Bài tập Tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số lớp 11 (có lời giải)
25 câu hỏi
Hàm số nào sau đây có tập giá trị là ℝ?
y = sin x;
y = tan2x;
y = cos2x;
y = – sin2x.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Trong các đáp án chỉ có hàm số y = tan2x có tập giá trị là ℝ, các hàm số còn lại đều có tập giá trị là [– 1; 1].
Tập giá trị của hàm số y = 2cosx là
T = [–2; 2];
T = [–1; 1];
T = ℝ;
T = (–1; 1).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
∀x ∈ ℝ ta có: –1 ≤ cosx ≤ 1 –2 ≤ 2cosx ≤ 2.
Vậy đạt được khi cosx = 1 ⇔ x = k2π, k ∈ ℤ.
đạt được khi cosx = –1 ⇔ x = π + k2π, k ∈ ℤ.
Do đó, tập giá trị của hàm số y = 2cosx là T = [–2; 2].
Xét bốn mệnh đề sau:
i) Trên ℝ, hàm số y = cosx có tập giá trị là [–1; 1].
ii) Trên , hàm số y = cosx có tập giá trị là [0; 1].
iii) Trên , hàm số y = cosx có tập giá trị là .
iv) Trên , hàm số y = cosx có tập giá trị là [0; 1).
Số phát biểu đúng là
1;
2;
3;
4.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
![Xét bốn mệnh đề sau: i) Trên ℝ, hàm số y = cosx có tập giá trị là [–1; 1]. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2023/12/blobid0-1701446642.png)
Quan sát đồ thị hàm số y = cos x, ta thấy các mệnh đề i), ii) và iv) đúng.
Trên , hàm số y = cosx có tập giá trị là . Vậy iii) sai.
Do đó, có 3 phát biểu đúng.
Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số . Khẳng định nào dưới đây là đúng?
;
;
;
.
Đáp án đúng là: D
∀x ∈ ℝ ta có: –1 ≤ sinx ≤ 1 ⇔ 0 ≤ sinx + 1 ≤ 2 \( \Leftrightarrow 0 \le \sqrt {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + 1} \le \sqrt 2 \)
\( \Leftrightarrow - 3 \le \sqrt {\sin x + 1} - 3 \le \sqrt 2 - 3\).
Suy ra: \(\mathop {\max }\limits_\mathbb{R} y = \sqrt 2 - 3\) đạt được khi sinx = 1 \( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(\mathop {\min }\limits_\mathbb{R} y = - 3\) đạt được khi sinx = –1 \[ \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\].
Vậy \(M = \sqrt 2 - 3,m = - 3\).
Tập giá trị T của hàm số y = 4cos22x + 3 là
T = [3; 7];
T = [0; 7];
T = ℝ;
T = [0; 3].
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
∀x ∈ ℝ ta có: 0 ≤ cos22x ≤ 1 ⇔ 0 ≤ 4cos22x ≤ 4 ⇔ 3 ≤ 4cos22x + 3 ≤ 7 ⇔ 3 ≤ y ≤ 7.
Suy ra: đạt được khi cos22x = 1 .
đạt được khi cos2x = 0 .
Vậy tập giá trị của hàm số đã cho là T = [3; 7].
Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2cosx + 3 trên . Giá trị biểu thức M ∙ m bằng
–3;
5;
6;
20.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
ta có: 1 ≤ 2cosx ≤ 2 ⇔ 4 ≤ 2cosx + 3 ≤ 5.
Suy ra: đạt được khi cosx = 1 ⇔ x = 0.
đạt được khi .
Vậy M = 5, m = 4, do đó, M ∙ m = 20.
Xét bốn mệnh đề sau:
i) Trên ℝ, hàm số y = sinx có tập giá trị là [–1; 1].
ii) Trên , hàm số y = sinx có tập giá trị là [–1; 1].
iii) Trên , hàm số y =sinx có tập giá trị là [0; 1].
iv) Trên , hàm số y = sinx có tập giá trị là (0; 1].
Số phát biểu đúng là
1;
2;
3;
4.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
![Xét bốn mệnh đề sau: i) Trên ℝ, hàm số y = sinx có tập giá trị là [–1; 1]. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2023/12/blobid2-1701447179.png)
Quan sát đồ thị hàm số y = sinx, ta thấy các mệnh đề i), iii) đúng.
Trên , hàm số y = sinx có tập giá trị là (0; 1]. Vậy ii) Sai.
