Đề kiểm tra Hai đường thẳng song song lớp 11 (có lời giải) - Đề 1

Chọn A

Vì \(AD\;{\rm{//}}\;IF\) nên \(AD\) không song song với \[IJ\].

Chọn A

Do \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(SAC\) nên \(MN{\rm{//}}AC.\).

Chọn C

Xét \[\Delta SAB\], \[IJ\] là dường trung bình \( \Rightarrow IJ//AB\) mà \(AB//CD\) \( \Rightarrow IJ//CD\).

Xét \[\Delta SCD\], \[EF\] là dường trung bình \( \Rightarrow EF//\,CD\) \( \Rightarrow IJ//\,EF\).

Chọn A

Gọi\[M\],\[N\]lần lượt là trung điểm của \[DC\],\[AC\].Vì\[G\]là trọng tâm tứ diện nên\[G\]là giao điểm của ba đoạn thẳng nối hai trung điểm của cặp cạnh đối của tứ diện như hình vẽ trên.

Xét\[\left( {ABM} \right)\]:\[AG \cap BM = {G_1}\],\[BG \cap AM = {G_2}\].Trong\[\Delta ACD\]có\[AM\]và\[DN\]là đường trung tuyến nên\({G_2}\)là trọng tâm của tam giác do đó \[\frac{{{G_2}M}}{{{G_2}A}} = \frac{1}{2}\].Tương tự ta cũng có \[\frac{{{G_1}M}}{{{G_1}B}} = \frac{1}{2}\]suy ra\({G_1}{G_2}\,{\rm{//}}\,AB\).

Chọn B

Gọi\(M\),\(N\)lần lượt là trung điểm của các cạnh\(BD\)và\(BC\),ta có\(MN{\rm{//}}CD\).

Vì\(I,J\)lần lượt là trọng tâm các tam giác\(ABC\),\(ABD\) nên ta có

\(\frac{{AI}}{{AN}} = \frac{{AJ}}{{AM}} = \frac{2}{3}\)\( \Rightarrow IJ{\rm{//}}MN\).

Từ và suy ra\(IJ{\rm{//}}CD\).

Chọn A

Gọi\(E\)là trung điểm\(AB\).

Vì\(I\)và\(J\)lần lượt là trọng tâm tam giác\(ABC\)và\(ABD\)nên:\(\frac{{EI}}{{EC}} = \frac{{EJ}}{{ED}} = \frac{1}{3}\).

Suyra:\(IJ//CD\).

Chọn B

Ta có \[EF\]là đường trung bình trong tam giác \[ABC,\]suy ra \[EF//AC{\rm{  }}\left( 1 \right)\].

\[\left. \begin{array}{l}\left( {EFG} \right) \cap \left( {SAC} \right) = \left\{ G \right\}\\EF \subset \left( {EFG} \right)\\AC \subset \left( {SAC} \right)\\EF//AC\end{array} \right\} \Rightarrow \]\[\left( {EFG} \right) \cap \left( {SAC} \right) = Gx//FE//AC\]

Gọi \[Gx \cap SA = \left\{ H \right\}\], suy ra \[H\]là trung điểm \[SA\]và \[HG//AC{\rm{     }}\left( 2 \right)\]

Ta có \[\overrightarrow {SG}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {SC} ,\]suy ra \[G\]là trung điểm của \[SC\]và \[GF//SB{\rm{       }}\left( 3 \right)\].

Ta có \[HE\]là đường trung bình trong tam giác \[SAB,\]suy ra \[HE//SB{\rm{       }}\left( 4 \right)\]

Từ \[\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right),\left( 4 \right)\]suy ra thiết diện là hình bình hành \[FGHE\].

Chọn B

Do \(MN//AB\) và \(MN = \frac{1}{2}AB\) nên \(\left( {MNP} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = PQ\) với \(PQ//AB,{\rm{ }}Q \in AD\).

Tứ giác \(MNPQ\) là hình thang.

Chọn C

Gọi \[E = MN \cap CD\] \[ \Rightarrow \] \[\left( {MNP} \right) \cap \left( {ACD} \right) = PE\].

Trong mặt phẳng \[\left( {ACD} \right)\] gọi \[Q = PE \cap AC\]. Khi đó thiết diện của mặt phẳng \[\left( {MNP} \right)\] với hình chóp \[ABCD\] là t giác \[MNPQ\].

Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}MQ = \left( {MNP} \right) \cap \left( {ABC} \right)\\NP{\rm{//}}AB\\NP \subset \left( {MNP} \right),AB \subset \left( {ABC} \right)\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow MQ{\rm{//}}NP\].

Do đó tứ giác \[MNPQ\] là hình thang.

