Bài tập Xác định tính chẵn, lẻ; tính tuần hoàn, chu kì của hàm số lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: D

+) Xét hàm số y = f(x) = sin2x.

Tập xác định: D = ℝ. Do đó, ∀x ∈ D => -x ∈ D.

Ta có: f(-x) = sin(-2x) = -sin2x = -f(x)

Do đó, f(x) là hàm số lẻ.

+) Xét hàm số y = f(x) = xcosx

Tập xác định: D = ℝ. Do đó, ∀x ∈ D => -x ∈ D.

Ta có: f(-x) = (-x)cos(-x) = -xcosx = -f(x)

Do đó, f(x) là hàm số lẻ.

+) Xét hàm số y = f(x) = cosxcotx.

Tập xác định: D = \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ;k \in \mathbb{Z}} \right\}\). Do đó, ∀x ∈ D => -x ∈ D.

Ta có: f(-x) = cos(-x)cot(-x) = -cosxcotx = -f(x)

Do đó, f(x) là hàm số lẻ.

+) Xét hàm số y = f(x) = \(\frac{{\tan x}}{{\sin x}}\)

Tập xác định: D = \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{k\pi }}{2};k \in \mathbb{Z}} \right\}\). Do đó, ∀x ∈ D => -x ∈ D.

Ta có: f(-x) = \(\frac{{\tan \left( { - x} \right)}}{{\sin \left( { - x} \right)}} = \frac{{ - \tan x}}{{ - \sin x}} = \frac{{\tan x}}{{\sin x}}\) = f(x).

Do đó, f(x) là hàm số chẵn.

Đáp án đúng là: B

+) Xét hàm số f(x) = \(\frac{{\cos 2x}}{{1 + {{\sin }^2}3x}}\).

Tập xác định: D = ℝ. Do đó, ∀x ∈ D => -x ∈ D.

Ta có: f(-x) = \(\frac{{\cos \left( { - 2x} \right)}}{{1 + {{\sin }^2}\left( { - 3x} \right)}} = \frac{{\cos 2x}}{{1 + {{\sin }^2}3x}}\) = f(x)

Do đó, f(x) là hàm số chẵn.

+) Xét hàm số g(x) = \(\frac{{\left| {\sin 2x} \right| - \cos 3x}}{{2 + {{\tan }^2}x}}\).

Tập xác định: D = \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ;k \in \mathbb{Z}} \right\}\). Do đó, ∀x ∈ D => -x ∈ D.

Ta có: g(-x) = \(\frac{{\left| {\sin \left( { - 2x} \right)} \right| - \cos \left( { - 3x} \right)}}{{2 + {{\tan }^2}\left( { - x} \right)}} = \frac{{\left| {\sin 2x} \right| - \cos 3x}}{{2 + {{\tan }^2}x}}\) = g(x)

Do đó, g(x) là hàm số chẵn.

Đáp án đúng là: C

Tập xác định: D = ℝ; x + 2π ∈ D; x - 2π ∈ D; ∀x ∈ D.

Ta có: y = \[\sin \left( {x + \frac{\pi }{3} + 2\pi } \right) = \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\]. Do đó, T = 2π.

Đáp án đúng là: A

Chu kì tuần hoàn của hàm số y = sin2x là T = \(\frac{{2\pi }}{{\left| 2 \right|}} = \pi \).

Đáp án đúng là: B

Hai hàm số y = cosx và y = cot\(\frac{x}{2}\) có cùng chu kì là 2π.

Hai hàm số y = sinx có chu kì là 2π và y = tan2x có chu kì là \(\frac{\pi }{2}\).

Hai hàm số y = sin\(\frac{x}{2}\) và y = cos\(\frac{x}{2}\) có cùng chu kì là 4π.

Hai hàm số y = tan2x và y = cot2x có cùng chu kì \(\frac{\pi }{2}\).

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Tập xác định của hàm số là D = ℝ.

b) Sai. Ta có f(-π) = sin²(-π) + cos(-π) – 1 = -2

-f(π) = -(sin²(π) + cosπ - 1) = 2.

