Đề kiểm tra Hàm số lượng giác lớp 11 (có lời giải) - Đề 2

Chọn D

Ta có \( - 1 \le \sin x \le 1 \Rightarrow 5 \ge  - 5\sin x \ge  - 5.\)

\( \Rightarrow 3 + 5 \ge 3 - 5\sin x \ge  - 5 + 3.\)

\( \Leftrightarrow 8 \ge 3 - 5\sin x \ge  - 2.\)

\[ \Rightarrow {y_{\max }} = 8\] khi \(\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi }{2} + 2k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Vậy \[{y_{\max }} = 8\] khi \(x = \frac{\pi }{2} + 2k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)

Chọn A

Ta có:\(\forall x \in \mathbb{R}:\sin x \ge  - 1 \to y \ge 3\). Vậy \(\mathop {\min }\limits_\mathbb{R} y = 3\).

Chọn B

Theo hình vẽ thì đồ thị trong hình là của hàm số \(y = \cos x\). Khi tịnh tiến theo vectơ \(\vec v = \left( {\frac{\pi }{2};0} \right)\) thì ta được đồ thị của hàm số \(y = \cos \left( {x - \frac{\pi }{2}} \right) = \sin x\).

Tập xác định của hàm số: \(D = \mathbb{R}\).

Với mọi \(x \in D\), ta có: \( - x \in D\) và \(f( - x) = | - x|\sin ( - x) = - |x|\sin x = - f(x)\).

Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.

Tập xác định của hàm số: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Với mọi \(x \in D\), ta có:

\( - x \in D{\rm{ v\`a }}f( - x) = |\tan ( - x)| + \left| {{{( - x)}^3} - 3( - x)} \right| = |\tan x| + \left| {{x^3} - 3x} \right| = f(x){\rm{. }}\)

Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.

a) Với mọi \(x \in \mathbb{R}\), ta có: \( - 1 \le \sin x \le 1 \Rightarrow - 3 \le 3\sin x \le 3 \Rightarrow - 3 \le y \le 3\).

Vậy tập giá trị của hàm số là \(T = [ - 3;3]\).

b) Với mọi \(x \in \mathbb{R}\), ta có: \( - 1 \le \cos x \le 1 \Rightarrow - 2 \le 2\cos x \le 2\) \( \Rightarrow - 2 - 1 \le 2\cos x - 1 \le 2 - 1 \Rightarrow - 3 \le y \le 1\).

Vậy tập giá trị của hàm số là \(T = [ - 3;1]\).

c) Với mọi \(x \in \mathbb{R}\), ta có: \( - 1 \le \cos x \le 1 \Rightarrow 4 \ge - 4\cos x \ge - 4\) \( \Rightarrow 4 + 2030 \ge - 4\cos x + 2030 \ge - 4 + 2030 \Rightarrow 2034 \ge y \ge 2026\).

Vậy tập giá trị của hàm số là \(T = [2026;2034]\).

d) Ta có: \(y = {\sin ^2}x + 4\sin x - 1 = {\sin ^2}x + 4\sin x + 4 - 5 = {(\sin x + 2)^2} - 5\).

Với mọi \(x \in \mathbb{R}\), ta có: \( - 1 \le \sin x \le 1 \Rightarrow 1 \le \sin x + 2 \le 3\)

\( \Rightarrow {1^2} \le {(\sin x + 2)^2} \le {3^2} \Rightarrow {1^2} - 5 \le {(\sin x + 2)^2} - 5 \le {3^2} - 5 \Rightarrow - 4 \le y \le 4\).

Vậy tập giá trị của hàm số là \(T = [ - 4;4]\).

a) b) Tập xác định hàm số: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\).

Với mọi \(x \in D\) thì \(x \pm \pi \in D\) và \(f(x + \pi ) = \tan (x + \pi ) = \tan x = f(x)\).

Vậy hàm số đã cho là hàm tuần hoàn.

c) d) Tập xác định hàm số: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.\} \).

Với mọi \(x \in D\) thì \(x \pm \pi \in D\) và

\(f(x + \pi ) = {\cot ^2}(x + \pi ) - \frac{{\sin 2(x + \pi )}}{2} = {\cot ^2}x - \frac{{\sin 2x}}{2} = f(x).\)

Vậy hàm số đã cho là hàm tuần hoàn.