Chọn B

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {ICD} \right) \cap \left( {SCD} \right) = CD\\\left( {ICD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\end{array} \right.\) \(\left( 1 \right)\).

Trong \(\left( {SAC} \right)\), gọi \(E = IC \cap SA \Rightarrow \left( {ICD} \right) \equiv \left( {ECD} \right)\)\( \Rightarrow \left( {ECD} \right) \cap \left( {SAD} \right) = ED\) \(\left( 2 \right)\).

Vì \(AB{\rm{//}}CD\) nên \(\left( {ECD} \right) \cap \left( {SAB} \right)\) theo giao tuyến là đường thẳng đi qua \(E\) và song song với \(AB\), \(CD\) cắt \(SB\) tại \(F\)\( \Rightarrow \left( {ECD} \right) \cap \left( {SAB} \right) = EF\) \(\left( 3 \right)\).

Từ \(\left( 1 \right)\), \(\left( 2 \right)\) và \(\left( 3 \right)\) suy ra mặt phẳng \(\left( {ICD} \right)\) cắt hình chóp theo thiết diện là tứ giác \(CDEF\).

Vì \(EF\,{\rm{//}}\,AB\,{\rm{//}}\,CD\) nên tứ giác \(CDEF\) là hình thang.

Chọn D

Ta có: \(\left( {MNE} \right) \cap \left( {ABC} \right) = MN\), \(\left( {MNE} \right) \cap \left( {ACD} \right) = NE\).

Vì hai mặt phẳng \(\left( {MNE} \right)\)và \(\left( {BCD} \right)\)lần lượt chứa hai đường thẳng song song là \(MN\)và \(BC\)nên

\(\left( {MNE} \right) \cap \left( {BCD} \right) = Ex\)(với \(Ex\)là đường thẳng qua \(E\)và song song với \(BC\)), \(Ex\)cắt \(BD\)tại \(F\).

\(\left( {MNE} \right) \cap \left( {BCD} \right) = EF\)và \(\left( {MNE} \right) \cap \left( {ADD} \right) = FM\). Và \(MN = \frac{1}{2}BC\); \[EF = \frac{3}{4}BC\].

Vậy thiết diện là hình thang \(MNEF\)với \(F\)là điểm trên cạnh \(BD\)mà \[EF\]song song với \(BC\).

Chọn B

Xét hai mặt phẳng \[\left( {IBC} \right)\] và \[\left( {SAD} \right)\], có;

\[I \in \left( {IBC} \right) \cap \left( {SAD} \right)\]

Và \[BC\,{\rm{//}}\,AD\] (\[ABCD\] là hình bình hành), \[AD \subset \left( {SAD} \right),\,BC \subset \left( {IBC} \right)\]

Nên \[\left( {SAD} \right) \cap \left( {IBC} \right) = IJ\]\[\left( {IJ\,{\rm{//}}\,AD\,{\rm{//}}\,BC,\,J = SD \cap IJ} \right)\].

Do đó thiết diện tạo bởi mặt phẳng \[\left( {IBC} \right)\] và hình chóp \[S.ABCD\] là hình thang\[BIJC\]

(\[IJ\,{\rm{//}}\,BC\]).

a) Ta có \(AB\) và \(CD\) cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung nên \(AB\) song song với \(CD\) (hai cạnh đối của hình bình hành thì song song với nhau).

b) Hai đường thẳng \(SA\) và \(SC\) cắt nhau tại \(S\).

c) Hai đường thẳng \(SA\) và \(BC\) không đồng phẳng, vì vậy \(SA\) và \(BC\) là hai đường thẳng chéo nhau.

d) \(SC\) chéo nhau \(AB\).

b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((SCD)\) :

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{S \in (SAB) \cap (SCD)}\\{AB \subset (SAB);CD \subset (SCD).}\\{AB//CD}\end{array}} \right.\)

Suy ra \(Sx = (SAB) \cap (SCD)\), với \(Sx\) là đường thẳng qua \(S\) và \(Sx//AB//CD\).

c) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng \((MBC)\) và \((SAD)\):

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{M \in SA,SA \subset (SAD)}\\{M \in (MBC)}\end{array} \Rightarrow M \in (MBC) \cap (SAD)} \right.\).

Khi đó: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{M \in (MBC) \cap (SAD)}\\{BC \subset (MBC);AD \subset (SAD){\rm{. }}}\\{BC//AD}\end{array}} \right.\)

Suy ra \(My = (MBC) \cap (SAD),My\) là đường thẳng qua \(M\) và \(My//BC//AD\).

d) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng \((MEF)\) và \((SAC)\) :

Ta có \(:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{M \in SA,SA \subset (SAC)}\\{M \in (MEF)}\end{array} \Rightarrow M \in (MEF) \cap (SAC)} \right.\).

