Đề kiểm tra Hàm số lượng giác lớp 11 (có lời giải) - Đề 1

Chọn A

ĐKXĐ: \[\left\{ \begin{array}{l}1 - \cos x \ge 0\left( {\forall x} \right)\\\sin x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne k\pi ;k \in \mathbb{Z}\]

Hàm số xác định \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - \cos x \ge 0\\\sin x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos x \le 1\\x \ne k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne k\pi \,,{\kern 1pt} \;k \in \mathbb{Z}\].

Tập xác định của hàm số \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi \,,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\].

Chọn C

Hàm số \(y = \cos x\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \pi ;0} \right)\) và nghịch biến trên \(\left( {0;\pi } \right)\).

Chọn D

Cách 1: Hàm số \(y = \sin x\)đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{\pi }{2} + k2\pi } \right)\)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) và nghịch biến trên các khoảng \(\left( {\frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{{3\pi }}{2} + k2\pi } \right)\)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Do đó đáp án D đúng.

Cách 2: Dùng chức năng Table(Mode 7) của MTCT để khảo sát SBT trên từng khoảng.

Hàm số xác định \( \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi (k \in \mathbb{Z})\).

Tập xác định của hàm số: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi \mid \,k \in \mathbb{Z}} \right\}\). Với mọi \(x \in D\), ta có: \( - x \in D\) và \(f( - x) = \tan ( - x) - ( - x) = - \tan x + x = - (\tan x - x) = - f(x)\).

Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.

a) b) Tập xác định hàm số: \(D = \mathbb{R}\).

Với mọi \(x \in D\) thì \(x \pm 2\pi \in D\) và \(f(x + 2\pi ) = 2\cos (x + 2\pi ) + 1 = 2\cos x + 1 = f(x)\).

Vậy hàm số đã cho là hàm tuần hoàn.

c) d) Tập xác định hàm số: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\).

Với mọi \(x \in D\) thì \(x \pm 2\pi \in D\) và \(f(x + 2\pi ) = \sin (x + 2\pi ) + \tan (x + 2\pi ) = \sin x + \tan x = f(x)\).

Vậy hàm số đã cho là hàm tuần hoàn.

a) b) Xét \(y = f(x) = 3{\sin ^3}x\)

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\) suy ra \(\forall x \in D\) thì \( - x \in D\).

Ta có: \(f( - x) = 3{\sin ^3}( - x) = - 3{\sin ^3}x = - f(x)\).

Do đó hàm số đã cho là hàm số lẻ.

c) d) Xét \(y = f(x) = - 5\cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)\)

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\) suy ra \(\forall x \in D\) thì \( - x \in D\).

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( { - \frac{\pi }{{12}}} \right) = - 5\cos \left( { - \frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{3}} \right) = - 5\cos \left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{ - 5\sqrt 3 }}{2}}\\{f\left( {\frac{\pi }{{12}}} \right) = - 5\cos \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{3}} \right) = - 5\cos \left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( { - \frac{\pi }{{12}}} \right) \ne f\left( {\frac{\pi }{{12}}} \right)}\\{f\left( { - \frac{\pi }{{12}}} \right) \ne - f\left( {\frac{\pi }{{12}}} \right)}\end{array}} \right.} \right.\).

Do đó hàm số đã cho không chẵn, không lẻ.

a) Hàm số xác định

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2x + \frac{\pi }{6} \ne \frac{\pi }{2} + k\pi (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow 2x \ne \frac{{2\pi }}{3} + k\pi (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{3} + k\frac{\pi }{2}(k \in \mathbb{Z})\\ \Rightarrow D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{3} + k\frac{\pi }{2}\left| {k \in \mathbb{Z}} \right|} \right\}.\end{array}\)

b) Hàm số xác định \( \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{3} \ne k\pi (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow x \ne - \frac{\pi }{3} + k\pi (k \in \mathbb{Z})\)

Vậy \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{\pi }{3} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\].

c) Hàm số xác định \( \Leftrightarrow \sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi (k \in \mathbb{Z}) \Rightarrow D = \mathbb{R}\backslash \{ k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.\} \).

d) Hàm số xác định

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ c o s x \ne 0}\\{3x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi }\\{x \ne \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{3}}\end{array}(k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{3}(k \in \mathbb{Z})} \right.} \right.\)

Vậy \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{3}\left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\).

