Đề kiểm tra Học kì 2 Toán 12 có đáp án (Mới nhất) - Đề 15
50 câu hỏi
Trong không gianvới hệtọađộOxyz, đườngthẳng(△): x−12 = y+21 = z−1 đi qua điểm nào dưới đây?
(1;−3; 1).
(1; −2; 0).
(2;l;−1).
(3;−1; 1).
Đáp án đúng là B
Thay tọa độ (1; −2; 0) vào phương trình đường thẳng (△): x−12 = y+21 = z−1 ta được: 1−12 = −2+21 = 0−1 = 0
Vậy nên điểm có tọa độ là (1; −2; 0) thuộc đường thẳng (△).
ThểtíchV của khối tròn xoay tạo thành do hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm sốy =f(x),trụchoànhvàđườngthẳngx= b (phầntôđậm tronghìnhvẽ)quay quanh trụcOxđược tính theocôngthức nào dưới đây?
V = ∫bcfx2dx.
V =∫cbfxdx.
V = π ∫cbfx2dx.
V = π.∫bcfx2dx.
Đáp án đúng là C
Khối tròn xoay tạo bởi: Đường thẳng y = f (x), trục hoành y = 0, x = a; x = b. Khi đó, công thức tính thể tích là:
V = π ∫abf2xdx
Vậy nên thểtíchV của khối tròn xoay tạo thành do hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x),trụchoànhvàđườngthẳngx= b (phầntôđậm tronghìnhvẽ)quay quanh trụcOxđược tính theocôngthức sau đây:
V = π∫cbfx2dx.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho =(2;−1;3).Tọa độ của vectơ 2 a→ là
(4;−2;3).
(4;−1;3).
(4;−2; 6).
(4;−2;5).
Đáp án đúng là C
Tọa độ của vectơ 2 a→ là: 2a→=(2.2; 2.(−1); 2.3)=(4;−2; 6).
Trênmặtphẳngtọađộ,cho sốphứczcóđiểmbiểudiễnlà M (3; −4).Sốphức nghịchđảocủasốphứcz1à
1z= 13−14i.
1z=− 325+425i.
1z= 325−425i.
1z= 325+ 425i.
Đáp án đúng là D
Ta có: z = 3 − 4i vậy nên:
1z = 13−4i
= 3+4i3−4i3+4i
= 3+4i32−12i+12i−16i2
= 3+4i25
= 325 + 425i
Trênmặtphẳngtọa độ,điểmnàotronghìnhvẽbênlàđiểmbiểudiễnsốphức z = 2 – i?
Q.
P.
M.
N.
Đáp án đúng là C
Điểmbiểudiễnsốphức z = 2 – i là điểm M (2; –1).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x + 3y − 4z + 7 = 0. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) 1à
n→=(−2;3;−4).
n→= (2;3;−4).
n→=(2;−3;−4).
n→=(−2; −3; −4).
Đáp án đúng là B
Mặt phẳng(P) qua điểm M0(x0;y0;z0) và nhận n→= (A; B; C) làm vectơ pháp tuyến có phương trình có dạng: A(x–x0)+B(y–y0)+C(z–z0)=0
Vậy nên mặt phẳng (P):2x + 3y − 4z + 7 = 0 có vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) 1à n→ = (2;3;−4).
Trong khônggianvớihệtọađộ Oxyz,chohaimặtphẳng(α):3x+2y −z+1 =0và (α'):3x+2y−z−1=0.Vịtrítươngđốicủahaimặtphẳng(α)và(α ')là
vuông gócvớinhau.
songsongvớinhau.
trùngnhau.
cắt nhau nhưng không vuông góc với nhau.
Đáp án đúng là B
Xét hai mặt phẳng ta có: 33 = 22 = −1−1 ≠1−1
Vậy nên haimặtphẳng(α)và(α ') song song với nhau.
Chohaisố phúcz1 =5 –6i vàz2 = 2+ 3i.Số phức3z1 −4z2 bằng:
7−30i.
−14+33i.
26−l5i.
23−6i.