Trên , hàm số y = sinx có tập giá trị là [0; 1). Vậy iv) sai.
Do đó, có 2 phát biểu đúng.
Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số y = sinx + cosx, một học sinh giải theo các bước sau:
Bước 1: Tập xác định: D = ℝ.
Bước 2: \(\forall x \in \mathbb{R}\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} - 1 \le {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} \le 1\\ - 1 \le \cos x \le 1\end{array} \right. \Rightarrow - 2 \le \sin x + \cos x \le 2\).
Bước 3: Vậy GTLN của hàm số bằng 2, GTNN của hàm số bằng –2.
Bài giải của bạn đó đã đúng chưa? Và nếu sai thì sai bắt đầu từ bước nào?
Bài giải đúng;
Sai từ bước 1;
Sai từ bước 2;
Sai từ bước 3.
Đáp án đúng là: D
Bài giải sai từ bước 3 vì không tồn tại x ∈ ℝ thỏa mãn sinx + cosx = 2, sinx + cosx = –2 do các hệ \(\left\{ \begin{array}{l}\sin x = 1\\\cos x = 1\end{array} \right.\) và \(\left\{ \begin{array}{l}\sin x = - 1\\\cos x = - 1\end{array} \right.\) vô nghiệm.
Lời giải đúng:
Ta có: \(y = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\).
∀x ∈ ℝ: \( - 1 \le \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \le 1 \Leftrightarrow - \sqrt 2 \le \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \le \sqrt 2 \).
Vậy \(\mathop {\max }\limits_\mathbb{R} y = \sqrt 2 \) đạt được khi \(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1 \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(\mathop {\min }\limits_\mathbb{R} y = - \sqrt 2 \)đạt được khi \(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = - 1 \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = - \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
Hàm số y = (3 – 5sinx)2022 có giá trị lớn nhất là M và giá trị nhỏ nhất là m. Giá trị của M + m bằng
22022;
24044;
22022(1 + 24044);
26066.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
∀x ∈ ℝ ta có: –1 ≤ sinx ≤ 1 ⇔ –5 ≤ –5sinx ≤ 5 ⇔ –2 ≤ 3 – 5sinx ≤ 8.
Suy ra: 0 ≤ (3 – 5sinx)2022 ≤ 82022.
Do đó: M = 82022, m = 0.
Vậy M + m = 82022 = (23)2022 = 26066.
Hàm số y = 5 + 4sin2xcos2x có số giá trị nguyên là
3;
4;
5;
6.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Ta có: y = 5 + 4sin2xcos2x = 5 + 2sin4x.
Mà ∀x ∈ ℝ: –1 ≤ sin4x ≤ 1 ⇔ –2 ≤ 2sin4x ≤ 2 ⇔ 3 ≤ 5 + 2sin4x ≤ 7.
Vậy 3 ≤ y ≤ 7, mà y ∈ ℤ, do đó y ∈ {3; 4; 5; 6; 7}.
Vậy y có 5 giá trị nguyên.
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = 3sin3x – 4 lần lượt là:
7; 1.
1; -4.
3; -4.
-1; -7.
Đáp án đúng là: D
Ta có -1 ≤ sin3x ≤ 1 ⇔ -3 ≤ 3sin3x ≤ 3 ⇔ -7 ≤ 3sin3x – 4 ≤ -1.
Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số là -1 và giá tị nhỏ nhất là -7.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = -3\(\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)\) + 2 là:
5.
2.
1.
-1.
Đáp án đúng là: D
Ta có: -1 ≤ \(\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)\) ≤ 1 ⇔ -3 ≤ 3\(\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)\) ≤ 3
⇔ -1 ≤ 3\(\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)\) + 2 ≤ 5.
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là -1.
Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = \(2\cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\). Tính P = M – m.
P = \(2\sqrt 2 \).
P = 4.
P = \(\sqrt 2 \).
P = 2.
Đáp án đúng là: B
Vì -1 ≤ cos\(\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\) ≤ 1 ⇔ -2 ≤ 2cos\(\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\)≤ 2.
Vậy P = M – m = 2 - (-2) = 4.
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = - \cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)\) trên \(\left[ {\frac{{ - 2\pi }}{3};\frac{\pi }{3}} \right]\) là:
1 và -1.
1 và \( - \frac{1}{2}\).
\(\frac{1}{2}\) và 1.
\(\frac{1}{2}\)và \( - \frac{1}{2}\).
