Đề kiểm tra Hai đường thẳng song song lớp 11 (có lời giải) - Đề 3
22 câu hỏi
Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi, thí sinh chỉ chọn 1 phương án.
Cho hai đường thẳng phân biệt không có điểm chung cùng nằm trong một mặt phẳng thì hai đường thẳng đó
song song.
chéo nhau.
cắt nhau.
trùng nhau.
Chọn A
Nếu ba đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng và đôi một cắt nhau thì ba đường thẳng đó
đồng quy.
tạo thành tam giác.
trùng nhau.
cùng song song với một mặt phẳng.
Chọn A
Đặt \(\left( \alpha \right) \equiv \left( {a;b} \right)\,\,;\,\,\left( \beta \right) \equiv \left( {a\,;\,c} \right)\,\,;\,\,\left( \gamma \right) \equiv \left( {b\,;\,c} \right)\)
Ta thấy, ba mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\,;\,\left( \beta \right)\,;\,\left( \gamma \right)\) cắt nhau theo ba giáo tuyến phân biệt và ba giao tuyến \(\left( a \right)\,\,;\,\,\left( b \right)\,\,;\,\left( c \right)\) đôi một cắt nhau nên chúng đồng quy tại \(M\).
Cho tứ diện ABCD, gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(AB\) và \(CD\). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD\). Đường thẳng \(AG\) cắt đường thẳng nào trong các đường thẳng dưới đây? 
Đường thẳng \(MN\).
Đường thẳng \(CM\).
Đường thẳng \(DN\).
Đường thẳng \(CD\).
Chọn A
Do \(AG\) và \(MN\) cùng nằm trong mặt phẳng \(\left( {ABN} \right)\) nên hai đường thẳng cắt nhau.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm \(O\). Gọi \(I,\,\,J\) lần lượt là trung điểm của \(SA\) và \(SC\). Đường thẳng \(IJ\) song song với đường thẳng nào?
\(BC\).
\(AC\).
\(SO\).
\(BD\).
Chọn B
Dễ dàng thấy được: \(IJ\) là đường trung bình của tam giác \(SAC\) \( \Rightarrow IJ\parallel AC\).
Trong mặt phẳng \(\left( P \right)\), cho hình bình hành ABCD. Vẽ các tia \(Bx,Cy,Dz\) song song với nhau, nằm cùng phía với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), đồng thời không nằm trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Một mặt phẳng đi qua \(A\), cắt \(Bx,Cy,Dz\) tương ứng tại \(B',C',D'\) sao cho \(BB' = 2\), \(DD' = 4\). Tính \(CC'\).
\(6\).
\(8\).
\(2\).
\(3\).
Chọn D
Ta có: \(AB'C'D'\) là hình bình hành.
\(AC' \cap BD' = I\) và \(AC \cap BD = O\) \( \Rightarrow OI\) là đường trung bình của tam giác \(ACC'\) \( \Rightarrow CC' = 2{\rm{O}}I\).
\(BB'D'D\) là hình thang có \(OI\) là đường trung bình \( \Rightarrow OI = \frac{{BB' + DD'}}{2} = 3\).
Vậy \(CC' = 6\).
Cho tứ diện ABCD. Gọi \(G\) và \(E\) lần lượt là trọng tâm của tam giác \(ABD\) và \(ABC\). Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
\(GE{\rm{//}}CD\).
\(GE\) cắt \(AD\).
\(GE\) cắt \(CD\).
\(GE\) và \(CD\) chéo nhau.
Chọn A
Ta có: \(\frac{{AG}}{{AI}} = \frac{{AE}}{{AJ}} = \frac{2}{3}\) \( \Rightarrow EG\parallel IJ\)
Mà \(IJ\parallel CD\) (do \(IJ\) là đường trung bình của tam giác \(BCD\))
\( \Rightarrow EG\parallel CD\).
Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh \(AB,\,\,AD\) lần lượt lấy các điểm \(M\,,\,\,N\) sao cho \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AD}} = \frac{1}{3}\). Gọi \(P\,,\,\,Q\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(CD\,,\,\,CB\). Mệnh đề nào sau đây đúng
Tứ giác\(MNPQ\) là một hình thang.
