Đề kiểm tra Hai mặt phẳng song song lớp 11 (có lời giải) - Đề 1
22 câu hỏi
Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi, thí sinh chỉ chọn 1 phương án.
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Mệnh đề nào sau đây sai?
\(\left( {BA'C'} \right)//\left( {ACD'} \right)\).
\(\left( {ADD'A'} \right)//\left( {BCC'B'} \right)\).
\(\left( {BA'D} \right)//\left( {CB'D'} \right)\).
\(\left( {ABA'} \right)//\left( {CB'D'} \right)\).
Chọn D
Ta có
\(\left\{ \begin{array}{l}BA'//CD'\\A'C'//AC\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left( {BA'C'} \right)//\left( {ACD'} \right)\)
\(\left\{ \begin{array}{l}AD//BC\\AA'//BB'\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left( {ADD'A'} \right)//\left( {BCC'B'} \right)\)
\(\left\{ \begin{array}{l}BD//B'D'\\A'D//B'C\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left( {BA'D} \right)//\left( {CB'D'} \right)\)
Mặt khác \(B' \in \left( {ABA'} \right) \cap \left( {CB'D'} \right) \Rightarrow \)D sai.
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Mặt phẳng \(\left( {AB'D'} \right)\) song song với mặt phẳng nào sau đây?
\(\left( {BA'C'} \right)\).
\(\left( {C'BD} \right)\).
\(\left( {BDA'} \right)\).
\(\left( {ACD'} \right)\).
Chọn B
Ta có \(B'D'{\rm{//}}BD\); \(AD'{\rm{//}}C'B\) \( \Rightarrow \left( {AB'D'} \right){\rm{//}}\left( {C'BD} \right)\).
Cho hai hình bình hành \(ABCD\) và \(ABEF\) có tâm lần lượt là \(O\) và \(O'\), không cùng nằmtrong một mặt phẳng. Gọi \(M\) là trung điểm \(AB\), xét các khẳng định \(\left( I \right):\,\left( {ADF} \right){\rm{//}}\left( {BCE} \right)\);\(\left( {II} \right):\,\left( {MOO'} \right){\rm{//}}\left( {ADF} \right)\);\(\left( {III} \right):\,\left( {MOO'} \right){\rm{//}}\left( {BCE} \right)\); \(\left( {IV} \right):\,\left( {ACE} \right){\rm{//}}\left( {BDF} \right)\)Những khẳng định nào đúng?
\(\left( I \right)\).
\(\left( I \right),\left( {II} \right)\).
\(\left( I \right),\,\left( {II} \right),\,\left( {III} \right)\).
\(\left( I \right),\,\left( {II} \right),\,\left( {III} \right),\,\left( {IV} \right)\).
Chọn C
Xét hai mặt phẳng \(\left( {ADF} \right)\) và \(\left( {BCE} \right)\) có : \(\left\{ \begin{array}{l}AD{\rm{//}}BC\\AF{\rm{//}}BE\end{array} \right.\) nên \(\left( I \right):\,\left( {ADF} \right){\rm{//}}\left( {BCE} \right)\) là đúng.
Xét hai mặt phẳng \(\left( {ADF} \right)\) và \(\left( {MOO'} \right)\) có : \(\left\{ \begin{array}{l}AD{\rm{//}}MO\\AF{\rm{//}}MO'\end{array} \right.\) nên \(\left( {II} \right):\,\left( {MOO'} \right){\rm{//}}\left( {ADF} \right)\)là đúng.
Vì \(\left( I \right):\,\left( {ADF} \right){\rm{//}}\left( {BCE} \right)\) đúng và \(\left( {II} \right):\,\left( {MOO'} \right){\rm{//}}\left( {ADF} \right)\) đúng nên theo tính chất bắc cầu ta có \(\left( {III} \right):\,\left( {MOO'} \right){\rm{//}}\left( {BCE} \right)\)đúng.
Xét mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) có \(AC \cap BD = O\) nên hai mặt phẳng \(\left( {ACE} \right)\) và \(\left( {BDF} \right)\) có điểm \(O\) chung vì vậy không song song nên \(\left( {IV} \right):\,\left( {ACE} \right){\rm{//}}\left( {BDF} \right)\) sai.
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
\(\left( {ABCD} \right)\;{\rm{//}}\;\left( {A'B'C'D'} \right)\).
\(\left( {AA'D'} \right)\;{\rm{//}}\;\left( {BCC'} \right)\).
\(\left( {BDD'} \right)\;{\rm{//}}\;\left( {ACC'} \right)\).
\(\left( {ABB'} \right)\;{\rm{//}}\;\left( {CDC'} \right)\).
Chọn C
![C sai vì hai mặt phẳng này có điểm chung là \[O\]với \(O = AC \cap BD\). (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/4-1759693438.png)
A đúng vì hai mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\)và \(\left( {A'B'C'D'} \right)\)là hai mặt đáy của hình hộp nên song song.
B đúng vì hai mặt phẳng \(\left( {AA'D'} \right)\)và \(\left( {BCC'} \right)\)là hai mặt đối của hình hộp nên song song.
D đúng vì hai mặt phẳng \(\left( {ABB'} \right)\)và \(\left( {CDC'} \right)\)là hai mặt đối của hình hộp nên song song.
C sai vì hai mặt phẳng này có điểm chung là \[O\]với \(O = AC \cap BD\).
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C'. Gọi \(I\),\(J\),\(K\) lần lượt là trọng tâm các tam giác \(ABC\), \(A'B'C'\),\(ACC'\). Mặt phẳng nào sau đây song song với \(\left( {IJK} \right)\).
\[\left( {ABB'} \right)\].
\[\left( {ACC'} \right)\].
\(\left( {BB'C'} \right)\).
\[\left( {ABC'} \right)\].
Chọn C
Gọi \(M\), \(N\), \(P\) lần lượt là trung điểm \(BC\),\(B'C'\)và \(CC'\).
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}IJ//MN\\IJ \not\subset \left( {BB'C} \right)\\MN \subset \left( {BB'C} \right)\end{array} \right.\] nên \(IJ//\left( {BB'C'} \right)\).
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}JK//NP\\JK \not\subset \left( {BB'C} \right)\\NP \subset \left( {BB'C} \right)\end{array} \right.\] nên \(JK//\left( {BB'C'} \right)\).
Từ đó suy ra \(\left( {IJK} \right)//\left( {BB'C'} \right)\).
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình bình hành, mặt bên \[SBC\] là tam giác đều. Gọi \[M\] là điểm di động trên đoạn thẳng \[AB\], \[M \ne A;\,M \ne B\]. Qua \[M\] dựng mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] song song với mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\]. Thiết diện tạo với mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] và chóp \[S.ABCD\] là hình gì?
Hình thang cân.
Hình thang vuông.
Hình tam giác.
Hình bình hành.
Chọn A
![Vậy \[MNPQ\] là hình thang cân. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/5-1759693522.png)
Ta có \[\left. \begin{array}{l}\left( \alpha \right){\rm{//}}\left( {SBC} \right)\\\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BC\\\left( \alpha \right) \cap \left( {ABCD} \right) = \left\{ M \right\}\end{array} \right\} \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( {ABCD} \right) = MN;MN{\rm{//}}BC\].
Tương tự \[\left( \alpha \right) \cap \left( {SAB} \right) = MQ;MQ{\rm{//}}SB\]; \[\left( \alpha \right) \cap \left( {SDC} \right) = NP;NP{\rm{//}}SC\];
\[\left( \alpha \right) \cap \left( {SAD} \right) = PQ;PQ{\rm{//}}AD{\rm{//}}BC\].
Thiết diện taọ thành là hình thang \[MNPQ\] do \[SBC\] là tam giác đều nên \[MQ = NP\].
Vậy \[MNPQ\] là hình thang cân.
Cho tứ diện đều \[ABCD\]. Gọi \[I\] là trung điểm đoạn \[CD\], \[M\] là điểm nằm trên đoạn \[BC\] (\[M\] khác \[B\] và \[C\]), \[\left( \alpha \right)\] là mặt phẳng qua \[M\] và song song với mặt phẳng \[\left( {ABI} \right)\]. Khi đó thiết diện của tứ diện \[ABCD\] khi cắt bởi \[\left( \alpha \right)\] là
Một tam giác vuông cân.
Một tam giác đều.
Một hình bình hành.
Một tam giác cân.
Chọn D
![Do\[ABCD\] là tứ diện đều nên tam giác \[ABI\] cân tại \[I\] cân tại \[N\] (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/6-1759693569.png)
\[\left( {ABI} \right) \cap \left( {BCD} \right) = BI\], \[\left( \alpha \right)\] và \[\left( {BCD} \right)\] có điểm \[M\] chung. Vậy giao tuyến của \[\left( \alpha \right)\] và \[\left( {BCD} \right)\] là đường thẳng qua \[M\] song song với \[IB\], giả sử cắt \[CD\] tại \[N\].
Lập luận tương tự ta được \[NP//AI\], \[P \in {\rm{A}}C\]; \[PM//AB\].
Do\[ABCD\] là tứ diện đều nên tam giác \[ABI\] cân tại \[I\] cân tại \[N\]
Cho hình chóp \[S.ABCD\]đáy là hình thang, \[AB//CD,\]\(AB = a;\)\(CD = 2a\), gọi \[I\]là giao điểm của \[AC\]và \[BD.\]Qua \[I\]kẻ đường thẳng song song \[CD\]cắt \[BC\]tại \[M.\]Trên cạnh \[SC\]lấy điểm \[N\]sao cho \(CN = 2NS\)(tham khảo hình vẽ).
Khẳng định nào sau đây đúng?
\(\left( {IMN} \right)\,{\rm{//}}\,\left( {SAB} \right)\).
\(\left( {IMN} \right)\,{\rm{//}}\,\left( {SAD} \right)\).
\(\left( {IMN} \right)\,{\rm{//}}\,\left( {SAC} \right)\).
\(\left( {IMN} \right)\,{\rm{//}}\,\left( {SBD} \right)\).
Chọn A
Ta có: \(IM\,{\rm{//}}\,CD \Rightarrow IM\,{\rm{//}}\,AB \Rightarrow IM\,{\rm{//}}\,\left( {SAB} \right)\left( 1 \right)\).
Trong \(\left( {ABCD} \right):\frac{{IA}}{{IC}} = \frac{{AB}}{{CD}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{IC}}{{AC}} = \frac{2}{3} = \frac{{CM}}{{CB}}\).
Mà \(\frac{{CN}}{{CS}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{CN}}{{CS}} = \frac{{CM}}{{CB}} \Rightarrow MN\,{\rm{//}}\,SB \Rightarrow MN\,{\rm{//}}\,\left( {SAB} \right)\left( 2 \right)\).
Từ \(\left( 1 \right);\left( 2 \right) \Rightarrow \left( {IMN} \right)\,{\rm{//}}\,\left( {SAB} \right)\).
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C'. Gọi \[I\], \[J\], \[K\] lần lượt là trọng tâm của các tam giác \[ABC\], \[ACC'\], \[A'B'C'\]. Mặt phẳng nào sau đây song song với mặt phẳng \[\left( {IJK} \right)\]?
\[\left( {AA'C} \right)\].
\[\left( {A'BC'} \right)\].
\[\left( {ABC} \right)\].
\[\left( {BB'C'} \right)\].
Chọn D
![Cho hình lăng trụ \[ABC.A'B'C'\]. Gọi \[I\], \[J\], \[K\] lần lượt là trọng tâm của các tam giác \[ABC\], \[ACC'\], \[A'B'C'\]. Mặt phẳng nào sau đây song son (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/screenshot-3672-1759693707.png)
Gọi \[M\], \[N\], \[E\] lần lượt là trung điểm của \[BC\], \[CC'\], \[B'C'\]. Suy ra \[\frac{{AI}}{{IM}} = \frac{{AJ}}{{JN}} = 2\]
nên \[IJ{\rm{//}}MN\] \[\left( 1 \right)\].
Trong mặt phẳng \[\left( {AA'ME} \right)\] ta có \[\frac{{AI}}{{IM}} = \frac{{A'K}}{{KE}} = 2 \Rightarrow IK{\rm{//}}ME\] mà \[ME{\rm{//}}BB'\] nên \[IK{\rm{//}}BB'\]\[\left( 2 \right)\].
Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] do \[\left( {IJK} \right)\]và \[\left( {BB'C'} \right)\] là hai mặt phẳng phân biệt, \[IJ,IK \in \left( {IJK} \right)\]
nên \[IJ{\rm{//}}\left( {BB'C'} \right)\], \[IK{\rm{//}}\left( {BB'C'} \right)\] suy ra \[\left( {IJK} \right){\rm{//}}\left( {BB'C'} \right)\].
Cho hình chóp \(S.ABCD\), đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(A',B',C',D'\) lần lượt là trung điểm \(SA,SB,SC,SD\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\[A'C'||BD\].
\[A'B'||\left( {SAD} \right)\].
\[A'C'||\left( {SBD} \right)\].
\[\left( {A'C'D'} \right)||\left( {ABC} \right)\].