Đáp án đúng là A
Ta có: 3z1 −4z2 = 3. (5 –6i) – 4. (2+ 3i)
= 12 – 18i – 8 – 12i
= 7−30i.
Chohàm số f (x) liên tục trên tập ℝ, F (x) là một nguyên hàm của f (x) thỏa mãn F (1) = 3 và F (0) = 1. Giá trị ∫01fxdx bằng
4.
2.
−3.
−4.
Đáp án đúng là B
Ta có: F (x) là một nguyên hàm của f (x) nên
∫01fxdx = Fx01 = F (1) – F (0) = 3 – 1 = 2.
Cho hai số phức z1 = 2i, z2 = 3 – 2i. Tìm số phức w = z1z2
w = 513– 1213i.
w = 37– 47i.
w = 513+ 1213i.
w = – 513–i.
Đáp án đúng là C
Ta có: w = z1z2 =3+2i3−2i
= 3+2i3+2i3−2i3+2i
= 5+12i13
= 513 + 1213i.
Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,chođường thẳng (d): x+11= y−23 = z−2,vectơnàodướiđâylàvectơchỉphươngcủađườngthẳng(d)?
u→= (1; 3; 2).
u→= (1; 3; –2).
u→= (1; –3; –2).
u→= (–1; 3; –2).
Đáp án đúng là B
Trong không gian Oxyz, một đường thẳng được xác định khi biết một điểm nó đi qua và một vectơ chỉ phương (VTCP). Giả sử đường thẳng d đi quađiểmM(x0;y0;z0)và có vectơ chỉ phương là u→ = (a;b;c) thì d sẽ có phương trình chính tắc là
x−x0a = y−y0b = z−z0c
Vậy nên vectơ chỉ phương của đường thẳng d là: u→= (1; 3; –2).
Trong không gian với hệ tọađộ Oxyz,đườngthẳngđiquahaiđiểmM (1; –2; 0)và N (3; 1; 1)cómộtvectơchỉphươnglà
u1→=(4; 1;1).
u3→=(2;3;l).
u2→=(–2;–3;1)
u4→=(2;–3; 1).
Đáp án đúng là B
Vì đường thẳng đi qua hai điểm M (1; –2; 0)và N (3; 1; 1)nên đường thẳng d cómộtvectơchỉphươnglà: ud→ = MN→= (3 – 1; 1 – (–2); 1 – 0) = (2; 3; 1).
Chohaisốphúcz1=1+i vàz2=1+2i.Phầnảocủasốphứcw= z1.z2 là
1.
2.
3.
–1.
Đáp án đúng là C
Ta có: w=z1 . z2 = (1+i). (1+2i) = 1 + 2i + i + 2i2 = 1 – 2 + 3i =– 1 + 3i
Vậy nên phần ảo của số phức w=z1 . z 2 là 3.
Cho ∫−22fxdx = 2,∫25fxdx =–4. Tính I = ∫−25fxdx.
I = 6.
I = –6.
I = 2.
I = –2.
Đáp án đúng là D
Ta có: ∫−25fxdx = ∫−22fxdx + ∫25fxdx = 2 + (–4) = –2.
TínhI=∫01x.exdx.
I = e.
I = e – 1.
I = 1.
I = 2e – 1.
Đáp án đúng là C
Đặt u = x du = dx
dv = exdx v = ex +C
Chọn C = 0 v = ex
Do đó: I=∫01x.exdx= x.ex01 – ∫01exdx
= e – ex01
= e – (e – 1)
= 1.
Họnguyênhàmcủahàmsốf (x) = x2 là
– x22+ C.
2x + C.
x3 + C.
x33+ C.
Đáp án đúng là D
Ta có: ∫xndx= xn+1n+1 + C
Vậy nên: ∫x2dx= x33 + C.
Chosốphứcz=5+7i. Xácđịnhphầnthựcvàphần ảocủasốphứcz.
Phầnthựcbằng5vàphầnảobằng7i.
Phầnthựcbằng 5và phầnảo bằng –7.