Tứ giác \(MNPQ\) là hình bình hành.
Bốn điểm \(M\,,\,N\,,\,P\,,\,Q\) không đồng phẳng.
Tứ giác \(MNPQ\) không có các cặp cạnh đối nào song song.
Chọn A
Xét tam giác \(ABD\) có : \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AD}} = \frac{1}{3}\) \( \Rightarrow MN\parallel BD\) (Định lý Talet)
Xét tam giác \(BCD\) có : \(PQ\) là đường trung bình của tam giác \( \Rightarrow PQ\parallel BD\)
Vậy \(PQ\parallel MN\) \( \Rightarrow MNPQ\) là hình thang.
Cho hình chóp S.ABCD. Gọi \(A'\,,\,\,B',\,\,C',\,\,D'\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(SA\,,\,\,SB,\,\,SC,\,\,SD\). Trong các đường thẳng sau đây, đường thẳng nào không song song với \(A'B'\,\,?\)
\(AB\).
\(CD\).
\(C'D'\).
\(SC\).
Chọn D
Do \(A'B'\) và \(SC\) không đồng phẳng nên \(A'B'\) và \(SC\) không song song nhau.
Cho tứ diện ABCD. Các điểm \(M\,,\,\,N\) lần lượt là trung điểm \(BD\,,\,\,AD\). Các điểm\(H,\,\,G\) lần lượt là trọng tâm các tam giác \(BCD\,\,;\,\,ACD\). Đường thẳng \(HG\) chéo với đưởng thẳng nào sau đây?
\(MN\).
\(CD\).
\(CN\).
\(AB\).
Chọn B
Do \(\frac{{OG}}{{OA}} = \frac{{OH}}{{OB}} = \frac{1}{3}\) \( \Rightarrow HG\parallel AB\) (Định lý Talet)
Xét tam giác \(ABD\) có: \(MN\parallel AB\) (do \(MN\) là đường trung bình của tam giác)\( \Rightarrow HG\parallel MN\)
Lại có: \(HG \cap CN = G\)
Vậy \(HG\) và \(CD\) chéo nhau.
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành. Điểm \(M\) thuộc cạnh \(SC\) sao cho \(SM = 3MC\), \(N\) là giao điểm của \(SD\) và \(\left( {MAB} \right)\). Khi đó, hai đường thẳng \(CD\) và \(MN\) là hai đường thẳng:
Cắt nhau.
Chéo nhau.
Song song.
Có hai điểm chung.
Chọn C
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{M \in \left( {MAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\\begin{array}{l}AB \subset \left( {MAB} \right)\,;\,\,CD \subset \left( {SCD} \right)\\AB\parallel CD\end{array}\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow Mx = \left( {MAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\) với \(Mx\parallel CD\parallel AB\)
Gọi \(N = Mx \cap SD\) trong \(\left( {SCD} \right)\) \( \Rightarrow N = SD \cap \left( {MAB} \right)\)
Vậy \(MN\) song song với \(CD\).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật. Mặt phẳng \(\left( P \right)\) cắt các cạnh \(SA\), \(SB\), \(SC\), \(SD\) lần lượt tại \[M\], \(N\), \(P\), \(Q\). Gọi \(I\) là giao điểm của \(MQ\) và \(NP\). Câu nào sau đây đúng?
\(SI{\rm{//}}AB\).
\(SI{\rm{//}}AC\).
\(SI{\rm{//}}AD\).
\(SI{\rm{//}}BD\).
Chọn C
Ta có:\(SI = \left( {SBC} \right) \cap \left( {SAD} \right)\)
Do \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{SI = \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\\begin{array}{l}AD \subset \left( {SAD} \right)\,;\,\,BC \subset \left( {SBC} \right)\\AD\parallel BC\end{array}\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow SI\parallel BC\parallel AD\).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang đáy lớn là \(CD\). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(SA\), \(N\) là giao điểm của cạnh \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {MCD} \right)\). Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
\[MN\]và \(SD\) cắt nhau.
\[MN\,\parallel \,CD\].
\[MN\] và \(SC\) cắt nhau.
\[MN\] và \(CD\) chéo nhau.
