Bài tập Xác định, chứng minh hai mặt phẳng song song lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: C

Xét △SAB có M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB ⇒ MN là đường trung bình của △SAB ⇒ MN ∥ AB. Vì AB ⊂ (ABCD) nên MN ∥ (ABCD).

Tương tự, xét △SBC có N, P lần lượt là trung điểm của SB, SC nên NP là đường trung bình của △SBC ⇒ NP ∥ BC. Vì BC ∥ (ABCD) nên NP ∥ (ABCD).

Mặt phẳng (MNP) chứa hai đường thẳng cắt nhau MN và NP cùng song song với mặt phẳng (ABCD), do đó (MNP) ∥ (ABCD).

Đáp án đúng là: B

Vì ABCD là hình bình hành nên BC ∥ AD. Mà AD ⊂ (ADF) nên BC ∥ (ADF).

Vì ABEF là hình bình hành nên BE ∥ AF. Mà AF ⊂ (ADF) nên BE ∥ (ADF).

Mặt phẳng (BCE) chứa hai đường thẳng cắt nhau BC và BE cùng song song với mặt phẳng (ADF), do đó (BCE) ∥ (ADF).

Đáp án đúng là: A

Vì khi cho hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q): a ⊂ (P), b ⊂ (Q), (P) ∥ (Q) thì hai đường thẳng a và b không nhất thiết song song. (P) ∥ (Q) thì a và b có thể song song hoặc chéo nhau.

Đáp án đúng là: B

Theo định lí về điều kiện để hai mặt phẳng song song, nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau và hai đường thẳng này cùng song song với mặt phẳng (Q) thì mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q).

Đáp án đúng là: A

Gọi hai đường thẳng chéo nhau là a và b, c là đường thẳng song song với a và cắt b.

Gọi mặt phẳng (α) ≡ (b, c). Do a ∥ c ⇒ a ∥ (α).

Giả sử mặt phẳng (β) ∥ (α) mà b ⊂ (α) ⇒ b ∥ (β).

Mặt khác a ∥ (α) ⇒ a ∥ (β). Có vô số mặt phẳng (β) ∥ (α) nên có vô số mặt phẳng song song với cả hai đường thẳng chéo nhau.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Vì HI là đường trung bình của tam giác SAB nên HI ∥ AB, mà AB ⊂ (ABCD) ⇒ HI ∥ (ABCD). (1)

b) Đúng. Tương tự ta có: KI ∥ BC, BC ⊂ (ABCD) ⇒ KI ∥ (ABCD). (2)

Mặt khác: HI ⊂ (HIK), KI ⊂ (HIK), HI ∩ KI = I. (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: (HIK) ∥ (ABCD).

c) Sai. Vì M ∈ AI, AI ⊂ (SAB) và M ∈ DK, DK ⊂ (SCD) ⇒ M ∈ (SAB) ∩ (SCD).

⇒ SM = (SAB) ∩ (SCD).

Mà: AB ⊂ (SAB), CD ⊂ (SCD) ⇒ SM ∥ AB ∥ CD ⇒ SM ∥ HI. (1)

d) Sai. Vì N ∈ DH, DH ⊂ (SAD) và N ∈ CI, CI ⊂ (SBC) ⇒ N ∈ (SAD) ∩ (SBC)

⇒ SN = (SAD) ∩ (SBC).

Khi đó ta có:

(SAD) ∩ (SBC) = SN.

AD ⊂ (SAD), BC ⊂ (SBC) ⇒ SN ∥ AD ∥ BC ⇒ SN ∥ KI. (2)

Mặt khác ba điểm S, M, N không thẳng hàng. (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: (SMN) ∥ (HIK).

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Sai. Ta có: SB thuộc mặt phẳng (SBD); N ∈ SD ⊂ (SBD), mà O là tâm hình bình hành nên O ∈ BD ⊂ (SBD).

Suy ra ON ⊂ (SBD).

Xét △SDB có N, O lần lượt là trung điểm của SD, DB

⇒ Theo tính chất đường trung bình, ta có: ON ∥ SB.

Vậy ON không chéo với SB.

b) Đúng. Theo câu a), ON ∥ SB.

Chứng minh tương tự với △SAC ⇒ OM ∥ SC.

Ta có: ON ∥ SB; OM ∥ SC (1)

OM, ON ⊂ (OMN), OM ∩ ON = O (2).

SB, SC ⊂ (SBC), SB ∩ SC = S. (3)

Từ (1), (2), (3) ⇒ (OMN) ∥ (SBC).

c) Sai. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AB và ON.

Xét △ABC có O là trung điểm của AC (đường chéo hình bình hành), P là trung điểm của AB, theo tính chất đường trung bình ⇒ OP ∥ BC.

Xét △SBD có ON ∥ SB (câu a)

Mà Q là trung điểm của ON ⇒ Q ∈ ON ⊂ (SBD), O ∈ BD ⊂ (SBD) ⇒ OQ ∥ SB.

Ta có: OP, OQ ⊂ (OPQ), OP ∩ OQ = O (4).

OP ∥ BC,OQ ∥ SB (5).

BC , SB ⊂ (SBC), BC ∩ SB = B (6).

Từ (4), (5), (6) ⇒ (OPQ) ∥ (SBC), mà PQ ⊂ (OPQ) suy ra PQ ∥ (SBC). Vậy PQ không cắt (SBC).

d) Đúng. Xét tam giác ACD có O, R lần lượt là trung điểm của AC và AD, theo tính chất đường trung bình trong tam giác ⇒ OR ∥ CD.

Ta có: OM ∥ SC, OR ∥ CD; OM, OR ⊂ (MOR), OM ∩ OR = O; SC, SD ⊂ (SCD), SC ∩ SD = S.

⇒ (MOR) ∥ (SCD).

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Nếu (α) ∥ (β) và d ⊂ (α) thì d không cắt (β). Do đó d ∥ (β).

b) Sai. Các đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng song song có thể chéo nhau trong không gian.

c) Sai. Hai mặt phẳng (α) và (β) có thể cắt nhau theo một giao tuyến song song với đường thẳng d.

d) Đúng. Đây là tính chất cơ bản về định tính duy nhất của mặt phẳng song song qua một điểm cho trước nằm ngoài mặt phẳng.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Vì O là trung điểm AC và M là trung điểm SA nên OM là đường trung bình của △SAC ⇒ OM ∥ SC, SC ⊂ (SBC) và OM không nằm trong (SBC) ⇒ OM ∥ (SBC).

b) Đúng. Vì O là trung điểm AC và N là trung điểm CD nên ON là đường trung bình của △ACD ⇒ ON ∥ AD. Mà AD ∥ BC ⇒ ON ∥ BC ⇒ ON ∥ (SBC).

c) Sai. Ta thấy (OMN) và (SAB) có ít nhất một điểm chung M. Do đó hai mặt phẳng này không song song với nhau.

d) Đúng. Mặt phẳng (OMN) chứa hai đường thẳng cắt nhau OM và ON cùng song song với mặt phẳng (SBC) nên (OMN) ∥ (SBC).

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Vì MN là đường trung bình của △SAB nên MN ∥ AB ⇒ MN ∥ (ABC).

Tương tự, NP là đường trung bình của △SBC nên NP ∥ BC ⇒ NP ∥ (ABC).

Mặt phẳng (MNP) chứa hai đường thẳng cắt nhau MN và NP cùng song song với mặt phẳng (ABC) nên (MNP) ∥ (ABC).

b) Sai. Do M, N, I lần lượt là trung điểm của SA, SB, AB nên ba điểm này cùng thuộc mặt phẳng (SAB). Do đó, mặt phẳng (MNI) chính là mặt phẳng (SAB). Hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) cắt nhau theo giao tuyến SB nên chúng không song song với nhau.

c) Đúng. Vì MP là đường trung bình của △SAC nên MP ∥ AC. Mặt khác, vì I, J, K lần lượt thuộc AB, BC, AC nên I, J, K ∈ (ABC), mà 3 điểm này không thẳng hàng.

⇒ (IJK) = (ABC). Vì AC ⊂ (ABC) nên MP ∥ (IJK).

d) Đúng. Do mặt phẳng (IJK) trùng với mặt phẳng đáy (ABC), mà theo câu a ta có (MNP) ∥ (ABC) ⇒ (MNP) ∥ (IJK).

Đáp án: 0

Theo định nghĩa, hai mặt phẳng (α) và (β) được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung.

Đáp án: 1

Dựa trên điều kiện và tính chất cơ bản của hai mặt phẳng song song, qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho.

Đáp án: 4

Ta có: (MNPQ) ∥ (ABCD), (SAB) ∩ (ABCD) = AB, (SAB) ∩ (MNPQ) = MN

Suy ra MN ∥ AB.

Lại có: (MNPQ) ∥ (ABCD), (SBC) ∩ (ABCD) = BC, (SBC) ∩ (MNPQ) = NP ⇒ NP ∥ BC.

Chứng minh tương tự: PQ ∥ CD, MQ ∥ AD.

Xét △SBC có NP ∥ BC, ta có: \(\frac{{NP}}{{BC}}\) = \(\frac{{SN}}{{SB}}\).

Xét △SAB có MN ∥ AB, ta có: \(\frac{{SN}}{{SB}}\) = \(\frac{{SM}}{{SA}}\) = \(\frac{3}{9}\) = \(\frac{1}{3}\).

Suy ra \(\frac{{NP}}{{12}}\) = \(\frac{1}{3}\) ⇒ NP = 4 cm.

Đáp án: 8

Vì hai đường thẳng a và b song song với nhau nên chúng xác định một mặt phẳng (R).

Mặt phẳng (R) cắt hai mặt phẳng song song (P) và (Q) theo hai giao tuyến AC và BD.

Theo tính chất hai mặt phẳng song song, hai giao tuyến này song song với nhau (AC ∥ BD).

Tứ giác ABDC có AB ∥ CD (do a ∥ b) và AC ∥ BD nên ACDB là hình bình hành.

Do đó, CD = AB = 8 cm.

Đáp án: 0,33

Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Theo tính chất đường trung tuyến, ba điểm A, G, I thẳng hàng và ta có: \(\frac{{AG}}{{AI}} = \frac{2}{3}\) ⇒ \(\frac{{IG}}{{IA}} = \frac{1}{3}\).

Ta có: M ∈ SA ⊂ (SAI) ⇒ M ∈ (SAI).

G ∈ AI ⊂ (SAI) ⇒ G ∈ (SAI).

Do M, G ∈ (α), M, G ∈ (SAI) ⇒ (α) ∩ (SAI) = MG.

Lại có: (SBC) ∩ (SAI) = SI.

Vì mặt phẳng (α) ∥ (SBC), (α) ∩ (SAI) = MG, (SBC) ∩ (SAI) = SI ⇒ MG ∥ SI.

Xét tam giác SAI: \(\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{{IG}}{{IA}} = \frac{1}{3}\) ≈ 0,33.