\(y = 5 + 4\sin 2x\cos 2x\).

Hàm số có tập xác định \(D = \mathbb{R}\).

Ta có \(y = 5 + 4\sin 2x\cos 2x = 5 + 2\sin 4x\).

Do \( - 1 \le \sin 4x \le 1 \Leftrightarrow - 2 \le 2\sin 4x \le 2 \Leftrightarrow 3 \le 5 + 2\sin 4x \le 7 \Leftrightarrow 3 \le y \le 7\).

Vậy giá trị của hàm số là \(T = [3;7]\).

\(y = f(x) = \tan x + 2\sin x\)

ТXÐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)

Ta có: \(\forall x \in D \Rightarrow - x \in D\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}{f( - x)}&{ = \tan ( - x) + 2\sin ( - x) = - \tan x - 2\sin x = - f(x)}\\ \Rightarrow &{f( - x) = - f(x),\forall x \in D}\end{array}\)

Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ trên \(D\).

\(y = f(x) = 2\cos \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) - 1\).

TXD: \(D = \mathbb{R}\).

Ta có: \( - 1 \le \cos \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) \le 1,\forall x \in \mathbb{R}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow - 2 \le 2\cos \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) \le 2,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow - 3 \le 2\cos \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) - 1 \le 1,\forall x \in \mathbb{R}\\{f_{{\rm{Max }}}}(x) = 1 \Leftrightarrow \cos \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) = 1 \Leftrightarrow x - \frac{\pi }{3} = k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\\{f_{{\rm{Min }}}}(x) = - 3 \Leftrightarrow \cos \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) = - 1 \Leftrightarrow x - \frac{\pi }{3} = \pi + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{{4\pi }}{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\end{array}\)

Ta có: \({\cos ^2} \ge 0 \Rightarrow - {\cos ^2} \le 0 \Leftrightarrow 1 - {\cos ^2} \le 1\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt {1 - {{\cos }^2}} \le 1 \Leftrightarrow - 3\sqrt {1 - {{\cos }^2}} \ge - 3 \Leftrightarrow 1 - 3\sqrt {1 - {{\cos }^2}} \ge - 2\\ \Leftrightarrow y \ge - 2.\end{array}\)

(Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow 1 - {\cos ^2}x = 1 \Leftrightarrow {\cos ^2}x = 0 \Leftrightarrow \frac{{1 + \cos 2x}}{2} = 0\)

\(\left. { \Leftrightarrow \cos 2x = - 1 \Leftrightarrow 2x = \pi + k2\pi ,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.} \right)\)

Vậy tại \(x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\) thì \(y\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \[ - 2\].

Ta có: \(h(x) = 4 + 4\sin \alpha \).

Khi \(M\) ở vị trí cao nhất so với mặt nước (tức là \(h(x) = 8\) ) thì \(\sin \alpha = 1 \Rightarrow \alpha = \frac{\pi }{2}\) (vì chỉ xét 1 vòng quay đầu tiên).

Thời gian thực hiện của guồng nước là: \(t = \frac{{\frac{\pi }{2} \cdot 40}}{{2\pi }} = 10\) (giây).

Do \(\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}(t - 80)} \right] \ge - 1 \Rightarrow 3 \cdot \sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}(t - 80)} \right] \ge - 3\)

\( \Rightarrow 3 \cdot \sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}(t - 80)} \right] + 12 \ge 9 \Rightarrow d(t) \ge 9\).

Vậy thành phố \(T\) có ít giờ có ánh sáng mặt trời nhất khi và chỉ khi:

\(\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}(t - 80)} \right] = - 1 \Leftrightarrow \frac{\pi }{{182}}(t - 80) = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \)

\( \Leftrightarrow t - 80 = 182\left( { - \frac{1}{2} + 2k} \right) \Leftrightarrow t = 364k - 11,k \in \mathbb{Z}\).

Mặt khác: \(0 \le 364k - 11 \le 365 \Leftrightarrow \frac{{11}}{{364}} \le k \le \frac{{376}}{{364}} \Leftrightarrow k = 1(\)do \(k \in \mathbb{Z})\)

\( \Rightarrow t = 364 - 11 = 353\)

Vậy thành phố \(T\) có ít giờ ánh sáng Mặt Trời nhất là 9 giờ khi \(t = 353\), tức là vào ngày thứ 353 trong năm.