Chọn B
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{MN = \left( {MCD} \right) \cap \left( {SAB} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\\begin{array}{l}CD \subset \left( {MCD} \right)\,\,;\,\,AB \subset \left( {SAB} \right)\\CD\parallel AB\end{array}\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow MN\parallel CD\parallel AB\).
Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Trong không gian cho ba đường thẳng \(a,b\) và \(c\) phân biệt. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?
a) Nếu hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
b) Nếu hai đường thẳng cùng chéo nhau với đường thẳng thứ ba thì chúng chéo nhau.
c) Nếu đường thẳng \(a\) song song với đường thẳng \(b\), đường thẳng \(b\) và đường thẳng \(c\) chéo nhau thì đường thẳng \(a\) và đường thẳng \(c\) chéo nhau hoặc cắt nhau.
d) Nếu đường thẳng \(a\) cắt \(b\), hai đường thẳng \(b\) và \(c\) chéo nhau thì \(a\) và \(c\) chéo nhau hoặc song song với nhau.
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Sai |
Phát biểu A đúng (xem định lí 3).
Phát biểu \({\bf{B}}\) sai. Vì nếu hai đường \(a,c\) chéo nhau và hai đường \(b,c\) chéo nhau thì đường thẳng \(a\) và đường thẳng \(b\) có đến ba khả năng: chéo nhau, song song hoặc cắt nhau.
Phát biểu C đúng.
Phát biểu D sai vì đường thẳng \(a\) có thể cắt cả hai đường chéo nhau là \(b\) và \(c\), tức là đường thẳng \(a\) có thể cắt đường thẳng \(c\).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (\(AD\) là đáy lớn, \(BC\) là đáy nhỏ). Gọi \(E,F\) lần lượt là trung điểm của \(SA\) và \(SD\). \(K\) là giao điểm của các đường thẳng \(AB\) và \(CD\). Khi đó:
a) Giao điểm \(M\) của đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \((CDE)\) là điểm thuộc đường thẳng \(KE\)
b) Đường thẳng \(SC\) cắt mặt phẳng \((EFM)\) tại \(N\). Tứ giác \(EFNM\) là hình bình hành
c) Các đường thẳng \(AM,DN,SK\) cùng đi qua một điểm
d) Cho biết \(AD = 2BC\). Tỉ số diện tích của hai tam giác \(KMN\) và \(KEF\) bằng \(\frac{{{S_{\Delta KMN}}}}{{{S_{\Delta KEF}}}} = \frac{2}{3}\)
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Sai |
a) Có \(SK = (SAB) \cap (SCD)\).
Trong mp (SAB), gọi \(M = KE \cap SB\), có \(KE \subset (CDE)\). Do đó \(SB \cap (CDE) = M\).
b) Trong mp \((SCD)\), gọi \(N = KF \cap SC\), có \(KF \subset (EFM)\).
Do đó \(SC \cap (EFM) = N\).
Có \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{MN = (EFK) \cap (SBC)}\\{EF//BC;EF \subset (EFK),BC \subset (SBC)}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow MN//EF//BC\).
Suy ra tứ giác \(EFNM\) là hình thang.
c) Trong mp \((ADNM)\), gọi \(I = AM \cap DN\).
Mà \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{I \in AM,AM \subset (SAB)}\\{I \in CD,CD \subset (SCD)}\end{array} \Rightarrow I \in (SAB) \cap (SCD)} \right.\),
Hay \(I \in SK\). Kết luận 3 đường thẳng \(AM,DN,SK\) đồng quy tại điểm \(I\).
d) Khi \(AD = 2BC\) dễ dàng chứng minh được \(B,C\) lần lượt là trung điểm của \(KA\) và \(KD\). Suy ra \(M,N\) lần lượt là trọng tâm của hai tam giác \(SAK\) và \(SDK\).
Do đó \(MN = \frac{2}{3}EF\), gọi \({h_1},{h_2}\) lần lượt là độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh \(K\) xuống hai đáy \(MN\) và \(EF\), dễ thấy \({h_1} = \frac{2}{3}{h_2}\).