Phần thực bằng 5 và phần ảo bằng 7.
Phần thực bằng 7 và phần ảo bằng 5.
Đáp án đúng là C
Ta có: z = a + bi có phần thực bằng a và phần ảo bằng b
Do đó z=5+7i có phần thực bằng 5 và phần ảo bằng 7.
Cho f (x) là hàm số liên tục trên đoạn [2; 5]. Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên đoạn [2; 5] thì ∫25fxdxbằng
f (5) – f (2).
F (2)– F (5).
F (2) + F (5).
F (5) – F (2).
Đáp án đúng là D
Do F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên đoạn [2; 5] nên
∫25fxdx = Fx25
=F (5) – F (2).
Mệnh đềnàodướiđâysai?
∫f'xdx=f (x) + C với mọi hàm f (x) có đạo hàm trên ℝ.
∫kfxdx = k∫fxdxvới mọi hằng số k và với mọi hàm số f (x) có đạo hàm trên ℝ.
∫fx−gxdx =∫fxdx– ∫gxdxvới mọi hàm f (x), g (x) có đạo hàm trên ℝ.
∫fx+gxdx= ∫fxdx+∫gxdxvới mọi hàm f (x), g (x) có đạo hàm trên ℝ.
Đáp án đúng là B
Theo tính chất của nguyên hàm thì:
+ ∫f'xdx = f (x) + C với mọi hàm f (x) có đạo hàm trên ℝ. Vậy nên đáp án A đúng
+ ∫kfxdx= k∫fxdx với mọi hằng số k ≠ 0 và với mọi hàm số f (x) có đạo hàm trên ℝ. Do đó B sai. Vậy nên chọn B
+∫fx−gxdx=∫fxdx– ∫gxdx với mọi hàm f (x), g (x) có đạo hàm trên ℝ. Vậy nên C đúng
+ ∫fx+gxdx= ∫fxdx+∫gxdx với mọi hàm f (x), g (x) có đạo hàm trên ℝ. Vậy nên D đúng.
Môđuncủa sốphứcz= –5+2ibằng:
29.
7.
3.
29
Đáp án đúng là D
Ta có: z = −52+22 = 29 .
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ u→= (1; –2; 3),v→ = (0; –1; 2). Tích vô hướng của hai vectơ u→và v→bằng
u→.v→= (0; 2; 6).
u→.v→= 8.
u→.v→= (–1; 1; –1).
u→.v→=9.
Đáp án đúng là B
Ta có: Tích vô hướng của hai vectơ u→vàv→ bằng:
u→. v→ = 1.0 + (–2). (–1) + 3.2 = 8.
Chosốphứcz=2(4–3i).Trongcáckhẳngđịnhdưới đây,khẳng định nào sai?
Môđun của z bằng 10.
Sốphức zcó phần thực bằng 8, phần ảo bằng 6i.
Sốphức zcó phần thực bằng 8, phần ảo bằng –6.
Sốphứcliênhợpcủazlà z¯=8+6i.
Đáp án đúng là B
Ta có: z=8–6i. Vậy nên sốphức zcó phần thực bằng 8, phần ảo bằng –6
Do đó đáp án B là Sốphức zcó phần thực bằng 8, phần ảo bằng 6i sai.
Chosố phứczthỏamãn(2i + 1)z+10i=5.Khiđózbằng:
–3–4i.
3+4i.
–2–i.
–2 + i.
Đáp án đúng là A
Ta có: (2i + 1) z+10i=5
⇒ z = 5−10i1+2i
= 5−10i1−2i1+2i1−2i
= 5−20i+20i21−2i2
= 5−20i−201+4
= −20i−155
=–3–4i.
TrongtậpsốphứcC.Phươngtrìnhbậchainào dưới đây nhậnhaisố phức 2 – 3i và 2 + 3i làm nghiệm?
z2 + 4z + 13 = 0.
z2 + 4z + 3 = 0.
z2 – 4z + 3 =0.
z2 – 4z + 13 =0.