Do đó f(-π) ≠ -f(π).

c) Đúng. Với mọi x ∈ D, ta có: -x ∈ D và f(-x) = sin²(-x) + cos(-x) – 1 = sin²x + cosx – 1 = f(x).

d) Đúng. Hàm số đã cho là hàm số chẵn.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Tập xác định của hàm số f(x) là D = ℝ.

b) Đúng. Với mọi x ∈ D thì x ± 2π ∈ D và f(x + 2π) = 2cos(x + 2π) + 1 = 2cosx + 1 = f(x). Vậy hàm số đã cho là hàm tuần hoàn.

c) Sai. Tập xác định của hàm số f(x) là: D = \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

d) Sai. Với mọi x ∈ D thì x ± 2π ∈ D và g(x + 2π) = sin(x + 2π) + tan(x + 2π) = sinx + tanx = g(x). Vậy hàm số đã cho là hàm tuần hoàn.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Tập xác định của hàm số f(x) là D = ℝ.

b) Sai. Với mọi x ∈ D thì -x ∈ D và f(-x) = \(\sqrt {5 - 3{{\sin }^2}\left( { - x} \right)} = \sqrt {5 - 3{{\sin }^2}x} \) = f(x).

Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.

c) Đúng. Tập xác định của hàm số g(x) là D = \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

d) Sai. Với mọi x ∈ D thì -x ∈ D và g(-x) = tan(-x) – (-x)cos(-x) = -tanx + xcosx = -g(x). Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Tập xác định của hàm số f(x) là D = \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ;\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

b) Sai. Với mọi x ∈ D thì x π ∈ D và f(x + π) = tan(x + π) = tanx = f(x).

Vậy hàm số đã cho là hàm tuần hoàn.

c) Đúng. Tập xác định của hàm số g(x): D = \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ;\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

d) Đúng. Với mọi x ∈ D thì x π ∈ D và

g(x + π) = \({\cot ^2}\left( {x + \pi } \right) - \frac{{\sin 2\left( {x + \pi } \right)}}{2} = {\cot ^2}x - \frac{{\sin 2x}}{2}\) = g(x). Vậy hàm số đã cho là hàm tuần hoàn.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Tập xác định của hàm số f(x) là: D = ℝ.

b) Đúng. Với mọi x = D thì -x ∈ D.

Ta có: f(-x) = 2cos(-3x) – 1 = 2cos3x – 1 = f(x).

Do đó hàm số đã cho là hàm số chẵn.

c) Đúng. Tập xác định của hàm số f(x) là: D = ℝ.

d) Sai. Với mọi x ∈ D thì -x ∈ D.

Ta có: f(-x) = |2sin(-x) + 2| + |2sin(-x) – 2| = |-2sinx + 2| + |-2sinx – 2| = |2sinx – 2| + |2sinx + 2| = f(x).

Do đó hàm số đã cho là hàm số chẵn.

Đáp án: 2.

Ta có: y = 2025 – sinxcosx = 2025 - \(\frac{1}{2}\sin 2x\) là hàm số tuần hoàn với chu kì π.

Do đó, m = n = 1 => m + n = 1 + 1 = 2.

Đáp án: 12,6.

Hàm số y = 3cos(2x + 1) tuần hoàn với chu kì T₁ = \(\frac{{2\pi }}{2} = \pi \).

Hàm số y = -2sin\(\left( {\frac{x}{2} - 3} \right)\) tuần hoàn với chu kì T₂ = \(\frac{{2\pi }}{{\frac{1}{2}}} = 4\pi \).

Suy ra hàm số tuần hoàn với chu kì T = 4π ≈ 12,6.

Đáp án: 52.

Hàm số y = \( - \frac{1}{2}\sin \left( {100x + 50\pi } \right)\) tuần hoàn với chu kì T = \(\frac{{2\pi }}{{100}} = \frac{\pi }{{50}}\).

Do đó, m = 1, n = 50 => 2m + n = 21 + 50 = 52.

Đáp án: 9,4.

Hàm số y = sin2x tuần hoàn với chu kì T₁ = π.

Hàm số y = tan\(\left( {\frac{x}{3}} \right)\) tuần hoàn với chu kì T₂ = 3π.

Suy ra hàm số y = sin2x + tan\(\left( {\frac{x}{3}} \right)\) tuần hoàn với chu kì 3π ≈ 9,4

Đáp án: 2

Tập xác định: D = ℝ.

Với mọi x ∈ D thì -x ∈ D. Để hàm số f(x) là hàm số chẵn thì f(-x) = f(x), ∀x ∈ ℝ.

Ta có: f(-x) = cos(-2x) + (m² – 1)sin(-x) = cos2x – (m² – 1)sinx

Do đó: f(-x) = f(x)

⇔ cos2x – (m² – 1)sinx = cos2x + (m² – 1)sinx

⇔ -2(m² – 1)sinx = 0, ∀ x ∈ ℝ.

⇔ (m² – 1)sinx = 0.

Do đó m² – 1 = 0 ⇔ m = 1.

Vậy m ∈ {-1; 1}. Vậy có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn.