Đề kiểm tra Hàm số lượng giác (có lời giải) - Đề 3
12 câu hỏi
Trên khoảng nào sau đây thì hàm số \(y = \cos x\) đồng biến?
\(\left( { - \pi ;0} \right)\).
\(\left( { - \frac{{3\pi }}{2}; - \frac{\pi }{2}} \right)\).
\(\left( {0;\pi } \right)\).
\(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\).
Chọn A
Tập giá trị của hàm số \(y = 4\sin x\) là
\(\left[ { - 1;1} \right]\).
\(\left[ { - 2;2} \right]\).
\(\left[ { - 6;6} \right]\).
\(\left[ { - 4;4} \right]\).
Chọn D
Ta có \( - 1 \le \sin x \le 1,\;\;\forall x \in \mathbb{R}\)
\( \Leftrightarrow \quad - 4 \le y \le 4,\;\;\forall x \in \mathbb{R}\)
Vậy tập giá trị của hàm số \(y = 4\sin x\) là \(\left[ { - 4;4} \right]\).
Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án \(A,\;B,\;C,\;D\).
Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
\(y = \sin \frac{x}{2}\).
\(y = \cos \frac{x}{2}\).
\(y = - \cos \frac{x}{4}\).
\(y = \sin \left( { - \frac{x}{2}} \right)\).
Chọn D
ĐTHS đi qua điểm \(\left( {\pi ; - 1} \right)\) nên ta chọn đáp án D.
Tìm được tập xác định của hàm số. Khi đó:
a) Hàm số \(y = \cot \left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right)\) xác định khi \(x \ne \frac{\pi }{{12}} + \frac{{k\pi }}{3}(k \in \mathbb{Z})\)
b) Hàm số \(y = \sqrt {\sin x - 1} \) có tập xác định là \(D = \mathbb{R}\)
c) Hàm số \(y = \frac{{\sin x}}{{2 - \cos x}}\) có tập xác định là \(D = \mathbb{R}\)
d) Hàm số \(y = \tan 2x + \cot 2x\) xác định khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\cos 2x \ne 0}\\{\sin 2x \ne 0}\end{array}} \right.\)
a) Hàm số xác định \( \Leftrightarrow 3x - \frac{\pi }{4} \ne k\pi (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{{12}} + \frac{{k\pi }}{3}(k \in \mathbb{Z})\).
Vậy tập xác định của hàm số: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{{12}} + \frac{{k\pi }}{3}\mid \,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
b) Hàm số xác định \( \Leftrightarrow \sin x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow \sin x \ge 1 \Leftrightarrow \sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})\).
Vậy tập xác định của hàm số: \(D = \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi \mid \,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
c) Hàm số xác định \( \Leftrightarrow 2 - \cos x \ne 0 \Leftrightarrow \cos x \ne 2\) (đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\)).
Vậy tập xác định của hàm số: \(D = \mathbb{R}\).
d) Hàm số xác định \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\cos 2x \ne 0}\\{\sin 2x \ne 0}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi }\\{2x \ne l\pi }\end{array}(k,l \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ne \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}}\\{x \ne l\frac{\pi }{2}}\end{array}(k,l \in \mathbb{Z}).} \right.} \right.\)
Vậy tập xác định của hàm số: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2};l\frac{\pi }{2}\mid \,k,l \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Cho hàm số \(y = 3 - \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)\), khi đó:
a) Hàm số có tập xác định \(D = \mathbb{R}\).
b) Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 2
c) Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 4
d) Tập giá trị của hàm số là \(T = [2;4]\)
a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Đúng |
\(y = 3 - \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)\)
Ta có: hàm số có tập xác định \(D = \mathbb{R}\).
\( - 1 \le \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) \le 1 \Leftrightarrow 1 \ge - \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) \ge - 1 \Leftrightarrow 4 \ge 3 - \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) \ge 2 \Leftrightarrow 4 \ge y \ge 2\)
Vậy giá trị của hàm số là \(T = [2;4]\).
Chiều cao so với mực nước biển trung bình tại thời điểm \(t\) (giây) của mỗi cơn sóng được cho bởi hàm số \(h(t) = 75\sin \left( {\frac{{\pi t}}{8}} \right)\), trong đó \(h(t)\) được tính bằng centimét.
a) Chiều cao của sóng tại các thời điểm 5 giây bằng \(69,3(\;cm)\)
b) Chiều cao của sóng tại các thời điểm 20 giây bằng \(75(\;cm)\)
c) Trong 30 giây đầu tiên (kể từ mốc \(t = 0\) giây), thời điểm để sóng đạt chiều cao lớn nhất 6 giây
d) Trong 30 giây đầu tiên (kể từ mốc \(t = 0\) giây), thời điểm để sóng đạt chiều cao lớn nhất 18 giây
(Tất cả kết quả được làm tròn đến hàng phần mười)
a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Sai |
a) Khi \(t = 5\), ta có: \(h(5) = 75\sin \left( {\frac{{\pi .5}}{8}} \right) \approx 69,3(\;cm)\).
b) Khi \(t = 20\), ta có: \(h(20) = 75\sin \left( {\frac{{\pi \cdot 20}}{8}} \right) = 75(\;cm)\).
c) d) Ta có: \(\sin \left( {\frac{{\pi t}}{8}} \right) \le 1 \Rightarrow 75\sin \left( {\frac{{\pi t}}{8}} \right) \le 75\) hay \(h(t) \le 75\).
