10 Bài tập Tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số (có lời giải)
10 câu hỏi
Hàm số nào sau đây có tập giá trị là ℝ?
y = sin x;
y = tan2x;
y = cos2x;
y = – sin2x.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Trong các đáp án chỉ có hàm số y = tan2x có tập giá trị là ℝ, các hàm số còn lại đều có tập giá trị là [– 1; 1].
Tập giá trị của hàm số y = 2cosx là
T = [–2; 2];
T = [–1; 1];
T = ℝ;
T = (–1; 1).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
∀x ∈ ℝ ta có: –1 ≤ cosx ≤ 1 ⇔ –2 ≤ 2cosx ≤ 2.
Vậy maxℝy=2đạt được khi cosx = 1 ⇔ x = k2π, k ∈ ℤ.
minℝy=−2 đạt được khi cosx = –1 ⇔ x = π + k2π, k ∈ ℤ.
Do đó, tập giá trị của hàm số y = 2cosx là T = [–2; 2].
Xét bốn mệnh đề sau:
i) Trên ℝ, hàm số y = cosx có tập giá trị là [–1; 1].
ii) Trên 0;π2, hàm số y = cosx có tập giá trị là [0; 1].
iii) Trên 0;3π4, hàm số y = cosx có tập giá trị là 0;22.
iv) Trên 0;π2, hàm số y = cosx có tập giá trị là [0; 1).
Số phát biểu đúng là
1;
2;
3;
4.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
![Xét bốn mệnh đề sau: i) Trên ℝ, hàm số y = cosx có tập giá trị là [–1; 1]. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2023/12/blobid0-1701446642.png)
Quan sát đồ thị hàm số y = cos x, ta thấy các mệnh đề i), ii) và iv) đúng.
Trên 0;3π4, hàm số y = cosx có tập giá trị là −22;1. Vậy iii) sai.
Do đó, có 3 phát biểu đúng.
Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=1+sinx−3. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
M=3−2,m=−2;
M=3+2,m=3;
M=3+2,m=2;
M=2−3,m=−3.
Tập giá trị T của hàm số y = 4cos22x + 3 là
T = [3; 7];
T = [0; 7];
T = ℝ;
T = [0; 3].
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
∀x ∈ ℝ ta có: 0 ≤ cos22x ≤ 1 ⇔ 0 ≤ 4cos22x ≤ 4 ⇔ 3 ≤ 4cos22x + 3 ≤ 7 ⇔ 3 ≤ y ≤ 7.
Suy ra: maxℝy=7 đạt được khi cos22x = 1 ⇔sin2x=0⇔x=kπ2,k∈ℤ.
minℝy=3 đạt được khi cos2x = 0 ⇔x=π4+kπ2,k∈ℤ.
Vậy tập giá trị của hàm số đã cho là T = [3; 7].
Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2cosx + 3 trên 0;π3. Giá trị biểu thức M ∙ m bằng
–3;
5;
6;
20.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
∀x∈0;π3 ta có: 12≤cosx≤1⇔ 1 ≤ 2cosx ≤ 2 ⇔ 4 ≤ 2cosx + 3 ≤ 5.
Suy ra: max0;π3y=5 đạt được khi cosx = 1 ⇔ x = 0.
min0;π3y=4 đạt được khi cosx=12⇔x=π3.
Vậy M = 5, m = 4, do đó, M ∙ m = 20.
Xét bốn mệnh đề sau:
i) Trên ℝ, hàm số y = sinx có tập giá trị là [–1; 1].
ii) Trên 0;π2, hàm số y = sinx có tập giá trị là [–1; 1].
iii) Trên 0;π2, hàm số y =sinx có tập giá trị là [0; 1].
iv) Trên 0;π2, hàm số y = sinx có tập giá trị là (0; 1].
Số phát biểu đúng là
1;
2;
3;
4.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
![Xét bốn mệnh đề sau: i) Trên ℝ, hàm số y = sinx có tập giá trị là [–1; 1]. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2023/12/blobid2-1701447179.png)
Quan sát đồ thị hàm số y = sinx, ta thấy các mệnh đề i), iii) đúng.
Trên 0;π2, hàm số y = sinx có tập giá trị là (0; 1]. Vậy ii) Sai.
Trên 0;π2, hàm số y = sinx có tập giá trị là [0; 1). Vậy iv) sai.
Do đó, có 2 phát biểu đúng.
Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số y = sinx + cosx, một học sinh giải theo các bước sau:
Bước 1: Tập xác định: D = ℝ.
Bước 2: ∀x∈ℝ ta có: −1≤sinx≤1−1≤cosx≤1⇒−2≤sinx+cosx≤2.
Bước 3: Vậy GTLN của hàm số bằng 2, GTNN của hàm số bằng –2.
Bài giải của bạn đó đã đúng chưa? Và nếu sai thì sai bắt đầu từ bước nào?
Bài giải đúng;
Sai từ bước 1;
Sai từ bước 2;
Sai từ bước 3.
Hàm số y = (3 – 5sinx)2022 có giá trị lớn nhất là M và giá trị nhỏ nhất là m. Giá trị của M + m bằng
22022;
24044;
22022(1 + 24044);
26066.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
∀x ∈ ℝ ta có: –1 ≤ sinx ≤ 1 ⇔ –5 ≤ –5sinx ≤ 5 ⇔ –2 ≤ 3 – 5sinx ≤ 8.
Suy ra: 0 ≤ (3 – 5sinx)2022 ≤ 82022.
Do đó: M = 82022, m = 0.
Vậy M + m = 82022 = (23)2022 = 26066.
Hàm số y = 5 + 4sin2xcos2x có số giá trị nguyên là
3;
4;
5;
6.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Ta có: y = 5 + 4sin2xcos2x = 5 + 2sin4x.
Mà ∀x ∈ ℝ: –1 ≤ sin4x ≤ 1 ⇔ –2 ≤ 2sin4x ≤ 2 ⇔ 3 ≤ 5 + 2sin4x ≤ 7.
Vậy 3 ≤ y ≤ 7, mà y ∈ ℤ, do đó y ∈ {3; 4; 5; 6; 7}.
Vậy y có 5 giá trị nguyên.