Chọn D
![Chọn D \[\left\{ \begin{array}{l}A'D'||AD\\C'D'||CD\end{array} \right. \Rightarrow \left( {A'C'D'} \right)||\left( {ABC} \right)\]. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/10-1759693752.png)
\[\left\{ \begin{array}{l}A'D'||AD\\C'D'||CD\end{array} \right. \Rightarrow \left( {A'C'D'} \right)||\left( {ABC} \right)\].
Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) (như hình vẽ).![Chọn C Ta có các tứ giác \(B'C'FE\); \(B'DAE\) là hình bình hành nên \[B'C'||\left( {AEF} \right)\] và \[B'D||\left( {AEF} \right)\]\[ \Rightarrow \left( {DB'C'} \right)||\left( {AEF} \right)\]. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/11-1759693790.png)
Lấy các điểm \(D\), \(E\), \(F\) lần lượt là trung điểm của \(AA'\), \(BB'\), \(CC'\) và điểm \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(\left( {DEB} \right)||\left( {A'B'F} \right)\).
\(\left( {EFG} \right)||\left( {BCD} \right)\).
\[\left( {DB'C'} \right)||\left( {AEF} \right)\].
\(\left( {DEG} \right)||\left( {A'B'C} \right)\).
Chọn C
![Chọn C Ta có các tứ giác \(B'C'FE\); \(B'DAE\) là hình bình hành nên \[B'C'||\left( {AEF} \right)\] và \[B'D||\left( {AEF} \right)\]\[ \Rightarrow \left( {DB'C'} \right)||\left( {AEF} \right)\]. (ảnh 2)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/12-1759693817.png)
Ta có các tứ giác \(B'C'FE\); \(B'DAE\) là hình bình hành nên \[B'C'||\left( {AEF} \right)\] và \[B'D||\left( {AEF} \right)\]\[ \Rightarrow \left( {DB'C'} \right)||\left( {AEF} \right)\].
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(M,\,\,N,\,\,K\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(AB,\,\,BC,\,\,SB\). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây.
\(\left( {MNK} \right)//\left( {SAC} \right)\).
\(\left( {MNK} \right)//\left( {SAD} \right)\).
\(\left( {MNK} \right)//\left( {SCD} \right)\).
\(\left( {MNK} \right)//\left( {SAB} \right)\).
Chọn A
Ta có:
\(M\) là trung điểm \(AB\); \(K\) là trung điểm \(SB\).
\( \Rightarrow MK//SA\) (1).
\(M\) là trung điểm \(AB\); \(N\) là trung điểm \(BC\).
\( \Rightarrow MN//AC\) (2).
Từ (1) và (2) suy ra \(\left( {MNK} \right)//\left( {SAC} \right)\).
Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Các mệnh đề sau đúng/sai.
a) Cho điểm \(M\) nằm ngoài mặt phẳng \(\left( \alpha \right).\)Khi đó tồn tại duy nhất một đường thẳng \(a\) chứa \(M\) và song song với \(\left( \alpha \right).\)
b) Cho hai đường thẳng \(a\) và \(b\) chéo nhau. Khi đó tồn tại duy nhất mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)chứa \(a\) và song song với \(b.\)
c) Cho điểm \(M\) nằm ngoài mặt phẳng \(\left( \alpha \right).\) Khi đó tồn tại duy nhất một mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) chứa điểm \(M\) và song song với \(\left( \alpha \right).\)
d) Cho đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) song song với nhau. Khi đó tồn tại duy nhất một mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) chứa \(a\) và song song với \(\left( \alpha \right).\)
a) Sai | b) Đúng | c) Đúng | d) Đúng |
Cho điểm \(M\) nằm ngoài mặt phẳng \(\left( \alpha \right).\)Khi đó có vô số đường thẳng chứa \(M\) và song song với \(\left( \alpha \right).\)Các đường thẳng này cùng nằm trong mặt phẳng đi qua \(M\) và song song với \(\left( \alpha \right).\) Do đó đáp án A là sai.
Trong mặt phẳng \((P)\), cho hình bình hành \(ABCD\). Vẽ các nửa đường thẳng song song nhau, nằm về một phía đối với mặt phẳng \((P)\) và đi qua các điểm \(A,B\), \(C,D\). Một mặt phẳng \((Q)\) cắt bốn nửa đường thẳng nói trên tại \({A^\prime },{B^\prime },{C^\prime },{D^\prime }\).
a) \(mp\left( {A{A^\prime },B{B^\prime }} \right)\) song song với \(mp\left( {C{C^\prime },D{D^\prime }} \right)\).
b) \({A^\prime }{B^\prime }//{C^\prime }{D^\prime }\)
c) Tứ giác \({A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\) là hình thang
d) Gọi \(O\) và \({O^\prime }\) lần lượt là giao điểm của hai đường chéo của \(ABCD\) và \({A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\). Khi đó\(O{O^\prime }//A{A^\prime }\).
a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng |
a) Chứng minh \(mp\left( {A{A^\prime },B{B^\prime }} \right)\) và \(mp\left( {C{C^\prime },D{D^\prime }} \right)\) song song:
Ta có \(A{A^\prime }//D{D^\prime }\) và \(AB//CD\) nên \(mp\left( {A{A^\prime },B{B^\prime }} \right)//mp\left( {C{C^\prime },D{D^\prime }} \right)\).
b) Chứng minh \({A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\) là hình bình hành:
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\mathop{\rm mp}\nolimits} \left( {A{A^\prime },B{B^\prime }} \right)//mp\left( {C{C^\prime },D{D^\prime }} \right)}\\{(Q) \cap mp\left( {A{A^\prime },B{B^\prime }} \right) = {A^\prime }{B^\prime }}\\{(Q) \cap mp\left( {C{C^\prime },D{D^\prime }} \right) = {C^\prime }{D^\prime }}\end{array} \Rightarrow {A^\prime }{B^\prime }//{C^\prime }{D^\prime }} \right.\).(1)
Hoàn toàn tương tự, ta chứng minh được \({A^\prime }{D^\prime }//{B^\prime }{C^\prime }\). (2)
c) Từ (1) và (2) suy ra \({A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\) là hình bình hành.
d) Chứng minh \(O{O^\prime }//A{A^\prime }\) :
\(\begin{array}{l}{\rm{ Ta c\'o : }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {AC{C^\prime }{A^\prime }} \right) \cap \left( {BD{D^\prime }{B^\prime }} \right) = O{O^\prime }}\\{A{A^\prime } \subset \left( {AC{C^\prime }{A^\prime }} \right),B{B^\prime } \subset \left( {BD{D^\prime }{B^\prime }} \right)}\\{A{A^\prime }//B{B^\prime }}\end{array}} \right.\\ \Rightarrow O{O^\prime }//A{A^\prime }//B{B^\prime }{\rm{ hay }}O{O^\prime }//A{A^\prime }.\end{array}\)
Cho lăng trụ tam giác \(ABC \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }\) có \(I,K,G\) lần lượt là trọng tâm các tam giác \(ABC,{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime },AC{C^\prime }\). Gọi \(M,{M^\prime }\) lần lượt là trung điểm của \(BC,{B^\prime }{C^\prime }\). Khi đó:
a) \(AM{M^\prime }{A^\prime }\) là hình bình hành
b) \(\frac{{AI}}{{AM}} = \frac{{AG}}{{AN}} = \frac{1}{3}{\rm{ }}\)
c) \((IKG)\) cắt \(\left( {BC{C^\prime }{B^\prime }} \right)\)
d) \(\left( {{A^\prime }KG} \right)//\left( {AI{B^\prime }} \right)\).
a) Đúng | b) Sai | c) Sai | d) Đúng |
Gọi \(M,{M^\prime }\) lần lượt là trung điểm của \(BC,{B^\prime }{C^\prime }\).
\(M{M^\prime }\) là đường trung bình của hình bình hành \(BC{C^\prime }{B^\prime }\) nên
a) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{M{M^\prime }//B{B^\prime }}\\{M{M^\prime } = B{B^\prime }}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{M{M^\prime }//A{A^\prime }}\\{M{M^\prime } = A{A^\prime }}\end{array} \Rightarrow AM{M^\prime }{A^\prime }} \right.} \right.{\rm{ l\`a h\`i nh b\`i nh h\`a nh}}{\rm{. }}\)
Vì \(I,K\) theo thứ tự là trọng tâm các tam giác \(ABC,{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }\) nên
\(IM = K{M^\prime } = \frac{1}{3}{A^\prime }{M^\prime } = \frac{1}{3}AM,\)mà \(IM//K{M^\prime }\) nên \(IK{M^\prime }M\) là hình bình hành.
