Bài tập Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian lớp 11 (có lời giải)
25 câu hỏi
Hai đường thẳng đồng phẳng thì có thể
Cắt nhau;
Trùng nhau;
Song song;
Cả ba đáp án trên.
Đáp án đúng là: D
Hai đường thẳng cùng nằm trên một mặt phẳng thì có thể trùng nhau, cắt nhau hoặc song song với nhau.
Khẳng định sai trong các khẳng định sau là
Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung;
Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau;
Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau và không song song thì chéo nhau;
Hai đường thẳng phân biệt không chéo nhau hoặc cắt nhau thì song song.
Đáp án đúng là: B
Hai đường thẳng không có điểm chung thì có thể song song với nhau (nếu chúng đồng phẳng) hoặc chéo nhau (khi chúng không đồng phẳng). Vậy đáp án đúng là B.
Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng
Không có điểm chung;
Có một điểm chung;
Đồng phẳng và không có điểm chung;
Không đồng phẳng và không có điểm chung.
Đáp án đúng là: C
Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng không có điểm chung và đồng phẳng. Nếu chúng không có điểm chung và không đồng phẳng thì chúng chéo nhau. Vậy đáp án đúng là C.
Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng
Chéo nhau;
Trùng nhau;
Song song với nhau;
Song song với nhau hoặc trùng nhau.
Đáp án đúng là: D
Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng có thể trùng nhau hoặc song song với nhau.
Vậy đáp án đúng là D.
Điểm phân biệt giữa hai đường thẳng song song và hai đường thẳng chéo nhau là
Không có điểm chung và có điểm chung;
Không cắt nhau và cắt nhau;
Đồng phẳng và không đồng phẳng;
Chỉ là hai cách gọi khác nhau của hai đường thẳng song song.
Đáp án đúng là: C
Hai đường thẳng song song và hai đường thẳng chéo nhau đều không có điểm chung giữa hai đường thẳng.
Nhưng hai đường thẳng song song thì đồng phẳng với nhau, còn hai đường thẳng chéo nhau thì không đồng phẳng với nhau.
Trong không gian có 3 đường thẳng a, b và c chéo nhau từng đôi một. Số đường thẳng có thể cắt cả 3 đường thẳng này là
1;
2;
0;
Vô số.
Đáp án đúng là: D
Gọi A là một điểm bất kỳ nằm trên đường thẳng a.
Giả sử d là đường thẳng đi qua A và cắt cả hai đường thẳng b và c.
Khi đó và hay với d là giao tuyến của hai mặt phẳng (A, b) và (A, c).
Với mỗi điểm A bất kỳ ta được 1 đường thẳng d tương ứng.
Có thể chọn vô số điểm A như vậy nên có vô số đường thẳng thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Lấy và . Hai đường thẳng AD và BC
Song song với nhau;
Cắt nhau;
Chéo nhau;
Song song hoặc cắt nhau.
Đáp án đúng là: C
Có 3 đường thẳng phân biệt a, b, c; a và b song song với nhau. Khẳng định sai trong các khẳng định sau là
Nếu a và c song song với nhau thì b và c song song với nhau;
Nếu c và a cắt nhau thì c và b cắt nhau;
a và b cùng nằm trên một mặt phẳng;
Nếu a và c song song với nhau thì b và c cùng nằm trên một mặt phẳng.
Đáp án đúng là: B
Nếu c cắt a thì c và b cắt nhau hoặc c và b chéo nhau.
Trường hợp c và b chéo nhau:
Cho 3 đường thẳng a, b, c. Biết a và b song song, a và c chéo nhau. Khi đó b và c
Trùng nhau hoặc chéo nhau;
Chéo nhau hoặc song song;
Cắt nhau hoặc chéo nhau
Song song hoặc trùng nhau.
Đáp án đúng là: C
Giả sử b và c trùng nhau hoặc song song, khi đó a và c song song hoặc trùng nhau (trái với đề bài). Vậy b và c không thể trùng nhau hoặc song song. Đáp án đúng là C.
Cho hình bình hành ABCD. Lấy một điểm S nằm ngoài mặt phẳng (ABCD). Giao tuyến của (ACD) và (SAB) và đường thẳng CD
Song song với nhau;
Trùng nhau;
Cắt nhau.
Cắt nhau.