Đáp án đúng là: A
Với x ∈ \(\left[ {\frac{{ - 2\pi }}{3};\frac{\pi }{3}} \right]\) => 2x + \(\frac{\pi }{3}\) ∈ [-π; π] => -1 ≤ \(\cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)\) ≤ 1 => - 1 ≤ y ≤ 1.
Với x = \(\frac{{ - 2\pi }}{3} \Rightarrow \cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = - 1 \Rightarrow y = 1\). Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số là 1.
Với x = \(\frac{\pi }{3} \Rightarrow \cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = 1 \Rightarrow y = - 1\). Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số là -1.
Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = \(\frac{{2\cos x}}{{\cos x + 3}}\) bằng:
-6.
-1.
-3.
\( - \frac{1}{2}\)
Đáp án đúng là: D
Ta có: y = \(\frac{{2\cos x}}{{\cos x + 3}}\) ⇔ y(cosx + 3) = 2cosx ⇔ ycosx – 2cosx = -3y
⇔ (y – 2)cosx = -3y ⇔ (2 – y)cox = 3y (*)
Trường hợp 1: y = 2. Khi đó (*) trở thành: 0 = 6 (vô lý).
Trường hợp 2: y 2. Khi đó (*) trở thành: \(\cos x = \frac{{3y}}{{2 - y}}\)
Để hàm số có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất thì: -1 ≤ cosx ≤ 1 ⇔ \( - 1 \le \frac{{3y}}{{2 - y}} \le 1\)
⇔\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{3y}}{{2 - y}} \ge - 1\\\frac{{3y}}{{2 - y}} \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{3y}}{{2 - y}} + 1 \ge 0\\\frac{{3y}}{{2 - y}} - 1 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{2 + 2y}}{{2 - y}} \ge 0\\\frac{{4y - 2}}{{2 - y}} \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{y + 1}}{{2 - y}} \ge 0\\\frac{{2y - 1}}{{2 - y}} \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 \le y < 2\\y \le \frac{1}{2};y > 2\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow - 1 \le y \le \frac{1}{2}\).
Do đó giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lần lượt là: -1 và \(\frac{1}{2}\)
=> Tổng: - 1 + \(\frac{1}{2}\) = \( - \frac{1}{2}\).
Cho hàm số f(x) = \(\sqrt {2 - \sin x} \) và g(x) = \(\sqrt 3 \sin x - \cos x + 2\). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
Giá trị lớn nhất của hàm số f(x) bằng \(\sqrt 3 \).
Giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) bằng 1.
Giá trị lớn nhất của hàm số g(x) bằng 1.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số g(x) bằng 0.
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng c) Sai. d) Đúng.
+) Xét hàm số f(x) = \(\sqrt {2 - \sin x} \)
Ta có: - 1 ≤ sinx ≤ 1 => 1 ≥ -sinx ≥ -1 => 3 ≥ 2 – sinx ≥ 1 => \(\sqrt 3 \ge \sqrt {2 - \sin x} \ge 1\)
+) Xét hàm số g(x) = \(\sqrt 3 \sin x - \cos x + 2\)
Ta có: \(\sqrt 3 \sin x - \cos x + 2 = 2\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos x} \right) + 2 = 2\sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) + 2\).
Với mọi x ∈ ℝ, ta có:
\( - 1 \le \sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) \le 1 \Leftrightarrow - 2 \le 2sin\left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) \le 2 \Leftrightarrow 0 \le 2sin\left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) + 2 \le 4\)
a) Đúng. Giá trị lớn nhất của hàm số f(x) bằng \(\sqrt 3 \).
b) Đúng. Giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) bằng 1.
c) Sai. Giá trị lớn nhất của hàm số g(x) bằng 4.
d) Đúng. Giá trị nhỏ nhất của hàm số g(x) bằng 0.
Cho hàm số y = 3 - \(\sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)\). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
Hàm số có tập xác định D = ℝ.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 2.
Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 4.
Tập giá trị của hàm số là T = [1; 4].
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Hàm số có tập xác định D = ℝ.
b) Đúng. Ta có: -1 ≤ \(\sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)\) ≤ 1 ⇔ 1 ≥ -\(\sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)\)≥ -1
⇔ 4 ≥ 3 - \(\sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)\) ≥ 2 ⇔ 4 ≥ y ≥ 2.
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 2.
c) Đúng. Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 4.
d) Sai. Tập giá trị của hàm số là T = [2; 4].