Đáp án đúng là D
Ta có: z1 + z2 =2 – 3i + 2 + 3i = 4 =– ba ⇒ b =– 4a (1)
z1.z2 = (2 – 3i). (2 + 3i) = 4 + 9 = 13 = ca (2)
Từ (1) và (2) suy ra phương trình bậc hai nhận haisố phức 2 – 3i và 2 + 3i làm nghiệm là z2 – 4z + 13 =0.
Chotíchphân I = ∫1e3lnx+1xdx.Nếuđặt t = lnx thì
I =∫013t+1etdt.
I = ∫1e(3t+1)dt.
I = ∫01(3t+1)dt.
I =∫1e3t+1tdt.
Đáp án đúng là C
Đặt t = lnx ⇒ dt =1xdx
Đổi cận:
x | 1 | e |
t | 0 | 1 |
I = ∫1e3lnx+1xdx
=∫01(3t+1)dt.
Trongkhônggianvớihệ tọađộ Oxyz, chomặtcầu (S): x2 +y2 + z2 – 2x + 6y – 8z+ 1 = 0. Tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S) là:
I (2; –6; 8), R = 103.
I (–1; 3; –4), R = 5.
I (1; –3; 4), R = 5.
I (1; –3; 4), R = 25.
Đáp án đúng là C
Ta có: x2 +y2 + z2 – 2x + 6y – 8z+ 1 = 0
x2 – 2x + 1+y2 + 6y + 9+ z2 – 8z + 16 + 1 – 1 – 9 – 16= 0
(x – 1)2+ (y + 3)2+ (z – 4)2= 25 (1)
Từ (1) suy ra mặt cầu (S) có tâm I (1; –3; 4) và bán kính R = 5.
Trong không gian với hệ tọađộ Oxyz,chomặtphẳng(P):x+2y –2z–2=0vàđiểmI (1;2;–3). Bánkính củamặtcầu có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P) bằng
113.
1.
3.
13.
Đáp án đúng là C
Vì mặtcầu có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P) nên bán kính của mặt cầu là
R = d(I, (P)) = 1.1+2.2−2.(−3)−212+22+(−2)2 = 3.
Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,chohaiđường thẳng(d1): x=2+2ty=1−tz=3+tvà (d2): x=2+2t'y=−1−t'z=3+t'. Vị trí tương đối của hai đường thẳng (d1) và (d2) là
chéo nhau.
trùngnhau.
songsong.
cắtnhau.
Đáp án đúng là B
u→= (2; –1; 1) là một VTCP của đường thẳng (d1)
v→= (2; –1; 1) là một VTCP của đường thẳng (d2)
M (2; 1; 3) là điểm thuộc đường thẳng (d1)
N (2; –1; 3) là điểm thuộc đường thẳng (d2)
Ta có: MN→ = (0; –2; 0)
u→,v→ = (–1.1 – 1.(–1); 1.2 – 2. 1; 2. (–1) – 2. (–1)) =(0; 0; 0) = 0→
u→,v→ . MN→ = 0.0 + (–2).0 + 0.0 = 0
Vậy nên hai đường thẳng (d1) và (d2)trùng nhau.
Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) = cosx.
∫cosxdx =–12sinx + C.
∫cosxdx = sinx + C.
∫cosxdx= sin2x + C.\
∫cosxdx=–sinx + C.
Đáp án đúng là B
Ta có: ∫cosxdx= sinx + C.
Diệntíchhìnhphẳng giớihạnbởiđồthịhàmsốy= x2– x vàtrụchoành là
16π.
16.
136.
– 16.
Đáp án đúng là B
Ta có: Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y= x2– x vàtrụchoành là
x2– x = 0
⇔x. (x – 1) = 0
⇔ x=0x−1=0
⇔ x=0x=1
Diệntíchhìnhphẳng giớihạnbởiđồthịhàmsốy= x2– x vàtrụchoành là
S = ∫01x2−xdx
Với x ∈ [0; 1] thì x2– x < 0 nên | x2– x| =–x2 + x
Do đó: S =∫01x2−xdx= ∫01−x2+xdx
= −x33+x2201
= -133+122
= 16
Chosốphứcz=3 –4i.Phầnthựcvà phần ảocủasốphức z¯ lần lượt là
3 và –4.