\(y = {\sin ^6}x + {\cos ^6}x\)

Hàm số có tập xác định \(D = \mathbb{R}\).

Ta có:

\(y = {\sin ^6}x + {\cos ^6}x = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^3} - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) = 1 - \frac{3}{4}{\sin ^2}2x\).

Do \(0 \le {\sin ^2}2x \le 1 \Leftrightarrow 0 \ge  - \frac{3}{4}{\sin ^2}2x \ge  - \frac{3}{4} \Leftrightarrow 1 \ge 1 - \frac{3}{4}{\sin ^2}2x \ge \frac{1}{4} \Leftrightarrow 1 \ge y \ge \frac{1}{4}\).

Vậy giá trị của hàm số là \(T = \left[ {\frac{1}{4};1} \right]\).

Tập xác định hàm số \(D = \mathbb{R}\).

Ta có: \(y = \frac{{2\sin x + \cos x}}{{\sin x + 2\cos x + 4}} \Leftrightarrow y(\sin x + 2\cos x + 4) = 2\sin x + \cos x\)

\( \Leftrightarrow (y - 2)\sin x + (2y - 1)\cos x =  - 4y.\)

Điều kiện để tồn tại cặp \((x;y)\) là \({(y - 2)^2} + {(2y - 1)^2} \ge {( - 4y)^2}\)

\( \Leftrightarrow  - 11{y^2} - 8y + 5 \ge 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 4 - \sqrt {71} }}{{11}} \le y \le \frac{{ - 4 + \sqrt {71} }}{{11}}{\rm{. }}\)

Vậy miền giá trị hàm số là \(T = \left[ {\frac{{ - 4 - \sqrt {71} }}{{11}};\frac{{ - 4 + \sqrt {71} }}{{11}}} \right]\).

\(y = f(x) = {\sin ^2}x + \cos x\)

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\)

Ta có: \(\forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\)

\(\begin{array}{l}f( - x) = {\sin ^2}( - x) + \cos ( - x) = {\sin ^2}(x) + \cos (x) = f(x)\\ \Rightarrow f( - x) = f(x),\forall x \in D.\end{array}\)

Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn trên \(D\).

\(y = f(x) = \sqrt {1 + \sin x}  - 3\).

Do \(\sin x \ge  - 1,\forall x \in \mathbb{R}\) nên tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\).

Ta có: \( - 1 \le \sin x \le 1,\forall x \in \mathbb{R}\)

\(\begin{array}{*{20}{l}} \Leftrightarrow &{0 \le 1 + \sin x \le 2,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow  - 3 \le \sqrt {1 + \sin x}  - 3 \le \sqrt 2  - 3,\forall x \in \mathbb{R}}\\ \Leftrightarrow &{ - 3 \le f(x) \le \sqrt 2  - 3,\forall x \in \mathbb{R}}\\{}&{{f_{{\rm{Min }}}}(x) =  - 3 \Leftrightarrow \sin x =  - 1 \Leftrightarrow x =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.}\\{}&{{f_{{\rm{Max }}}}(x) = \sqrt 2  - 3 \Leftrightarrow \sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.}\end{array}\)

Để hàm số \(y = \sqrt {\frac{{m - 1}}{m} - 2\cos 4x} \) xác định trên \(\mathbb{R}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{m - 1}}{m} - 2\cos 4x \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow \frac{{m - 1}}{{2m}} \ge \cos 4x \ge 1\\ \Leftrightarrow \frac{{m - 1}}{{2m}} \ge 1 \Leftrightarrow  - 1 \le m \le 0.\end{array}\)

a) Do \( - 1 \le {\rm{sin}}\alpha  \le 1\) nên \( - 0,3 \le {\rm{sin}}\alpha  \le 0,3\)

Vậy giá trị lớn nhất của \({v_x}\) là \(0,3\left( {{\rm{\;m}}} \right)\) và giá trị nhỏ nhất của \({v_x}\) là \( - 0,3\left( {{\rm{\;m}}} \right)\).

b) Dựa vào đồ thị hàm số \(\sin \), ta thấy vòng quay đầu tiên \(\left( {0 \le \alpha  \le 2\alpha } \right)\), \({v_x}\) tăng khi \(\pi  \le \alpha  \le 2\pi \)