Cho hàm số y = \(2\sin \left( {\frac{{5\pi }}{6} - \frac{{\pi x}}{6}} \right) + 11\). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
Tập xác định của hàm số trên là ℝ.
Hàm số tuần hoàn với chu kì T = 12π.
Hàm số là hàm số lẻ.
Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 13.
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Hàm số có tập xác định là D = ℝ.
b) Sai. Hàm số tuần hoàn với chu kì T = \(\frac{{2\pi }}{{\frac{\pi }{6}}} = 12\).
Vậy hàm số tuần hoàn với chu kì T = 12.
c) Sai. Ta có: \[y = 2\sin \left( {\frac{{5\pi }}{6} - \frac{{\pi x}}{6}} \right) + 11\]
\[ = 2\sin \left( {\frac{\pi }{2} + \frac{\pi }{3} - \frac{{\pi x}}{6}} \right) + 11 = 2\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \left( {\frac{{\pi x}}{6} - \frac{\pi }{3}} \right)} \right) + 11 = 2\cos \left( {\frac{{\pi x}}{6} - \frac{\pi }{3}} \right) + 11\]
Với mọi x ∈ D thì -x ∈ D.
Ta có: y(x) = \(2\cos \left( {\frac{{\pi x}}{6} - \frac{\pi }{3}} \right) + 11\) và
y(-x) = \(2\cos \left( { - \frac{{\pi x}}{6} - \frac{\pi }{3}} \right) + 11 = 2\cos \left( {\frac{{\pi x}}{6} + \frac{\pi }{3}} \right) + 11\)
Vậy y(x) y(-x) nên hàm số không là hàm chẵn, không là hàm lẻ.
d) Đúng. Ta có: -2 ≤ \(2\cos \left( {\frac{{\pi x}}{6}} \right)\) ≤ 2 ⇔ 9 ≤ \(2\cos \left( {\frac{{\pi x}}{6}} \right) + 11\) ≤ 13 ⇔ 9 ≤ y ≤ 13.
Vậy hàm số có giá trị lớn nhất bằng 13.
Cho hàm số y = 2cos2x - \(2\sqrt 3 \)sinxcosx + 1. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
Tập xác định của hàm số là: D = ℝ.
Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 0.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng -4.
Biết M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. Khi đó, M + m = 4.
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Tập xác định của hàm số là: D = ℝ.
b) Sai. Ta có: y = 2cos2x - \(2\sqrt 3 \)sinxcosx + 1 = 2cos2x – 1 - \(\sqrt 3 \)sin2x + 2
= cos2x - \(\sqrt 3 \)sin2x + 2 = \(2\left( {\frac{1}{2}\cos 2x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x} \right) + 2 = 2\cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) + 2\).
Vì -1 ≤ \(\cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)\) ≤ 1 => -2 ≤ 2\(\cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)\) ≤ 2 => 0 ≤ 2\(\cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)\)+ 2 ≤ 4
⇔ 0 ≤ y ≤ 4.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 4.
c) Sai. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 0.
d) Đúng. Ta có: M + m = 0 + 4 = 4.
Cho hàm số y = sin4x + cos4x – sin2xcos2x. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
Hàm số y biến đổi tương đương ta được: \(1 - \frac{3}{2}{\sin ^2}2x\).
Tập xác định của hàm số là D = ℝ.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 0,5.
Hàm số trên tuần hoàn với chu kì 2π.
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Sai. Ta có: y = sin4x + cos4x – sin2xcos2x = (sin2x + cos2x)2 - 3 sin2xcos2x
= 1 – 3(sinxcosx)2 = 1 - \(\frac{3}{4}\)sin22x.
b) Đúng. Tập xác định của hàm số là D = ℝ.
c) Sai. Ta có: 0 ≤ sin22x ≤ 1 ⇔ \( - \frac{3}{4} \le - \frac{3}{4}{\sin ^2}2x \le 0 \Leftrightarrow \frac{1}{4} \le 1 - \frac{3}{4}{\sin ^2}2x \le 1\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng \(\frac{1}{4} = 0,25\).
d) Sai. Ta có: y = 1 - \(\frac{3}{4}\)sin22x = 1 - \(\frac{3}{4} \cdot \frac{{1 - \cos 4x}}{2} = \frac{5}{8} + \frac{3}{8}\cos 4x\).
Vậy hàm số trên tuần hoàn với chu kì T = \(\frac{{2\pi }}{4} = \frac{\pi }{2}\).