–4 và 3.
3 và –4i.
3 và 4.
Đáp án đúng là D
Ta có: z = 3–4ivậy nên z¯ = 3 + 4i
Do đó phầnthựcvà phần ảocủasốphức z¯ lần lượt là 3 và 4.
Chosốphứczthỏamãn(2 + i)z=9–8i.Môđuncủasốphứczbằng
29.
21.
29.
7.
Đáp án đúng là C
Ta có: (2 + i)z=9–8i
⇒ z = 9−8i2+i
= 9−8i2−i2+i2−i
= 18−25i+8i24−i2
= 18−25i−84+1
= 10−25i5
= 2 – 5i
Tính tích phân I = ∫122x−1dx
I=3.
I =2.
I = 1.
I = 56.
Đáp án đúng là B
I = ∫122x−1dx = x2−x12
= 4 – 2 – 1 + 1
= 2.
Tíchphân ∫0π2ecosx.sinxdxbằng:
1 – e.
e + 1.
e.
e – 1.
Đáp án đúng là D
Đặt t = cosx dt =– sinxdx
Đổi cận:
x | 0 | π2 |
t | 1 | 0 |
⇒ ∫0π2ecosx.sinxdx = ∫10−etdt = ∫01etdt
= et01
= e – 1.
Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = x2+ 2,y=0, x = 1,x=2.Gọi V là thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H) xung quanh trục Ox.Mệnh đề nào dưới đây đúng?
V = ∫12x2+22dx.
V =∫12x2+2dx.
V = π∫12x2+2dx.
V =π ∫12x2+22dx.
Đáp án đúng là D
Ta có: Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H) xung quanh trục Ox là: V = π ∫12x2+22dx
Vậy nên đáp án D là mệnh đề đúng.
Số phức z thỏa mãn 2z – 3(1 + i) = iz + 7 – 3i là
z = 145+ 85.
z = 4 – 2i.
z = 145– 85.
z = 4 + 2i.
Đáp án đúng là D
Đặt z = a + bi
Thay z = a + bi vào 2z – 3(1 + i) = iz + 7 – 3i ta được:
2.(a + bi) – 3(1 + i) = i(a + bi) + 7 – 3i
⇔2a + 2bi – 3 – 3i = ai + bi2 + 7 – 3i
⇔2a + 2bi – 3i – ai – bi2 + 3i =3 + 7
⇔2a + 2bi – ai – bi2 = 3 + 7
⇔ (2b – a)i + 2a + b = 10
⇔ 2b−a=0b+2a=10
⇔ 2b−a=02b+4a=20
⇔ 2b−a=05a=20
⇔ b=2a=4
Vậy số phức z = 4 + 2i.
Cho biết ∫0π24−sinxdx= aπ + b, với a, b là các số nguyên. Giá trị của biểu thức a + b bằng:
1.
– 4.
6.
3.
Đáp án đúng là A
Ta có: ∫0π24−sinxdx= ∫0π24dx –∫0π2sinxdx
= 4x0π2 + cosx0π2
= 2π – 1
Vậy a = 2, b =– 1
Do đó a +b= 2 – 1 = 1.
Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz,gọi(P)làmặt phẳng chứa đường thẳng (d): x−21 = y−12 = z−1 và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho đường thẳng AB vuông góc với (d). Phương trình của mặt phẳng (P) là:
2x – y – 3 = 0.
x + 2y + 5z – 4 = 0.
x + 2y – z – 4 = 0.
x + 2y + 5z – 5 = 0.
Đáp án đúng là B
Vì A thuộc trục Ox nên A (a; 0; 0) với a ∈ ℝ; B thuộc Oy nên B (0; b; 0) với b ∈ ℝ.