Giá trị lớn nhất của \(h(t)\) là 75, khi đó \(\sin \left( {\frac{{\pi t}}{8}} \right) = 1 \Rightarrow \frac{{\pi t}}{8} = \frac{\pi }{2} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})\) \( \Rightarrow t = 4 + 16k(k \in \mathbb{Z})\). Vì \(t \in [0;30] \Rightarrow t \in \{ 4;20\} \) (ứng với \(k\) bằng 0 và 1).
Vậy tại các thời điểm 4 giây hoặc 20 giây (trong 30 giây đầu tiên) thì cơn sóng đạt chiều cao cực đại (là \(75\;cm\)).
Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Tìm chu kỳ của hàm số \(y = \sin 3x + 3\cos 2x\).
Ta có hàm số \(y = \sin 3x\) có chu kỳ \({T_1} = \frac{{2\pi }}{3}\)và hàm số \(y = \cos 2x\) có chu kỳ \({T_2} = \pi \)
\[ \Rightarrow \] chu kỳ \(T\)của hàm số \(y = \sin 3x + 3\cos 2x\)là bội chung nhỏ nhất của \({T_1} = \frac{{2\pi }}{3}\)và \({T_2} = \pi \)
\( \Rightarrow \)\(T = 2\pi \).
Xét tính chẵn, lẻ của hàm số \(g(x) = \frac{1}{x}\).
Biểu thức \(\frac{1}{x}\) có nghĩa khi \(x \ne 0\).
Suy ra tập xác định của hàm số \(g(x) = \frac{1}{x}\) là \(D = \mathbb{R}\backslash \{ 0\} \).
Do đó, nếu \(x\) thuộc tập xác định \(D\) thì \[ - {\rm{ }}x\] cũng thuộc tập xác định \(D\).
Ta có: \(g( - x) = \frac{1}{{ - x}} = - \frac{1}{x} = - g(x),\forall x \in D\).
Vậy \(g(x) = \frac{1}{x}\) là hàm số lẻ.
Tìm tập giá trị của hàm số: \(y = \sin x + \sqrt 3 \cos x + 3\);
\(y = \sin x + \sqrt 3 \cos x + 3\)
Ta có \(y = \sin x + \sqrt 3 \cos x + 3 = 2\left( {\frac{1}{2}\sin x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x} \right) + 3 = 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) + 3\).
Do \( - 1 \le \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) \le 1 \Leftrightarrow - 2 \le 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) \le 2 \Leftrightarrow 1 \le 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) + 3 \le 5 \Leftrightarrow 1 \le y \le 5\)
Vậy giá trị của hàm số là \(T = [1;5]\).
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số: \(y = 2 + 2\cos x + {\cos ^2}x\)
\(y = f(x) = 2 + 2\cos x + {\cos ^2}x = {(\cos x + 1)^2} + 1\)
Vì \( - 1 \le \cos x \le 1,\forall x \in \mathbb{R}\)
Nên \(0 \le 1 + \cos x \le 2,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow 1 \le {(1 + \cos x)^2} + 1 \le 3,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow 1 \le f(x) \le 3,\forall x \in \mathbb{R}\)
\(\begin{array}{l}{f_{{\rm{Min }}}}(x) = 1 \Leftrightarrow \cos x = - 1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\\{f_{{\rm{Max }}}}(x) = 3 \Leftrightarrow \cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\end{array}\)
Trong Hinh 13, một chiếc máy bay \(A\) bay ờ độ cao \(500{\rm{\;m}}\) theo một đường thẳng đi ngang qua phía trên trạm quan sát \(T\) ở mặt đất. Hinh chiếu vuông góc của \(A\) lên mặt đất là \(H,\alpha \) là góc lượng giác \(\left( {Tx,TA} \right)(0 < \alpha < \pi )\).
Biểu diễn tọa độ \({x_H}\) của điềm \(H\) trên trục \(Tx\) theo \(\alpha \).và dựa vào đồ thị hàm số côtang, hãy cho biết với \(\frac{\pi }{6} < \alpha < \frac{{2\pi }}{3}\) thì \({x_H}\) nằm trong khoảng nào.
\({x_H} = 500 \cdot {\rm{cot}}\alpha \)
Với \(\frac{\pi }{6} < \alpha < \frac{{2\pi }}{3}\) thì \(\frac{{ - \sqrt 3 }}{3} < {\rm{cot}}\alpha < \sqrt 3 \)
Vậy \({x_H} \in \left\{ { - 288,7;866} \right\}\).
Khoảng cách từ tâm một guồng nước đến mặt nước và bán kính của guồng đều bằng \(3{\rm{\;m}}\). Xét gàu \(G\) của guồng. Ban đầu gàu \(G\) nằm ở vị trí \(A\) (Hinh 12\()\).
a) Viết hàm số \(h\) biểu diễn chiều cao (tính bằng mét) của gàu \(G\) so với mặt nước theo góc \(\alpha = \left( {OA,OG} \right)\).
b) Guồng nước quay hết mỗi vòng trong 30 giây. Dựa vào đồ thị của hàm số \(\sin \), hãy cho biết ở các thời điềm \(t\) nào trong 1 phút đầu, khoảng cách của gàu đến mặt nước bằng \(1,5{\rm{\;m}}\).
a) \(h = 3 + 3.{\rm{sin}}\alpha \)
b) Trong 1 phút đầu, guồng nước quay được 2 vòng. Ta có \(0 \le \alpha \le 4\pi \)
Khi \({\rm{h}} = 1,5\). Suy ra \({\rm{sin}}\alpha = \frac{{ - 1}}{2}\).
Khi đó, \(\alpha = \frac{{7\pi }}{6};\alpha = \frac{{11\pi }}{6};\alpha = \frac{{19\pi }}{6}\) hoặc \(\alpha = \frac{{23\pi }}{6}\).