Đáp án đúng là: A
Vì A, B, C, D cùng nằm trên mặt phẳng (ABCD) nên giao tuyến của (SAB) và (ACD) chính là giao tuyến của (SAB) và (ABCD) hay chính là đường thẳng AB.
Do ABCD là hình bình hành nên hai đường thẳng AB và CD song song với nhau.
Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt không có điểm chung thì có vị trí tương đối là:
Cắt nhau.
Chéo nhau.
Song song hoặc chéo nhau.
Trùng nhau.
Đáp án đúng là: C
Hai đường thẳng phân biệt không có điểm chung có thể cùng nằm trong một mặt phẳng (song song) hoặc không cùng nằm trong bất kỳ mặt phẳng nào (chéo nhau).
Cho tứ diện ABCD. Hai đường thẳng AB và CD có vị trí tương đối là:
Cắt nhau.
Chéo nhau.
Song song.
Trùng nhau.
Đáp án đúng là: B
Bốn điểm A, B, C, D tạo thành một tứ diện nên chúng không đồng phẳng.
Do đó, hai đường thẳng AB và CD không cùng nằm trong bất kỳ mặt phẳng nào, suy ra chúng chéo nhau.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA và SB. Mệnh đề nào sau đây đúng?
MN và CD chéo nhau.
MN và CD cắt nhau.
MN và CD song song.
MN và AB chéo nhau.
Đáp án đúng là: C
Trong tam giác SAB, MN là đường trung bình nên MN song song với AB.
Mặt khác, ABCD là hình bình hành nên AB song song với CD.
Theo tính chất bắc cầu, đường thẳng MN song song với đường thẳng CD.
Trong không gian, cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa đường thẳng a và song song với đường thẳng b?
0.
1.
2.
Vô số.
Đáp án đúng là: B
Theo tính chất của hai đường thẳng chéo nhau trong không gian, qua một đường thẳng luôn có duy nhất một mặt phẳng song song với đường thẳng còn lại. Vậy có duy nhất 1 mặt phẳng thỏa mãn.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (đáy lớn AB, đáy nhỏ CD). Gọi O là giao điểm của AC và BD. Lấy điểm M là trung điểm của SD. Đường thẳng OM và đường thẳng SA có vị trí tương đối là:
Trùng nhau.
Song song.
Cắt nhau.
Chéo nhau.
Đáp án đúng là: D
Đường thẳng OM nằm trong mặt phẳng (SBD).
Đường thẳng SA cắt mặt phẳng (SBD) tại duy nhất điểm S.
Vì điểm M không trùng S và O không trùng S, đường thẳng OM không đi qua S. Do đó, OM và SA không có điểm chung và không đồng phẳng. Vậy chúng chéo nhau.
Xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau về hai đường thẳng trong không gian:
Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì chéo nhau.
Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng thì không chéo nhau.
Hai đường thẳng chéo nhau thì không cùng thuộc bất kỳ mặt phẳng nào.
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Sai. Hai đường thẳng không cắt nhau có thể song song với nhau.
b) Đúng. Nếu cùng thuộc một mặt phẳng, chúng chỉ có thể cắt nhau hoặc song song.
c) Đúng. Đây là định nghĩa của hai đường thẳng chéo nhau.
d) Sai. Chúng có thể chéo nhau hoặc cắt nhau hoặc song song.
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Lấy điểm P trên cạnh BD sao cho BP = 2PD. Xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau:
Hai đường thẳng MN và AB song song với nhau.
Hai đường thẳng MN và CD chéo nhau.
Hai đường thẳng NP và CD cắt nhau.
Hai đường thẳng MP và AD chéo nhau.
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN song song AB.
b) Đúng. M, N, C đồng phẳng nhưng D không thuộc (ABC), do đó không có mặt phẳng nào chứa cả MN và CD.
c) Đúng. Trong mặt phẳng (BCD), NP và CD không song song với nhau nên NP và CD cắt nhau.
d) Đúng. P thuộc BD, M thuộc AC. Không tồn tại mặt phẳng chung chứa MP và AD nên chúng chéo nhau.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau:
Hai đường thẳng SO và AB chéo nhau.
Hai đường thẳng SA và SC song song với nhau.
Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là một đường thẳng đi qua S và song song với AB.
Đường thẳng chứa cạnh SA và đường thẳng chứa cạnh BD cắt nhau.
