Bài tập Tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: D

Ta có -1 ≤ sin3x ≤ 1 ⇔ -3 ≤ 3sin3x ≤ 3 ⇔ -7 ≤ 3sin3x – 4 ≤ -1.

Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số là -1 và giá tị nhỏ nhất là -7.

Đáp án đúng là: D

Ta có: -1 ≤ \(\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)\) ≤ 1 ⇔ -3 ≤ 3\(\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)\) ≤ 3

⇔ -1 ≤ 3\(\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)\) + 2 ≤ 5.

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là -1.

Đáp án đúng là: B

Vì -1 ≤ cos\(\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\) ≤ 1 ⇔ -2 ≤ 2cos\(\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\)≤ 2.

Vậy P = M – m = 2 - (-2) = 4.

Đáp án đúng là: A

Với x ∈ \(\left[ {\frac{{ - 2\pi }}{3};\frac{\pi }{3}} \right]\) => 2x + \(\frac{\pi }{3}\) ∈ [-π; π] => -1 ≤ \(\cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)\) ≤ 1 => - 1 ≤ y ≤ 1.

Với x = \(\frac{{ - 2\pi }}{3} \Rightarrow \cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = - 1 \Rightarrow y = 1\). Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số là 1.

Với x = \(\frac{\pi }{3} \Rightarrow \cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = 1 \Rightarrow y = - 1\). Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số là -1.

Đáp án đúng là: D

Ta có: y = \(\frac{{2\cos x}}{{\cos x + 3}}\) ⇔ y(cosx + 3) = 2cosx ⇔ ycosx – 2cosx = -3y

⇔ (y – 2)cosx = -3y ⇔ (2 – y)cox = 3y (*)

Trường hợp 1: y = 2. Khi đó (*) trở thành: 0 = 6 (vô lý).

Trường hợp 2: y 2. Khi đó (*) trở thành: \(\cos x = \frac{{3y}}{{2 - y}}\)

Để hàm số có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất thì: -1 ≤ cosx ≤ 1 ⇔ \( - 1 \le \frac{{3y}}{{2 - y}} \le 1\)

⇔\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{3y}}{{2 - y}} \ge - 1\\\frac{{3y}}{{2 - y}} \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{3y}}{{2 - y}} + 1 \ge 0\\\frac{{3y}}{{2 - y}} - 1 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{2 + 2y}}{{2 - y}} \ge 0\\\frac{{4y - 2}}{{2 - y}} \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{y + 1}}{{2 - y}} \ge 0\\\frac{{2y - 1}}{{2 - y}} \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 \le y < 2\\y \le \frac{1}{2};y > 2\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow - 1 \le y \le \frac{1}{2}\).

Do đó giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lần lượt là: -1 và \(\frac{1}{2}\)

=> Tổng: - 1 + \(\frac{1}{2}\) = \( - \frac{1}{2}\).

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng c) Sai. d) Đúng.

+) Xét hàm số f(x) = \(\sqrt {2 - \sin x} \)

Ta có: - 1 ≤ sinx ≤ 1 => 1 ≥ -sinx ≥ -1 => 3 ≥ 2 – sinx ≥ 1 => \(\sqrt 3 \ge \sqrt {2 - \sin x} \ge 1\)

+) Xét hàm số g(x) = \(\sqrt 3 \sin x - \cos x + 2\)

Ta có: \(\sqrt 3 \sin x - \cos x + 2 = 2\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos x} \right) + 2 = 2\sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) + 2\).

Với mọi x ∈ ℝ, ta có:

\( - 1 \le \sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) \le 1 \Leftrightarrow - 2 \le 2sin\left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) \le 2 \Leftrightarrow 0 \le 2sin\left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) + 2 \le 4\)

a) Đúng. Giá trị lớn nhất của hàm số f(x) bằng \(\sqrt 3 \).

b) Đúng. Giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) bằng 1.

c) Sai. Giá trị lớn nhất của hàm số g(x) bằng 4.

d) Đúng. Giá trị nhỏ nhất của hàm số g(x) bằng 0.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Hàm số có tập xác định D = ℝ.

b) Đúng. Ta có: -1 ≤ \(\sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)\) ≤ 1 ⇔ 1 ≥ -\(\sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)\)≥ -1

⇔ 4 ≥ 3 - \(\sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)\) ≥ 2 ⇔ 4 ≥ y ≥ 2.

