Bài tập Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: D

Theo tính chất về giao tuyến của ba mặt phẳng, nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

Đáp án đúng là: A

Hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) có điểm chung là S.

Mặt phẳng (SAB) chứa đường thẳng AB, mặt phẳng (SCD) chứa đường thẳng CD.

Vì ABCD là hình bình hành nên AB song song với CD.

Do đó, giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là đường thẳng đi qua điểm chung S và song song với AB (và CD).

Đáp án đúng là: C

Hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) có điểm chung thứ nhất là S.

Trong mặt phẳng đáy (ABCD), đường thẳng AD và đường thẳng BC cắt nhau tại M.

Suy ra M thuộc mặt phẳng (SAD) và M cũng thuộc mặt phẳng (SBC).

Vậy M là điểm chung thứ hai.

Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là đường thẳng đi qua S và M, tức là đường thẳng SM.

Đáp án đúng là: A

Hai mặt phẳng (MNC) và (ABCD) có điểm chung là C.

Mặt phẳng (MNC) chứa đường thẳng MN, mặt phẳng (ABCD) chứa đường thẳng AB.

Theo giả thiết, MN song song với AB.

Lấy điểm E sao cho đường thẳng qua điểm C song song với AB và cắt AD tại E;

Do đó, giao tuyến của hai mặt phẳng (MNC) và (ABCD) là CE - đường thẳng đi qua điểm chung C và song song với AB (và MN).

Đáp án đúng là: B

Điểm M thuộc đoạn BD nên M thuộc mặt phẳng (ABD). Do đó M là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng (CGM) và (ABD).

Trong mặt phẳng (ABC), kéo dài tia CG cắt cạnh AB tại N. Do G là trọng tâm tam giác ABC nên N là trung điểm của AB.

Vì N thuộc cạnh AB nên N thuộc mặt phẳng (ABD). Mặt khác, N nằm trên đường thẳng CG nên N thuộc mặt phẳng (CGM). Do đó N là điểm chung thứ hai.

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (CGM) và (ABD) là đường thẳng MN, với N là trung điểm của AB.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Nếu hai mặt phẳng phân biệt có giao tuyến thì giao tuyến đó là một đường thẳng.

b) Đúng. Nếu có điểm chung thì sẽ có đường thẳng chung đi qua điểm đó.

c) Sai. Đường thẳng a có thể song song với cả (P) và (Q) mà không nằm trong mặt phẳng nào.

d) Sai. Giao tuyến phải song song hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó, không thể cắt chúng.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Hai mặt phẳng có điểm chung là S. Trong mặt phẳng đáy (ABCD), AC cắt BD tại O nên O là điểm chung thứ hai. Giao tuyến là SO.

b) Sai. Vì AB song song với CD nên giao tuyến của (SAB) và (SCD) là đường thẳng qua S và song song với AB, CD chứ không phải AD.

c) Đúng. AD song song với BC nên giao tuyến là đường thẳng qua S song song với BC (và AD).

d) Đúng. Hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) có hai điểm chung là A và B nên giao tuyến là đường thẳng đi qua hai điểm đó, tức là đường thẳng AB.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Điểm M ∊ AB nên M ∊ (ABN). Mặt khác M ∊ (CDM), suy ra M là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng.

Tương tự, điểm N ∊ CD nên N ∊ (CDM) và N ∊ (ABN), suy ra N là điểm chung thứ hai. Vậy giao tuyến của (ABN) và (CDM) là MN.

b) Đúng. Hai mặt phẳng (MPQ) và (BCD) là Q (vì Q là trung điểm của BC).

Mặt phẳng (MPQ) chứa MP, mặt phẳng (BCD) chứa BD.

Trong tam giác ABD, do M và P lần lượt là trung điểm của AB và AD nên MP là đường trung bình, suy ra MP song song BD.

Áp dụng hệ quả định lí về ba đường giao tuyến: giao tuyến của hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song là đường thẳng đi qua điểm chung Q và song song với BD (và MP).

c) Sai. Hai mặt phẳng (MPQ) và (ACD) có điểm chung là P (vì P là trung điểm của AD).

Mặt phẳng (MPQ) chứa MQ, mặt phẳng (ACD) chứa AC.

Trong tam giác ABC, do M và Q lần lượt là trung điểm của AB và BC nên MQ là đường trung bình, suy ra MQ song song với AC.

Theo hệ quả định lí về ba đường giao tuyến, giao tuyến của hai mặt phẳng này phải là đường thẳng đi qua điểm chung P và song song với AC, chứ không phải song song với CD.

d) Sai. Hai mặt phẳng (MNP) và (ABC) có điểm chung là M (vì M là trung điểm của AB).

Mặt phẳng (MNP) chứa NP, mặt phẳng (ABC) chứa AC.

Trong tam giác ACD, do N và P lần lượt là trung điểm của CD và AD nên NP là đường trung bình, suy ra NP ∥ AC.

Do đó, giao tuyến của hai mặt phẳng phải là đường thẳng đi qua điểm chung M và song song với AC, chứ không phải song song với BC.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Hai mặt phẳng (DMN) và (DBC) có điểm D chung. Mặt khác (DMN) chứa MN, (DBC) chứa BC mà MN song song với BC (do là đường trung bình). Nên giao tuyến qua D và song song với BC.

b) Đúng. Có điểm P chung. (MNP) chứa MN, (BCD) chứa BC, MN song song với BC. Giao tuyến qua P và song song với MN (và BC).

c) Đúng. Hai mặt phẳng (MNP) và (ABD) có hai điểm chung là M và P nên giao tuyến là đường thẳng MP.

d) Sai. Hai mặt phẳng (DMN) và (ACD) có điểm chung thứ nhất là D

Mặt khác, điểm N ∊ AC nên N ∊ (ACD); đồng thời N ∊ (DMN). Do đó N là điểm chung thứ hai.