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. O thuộc mặt phẳng (ABCD), SA cắt (ABCD) tại A. SO và AB không đồng phẳng.
b) Sai. SA và SC cùng đi qua đỉnh S nên chúng cắt nhau tại S.
c) Đúng. AB song song CD, S là điểm chung nên giao tuyến là đường thẳng qua S song song với AB và CD.
d) Sai. SA và BD chéo nhau vì đỉnh S không nằm trong mặt phẳng chứa BD (mặt đáy).
Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Lấy các điểm A, B phân biệt thuộc a và C, D phân biệt thuộc b. Xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau:
Bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một mặt phẳng.
Hai đường thẳng AC và BD chéo nhau.
Hai đường thẳng AD và BC cắt nhau.
Tồn tại duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng a và điểm C.
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Sai. Nếu 4 điểm đồng phẳng thì a và b đồng phẳng, trái với giả thiết chéo nhau.
b) Đúng. Nếu AC và BD đồng phẳng thì 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng (vô lý). Vậy chúng chéo nhau.
c) Sai. Chứng minh tương tự câu b, AD và BC chéo nhau, không cắt nhau.
d) Đúng. Qua một đường thẳng và một điểm nằm ngoài đường thẳng xác định duy nhất một mặt phẳng.
Cho hình chóp S.ABCD đáy là tứ giác lồi sao cho hai cạnh đối diện không song song. Đường thẳng AB cắt CD tại E, AD cắt BC tại F. Xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau:
Hai đường thẳng SE và AD chéo nhau.
Hai đường thẳng SA và BC cắt nhau.
Hai đường thẳng SF và CD chéo nhau.
Bốn điểm S, E, A, B cùng thuộc một mặt phẳng.
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. E thuộc mặt phẳng đáy. SE cắt đáy tại E. E không nằm trên đường thẳng AD nên SE và AD chéo nhau.
b) Sai. S nằm ngoài mặt phẳng đáy, do đó SA và BC chéo nhau.
c) Đúng. Tương tự câu a, F thuộc mặt phẳng đáy nhưng không nằm trên đường thẳng CD nên SF và CD chéo nhau.
d) Đúng. Vì E là giao điểm của AB và CD nên E nằm trên đường thẳng AB. Do đó S, E, A, B cùng nằm trong mặt phẳng (SAB).
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Có bao nhiêu đường thẳng chứa các cạnh của tứ diện chéo nhau với đường thẳng MN?
Đáp án: 4
Tứ diện ABCD có tất cả 6 cạnh: AB, BC, CD, DA, AC, BD.
Đường thẳng MN cắt AB tại M và cắt CD tại N nên MN không chéo nhau với hai đường thẳng AB và CD.
Xét đường thẳng AC: Giả sử MN và AC đồng phẳng. Khi đó 4 điểm A, C, M, N cùng thuộc một mặt phẳng. Vì M ∊ AB nên đường thẳng AM chính là đường thẳng AB, kéo theo điểm B cũng thuộc mặt phẳng này. Tương tự, N ∊ CD nên đường thẳng CN chính là đường thẳng CD, kéo theo điểm D cũng thuộc mặt phẳng này. Như vậy A, B, C, D đồng phẳng, trái với giả thiết ABCD là hình tứ diện. Vậy MN và AC chéo nhau.
Tương tự, chứng minh được đường thẳng MN chéo nhau với các đường thẳng BC, AD và BD.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Tính tổng số cặp đường thẳng chéo nhau trong đó một đường thẳng chứa cạnh bên và đường thẳng kia chứa cạnh đáy của hình chóp.
Đáp án: 8
Hình chóp có 4 cạnh bên (SA, SB, SC, SD) và 4 cạnh đáy (AB, BC, CD, AD).
Mỗi cạnh bên sẽ đi qua đỉnh S và một đỉnh ở đáy, do đó nó sẽ cắt 2 cạnh đáy kề với đỉnh đó và chéo với 2 cạnh đáy còn lại. Cụ thể:
SA chéo với BC và CD (2 cặp);
SB chéo với AD và CD (2 cặp);
SC chéo với AB và AD (2 cặp);
SD chéo với AB và BC (2 cặp).
Vậy tổng số cặp chéo nhau thỏa mãn là 2 + 2 + 2 + 2 = 8 cặp.
