Bài tập Định lý Thalès trong không gian và các bài toán liên quan lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Theo định lí Thalès trong không gian, ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến phân biệt bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. Do đó ta có:

\(\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}}\).

Đáp án đúng là: B

Áp dụng định lí Thalès trong không gian, ta có: \(\frac{{AB}}{{BC}}\) = \(\frac{{A'B'}}{{B'C'}}\).

Suy ra \(\frac{2}{4}\) = \(\frac{3}{{B'C'}}\). Do đó B'C' = \(\frac{{4 \cdot 3}}{2}\) = 6 (cm).

Đáp án đúng là: B

Áp dụng định lí Thalès cho ba mặt phẳng đôi một song song (P), (Q), (ABC) và hai cát tuyến SA, SB, ta có: \(\frac{{{A_2}{A_1}}}{{{A_1}A}}\) = \(\frac{{{B_2}{B_1}}}{{{B_1}B}}\).

Vì A₂A₁ = 2A₁A nên \(\frac{{{A_2}{A_1}}}{{{A_1}A}}\) = 2. Suy ra \(\frac{{{B_2}{B_1}}}{{{B_1}B}}\) = 2.

Đáp án đúng là: B

Theo định lí Thalès trong không gian, ta có: \(\frac{{MN}}{{NP}}\) = \(\frac{{M'N'}}{{N'P'}}\) = \(\frac{3}{6}\) = \(\frac{1}{2}\).

Suy ra N'P' = 2M'N'.

Lại có M'P' = M'N' + N'P' = M'N' + 2M'N' = 3M'N'.

Do đó 3M'N' = 12 ⇒ M'N' = 4 (cm).

Đáp án đúng là: C

Ba mặt phẳng (P), (Q) và (BCD) đôi một song song chắn trên hai cạnh AB, AC các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Ta có: AB = AM + MN + NB = 2 + 4 + 3 = 9 cm.

Xét △ABC có MM' ∥ BC, áp dụng định lí Thalès ta có:

\(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AM'}}{{AC}}\) ⇒ AM' = \(\frac{{AM \cdot AC}}{{AB}} = \frac{{2 \cdot 18}}{9}\) = 4.

Tương tự, xét △ABC có NN' ∥ BC, áp dụng định lí Thalès ta có: \(\frac{{AN}}{{AB}} = \frac{{AN'}}{{AC}}\)

Mà AN = AM + MN = 2 + 4 = 6 ⇒ AN' = \(\frac{{AN \cdot AC}}{{AB}} = \frac{{6 \cdot 18}}{9}\) = 12.

Do đó M'N' = AN' – AM' = 12 – 4 = 8 cm.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Đây là biểu thức chuẩn xác của định lí Thalès trong không gian.

b) Đúng. Từ \(\frac{{AB}}{{A'B'}}\) = \(\frac{{BC}}{{B'C'}}\) ta có thể đổi chỗ các trung tỉ để được \(\frac{{AB}}{{BC}}\) = \(\frac{{A'B'}}{{B'C'}}\).

c) Đúng. Từ \(\frac{{BC}}{{B'C'}}\) = \(\frac{{AC}}{{A'C'}}\) nhân chéo ta suy ra AC ⋅ B'C' = BC ⋅ A'C'.

d) Sai. Theo định lí Thalès trong không gian, ba mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ nên ta luôn có \(\frac{{AB}}{{AC}}\) = \(\frac{{A'B'}}{{A'C'}}\).

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Giả thiết đã cho (P) và (Q) cùng song song với mặt phẳng đáy (ABC).

b) Đúng. Hai đường thẳng này cùng cắt qua ba mặt phẳng (P), (Q) và (ABC).

c) Đúng. Áp dụng định lí Thalès, \(\frac{{{A_2}{A_1}}}{{{A_1}A}}\) = \(\frac{{{B_2}{B_1}}}{{{B_1}B}}\) = 3 ⇒ B₂B₁ = 3B₁B.

d) Sai. Tương tự ta có \(\frac{{{C_2}{C_1}}}{{{C_1}C}}\) = \(\frac{{{A_2}{A_1}}}{{{A_1}A}}\) = 3 ⇒ C₂C₁ = 3C₁C.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Áp dụng định lí Thalès trong không gian: \(\frac{{AB}}{{BC}}\) = \(\frac{{MN}}{{NP}}\) ⇒ \(\frac{6}{8}\) = \(\frac{x}{y}\) ⇒ \(\frac{x}{y}\) = \(\frac{3}{4}\).

b) Đúng. Thay x = 9 vào tỉ lệ ta được \(\frac{9}{y}\) = \(\frac{3}{4}\) ⇒ y = 12.

c) Đúng. Từ \(\frac{x}{y}\) = \(\frac{6}{8}\) ⇒ 8x = 6y ⇔ 8x – 6y = 0.

d) Sai. Ta có MP = x + y = 28 và y = \(\frac{4}{3}\)x, suy ra x + \(\frac{4}{3}\)x = 28 ⇔ \(\frac{7}{3}\)x = 28 ⇔ x = 12.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Vì hai mặt phẳng cùng song song với mặt đáy (BCD).

