10 Bài tập Tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Trong các đáp án chỉ có hàm số y = tan2x có tập giá trị là ℝ, các hàm số còn lại đều có tập giá trị là [– 1; 1].

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

∀x ∈ ℝ ta có: –1 ≤ cosx ≤ 1 $\iff$ –2 ≤ 2cosx ≤ 2.

Vậy $\underset{ℝ}{\max }y=2$đạt được khi cosx = 1 ⇔ x = k2π, k ∈ ℤ.

$\underset{ℝ}{\min }y=-2$ đạt được khi cosx = –1 ⇔ x = π + k2π, k ∈ ℤ.

Do đó, tập giá trị của hàm số y = 2cosx là T = [–2; 2].

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Quan sát đồ thị hàm số y = cos x, ta thấy các mệnh đề i), ii) và iv) đúng.

Trên $\left[0;\frac{3\pi }{4}\right]$, hàm số y = cosx có tập giá trị là $\left[-\frac{\sqrt{2}}{2};1\right]$. Vậy iii) sai.

Do đó, có 3 phát biểu đúng.

Đáp án đúng là: D

∀x ∈ ℝ ta có: –1 ≤ sinx ≤ 1 ⇔ 0 ≤ sinx + 1 ≤ 2 \( \Leftrightarrow 0 \le \sqrt {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + 1} \le \sqrt 2 \)

\( \Leftrightarrow - 3 \le \sqrt {\sin x + 1} - 3 \le \sqrt 2 - 3\).

Suy ra: \(\mathop {\max }\limits_\mathbb{R} y = \sqrt 2 - 3\) đạt được khi sinx = 1 \( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

\(\mathop {\min }\limits_\mathbb{R} y = - 3\) đạt được khi sinx = –1 \[ \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\].

Vậy \(M = \sqrt 2 - 3,m = - 3\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

∀x ∈ ℝ ta có: 0 ≤ cos²2x ≤ 1 ⇔ 0 ≤ 4cos²2x ≤ 4 ⇔ 3 ≤ 4cos²2x + 3 ≤ 7 ⇔ 3 ≤ y ≤ 7.

Suy ra: $\underset{ℝ}{\max }y=7$ đạt được khi cos²2x = 1 $\iff \sin 2x=0\iff x=\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$.

$\underset{ℝ}{\min }y=3$ đạt được khi cos2x = 0 $\iff x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$.

Vậy tập giá trị của hàm số đã cho là T = [3; 7].

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

$\forall x\in \left[0;\frac{\pi }{3}\right]$ ta có: $\frac{1}{2}\le \cos x\le 1\iff$ 1 ≤ 2cosx ≤ 2 ⇔ 4 ≤ 2cosx + 3 ≤ 5.

Suy ra: $\underset{\left[0;\frac{\pi }{3}\right]}{\max }y=5$ đạt được khi cosx = 1 ⇔ x = 0.

$\underset{\left[0;\frac{\pi }{3}\right]}{\min }y=4$ đạt được khi $\cos x=\frac{1}{2}\iff x=\frac{\pi }{3}$.

Vậy M = 5, m = 4, do đó, M ∙ m = 20.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Quan sát đồ thị hàm số y = sinx, ta thấy các mệnh đề i), iii) đúng.

Trên $\left(0;\frac{\pi }{2}\right]$, hàm số y = sinx có tập giá trị là (0; 1]. Vậy ii) Sai.

Trên $\left[0;\frac{\pi }{2}\right)$, hàm số y = sinx có tập giá trị là [0; 1). Vậy iv) sai.

Do đó, có 2 phát biểu đúng.

Đáp án đúng là: D

Bài giải sai từ bước 3 vì không tồn tại x ∈ ℝ thỏa mãn sinx + cosx = 2, sinx + cosx = –2 do các hệ \(\left\{ \begin{array}{l}\sin x = 1\\\cos x = 1\end{array} \right.\) và \(\left\{ \begin{array}{l}\sin x = - 1\\\cos x = - 1\end{array} \right.\) vô nghiệm.

Lời giải đúng:

Ta có: \(y = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\).

∀x ∈ ℝ: \( - 1 \le \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \le 1 \Leftrightarrow - \sqrt 2 \le \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \le \sqrt 2 \).

Vậy \(\mathop {\max }\limits_\mathbb{R} y = \sqrt 2 \) đạt được khi \(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1 \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

\(\mathop {\min }\limits_\mathbb{R} y = - \sqrt 2 \)đạt được khi \(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = - 1 \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = - \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

∀x ∈ ℝ ta có: –1 ≤ sinx ≤ 1 ⇔ –5 ≤ –5sinx ≤ 5 ⇔ –2 ≤ 3 – 5sinx ≤ 8.

Suy ra: 0 ≤ (3 – 5sinx)²⁰²² ≤ 8²⁰²².

Do đó: M = 8²⁰²², m = 0.

Vậy M + m = 8²⁰²² = (2³)²⁰²² = 2⁶⁰⁶⁶.