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 2.

c) Đúng. Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 4.

d) Sai. Tập giá trị của hàm số là T = [2; 4].

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Hàm số có tập xác định là D = ℝ.

b) Sai. Hàm số tuần hoàn với chu kì T = \(\frac{{2\pi }}{{\frac{\pi }{6}}} = 12\).

Vậy hàm số tuần hoàn với chu kì T = 12.

c) Sai. Ta có: \[y = 2\sin \left( {\frac{{5\pi }}{6} - \frac{{\pi x}}{6}} \right) + 11\]

\[ = 2\sin \left( {\frac{\pi }{2} + \frac{\pi }{3} - \frac{{\pi x}}{6}} \right) + 11 = 2\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \left( {\frac{{\pi x}}{6} - \frac{\pi }{3}} \right)} \right) + 11 = 2\cos \left( {\frac{{\pi x}}{6} - \frac{\pi }{3}} \right) + 11\]

Với mọi x ∈ D thì -x ∈ D.

Ta có: y(x) = \(2\cos \left( {\frac{{\pi x}}{6} - \frac{\pi }{3}} \right) + 11\) và

y(-x) = \(2\cos \left( { - \frac{{\pi x}}{6} - \frac{\pi }{3}} \right) + 11 = 2\cos \left( {\frac{{\pi x}}{6} + \frac{\pi }{3}} \right) + 11\)

Vậy y(x) y(-x) nên hàm số không là hàm chẵn, không là hàm lẻ.

d) Đúng. Ta có: -2 ≤ \(2\cos \left( {\frac{{\pi x}}{6}} \right)\) ≤ 2 ⇔ 9 ≤ \(2\cos \left( {\frac{{\pi x}}{6}} \right) + 11\) ≤ 13 ⇔ 9 ≤ y ≤ 13.

Vậy hàm số có giá trị lớn nhất bằng 13.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Tập xác định của hàm số là: D = ℝ.

b) Sai. Ta có: y = 2cos²x - \(2\sqrt 3 \)sinxcosx + 1 = 2cos²x – 1 - \(\sqrt 3 \)sin2x + 2

= cos2x - \(\sqrt 3 \)sin2x + 2 = \(2\left( {\frac{1}{2}\cos 2x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x} \right) + 2 = 2\cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) + 2\).

Vì -1 ≤ \(\cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)\) ≤ 1 => -2 ≤ 2\(\cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)\) ≤ 2 => 0 ≤ 2\(\cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)\)+ 2 ≤ 4

⇔ 0 ≤ y ≤ 4.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 4.

c) Sai. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 0.

d) Đúng. Ta có: M + m = 0 + 4 = 4.

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Sai. Ta có: y = sin⁴x + cos⁴x – sin²xcos²x = (sin²x + cos²x)² - 3 sin²xcos²x

= 1 – 3(sinxcosx)² = 1 - \(\frac{3}{4}\)sin²2x.

b) Đúng. Tập xác định của hàm số là D = ℝ.

c) Sai. Ta có: 0 ≤ sin²2x ≤ 1 ⇔ \( - \frac{3}{4} \le - \frac{3}{4}{\sin ^2}2x \le 0 \Leftrightarrow \frac{1}{4} \le 1 - \frac{3}{4}{\sin ^2}2x \le 1\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng \(\frac{1}{4} = 0,25\).

d) Sai. Ta có: y = 1 - \(\frac{3}{4}\)sin²2x = 1 - \(\frac{3}{4} \cdot \frac{{1 - \cos 4x}}{2} = \frac{5}{8} + \frac{3}{8}\cos 4x\).

