−z+4=0

Đặt x = t nên suy ra hệ phương trình (1) trở thành

x+2y+z−1=02x−y−z+4=0⇔2y+z=1−ty+z=2t+4

⇔y=−3t−3z=5t+7  

Vậy suy ra dường thẳng cần tìm có phương trình tham số là

x=t         y=−3t−3z=5t+7  

Vậy phương trình đường thẳng d là x1=y+3−3=z−75.

Đáp án đúng là: D

Giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) là nghiệm của hệ phương trình

x+z−1=0y+1=0     

Đặt x = t thì hệ phương trình (1) trở thành

z=1−ty=−1  

Vậy suy ra phương trình đường thẳng D là:

Δ:x=t    y=−1  z=1−t⇒uΔ→=1; 0; −1

Chọn M(0; -1; 1) thuộc đường thẳng (D)

(d): x = y = z⇒ud→=1; 1; 1

Chọn O(0; 0; 0) thuộc đường thẳng (d)

Ta có: OM→=0; −1; 1

Áp dụng công thức tính khoảng cách của hai đường thẳng

dΔ/d=ud→; uΔ→;OM→ud→; uΔ→=1.0+−2.−1+1.112+−22+12=62.

Đáp án đúng là: A

z³ = 1 Û (z - 1)(z² + z + 1) = 0

⇔z−1z2+z+14+34=0

⇔z−1z+122−3i24=0

⇒z=1            z=−12+32iz=−12−32i

Vậy suy ra A1; 0, B−12; 32; B−12; −32

Trong tâm G của tam giác ABC có tọa độ là

GxA+xB+xC2; yA+yB+yC2

⇒G1−12−122; 0+32−322

Þ G(0; 0).

Đáp án đúng là: C

Gọi z = a + bi nên suy ra

|z + 1|² + |z - 1|² - 2

= (a + 1)² + b² + (a - 1)² + b² - 2

= a² + 2a + 1 + b² + a² - 2a + 1 + b² - 2

= 2(a² + b²) = 2|z|².

Đáp án đúng là: B

F (x) là nguyên hàm của hàm số f (x) trên ℝ nên ta có:

+) x ³-1 nên suy ra

Fx=∫2x+3dx=x2+3x+C1

Mà F (0) = 2 Þ C₁ = 2

Vậy suy ra F (x) = x² + 3x + 2 (x ³-1)

Þ F (1) = 1 + 3 + 2 = 6

+) x £-1 nên suy ra

Fx=∫3x2−2dx=x3−2x+C2

Mà F (-2) = 1 Þ C₂ = 5

Vậy suy ra F (x) = x³ - 2x + 5 (x £-1)

Þ F (-3) = -27 + 6 + 5 = -16

Khi đó F (1) - F (-3) = 6 + 16 = 22.

Đáp án đúng là: C

J=∫12f'x+2x−fx+1x2dx

=∫12f'xx−fx+1x2dx+∫122xdx

Đặt g (x) = f (x) + 1 Þ g '(x) = f '(x)

và hx=1x⇒h'x=−1x2

Vậy khi đó

J=∫12g'xhx+gxh'xdx+∫122xdx

=gxhx12+2lnx12

=fx+1x12+2lnx12

=f2+12−f1+11+2ln2

=4+12−1+11+2ln2

=12+ln4.

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng (d): x - 1 = y - 2 = z + 1 có véc-tơ chỉ phương là: u→=1; 1; 1

Phương trình tham số của đường thẳng (d) là x=1+t  y=2+t  z=−1+t

Viết phương trình (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng (d) nên nhận u→=1; 1; 1 làm véc-tơ pháp tuyến

(P): (x - 2) + (y - 3) + (z + 3) = 0

Û x + y + z - 2 = 0

Gọi H là hình chiếu của M lên đường thẳng (d) nên suy ra H là giao điểm của (d) và mặt phẳng (P)

Suy ra H(1 + t; 2 + t; -1 + t) thuộc mặt phẳng (P)

Þ 1 + t + 2 + t + -1 + t - 2 = 0

Û 3t = 0 Û t = 0

Vậy H(1; 2; -1)  ⇒AH→=−1; −1; 2

Để khoảng cách từ A đến mặt phẳng (Q) chứa (d) là lớn nhất thì AH vuông góc với mặt phẳng (Q)

Mặt phẳng (Q) đi qua H(1; 2; -1) và có AH→=−1; −1; 2 làm véc-tơ pháp tuyến là

(Q): -(x - 1) - (y - 2) + 2(z + 1) = 0

Û- x - y + 2z + 5 = 0

Û x + y - 2z - 5 = 0.

Đáp án đúng là: A

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y=x và y = x² là nghiệm của phương trình

x=x2⇔xxx−1=0

⇔x=0  xx=1⇔x=0x=1

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) quay quanh trục Ox bằng

V=π∫01x−x4dx=π∫01x−x4dx

=πx22−x5501=π12−15=3π10.

Đáp án đúng là: A

Biết z₁; z₂ = 4 + 2i là hai nghiệm của phương trình ax² + bx + c = 0 nên z₁ = 4 - 2i

Khi đó, T = |z₁| + 3|z₂|

= |4 - 2i| + 3|4 + 2i|

=42+−22+342+22=85.

Đáp án đúng là: B

Họ nguyên hàm của hàm số fx=1x2−2x trên khoảng (2; +¥) là

∫fxdx=∫1x2−2xdx=∫1x−2xdx

=12∫x−x−2x−2xdx=12∫1x−2−1xdx

=12lnx−2−lnx+C=lnx−2−lnx2+C.