Đề kiểm tra Hàm số lượng giác lớp 11 (có lời giải) - Đề 2
22 câu hỏi
Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi, thí sinh chỉ chọn 1 phương án.
Tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {\frac{{1 - \cos x}}{{1 + \sin x}}} \) là:
\(\mathbb{R}\).
\(\emptyset \).
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{\pi }{2} + k2\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\).
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\).
Chọn C
Tập xác định của hàm số \(y = \tan x + \frac{1}{{1 + {{\cot }^2}x}}\) là:
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\frac{\pi }{2}\left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\).
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{\pi }{4} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\).
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\).
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{\pi }{4} + k2\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\).
Chọn A
Hàm số nào trong các hàm số sau đồng biến trên khoảng \(\left( {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right)\)?
\(y = \sin x\).
\(y = \cos x\).
\(y = \tan x\).
\(y = \cot x\).
Chọn C
Tìm tập xác định của hàm số \(y = \frac{{1 - \sin x}}{{\cos x}}\)
\(x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \).
\(x \ne - \frac{\pi }{2} + k2\pi \).
\(x \ne \frac{\pi }{2} + k2\pi \).
\(x \ne k\pi \).
Chọn A
Hàm số \(y = \frac{{1 - \sin x}}{{\cos x}}\)xác định khi\(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \).
Hàm số nào sau đây nghịch biến trên \(\left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\)?
\(y = - \sin x\).
\(y = \cos x\).
\(y = - \cot x\).
\(y = \tan x\).
Chọn B
Với \(x \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\) : Khi giá trị của \(x\) tăng thì giá trị tương ứng của hàm số \(y = \cos x\) giảm
\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = \cos x\) nghịch biến trên \(\left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\).
Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng \(\left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\)?
\(y = \sin x\).
\(y = \cos x\).
\(y = \tan x\).
\(y = \cot x\).
Chọn C
Khẳng định nào dưới đây là sai?
Hàm số \[y = \cos x\] là hàm số lẻ.
Hàm số \[y = \cot x\] là hàm số lẻ.
Hàm số \[y = \sin x\] là hàm số lẻ.
Hàm số \[y = \tan x\] là hàm số lẻ.
Chọn A
Ta có các kết quả sau:
Hàm số \[y = \cos x\] là hàm số chẵn.
Hàm số \[y = \cot x\] là hàm số lẻ.
Hàm số \[y = \sin x\] là hàm số lẻ.
Hàm số \[y = \tan x\] là hàm số lẻ.
Chọn khẳng định sai về tính chẵn, lẻ của hàm số.
Hàm số \(y = \cot x\) là hàm lẻ.
Hàm số \(y = \sin x\) là hàm lẻ.
Hàm số \[y = \cos x\] là hàm chẵn.
Hàm số \(y = \tan x\) là hàm chẵn.
Chọn D
Hàm số \(y = \tan x\) là hàm lẻ vì \(\tan \left( { - x} \right) = - \tan x\)
Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn trên \(\mathbb{R}\)?
\(y = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\).
\(y = \tan x\).
\(y = \sin x\).
\(y = \sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)\).
Chọn A
Ta có \(y = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \cos x\) là hàm số chẵn trên \(\mathbb{R}\) (theo định nghĩa).
Hàm số \(y = 3 - 5\sin x\) có giá trị lớn nhất bằng
\(2.\)
\(4.\)
\(6.\)
\(8.\)
Chọn D
Ta có \( - 1 \le \sin x \le 1 \Rightarrow 5 \ge - 5\sin x \ge - 5.\)
\( \Rightarrow 3 + 5 \ge 3 - 5\sin x \ge - 5 + 3.\)
\( \Leftrightarrow 8 \ge 3 - 5\sin x \ge - 2.\)
\[ \Rightarrow {y_{\max }} = 8\] khi \(\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi }{2} + 2k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Vậy \[{y_{\max }} = 8\] khi \(x = \frac{\pi }{2} + 2k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 2\sin x + 5\) là
\(3\).
\(2\).
\(5\).
\(4\).
Chọn A
Ta có:\(\forall x \in \mathbb{R}:\sin x \ge - 1 \to y \ge 3\). Vậy \(\mathop {\min }\limits_\mathbb{R} y = 3\).
Cho đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) như hình vẽ dưới đây. Hỏi tịnh tiến đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) theo vectơ \(\vec v = \left( {\frac{\pi }{2};0} \right)\) thì được đồ thị hàm số
\(y = \tan x\).
\(y = \sin x\).
\(y = \cos x\).
\(y = \cot x\).
Chọn B
Theo hình vẽ thì đồ thị trong hình là của hàm số \(y = \cos x\). Khi tịnh tiến theo vectơ \(\vec v = \left( {\frac{\pi }{2};0} \right)\) thì ta được đồ thị của hàm số \(y = \cos \left( {x - \frac{\pi }{2}} \right) = \sin x\).
Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số \(f(x) = |x|\sin x\). Khi đó:
a) Tập xác định của hàm số: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)
b) \(f( - \pi ) = - f(\pi )\)
c) Hàm số đã cho đối xứng qua gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\)
d) \(f( - x) = - f(x)\)
a) Sai | b) Đúng | c) Đúng | d) Đúng |
Tập xác định của hàm số: \(D = \mathbb{R}\).
Với mọi \(x \in D\), ta có: \( - x \in D\) và \(f( - x) = | - x|\sin ( - x) = - |x|\sin x = - f(x)\).
Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.
Cho hàm số \(f(x) = |\tan x| + \left| {{x^3} - 3x} \right|\). Khi đó:
a) Tập xác định của hàm số: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
b) \(f( - \pi ) = - f(\pi ){\rm{. }}\)
c) Hàm số đã cho đối xứng qua gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\)
d) Hàm số đã cho là hàm số chẵn.
a) Đúng | b) Sai | c) Sai | d) Đúng |
Tập xác định của hàm số: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Với mọi \(x \in D\), ta có:
\( - x \in D{\rm{ v\`a }}f( - x) = |\tan ( - x)| + \left| {{{( - x)}^3} - 3( - x)} \right| = |\tan x| + \left| {{x^3} - 3x} \right| = f(x){\rm{. }}\)
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.
Tìm được tập giá trị các hàm số sau trên tập xác định của chúng:
a) Hàm số \(y = 3\sin x\) có tập giá trị là \(T = [ - 3;3]\).
b) Hàm số \(y = 2\cos x - 1\)có tập giá trị là \(T = [ - 3;1]\).
c) Hàm số \(y = 2030 - 4\cos x\)có tập giá trị là \(T = [2026;2034]\).
d) Hàm số \(y = {\sin ^2}x + 4\sin x - 1\)có tập giá trị là \(T = [ - 3;3]\).
a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai |
a) Với mọi \(x \in \mathbb{R}\), ta có: \( - 1 \le \sin x \le 1 \Rightarrow - 3 \le 3\sin x \le 3 \Rightarrow - 3 \le y \le 3\).
Vậy tập giá trị của hàm số là \(T = [ - 3;3]\).
b) Với mọi \(x \in \mathbb{R}\), ta có: \( - 1 \le \cos x \le 1 \Rightarrow - 2 \le 2\cos x \le 2\)\( \Rightarrow - 2 - 1 \le 2\cos x - 1 \le 2 - 1 \Rightarrow - 3 \le y \le 1\).
Vậy tập giá trị của hàm số là \(T = [ - 3;1]\).
c) Với mọi \(x \in \mathbb{R}\), ta có: \( - 1 \le \cos x \le 1 \Rightarrow 4 \ge - 4\cos x \ge - 4\)\( \Rightarrow 4 + 2030 \ge - 4\cos x + 2030 \ge - 4 + 2030 \Rightarrow 2034 \ge y \ge 2026\).
Vậy tập giá trị của hàm số là \(T = [2026;2034]\).
d) Ta có: \(y = {\sin ^2}x + 4\sin x - 1 = {\sin ^2}x + 4\sin x + 4 - 5 = {(\sin x + 2)^2} - 5\).
Với mọi \(x \in \mathbb{R}\), ta có: \( - 1 \le \sin x \le 1 \Rightarrow 1 \le \sin x + 2 \le 3\)
\( \Rightarrow {1^2} \le {(\sin x + 2)^2} \le {3^2} \Rightarrow {1^2} - 5 \le {(\sin x + 2)^2} - 5 \le {3^2} - 5 \Rightarrow - 4 \le y \le 4\).
Vậy tập giá trị của hàm số là \(T = [ - 4;4]\).
Cho hàm số \(f(x) = \tan x\) và \(g(x) = {\cot ^2}x - \frac{{\sin 2x}}{2}\). Khi đó:
a) Tập xác định hàm số \(f\left( x \right)\): \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\).
b) Hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm không tuần hoàn.
c) Tập xác định hàm số \(g\left( x \right)\): \(D = \mathbb{R}\backslash \{ k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.\} \).
d) Hàm số \(g\left( x \right)\) là hàm tuần hoàn.
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng |
a) b) Tập xác định hàm số: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\).
Với mọi \(x \in D\) thì \(x \pm \pi \in D\) và \(f(x + \pi ) = \tan (x + \pi ) = \tan x = f(x)\).
Vậy hàm số đã cho là hàm tuần hoàn.
c) d) Tập xác định hàm số: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.\} \).
Với mọi \(x \in D\) thì \(x \pm \pi \in D\) và
\(f(x + \pi ) = {\cot ^2}(x + \pi ) - \frac{{\sin 2(x + \pi )}}{2} = {\cot ^2}x - \frac{{\sin 2x}}{2} = f(x).\)
Vậy hàm số đã cho là hàm tuần hoàn.
Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Tìm tập giá trị của hàm số: \(y = {\sin ^6}x + {\cos ^6}x\)
\(y = {\sin ^6}x + {\cos ^6}x\)
Hàm số có tập xác định \(D = \mathbb{R}\).
Ta có:
\(y = {\sin ^6}x + {\cos ^6}x = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^3} - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) = 1 - \frac{3}{4}{\sin ^2}2x\).