Vậy hàm số trên tuần hoàn với chu kì T = \(\frac{{2\pi }}{4} = \frac{\pi }{2}\).

Đáp án: 0.

Ta có: y = sin3x – cos3x + m

= \(\sqrt 2 \left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}\sin 3x - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\cos 3x} \right) + m = \sqrt 2 \sin \left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right) + m \le \sqrt 2 + m\)

Do đó giá trị lớn nhất của hàm số bằng \(\sqrt 2 \) khi \(\sqrt 2 + m = \sqrt 2 \Leftrightarrow m = 0\).

Đáp án: 17.

Ta có: y = sin⁴x + cos⁴x + sinxcosx = (sin²x + cos²x)² – 2(sinxcosx)² + sinxcosx

= \(1 - 2 \cdot \frac{1}{4}{\sin ^2}2x + \frac{1}{2}\sin 2x = - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x + \frac{1}{2}\sin 2x + 1\).

Đặt sin2x = t, hàm số trở thành \( - \frac{1}{2}{t^2} + \frac{1}{2}t + 1,t \in \left[ { - 1;1} \right]\).

Đồ thị hàm số \( - \frac{1}{2}{t^2} + \frac{1}{2}t + 1\) có dạng parabol bề lõm quay xuống nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại t = \(\frac{1}{2}\). Ta có: y\(\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{9}{8}\).

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng \(\frac{9}{8}\). Do đó, a = 9, b = 8 => a + b = 9 + 8 = 17.

Đáp án: 3.

Ta có: \(y = \frac{{2\sin x + 3\cos x + 1}}{{\sin x - \cos x + 2}}\) ⇔ (y – 2)sinx – (y + 3)cosx = 1 – 2y.

Điều kiện để tồn tại cặp số (x; y) là (y – 2)² + (y + 3)² ≥ (1 – 2y)².

⇔ -2y² + 6y + 12 ≥ 0 ⇔ \(\frac{{3 - \sqrt {33} }}{2} \le y \le \frac{{3 + \sqrt {33} }}{2}\).

Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(\frac{{3 - \sqrt {33} }}{2} + \frac{{3 + \sqrt {33} }}{2} = 3\).

Đáp án: 9.

Ta có: \(\frac{{\sqrt 3 }}{2} \le \cos x \le 1 \Leftrightarrow \sqrt 3 \le 2\cos x \le 2 \Leftrightarrow \sqrt 3 + 3 \le 2\cos x + 3 \le 5\)

Suy ra \(\mathop {\max y}\limits_{\left[ {0;\frac{\pi }{6}} \right]} = 5\) đạt được khi cosx = 1 ⇔ x = 0 ∈ \(\left[ {0;\frac{\pi }{6}} \right]\).

\(\mathop {\min y}\limits_{\left[ {0;\frac{\pi }{6}} \right]} = \sqrt 3 + 3\) đạt được khi cosx = \(\frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} \in \left[ {0;\frac{\pi }{6}} \right]\).

Vậy m = \(\sqrt 3 + 3\); M = 5 => M + m = 5 + \(\sqrt 3 + 3\)= 8 + \(\sqrt 3 \).

Do đó, a = 8, b = 1 => a + b = 8 + 1 = 9.

Đáp án: 5.

Gọi y₀ thuộc tập giá trị Y của hàm số.

Khi đó phương trình 3sinx + 4cosx + m = y₀ có nghiệm

⇔ phương trình 3sinx + 4cosx = y₀ – m có nghiệm ⇔ 3² + 4² ≥ (y₀ – m)²

⇔ -5 ≤ y₀ – m ≤ 5 ⇔ -5 + m ≤ y₀ ≤ 5 + m.

Ta có, tập giá trị của hàm số: Y = [-5 + m; 5 + m] nên max y = 5 + m ⇔ 10 = 5 + m ⇔ m = 5.