Vậy \(\frac{{{S_{\Delta KMN}}}}{{{S_{\Delta KEF}}}} = \frac{{\frac{1}{2}MN \cdot {h_1}}}{{\frac{1}{2}EF \cdot {h_2}}} = \frac{{\frac{2}{3}EF \cdot \frac{2}{3}{h_2}}}{{EF \cdot {h_2}}} = \frac{4}{9}\).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Khi đó
a) Giao tuyến của \((SAB)\) và \((SCD)\) là đường thẳng đi qua \(S\) và song song với \(AB\)
b) Giao tuyến \((SAD)\)và \((SBC)\) là đường thẳng đi qua \(S\) và song song với \(AB\)
c) Gọi \(M \in SC\), giao tuyến của \((ABM)\) và \((SCD)\) là đường thẳng đi qua \(M\) và song song với \(AB\)
d) Gọi \(N \in SB\), giao tuyến của \((SAB)\) và \((NCD)\) là đường thẳng đi qua \(N\) và song song với \(AB\)
a) Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AB//CD;AD//BC\).
a) Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AB//CD}\\{AB \subset (SAB)}\\{CD \subset (SCD)}\\{S \in (SAB) \cap (SCD)}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{Sx = (SAB) \cap (SCD)}\\{Sx//AB//CD}\end{array}} \right.} \right.\)
b) Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AD//BC}\\{AD \subset (SAD)}\\{BC \subset (SBC)}\\{S \in (SAD) \cap (SBC)}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{Sy = (SAD) \cap (SCD)}\\{Sy//AD//BC}\end{array}} \right.} \right.\)
c) Ta có : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AB//CD}\\{AB \subset (MAB)}\\{CD \subset (SCD)}\\{M \in (MAB) \cap (SCD)}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{Mt = (MAB) \cap (SCD)}\\{Mt//AB//CD}\end{array}} \right.} \right.\).
d) Ta có : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AB//CD}\\{AB \subset (SAB)}\\{CD \subset (NCD)}\\{N \in (SAB) \cap (NCD)}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{Nz = (SAB) \cap (NCD)}\\{Nz//AB//CD}\end{array}} \right.} \right.\).
Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là một hình bình hành tâm \(O\). Gọi \(I,K\) lần lượt là trung điểm của \(SB\) và \(SD\). Khi đó:
a) \(SO\) là giao tuyến của \((SAC)\) và \((SBD)\)
b) Giao điểm \(J\) của \(SA\) với \((CKB)\) thuộc đường thẳng đi qua \(K\) và song song với \(DC\)
c) Giao tuyến của \((OIA)\) và \((SCD)\) là đường thẳng đi qua \(C\) và song song với \(SD\)
d) \(CD//IJ\)
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng |
\(\begin{array}{l}{\rm{ a) }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{O \in AC \subset (SAC)}\\{O \in BD \subset (SBD)}\end{array} \Rightarrow O \in (SAB) \cap (SCD)} \right.\\S \in (SAB) \cap (SCD)\\ \Rightarrow SO = (SAC) \cap (SBD).\end{array}\)
b) Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AB//CD;AD//BC\).
Ta có : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AD//CB}\\{AD \subset (SAD)}\\{BC \subset (SBC)}\\{K \in (KBC) \cap (SAD)}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{Kx = (KBC) \cap (SAD)}\\{Kx//AD//BC}\end{array}} \right.} \right.\).
Trong \((SAD)\) gọi \(J = Kx \cap SA\), có \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{J \in SA}\\{J \in Kx \subset (BKC)}\end{array} \Rightarrow J = SA \cap (BKC)} \right.\)
c) Có \(OI\) là đường trung bình của \(\Delta SBD \Rightarrow OI//SD\).
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{OI//SD}\\{OI \subset (OIA)}\\{SD \subset (SCD)}\\{C \in (OIA) \cap (SCD)}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{Cy = (OIA) \cap (SCD)}\\{Cy//SD//OI}\end{array}} \right.} \right.\).
d) Ta có:
\(IJ//AB\) (\(IJ\) là đường trung bình của \(\Delta SAB\))
\(AB//CD\) (tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành) \( \Rightarrow CD//IJ\).
Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Cho tứ diện ABCD. Một mặt phẳng cắt bốn cạnh AB,BC,CD,DA lần lượt tại các điểm M,N,P,Q.
a) Chứng minh rằng các đường thẳng \(MN,PQ,AC\) đôi một song song hoặc đồng quy.
b) Chứng minh rằng các đường thẳng \(MQ,NP,BD\) đôi một song song hoặc đồng quy.
a) Áp dụng định lí về ba đường giao tuyến cho ba mặt phẳng \((ABC),(ACD)\) và (MNPQ)
b) Tương tự câu a.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang \((AB//CD)\). Gọi \(M,N\) lần lượt là các điểm thuộc các cạnh \(SA,SD\).
a) Xác định giao tuyến \(d\) của hai mặt phẳng \((MCD)\) và \((NAB)\).
b) Chứng minh rằng \(d//AB\).
a) Trong mặt phẳng \((SAD)\), gọi \(P\) là giao điểm của \(AN\) và \(DM\).
Trong mặt phẳng \((NAB)\), vẽ đường thẳng \(d\) đi qua \(P\) và song song với \(AB\) thì \(d\) là giao tuyến cần tìm.
b) Theo cách dựng thì \(d\) song song với \(AB\).
Cho tứ diện ABCD có \(I\,;\,\,J\) lần lượt là trọng tâm của tam giác \(ABC\), \(ABD\). Chứng minh rằng: \(IJ{\rm{//}}CD\).
Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\)
Xét tam giác \(ABC\) có: \(\frac{{MI}}{{MC}} = \frac{1}{3}\) (do \(I\) là trọng tam của tam giác \(ABC\))
Xét tam giác \(ABD\) có: \(\frac{{MJ}}{{MD}} = \frac{1}{3}\) (do \(J\) là trọng tam của tam giác \(ABD\))
Do \(\frac{{MI}}{{MC}} = \frac{{MJ}}{{MD}} = \frac{1}{3}\)\( \Rightarrow IJ{\rm{//}}CD\) (Định lí Ta-let)
Cho tứ diện ABCD. Trên \(SA,BC\) lấy điểm \(M,N\) sao cho: \(\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{{BN}}{{BC}} = \frac{3}{4}\). Qua \(N\) kẻ \(NP\) song song với \(CA\) (\(P\) thuộc \(AB\)). Chứng minh rằng \(MP\)//\(SB\)
Vì \(MN//AC \Rightarrow \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{CN}}{{CB}} = \frac{1}{4}\)
Ta có: \[\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AP}}{{AS}} = \frac{1}{4}\]
Vậy \(MP//SB\)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành (H.4.25). Hãy xác định giao tuyến của hai mặt phẳng \((SAD)\) và \((SBC)\).
Hai mặt phẳng \((SAD)\) và \((SBC)\) có điểm chung \(S\) và chứa hai đường thẳng song song là \(AD\) và \(BC\). Do đó, giao tuyến của hai mặt phẳng \((SAD)\) và \((SBC)\) là đường thẳng \[n\] đi qua \(S\) và song song với \(AD\), \(BC\)
Khi hai cánh cửa sổ hình chữ nhật được mở, dù ở vị trí nào, thì hai mép ngoài của chúng luôn song song với nhau (H.4.29). Hãy giải thích tại sao.
Nếu hai cánh cửa sổ có dạng hình thang như Hình 4.30 thì có vị trí nào của hai cánh cửa để hai mép ngoài của chúng song song với nhau hay không?
Mỗi cánh cửa ở Hình 4.29 đều có dạng hình chữ nhật nên các cạnh đối diện của mỗi cánh cửa song song với nhau.
Khi đó ta có \(a\parallel b\) và \(c\parallel d\).
Lại có các đường thằng \(a\) và \(d\) là đường thẳng giao tuyến giữa khung cửa và cánh cửa nên \(a\parallel d\).
Do vậy, bốn đường thẳng \(a,b,c,d\) luôn đôi một song song với nhau.
Vậy khi hai cánh cửa sổ hình chữ nhật được mở, dù ở vị trí nào, thì hai mép ngoài của chúng luôn song song với nhau.
Nếu hai cánh cửa sổ có dạng hình thang như Hình 4.30 thì không có vị trí nào của hai cánh cửa để hai mép ngoài của chúng song song với nhau.