⇒AB→ = (–a; b; 0)
Ta lại có đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng (d) nên: AB→.ud→=0⇔−a.1+b.2+−1.0=0
⇔ a = 2b
Do đó AB→ = (–2b; b; 0) = b (–2; 1; 0)
Vì mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và cắt hai trục tọa độ Ox, Oy tại A và B nên ta có vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: n(P)→=AB→;ud→ = (–1; –2; –5) hay n(P)→=1;2;5.
Lấy M (2; 1; 0) thuộc đường thẳng d nên cũng thuộc mặt phẳng (P).
Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M (2; 1; 0) và nhận n(P)→=1;2;5 làm VTPT là: 1(x – 2) + 2(y – 1) + 5(z – 0) = 0
⇔ x + 2y + 5z – 4 = 0.
Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên ℝ, đồng thời thỏa mãn∫02fx+3x2dx = 10. Tích phân ∫02fxdx bằng:
18.
2.
–2.
–18.
Đáp án đúng là B
Ta có: ∫02fx+3x2dx = 10
⇔ ∫02fxdx + ∫023x2dx= 10
⇔ ∫02fxdx + x302 = 10
⇔ ∫02fxdx +23 – 20 = 10
⇔ ∫02fxdx = 10 – 8
⇔ ∫02fxdx =
Chosốphứcz=a+ bi,(a, b ∈ ℝ)thỏa mãnz+ 1 +3i–|z|i=0.TínhS= a +3b.
S = 73.
S =–5.
S = 5.
S =–73
Đáp án đúng là B
Ta có: z+ 1 +3i–|z|i=0
⇔ a + bi + 1 + 3i – a2+b2i =0
⇔ (a + 1) + (b + 3 – a2+b2)i =0
⇒a+1=0b+3−a2+b2=0
⇔ a=−1b+3−a2+b2=0(*)
(*) ⇔b+3>0a2+b2=b+32
⇔ b>−36b=−8
⇔ b = – 43
Do đó S = a +3b = 1 +3. −43 =– 5
Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = ex và hai đường thẳng x = 0, x = 1 . Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) xung quanh trục Ox là
π2(e2 – 1).
π (e2 – 1).
π2(e2 + 1).
π (e2 +1).
Đáp án đúng là A
Ta có: Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H) xung quanh trục Ox là:
V =π∫01ex2dx =π∫01e2xdx
=π12e2x01
=π.12e2−12
=π2(e2 – 1).
Trongkhônggianvớihệ tọa độ Oxyz,chobađiểmA (0; 1; 0), B (2; 2; 2), C (–2; 3; 1)vàđường thẳng (d): x−12 = y+2−1 = z−32.TìmđiểmMthuộc (d) để thể tích V của tứ diện M.ABC bằng 3.
M −152;94;−112; M −32;−34;12.
M −35;−34;12; M −152;94;112.
M 32;−34;12; M 152;94;112.
M 35;−34;12; M 152;94;112.
Đáp án đúng là A
Ta có: AB→2;1;2 và AC→−2;2;1
VTPT của mặt phẳng (ABC) là: n→ = AC→;AB→ = (3; 6; – 6) = (1; 2; - 2)
Phương trình mặt phẳng (ABC) đi qua điểm A (0; 1; 0) nhận n→ = (1; 2; –2) làm vectơ pháp tuyến có dạng: 1.(x – 0) + 2.(y – 1) – 2(z – 0) = 0
⇔ x + 2y – 2z – 2 = 0.
Ta có: SABC = 12AC→;AB→=12.32+62+−62=92, d (M, (ABC)) = 3VM.ABCSABC = 3.392 = 2
M ∈ d nên điểm M có tọa độ là M (1 + 2t; –2 – t; 3 + 2t) (1)
d (M, (ABC))= 2 =1+2t+2−2−t−23+2t−21+22+(−2)2
⇒−4t−11=6−4t−11=−6⇔t=−174t=−54
Lần lượt thay t vào (1) ta tìm được tọa độ điểm M là:
M −152;94;−112 ; M −32;−34;12
Trênmặtphẳngtọađộ,chosốphứcz=– 1 – 4i.Điểm nào sau đây là điểm biểu diễn của số phức z – z¯?
M (–2; 0).
M (0; –2).
M (–8; 0).
M (0; –8).
Đáp án đúng là D
Ta có: z¯ =– 1 + 4i
Vậy nên z – z¯ =– 1 – 4i – (–1 + 4i) =– 8i
Số phức z =a+ bi có điểm biểu diễn là M (a; b)
Do đó điểm biểu diễn số phức z – z¯ =– 8i là M (0; –8).
Trongkhônggianvớihệ tọa độ Oxyz,biết mặt phẳng (P): ax + by + cz – 27 = 0, (a, b, c ∈ ℝ, a2 +b2 +c2 ≠ 0) đi qua hai điểm A (3; 2; 1), B (–3; 5; 2) và vuông góc với mặt phẳng (Q): 3x + y + z + 4 = 0. Tính tổng S = a + b + c.
S =–4.
S =–2.
S =–12.
S = 2.
Đáp án đúng là A
Ta có: AB→ = (–3 – 3; 5 – 2; 2 – 1) = (–6; 3; 1), n(Q)→ = (3; 1; 1)
Vì mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A (3; 2; 1), B (–3; 5; 2) và vuông góc với mặt phẳng (Q): 3x + y + z + 4 = 0 vậy nên:
n(P)→ = AB→,n(Q)→ = (3.1 – 1.1; 1.3 – (–6).1; (–6).1 – 3.3) = (2; 9; –15)
Do đó a = 2; b = 9; c =–15
Vậy nên S = a + b + c =2 + 9 –15 =– 4.
Trong không gian vớihệtọa độ Oxyz,choba đường thẳng (d1): x−32 = y+11= z−2−2, (d2): x+13= y−2= z+4−1 và (d3): x+34= y−2−1 = z6. Đường thẳng song song với (d3), cắt (d1) và (d2) có phương trình là
x−14= y−1= z+46.
x−3−4= y+11= z−2−6.
x−34= y+11= z−26.
x+14= y−1= z−46.
Đáp án đúng là B
Gọi đường thẳng cần tìm là (d)
Gọi A là giao điểm của (d) và (d1) A (3 + 2t; –1 + t; 2 – 2t) ∈ (d1)
Gọi B là giao điểm của (d) và (d2) B (–1 + 3t; –2t; –4 – t) ∈ (d2)
Vậy nên ud→ = AB→ = (3t– 2t – 4; –2t– t + 1; – t + 2t – 6)
⇒3t'−2t−44 = −2t'−t+1−1 = −t'+2t−66
⇒–3t'+2t+4=–8t'–4t+4t'−2t+6=−6t'−6t+6
⇔5t'+6t=07t'+4t=0
⇔t'=0t=0
⇒A (3; –1; 2), B (–1; 0; –4)
⇒ud→ = AB→ = (–4; 1; –6)
Vậy đường thẳng (d) cần tìm là: x−3−4= y+11 = z−2−6.
Cho đồ thị (C):y= f(x)=x.Gọi (H)là hìnhphẳnggiớihạnbởiđồ thị(C), đường thẳng x =9và trục Ox.ChođiểmMthuộcđồ thị (C) và điểm A(9;0). Gọi V1là thể tích khối tròn xoay khi cho (H) quay quanh trụcOx,V2làthể tích khối trònxoaykhicho tamgiácAOMquay quanhtrụcOx. Biết rằng V1=2 V2. Tính diệntíchSphần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và đường thẳng OM.
S = 43.
S = 27316.
S = 3.
S = 332.
Đáp án đúng là B
Ta có: V1 = π∫09x2dx = 812π
Gọi H là hình chiếu của M lên trục Ox, đặt OH = m (với 0 < m ≤ 9), ta có M (m; m), MH = m và AH = 9 – m
Suy ra V2 = 13π.MH2.OH = 13π. MH2.AH = 13π.MH2.OA = 3mπ
Theo giả thiết, ta có: V1 = 2V2 nên 812π = 6mπ m = 274. Do đó M 274;332
Từ đó ta có phương trình đường thẳng OM là y = 239x
Diện tích S phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và đường thẳng OM là
S = ∫0274x−239xdx = 23xx−39x20274
= 23.274.274−39.2742 = 27316
Xét các số phức z = a + bi, (a, b ∈ ℝ) thỏa mãn 4(z – z¯) – 15i = i(z + z¯ – 1)2. Tính F = a + 4b khi z−12+3i đạt giá trị nhỏ nhất.