Suy ra \(IK//M{M^\prime },M{M^\prime } \subset \left( {BC{C^\prime }{B^\prime }} \right) \Rightarrow IK//\left( {BC{C^\prime }{B^\prime }} \right)\).(1)
Gọi \(N\) là trung điểm của \(C{C^\prime }\), tam giác \(AMN\) có
b) \(\frac{{AI}}{{AM}} = \frac{{AG}}{{AN}} = \frac{2}{3}{\rm{ }}\)(tính chất trọng tâm)
Suy ra \(IG//MN\) mà \(MN \subset \left( {BC{C^\prime }{B^\prime }} \right)\) nên \(IG//\left( {BC{C^\prime }{B^\prime }} \right)\).(2)
c) Từ (1) và (2) suy ra \((IKG)//\left( {BC{C^\prime }{B^\prime }} \right)\).
Vì \(\left( {{A^\prime }KG} \right) \equiv \left( {{A^\prime }{M^\prime }C} \right),\left( {AI{B^\prime }} \right) \equiv \left( {AM{B^\prime }} \right)\), ta cần chứng minh
\(\left( {{A^\prime }{M^\prime }C} \right)//\left( {AM{B^\prime }} \right)\).
Dễ thấy \(AM{M^\prime }{A^\prime }\) là hình bình hành nên \(AM//{A^\prime }{M^\prime }\) mà \({A^\prime }{M^\prime } \subset \left( {{A^\prime }{M^\prime }C} \right)\) nên \(AM//\left( {{A^\prime }{M^\prime }C} \right)\). (3)
Ta có \(:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{CM//{B^\prime }{M^\prime }}\\{CM = {B^\prime }{M^\prime }}\end{array} \Rightarrow CM{B^\prime }{M^\prime }} \right.\) là hình bình hành, suy ra \({B^\prime }M//C{M^\prime },C{M^\prime } \subset \left( {{A^\prime }{M^\prime }C} \right) \Rightarrow {B^\prime }M//\left( {{A^\prime }{M^\prime }C} \right)\).(4)
d) Từ (3) và (4) suy ra \(\left( {{A^\prime }{M^\prime }C} \right)//\left( {AM{B^\prime }} \right)\), hay \(\left( {{A^\prime }KG} \right)//\left( {AI{B^\prime }} \right)\).
Cho hình bình hành \(ABCD\) và \(ABEF\) nằm ở hai mặt phẳng khác nhau. Gọi \(M\) là trọng tâm \(\Delta ABE\). Gọi \((P)\) là mặt phẳng đi qua \(M\) và song song với mặt \((ADF)\). Lấy \(N\) là giao điểm của \((P)\) và \(AC\). Khi đó:
a) \(EFDC\) là hình thang
b) \(FD//EC\)
c) \((ADF)//(BCE)\).
d) \(\frac{{AN}}{{NC}} = 3\)
a) b) c) Cho hình bình hành \(ABCD\) và \(ABEF\) nằm ở hai mặt phẳng khác nhau. Chứng minh rằng: \((ADF)//(BCE)\).
Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{EF//CD(//AB)}\\{EF = CD( = AB)}\end{array} \Rightarrow EFDC} \right.\) là hình bình hành.
\( \Rightarrow FD//EC\).
Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AD//BC;AF//BE}\\{AD,AF \subset (ADF);AD \cap AF = A}\\{BC,BE \subset (BEC);BC \cap BE = B}\end{array} \Rightarrow (ADF)//(BCE)} \right.\)
d) Tính \(\frac{{AN}}{{NC}}\).
Vẽ mp \((P)\) chứa \(M\) và \((P)//(ADF)\) cắt \(AB,AC,CD,EF\) lần lượt tại \(I,N,K,J\).