Do \(0 \le {\sin ^2}2x \le 1 \Leftrightarrow 0 \ge - \frac{3}{4}{\sin ^2}2x \ge - \frac{3}{4} \Leftrightarrow 1 \ge 1 - \frac{3}{4}{\sin ^2}2x \ge \frac{1}{4} \Leftrightarrow 1 \ge y \ge \frac{1}{4}\).
Vậy giá trị của hàm số là \(T = \left[ {\frac{1}{4};1} \right]\).
Tìm tập giá trị của hàm số \(y = \frac{{2\sin x + \cos x}}{{\sin x + 2\cos x + 4}}\).
Tập xác định hàm số \(D = \mathbb{R}\).
Ta có: \(y = \frac{{2\sin x + \cos x}}{{\sin x + 2\cos x + 4}} \Leftrightarrow y(\sin x + 2\cos x + 4) = 2\sin x + \cos x\)
\( \Leftrightarrow (y - 2)\sin x + (2y - 1)\cos x = - 4y.\)
Điều kiện để tồn tại cặp \((x;y)\) là \({(y - 2)^2} + {(2y - 1)^2} \ge {( - 4y)^2}\)
\( \Leftrightarrow - 11{y^2} - 8y + 5 \ge 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 4 - \sqrt {71} }}{{11}} \le y \le \frac{{ - 4 + \sqrt {71} }}{{11}}{\rm{. }}\)
Vậy miền giá trị hàm số là \(T = \left[ {\frac{{ - 4 - \sqrt {71} }}{{11}};\frac{{ - 4 + \sqrt {71} }}{{11}}} \right]\).
Xét tính chẵn, lẻ của hàm số sau: \(y = {\sin ^2}x + \cos x\)
\(y = f(x) = {\sin ^2}x + \cos x\)
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\)
Ta có: \(\forall x \in D \Rightarrow - x \in D\)
\(\begin{array}{l}f( - x) = {\sin ^2}( - x) + \cos ( - x) = {\sin ^2}(x) + \cos (x) = f(x)\\ \Rightarrow f( - x) = f(x),\forall x \in D.\end{array}\)
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn trên \(D\).
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số: \(y = \sqrt {1 + \sin x} - 3\).
\(y = f(x) = \sqrt {1 + \sin x} - 3\).
Do \(\sin x \ge - 1,\forall x \in \mathbb{R}\) nên tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\).
Ta có: \( - 1 \le \sin x \le 1,\forall x \in \mathbb{R}\)
\(\begin{array}{*{20}{l}} \Leftrightarrow &{0 \le 1 + \sin x \le 2,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow - 3 \le \sqrt {1 + \sin x} - 3 \le \sqrt 2 - 3,\forall x \in \mathbb{R}}\\ \Leftrightarrow &{ - 3 \le f(x) \le \sqrt 2 - 3,\forall x \in \mathbb{R}}\\{}&{{f_{{\rm{Min }}}}(x) = - 3 \Leftrightarrow \sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.}\\{}&{{f_{{\rm{Max }}}}(x) = \sqrt 2 - 3 \Leftrightarrow \sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.}\end{array}\)
Tìm giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = \sqrt {\frac{{m - 1}}{m} - 2\cos 4x} \) xác định trên \(\mathbb{R}\).
Để hàm số \(y = \sqrt {\frac{{m - 1}}{m} - 2\cos 4x} \) xác định trên \(\mathbb{R}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{m - 1}}{m} - 2\cos 4x \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow \frac{{m - 1}}{{2m}} \ge \cos 4x \ge 1\\ \Leftrightarrow \frac{{m - 1}}{{2m}} \ge 1 \Leftrightarrow - 1 \le m \le 0.\end{array}\)
Khi đu quay hoạt động, vận tốc theo phương ngang của một cabin \(M\) phụ thuộc vào góc lượng giác \(\alpha = \left( {Ox,OM} \right)\) theo hàm số \({v_x} = 0,3{\rm{sin}}\alpha \left( {{\rm{m}}/{\rm{s}}} \right)\) (Hình 11\()\).
a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \({v_{{x^{\rm{*}}}}}\)
b) Dựa vào đồ thị của hàm số \(\sin \), hãy cho biết trong vòng quay đầu tiên \(\left( {0 \le \alpha \le 2\pi } \right)\), góc \(\alpha \) ở trong các khoảng nào thì \({v_x}\) tăng.
a) Do \( - 1 \le {\rm{sin}}\alpha \le 1\) nên \( - 0,3 \le {\rm{sin}}\alpha \le 0,3\)
Vậy giá trị lớn nhất của \({v_x}\) là \(0,3\left( {{\rm{\;m}}} \right)\) và giá trị nhỏ nhất của \({v_x}\) là \( - 0,3\left( {{\rm{\;m}}} \right)\).
b) Dựa vào đồ thị hàm số \(\sin \), ta thấy vòng quay đầu tiên \(\left( {0 \le \alpha \le 2\alpha } \right)\), \({v_x}\) tăng khi \(\pi \le \alpha \le 2\pi \)