Với giá trị nào của m thì hàm số y = sin3x – cos3x + m có giá trị lớn nhất bằng \(\sqrt 2 \).
Đáp án: 0.
Ta có: y = sin3x – cos3x + m
= \(\sqrt 2 \left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}\sin 3x - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\cos 3x} \right) + m = \sqrt 2 \sin \left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right) + m \le \sqrt 2 + m\)
Do đó giá trị lớn nhất của hàm số bằng \(\sqrt 2 \) khi \(\sqrt 2 + m = \sqrt 2 \Leftrightarrow m = 0\).
Biết giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin4x + cos4x + sinxcosx bằng \(\frac{a}{b}\) với a, b ∈ ℕ, \(\frac{a}{b}\) là phần số tối giản. Tổng a + b bằng bao nhiêu?
Đáp án: 17.
Ta có: y = sin4x + cos4x + sinxcosx = (sin2x + cos2x)2 – 2(sinxcosx)2 + sinxcosx
= \(1 - 2 \cdot \frac{1}{4}{\sin ^2}2x + \frac{1}{2}\sin 2x = - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x + \frac{1}{2}\sin 2x + 1\).
Đặt sin2x = t, hàm số trở thành \( - \frac{1}{2}{t^2} + \frac{1}{2}t + 1,t \in \left[ { - 1;1} \right]\).
Đồ thị hàm số \( - \frac{1}{2}{t^2} + \frac{1}{2}t + 1\) có dạng parabol bề lõm quay xuống nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại t = \(\frac{1}{2}\). Ta có: y\(\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{9}{8}\).
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng \(\frac{9}{8}\). Do đó, a = 9, b = 8 => a + b = 9 + 8 = 17.
Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{2\sin x + 3\cos x + 1}}{{\sin x - \cos x + 2}}\).
Đáp án: 3.
Ta có: \(y = \frac{{2\sin x + 3\cos x + 1}}{{\sin x - \cos x + 2}}\) ⇔ (y – 2)sinx – (y + 3)cosx = 1 – 2y.
Điều kiện để tồn tại cặp số (x; y) là (y – 2)2 + (y + 3)2 ≥ (1 – 2y)2.
⇔ -2y2 + 6y + 12 ≥ 0 ⇔ \(\frac{{3 - \sqrt {33} }}{2} \le y \le \frac{{3 + \sqrt {33} }}{2}\).
Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(\frac{{3 - \sqrt {33} }}{2} + \frac{{3 + \sqrt {33} }}{2} = 3\).
Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2cosx + 3 trên \(\left[ {0;\frac{\pi }{6}} \right]\). Biết M + m = a + b\(\sqrt 3 \), (a; b ∈ ℕ). Tính a + b?
Đáp án: 9.
Ta có: \(\frac{{\sqrt 3 }}{2} \le \cos x \le 1 \Leftrightarrow \sqrt 3 \le 2\cos x \le 2 \Leftrightarrow \sqrt 3 + 3 \le 2\cos x + 3 \le 5\)
Suy ra \(\mathop {\max y}\limits_{\left[ {0;\frac{\pi }{6}} \right]} = 5\) đạt được khi cosx = 1 ⇔ x = 0 ∈ \(\left[ {0;\frac{\pi }{6}} \right]\).
\(\mathop {\min y}\limits_{\left[ {0;\frac{\pi }{6}} \right]} = \sqrt 3 + 3\) đạt được khi cosx = \(\frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} \in \left[ {0;\frac{\pi }{6}} \right]\).
Vậy m = \(\sqrt 3 + 3\); M = 5 => M + m = 5 + \(\sqrt 3 + 3\)= 8 + \(\sqrt 3 \).
Do đó, a = 8, b = 1 => a + b = 8 + 1 = 9.
Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số y = 3sinx + 4cosx + m bằng 10.
Đáp án: 5.
Gọi y0 thuộc tập giá trị Y của hàm số.
Khi đó phương trình 3sinx + 4cosx + m = y0 có nghiệm
⇔ phương trình 3sinx + 4cosx = y0 – m có nghiệm ⇔ 32 + 42 ≥ (y0 – m)2
⇔ -5 ≤ y0 – m ≤ 5 ⇔ -5 + m ≤ y0 ≤ 5 + m.
Ta có, tập giá trị của hàm số: Y = [-5 + m; 5 + m] nên max y = 5 + m ⇔ 10 = 5 + m ⇔ m = 5.