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (DMN) và (ACD) là DN.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Trong mặt phẳng đáy, AB và CD không song song nên cắt nhau tại một điểm. Giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng nối S và giao điểm đó.

b) Đúng. Mặt phẳng (SAD) chứa AD, (SBC) chứa BC, và AD song song với BC. Giao tuyến của chúng qua S và song song với AD, BC.

c) Đúng. M là điểm chung. Hai mặt phẳng lần lượt chứa BC và AD song song với nhau. Giao tuyến phải đi qua M và song song với AD. Mặt khác MN là đường trung bình tam giác SAD nên MN song song với AD. Vậy giao tuyến chính là đường thẳng MN.

d) Sai. M là điểm chung của (MNC) và (SAB). Điểm C nằm trong (MNC) nhưng không nằm trong (SAB). Do đó đường thẳng MC không thể là giao tuyến của hai mặt phẳng này.

Đáp án: 15

Hai mặt phẳng bất kỳ trong số 6 mặt phẳng kể trên đều chứa điểm chung là đỉnh S. Do đó, giao tuyến của bất kỳ cặp mặt phẳng nào chọn từ 6 mặt phẳng này đều là một đường thẳng đi qua S. Số cặp mặt phẳng có thể chọn ra từ 6 mặt phẳng là:

(6∙5) : 2 = 15.

Đáp án: 0,67

Xét hai mặt phẳng (MCD) và (SAB) có:

Điểm chung thứ nhất: M (do M ∊ SA nên M ∊ (SAB)).

Mặt phẳng (MCD) chứa CD, mặt phẳng (SAB) chứa AB.

Đáy ABCD là hình thang nên AB ∥ CD.

Theo hệ quả định lí về giao tuyến, giao tuyến d của hai mặt phẳng (MCD) và (SAB) là đường thẳng đi qua điểm chung M và song song với AB, CD.

Vì d cắt SB tại N nên giao tuyến là MN, suy ra MN song song với AB.

Xét ΔSAB có MN ∥ AB, áp dụng định lí Thales ta có: \(\frac{{SN}}{{SB}} = \frac{{SM}}{{SA}}\).

Theo giả thiết SM = 2MA, suy ra \(\frac{{SM}}{{SM + MA}} = \frac{2}{{2 + 1}}\) nên \(\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{2}{3}\).

Vậy tỉ số \(\frac{{SN}}{{SB}} = \frac{2}{3} = 0,67\).

Đáp án: 0,33

Xét hai mặt phẳng (ABM) và (SCD) có:

M là điểm chung thứ nhất.

Mặt phẳng (ABM) chứa đường thẳng AB, mặt phẳng (SCD) chứa đường thẳng CD.

Đáy ABCD là hình bình hành nên AB ∥ CD.

Do đó, giao tuyến của hai mặt phẳng (ABM) và (SCD) là đường thẳng đi qua điểm chung M và song song với AB, CD.

Đường thẳng này cắt mặt phẳng (SCD) tại cạnh SD ở điểm N, suy ra giao tuyến là đoạn thẳng MN và MN ∥ CD.

Xét ΔSCD có MN ∥ CD, áp dụng định lí Thales ta có: \(\frac{{SN}}{{SD}} = \frac{{SM}}{{SC}}\).

Theo giả thiết SC = 3SM nên tỉ số \(\frac{{SM}}{{SC}} = \frac{1}{3}\).

Vậy tỉ số \(\frac{{SN}}{{SD}} = \frac{1}{3} \approx 0,33\).

Đáp án: 2

Xét hai mặt phẳng (DMN) và (DBC), ta có D là điểm chung thứ nhất.

Điểm K là giao điểm của MN và BC, mà MN nằm trong (DMN) và BC nằm trong (DBC) nên K là điểm chung thứ hai.

Do đó, giao tuyến d của hai mặt phẳng chính là đường thẳng DK.

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC với cát tuyến M, N, K thẳng hàng, ta có: \(\frac{{AM}}{{MB}} \cdot \frac{{BK}}{{KC}} \cdot \frac{{CN}}{{NA}} = 1\)

Vì M là trung điểm của AB nên \(\frac{{AM}}{{MB}}\) = 1.

Vì AN = 2NC nên \(\frac{{CN}}{{NA}} = \frac{1}{2}.\)

Thay các tỉ số vào biểu thức ta được:\(1 \cdot \frac{{BK}}{{CK}} \cdot \frac{1}{2} = 1\), suy ra \(\frac{{BK}}{{CK}}\) = 2.

Đáp án: 0,25

Mặt phẳng (ABM) chứa đường thẳng AB và mặt phẳng (SCD) chứa đường thẳng CD.

Vì ABCD là hình thang nên AB song song với CD.

Hai mặt phẳng (ABM) và (SCD) có điểm chung là M, do đó giao tuyến của chúng là đường thẳng đi qua M và song song với CD.

Trong mặt phẳng (SCD), đường thẳng qua M song song với CD cắt SC tại N, nên đoạn thẳng MN chính là một phần giao tuyến của hai mặt phẳng.

Vì M là trung điểm của SD và MN song song với CD nên MN là đường trung bình của tam giác SCD, suy ra N là trung điểm của SC.

Tỉ số diện tích của hai tam giác có chung đỉnh S là: \(\frac{{{S_{SMN}}}}{{{S_{SCD}}}} = \frac{{SM}}{{SD}} \cdot \frac{{SN}}{{SC}} = 0,5 \cdot 0,5 = 0,25\).