b) Đúng. Theo đề bài có: AM = MN = NB ⇒ AM : MN : NB = 1 : 1 : 1.

c) Đúng. Vì: AM = MN = NB nên AM′ : M′N′ : N′D = 1 : 1 : 1 suy ra AM′ = M′N′ = N′D.

d) Sai. Vì M'N' = N'D nên M'D = 2N'D = 10 ⇒ N'D = 5 cm. Suy ra AD = 3N'D = 15 cm.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Theo định lí Thalès: \(\frac{{AB}}{{BC}}\)= \(\frac{{A'B'}}{{B'C'}}\) = \(\frac{6}{9}\) =\(\frac{2}{3}\).

b) Đúng. Ta có A'C' = A'B' + B'C' = 6 + 9 = 15.

c) Sai. Theo câu a), ta có: \(\frac{{AB}}{{BC}}\) = \(\frac{2}{3}\) ⇒ \(\frac{{AB}}{2}\) = \(\frac{{BC}}{3}\) = \(\frac{{AB + BC}}{{2 + 3}}\) = \(\frac{{AC}}{5}\) = \(\frac{{10}}{5}\) = 2.

Do đó BC = 3 ⋅ 2 = 6.

d) Sai. Từ trên suy ra AB = 2 ⋅ 2 = 4.

Đáp án: 4

Theo định lí Thalès trong không gian, ta có: \(\frac{{AB}}{{BC}}\) = \(\frac{{A'B'}}{{B'C'}}\) ⇒ \(\frac{{x + 1}}{5}\) = \(\frac{3}{{x - 1}}\).

Suy ra: (x + 1)(x – 1) = 15 ⇔ x² – 1 = 15 ⇔ x² = 16.

Vì x > 1 nên x = 4.

Đáp án: 3

Theo định lí Thalès trong không gian, ta có tỉ lệ các đoạn thẳng tương ứng là bằng nhau: \(\frac{x}{6}\) = \(\frac{4}{8}\).

Suy ra x = \(\frac{{6 \cdot 4}}{8}\) = 3.

Đáp án: 6

Các mặt phẳng song song chắn trên hai cạnh AB và AC các đoạn tương ứng tỉ lệ.

Ta có: AN = AM + MN = 2 + 3 = 5 cm.

Theo định lí Thalès: \(\frac{{AN}}{{AB}} = \frac{{AN'}}{{AC}}\) ⇒ \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{AN'}} = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2}\).

Lại có: \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AM'}}{{AC}}\) ⇒ \(\frac{{AM'}}{{AC}} = \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{2}{{AB}}\).

Mà \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{1}{2}\) ⇒ AC = 2AB.

⇒ AM' = \(\frac{2}{{AB}}\)⋅ AC = \(\frac{2}{{AB}}\)⋅ 2AB = 4 (cm).

Do đó: M'N' = AN' – AM' = 10 – 4 = 6 (cm).

Đáp án: 24

Gọi độ dài hai đoạn thẳng trên cát tuyến thứ hai là x và y (giả sử x < y).

Theo định lí Thalès trong không gian, ta có: \(\frac{x}{y}\) = \(\frac{5}{{15}}\) = \(\frac{1}{3}\) ⇒ y = 3x.

Tổng độ dài của chúng là x + y = 32 ⇔ x + 3x = 32 ⇔ 4x = 32 ⇒ x = 8.

Đoạn dài hơn có độ dài là y = 3 ⋅ 8 = 24.

Đáp án: 2,5.

Vì mặt phẳng (α) đi qua M song song với mặt phẳng (ABC), (SAC) ∩ (α) = MN (do M, N ∈ (α) ∩ (SAC)), (SAC) ∩ (ABC) = AC ⇒ MN ∥ AC.

Xét tam giác SAC, theo định lí Thalès: \(\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{{SN}}{{SC}}\).

Theo đề bài, ta có: SM = \(\frac{2}{5}\)MA ⇒ \(\frac{{SM}}{{MA}} = \frac{2}{5}\) ⇒ MA = \(\frac{5}{2}\)SM.

⇒ SA = SM + MA = SM + \(\frac{5}{2}\)SM = \(\frac{7}{2}\)SM ⇒ \(\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{{SM}}{{\frac{7}{2}SM}} = \frac{2}{7}\).

Suy ra \(\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{{SN}}{{SC}}\) = \(\frac{2}{7}\) ⇒ SN = \(\frac{2}{7}\)SC.

Vì NC = SC – SN = SC – \(\frac{2}{7}\)SC = \(\frac{5}{7}\)SC.

Mà E là trung điểm của đoạn thẳng NC (theo giả thiết)

⇒ EC = \(\frac{1}{2}\)NC = \(\frac{1}{2}\)⋅ \(\frac{5}{7}\)SC = \(\frac{5}{{14}}\)SC = \(\frac{5}{{14}}\)⋅ 7 = \(\frac{5}{2}\) = 2,5 (cm).