Xét tam giác \(ABC\), ta có \(EF\) là đường trung bình \( \Rightarrow EF//AC\).

Khi đó: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{M \in (MEF) \cap (SAC)}\\{EF \subset (MEF);AC \subset (SAC){\rm{. }}}\\{EF//AC}\end{array}} \right.\)

Suy ra \(Mt = (MEF) \cap (SAC),Mt\) là đường thẳng qua \(M\) và \(Mt//EF//AC\).

b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng \((GIJ)\) và \((BCD)\):

Vì \(IJ\) là đường trung bình của tam giác \(ACD\) nên \(IJ//CD\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{G \in (GIJ) \cap (BCD)}\\{IJ//CD}\\{IJ \subset (GIJ),CD \subset (BCD)}\end{array} \Rightarrow Gx = (GIJ) \cap (BCD)} \right.\), trong đó \(Gx\) là đường thẳng qua \(G\) và \(Gx//IJ//CD\).

c) Trong mặt phẳng \((BCD)\), kẻ \(Gx\) song song \(CD\) cắt \(BC\) tại \(M\), cắt \(BD\) tại \(N\).

Tính \(2IJ + 3MN\)

Gọi \(E\) là trung điểm \(CD\), theo định lí Thalès, ta có:

\(\frac{{BM}}{{BC}} = \frac{{BG}}{{BE}} = \frac{2}{3}{\rm{ (v\`i }}GM//CE);\frac{{MN}}{{CD}} = \frac{{BM}}{{BC}}{\rm{ (v\`i }}MN//CD{\rm{)}}{\rm{. }}\)

Suy ra \(\frac{{MN}}{{CD}} = \frac{2}{3}\) hay \(MN = \frac{2}{3}CD = \frac{2}{3} \cdot 6 = 4\).

Vì \(IJ\) là đường trung bình tam giác \(ACD\) nên \(IJ = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3\).

Do đó \(2IJ + 3MN = 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 = 18\).

d) \(3IJ + 2MN = 3 \cdot 3 + 2 \cdot 4 = 17\)

Vì \(GH\) là đường trung bình của hai tam giác \(ACE\) và \(BDF\) nên \(GH//CE\) và \(GH//DF\).

Vì \(BC\) cắt mặt phẳng \((MNP)\) tại \(Q\) nên \(PQ\) là giao tuyến của \((MNP)\) và \((BCD)\).

Ba mặt phẳng \((ABD),(BCD),(MNP)\) đôi một cắt nhau theo các giao tuyến \(BD,PQ,MN\). Mà trong tam giác \(ABD\), vì \(MN\) là đường trung bình nên \(MN//BD\). Vậy theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng, ta có \(PQ//BD\).

Vì \(I,J\) lần lượt là trung điểm của \(SA,SB\) nên \(IJ\) là đường trung bình của tam giác \(SAB\).

Do đó, \(IJ//AB\).

Mà \(AB//CD\) nên \(IJ//CD\) (vì cùng song song với đường thẳng \(AB)\).

Vì \(N\) là giao điểm của \(ME\) và \(BD\) nên \(N\) thuộc cả hai mặt phẳng \((MEF)\) và \((BCD)\).

Tương tự, \(P\) cũng thuộc cả hai mặt phẳng đó nên suy ra \(NP\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \((MEF)\) và \((BCD)\).

Vì \(EF\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) nên \(EF//BC\). Hai mặt phẳng \((MEF)\) và \((BCD)\) chứa hai đường thẳng song song là \(EF\) và \(BC\) nên giao tuyến \(NP\) của hai mặt phẳng đó song song với \(EF\) và \(BC\).

Ta không thể đặt chiếc gậy đó song song với một trong các mép tường vì điểm đầu gậy chạm với sàn và \(4\) điểm góc của tường là các điểm không đồng phẳng nên đường thẳng tạo bởi chiếc gậy và một trong các mép tường là hai đường thẳng chéo nhau.

Giả sử mặt phẳng \((ABFE)\) mà mặt nước, mặt phẳng \((EFCD)\) là mặt đáy của bể kính và \((ABCD)\) là một mặt bên của bể kính.

Ba mặt phẳng \((ABFE)\), \((EFCD)\) và \((ABCD)\) là ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo các giao tuyến \(EF\), \(AB\) và \(CD\). Vì \(DC\parallel EF\) (do đáy của bể là hình chữ nhật) nên ba đường thẳng \(EF,AB\) và \(CD\) đôi một song song. Vậy đường mép nước \(AB\) song song với cạnh \(CD\) của bể nước.