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Lấy điểm M là trung điểm của cạnh SC. Có bao nhiêu đường thẳng chứa các cạnh của hình chóp không cùng nằm trong bất kỳ mặt phẳng nào với đường thẳng OM?
Đáp án: 4
Đường thẳng OM nằm trong mặt phẳng (SAC). OM song song với SA (vì OM là đường trung bình của tam giác SAC).
Cụm từ "không cùng nằm trong bất kỳ mặt phẳng nào" có nghĩa là tìm các đường thẳng chéo nhau với OM. Ta xét 8 cạnh của hình chóp:
Cạnh bên SA: song song với OM (không chéo).
Cạnh bên SC: chứa điểm M nên cắt OM (không chéo).
Các cạnh bên SB, SD: OM không nằm trong mặt phẳng (SBD) và không song song nên chéo nhau với SB và SD.
Các cạnh đáy AB, BC, CD, AD: đều không cắt OM và không song song với OM. Vậy có 6 cạnh chéo nhau với OM là AB, BC, CD, AD, SB và SD.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AD song song BC và AD > BC). Gọi J là trung điểm của cạnh SB, điểm M lấy tùy ý trên đoạn SD (M không trùng S và D, M không phải là trung điểm). Trong số 6 đường thẳng tạo bởi các đỉnh ở đáy là AB, BC, CD, AD, AC, BD, có bao nhiêu đường thẳng chéo nhau với đường thẳng JM?
Đáp án: 5
Ta xét vị trí tương đối của đường thẳng JM với 6 đường thẳng chứa các cạnh nằm trong mặt phẳng đáy (ABCD):
Với đường thẳng BD:
Hai đường thẳng JM và BD cùng nằm trong mặt phẳng (SBD).
Vì J là trung điểm của SB nhưng M là điểm tùy ý trên SD (không phải trung điểm), nên JM không song song với BD. Do đó, JM cắt BD tại một điểm (gọi là điểm I). Suy ra JM và BD không chéo nhau.
Với đường thẳng AC:
Đường thẳng AC nằm trong mặt phẳng đáy (ABCD).
Đường thẳng JM cắt mặt phẳng (ABCD) tại I (thuộc BD). Do M là điểm lấy tùy ý trên SD nên vị trí của I trên BD không cố định (trừ trường hợp đặc biệt khi I trùng với giao điểm của hai đường chéo AC và BD).
Đường thẳng JM sẽ không có điểm chung với AC. Vì JM và AC không có điểm chung và không đồng phẳng, nên chúng chéo nhau.
Với các đường thẳng AB, BC, CD, AD:
Tương tự, giao điểm I của JM và (ABCD) nằm trên đoạn BD (nằm bên trong mặt đáy) nên không thuộc các đường thẳng chứa cạnh biên AB, BC, CD hay AD. Do đó, JM không có điểm chung với 4 đường thẳng này.
Đồng thời, do JM cắt mặt phẳng đáy nên nó không thể song song với bất kỳ đường thẳng nào nằm trong đáy. Suy ra JM chéo nhau với cả AB, BC, CD và AD.
Vậy có tổng cộng 5 đường thẳng chéo nhau với JM là: AB, BC, CD, AD và AC.
Cho 5 điểm phân biệt trong không gian sao cho không có 4 điểm nào đồng phẳng. Qua 2 điểm bất kỳ ta vẽ được một đường thẳng. Tính số cặp đường thẳng chéo nhau có thể được tạo ra từ 5 điểm nói trên.
Đáp án: 15
Bốn điểm không đồng phẳng sẽ tạo thành 1 hình tứ diện. Trong 1 tứ diện có đúng 3 cặp đường thẳng chéo nhau (ví dụ tứ diện ABCD có các cặp: AB-CD, AC-BD, AD-BC).
Từ 5 điểm ban đầu, không có 4 điểm nào đồng phẳng, số cách chọn ra 4 điểm để tạo thành một tứ diện là:
\(C_5^4\)= 5 (tứ diện).
Mỗi tứ diện đóng góp 3 cặp đường thẳng chéo nhau.
Vì mỗi cặp đường thẳng chéo nhau đều cần đúng 4 điểm, nên không có cặp chéo nhau nào bị đếm trùng lặp giữa các tứ diện khác nhau.
Vậy tổng số cặp đường thẳng chéo nhau là: 5∙3 = 15 cặp.