F = 7.
F=4.
F =5.
F =8.
Đáp án đúng là D
Ta có: 4(z – z¯) – 15i = i(z + z¯ – 1)2
4(2bi) – 15i = i(2a – 1)2
8b – 15 = (2a – 1)2
⇒a−122=2b−154b≥158
P2 = a−122+ (b + 3)2 = 2b – 154 + b2 + 6b + 9 = b2 + 8b + 214 = (b +4)2 – 434
P2 min khi b = 158 ⇒ a = 12
Vậy nên F = a + 4b = 12 + 4.158 = 8.
Xét hàm số f (x) liên tục trên đoạn [0; 1] và thỏa mãn điều kiện 2f (x) – 3f (1 –x) = x1−x. Tính tích phân I = ∫01fxdx.
I = 475.
I =–115.
I = 125.
I =–415 .
Đáp án đúng là D
Áp dụng công thức: I = ∫abfxdx = 1m+n.∫abmfx+nfa+b−xdx ta có:
I = ∫01fxdx = 12−3.∫012fx−3f1−xdx =– ∫01x1−xdx =–415.
Trongkhônggian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):x2 +y2 + z2 –4x +10y –2z– 6= 0. Cho m là số thực thỏa mãn giao tuyến của hai mặt phẳng lần lượt có phương trình y = m và x + z – 3= 0 tiếp xúc với mặt cầu (S). Tích tất cả các giá trị mà m có thể nhận được bằng:
–5.
–11.
–10.
–8.
Đáp án đúng là B
Mặt cầu (S):x2 +y2 + z2 – 4x + 10y – 2z– 6= 0 có tâm I (2; –5; 1) và bán kính R = 6
Đặt (P): y = m và (Q): x + z – 3 = 0
Gọi d = (P) ⋂ (Q)
Chọn A (0; m; 3) ∈ (P) ⋂ (Q) và B (1; m; 2) ∈ (P) ⋂ (Q)
Ta có: AB qua A (0; m; 3) và có VTCP AB→ =(1; 0; –1)
IA→ = (–2; m + 5; 2)
|IA→, AB→| = (–m – 5; 0; –m – 5)
Đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu (S) khi và chỉ khi
d(I, d) = R⇔ IA→,AB→AB→ = 6
⇔ 2m+522=6
⇔m2 + 10m – 11 = 0
⇔m=−1m=11
Vậy tích m1.m2 =– 11.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (3; 3; 1), B (0; 2; 1) và mặt phẳng (α): x + y + z – 7 = 0. Đường thẳng (d) nằm trên (α) sao cho mọi điểm của (d) cách đều hai điểm A, B có phương trình là
x=2ty=7−3tz=t
x=−ty=7−3tz=2t
x=ty=7+3tz=2t
x=ty=7−3tz=2t
Đáp án đúng là C
Mọi điểm nằm trên đường thẳng d đề cách đều hai điểm A, B nên đường thẳng d nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB nên M 32;52;1
Ta có: AB→=−3;−1;0
Phương trình mặt phẳng trung trực (P) của đoạn thẳng AB đi qua điểm M 32;52;1 và nhận AB→=−3;−1;0 làm VTPT, ta có:
−3x−32−1y−52+0z−1=0
⇔ 3x + y – 7 = 0
Đường thẳng d chính là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (α) nên ta có điểm thuộc đường thẳng d có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình: x+y+z–7=03x+y−7=0
Đặt x = t, khi đó y = – 3t + 7, z = 2t
Hay đường thẳng d có phương trình tham số là: x=ty=−3t+7z=2t.