Ta có: \(\frac{{AI}}{{BI}} = \frac{{AN}}{{NC}}(IN//BC)\)
Ta có: \(\frac{{EJ}}{{IS}} = \frac{{ME}}{{MS}} = 2(IS//JE)\)
\(BI = EJ\) (tứ giác BIJE là hình bình hành)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{BI}}{{IS}} = 2 \Rightarrow \frac{{BI}}{2} = \frac{{IS}}{1} = \frac{{BI + IS}}{{2 + 1}} = \frac{{BS}}{3}\\ \Rightarrow BI = \frac{2}{3}BS;IS = \frac{1}{3}BS\end{array}\)
Ta có: \(AI = AS + AI = BS + \frac{1}{3}BS = \frac{4}{3}BS \Rightarrow > \frac{{AI}}{{BI}} = \frac{{\frac{4}{3}BS}}{{\frac{2}{3}BS}} = 2 \Rightarrow \frac{{AN}}{{NC}} = 2\)
Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Khi cắt một chiếc bánh ga-tô hình hộp, Thuý nhận thấy vết cắt ở mặt trên và mặt dưới của bánh gợi nên hình ảnh về hai đường thẳng song song với nhau. Hỏi nhận xét của Thuý có đúng không? Vì sao?
Khi Thuý cắt bánh thì lưỡi dao di chuyển tạo thành một mặt phẳng cắt hai mặt trên và dưới của chiếc bánh. Vì mặt trên và mặt dưới của chiếc bánh song song với nhau nên các vết cắt (chính là giao tuyến của mặt phẳng cắt và hai mặt bánh) song song với nhau.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O\), gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(SA,SD\). Chứng minh \((OMN)//(SBC)\).
Ta có \(MO\) là đường trung bình của tam giác \(SAC\), suy ra \(MO//SC\). Do đó \(MO//(SBC)\). (1)
Ta có \(NO\) là đường trung bình của tam giác \(SDB\), suy ra \(NO//SB\). Do đó \(NO//(SBC)\). (2)
Mặt khác, \(NO \cap MO = O\) và \(NO,MO \subset (OMN)\). (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra \((OMN)//(SBC)\).
Cho hình lăng trụ tứ giác \(ABCD \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\) có đáy \(ABCD\) là hình thang. Chứng minh rằng đáy \({A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\) là hình thang.
Giả sử \(AB//CD\).
Các mặt \(AB{B^\prime }{A^\prime }\) và \(CD{D^\prime }{C^\prime }\) của hình lăng trụ là hình bình hành nên \(AB//{A^\prime }{B^\prime }\) và \(CD//{C^\prime }{D^\prime }\). Vì vậy ta có \({A^\prime }{B^\prime }//{C^\prime }{D^\prime }\), tức là tứ giác \({A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\) là hình thang.
Cho hình hộp \(ABCD \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\). Một mặt phẳng \((P)\) cắt các cạnh \(AD,BC,{B^\prime }{C^\prime }\),\({A^\prime }{D^\prime }\) lần lượt tại \(E,F,G,H\). Chứng minh rằng tứ giác \(EFGH\) là hình bình hành.
Vì hai mặt \((ABCD)\) và \(\left( {{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }} \right)\) của hình hộp song song với nhau nên giao tuyến của mặt phẳng \[\left( {EFGH} \right)\] và hai mặt phẳng đó song song với nhau, tức là \(EF//HG\). Tương tự có \(EH//FG\) nên tứ giác \(EFGH\) là hình bình hành.
Một chiếc bàn có phần chân là hai khung sắt hình chữ nhật có thể xoay quanh một trục như trong Hình 4.43.
Khi mặt bàn được đặt lên phần chân bàn thì mặt bàn luôn song song với mặt đất. Hãy giải thích tại sao.
Đặt tên các đường thằng như trong hình vẽ dưới đây.
Vì các khung sắt có dạng hình chữ nhật nên các cạnh đối diện của khung sắt song song với nhau, do đó \(a\parallel c\) và \(b\parallel d\).
Vì \(c\) và \(d\) là các đường thẳng của chân bàn nằm trên mặt đất, nên \(a//c\) thì đường thẳng \(a\) song song với mặt đất và \(b\parallel d\) thì đường thẳng \(b\) song song với mặt đất.
Mặt phẳng bàn chứa hai đường thẳng cắt nhau \(a\) và \(b\) cùng song song với mặt đất nên mặt phẳng bàn song song với mặt đất.
Đặt một tấm bìa cứng lên một góc của mặt bàn nằm ngang (H.4.44) sao cho mặt bìa song song với mặt đất. Khi đó mặt bìa có trùng với mặt bàn hay không?
Lời giải
Mặt bàn nằm ngang thì song song với mặt đất. Khi tấm bìa cứng được đặt lên một góc của mặt bàn nằm ngang sao cho mặt bìa song song với mặt bàn thì mặt bìa trùng với mặt bàn.
