10 Bài tập Bài toán thực tiễn liên quan đến hàm số lượng giác (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Mực nước của con kênh cao nhất khi h đạt giá trị lớn nhất

$\iff \cos \left(\frac{\pi t}{8}+\frac{\pi }{4}\right)=1\iff \frac{\pi t}{8}+\frac{\pi }{4}=k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)\iff t=16k-2\left(k\in \mathbb{Z}\right)$ (1).

Mặt khác 0 ≤ t ≤ 24, kết hợp với (1) ta được: $\frac{1}{8}\le k\le \frac{13}{8},k\in \mathbb{Z}$. Do đó k = 1.

Với k = 1 thì t = 14 (giờ).

Vậy mực nước của con kênh cao nhất khi t = 14 giờ.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Hai vị trí O và A là hai vị trí chân cầu, tại hai vị trí này thì y = 0.

Ta có y = 0 $\iff 4,8\sin \frac{x}{9}=0\iff \sin \frac{x}{9}=0\iff \frac{x}{9}=k\pi$ (k ∈ ℤ).

Suy ra x = 9kπ, k ∈ ℤ.

Quan sát đồ thị ta thấy, đồ thị hàm số $y=4,8\sin \frac{x}{9}$ cắt trục hoành tại điểm O và A liên tiếp nhau với x ≥ 0.

Xét k = 0, ta có x₁ = 0;

Xét k = 1, ta có x₂ = 9π.

Mà x₁ = 0 nên đây là hoành độ của O, do đó x₂ = 9π là hoành độ của điểm A.

Khi đó OA = 9π ≈ 28,3.

Vậy chiều rộng của con sông xấp xỉ 28,3 m.

Đáp án đúng là: C

Vì điểm nằm cách xích đạo không quá 20 cm trên bản đồ nên ta có –20 ≤ y ≤ 20.

Khi đó \( - 20 \le 20\tan \left( {\frac{\pi }{{180}}\varphi } \right) \le 20\) hay \( - 1 \le \tan \left( {\frac{\pi }{{180}}\varphi } \right) \le 1\).

Ta có –90 ≤ φ ≤ 90 khi và chỉ khi \( - \frac{\pi }{2} < \frac{\pi }{{180}}\varphi < \frac{\pi }{2}\).

Xét đồ thị hàm số y = tanx trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) (hình vẽ). Ta thấy \( - 1 \le \tan \left( {\frac{\pi }{{180}}\varphi } \right) \le 1\) khi và chỉ khi \( - \frac{\pi }{4} < \frac{\pi }{{180}}\varphi < \frac{\pi }{4}\) hay –45 ≤ φ ≤ 45.

Vậy trên bản đồ, các điểm cách xích đạo không quá 20 cm nằm ở vĩ độ từ –45° đến 45°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có đồ thị hàm số v_x = 0,3sinα

Theo đồ thị, với góc $\alpha \in \left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$ hoặc $\alpha \in \left(\pi ;\frac{3\pi }{2}\right)$ thì v_x giảm (đồ thị hàm số đi xuống từ trái qua phải).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Điểm G là điểm biểu diễn cho góc lượng giác có số đo α. Bán kính của guồng là 3 m.

Khi đó tọa độ điểm G là (3cosα; 3sinα).

Do OB = 3 m nên chiều cao của gàu đến mặt nước là: h = 3 + 3sinα.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác AHT vuông tại H có:

$\cot \alpha =\frac{TH}{AH}\iff TH=AH\cdot \cot \alpha =500\cdot \cot \alpha$

Vậy trên trục Tx, tọa độ x_H = 500cotα.        

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Độ dài bóng của tòa nhà bằng chiều cao của tòa nhà khi: S(t) = 40

$\iff 40\left|\cot \frac{\pi }{12}t\right|=40\iff \cot \frac{\pi }{12}t=\pm 1$.

Do đó: $\frac{\pi }{12}t=\pm \frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Suy ra: t = ±3 + 12k, k ∈ ℤ.

Vì 0 ≤ t ≤ 12. Do đó, t = 3 hoặc t = 9.

Vì t là số giờ tính từ 6 giờ sáng, do vậy tại thời điểm 9 giờ sáng (6 + 3 = 9) và 15 giờ chiều (6 + 9 = 15) thì bóng của tòa nhà dài bằng chiều cao của tòa nhà.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Mặt cắt của thanh xà gồ là hình chữ nhật có hai kích thước là

AB = 30cos θ (cm) và AD = 30sin θ (cm).

Vậy diện tích mặt cắt là

S = AB ∙ AD = 30cosθ ∙ 30sinθ = 450 ∙ 2sinθ cosθ = 450sin2θ (cm²).